Bài toán dirichlet cho lớp hàm Điều hòa trên Đĩa trong mặt phẳng phức

Bài toán dirichlet cho lớp hàm Điều hòa trên Đĩa trong mặt phẳng phức Bài toán dirichlet cho lớp hàm Điều hòa trên Đĩa trong mặt phẳng phức Bài toán dirichlet cho lớp hàm Điều hòa trên Đĩa trong mặt phẳng phức Bài toán dirichlet cho lớp hàm Điều hòa trên Đĩa trong mặt phẳng phức

Trang 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM—————

ĐẶNG THỊ THU TRANG

BÀI TOÁN DIRICHLET

CHO LỚP HÀM ĐIỀU HÒA TRÊN ĐĨATRONG MẶT PHẲNG PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG, 2022

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM—————

ĐẶNG THỊ THU TRANG

BÀI TOÁN DIRICHLET

CHO LỚP HÀM ĐIỀU HÒA TRÊN ĐĨATRONG MẶT PHẲNG PHỨC

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

1.1.4Module và Argument của số phức .8

1.2Sơ lược về tô pô trên mặt phẳng phức 10

1.3Hàm chỉnh hình và một số kết quả 14

1.4Tích phân Cauchy của hàm chỉnh hình và một số kết quả .21

1.4.1Công thức tích phân Cauchy 21

1.4.2Một số định lý quan trọng của hàm chỉnh hình 25

2Nghiệm điều hòa của bài toán Dirichlet trên đĩa292.1Hàm điều hòa và các tính chất cơ bản 29

2.2Bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa trên đĩa 36

2.3Một số ứng dụng của bài toán Dirichlet 41

Trang 8

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Giải tích phức là một trong những chuyên ngành cổ điển của Toán học rađời từ trước thế kỉ XIX Một số nhà toán học với các công trình nghiên cứutiên phong về lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Weierstrass, đãđặt nền móng cho sự phát triển của lĩnh vực toán học này cho tới ngày nay.Giải tích phức, đặc biệt là lý thuyết về ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụngtrong cơ khí Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu nhiều và tìm kiếmđược các ứng dụng trong nghiên cứu về động lực học phức và về Fractal Sựphát triển của giải tích phức cũng là cơ sở lý thuyết quan trọng trong việcnghiên cứu và phát triển của lý thuyết thế vị và lý thuyết đa thế vị.

Lý thuyết thế vị là một nhánh của giải tích phức được nghiên cứu vàphát triển mạnh mẽ trong vòng khoảng hơn 50 năm trở lại đây Nhiều kếtquả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trướcnhững năm 80 của thế kỉ trước, và được tập hợp và hệ thống lại trong cáctài liệu [8], [9] Trong những năm sau đó, một số tác giả tiếp tục trình bàycác hướng nghiên cứu khác của lý thuyết này, đó là giải bài toán Dirichlet.Ở Việt Nam, lý thuyết thế vị và đa thế vị cũng được quan tâm nghiên cứunhiều trong vài thập kỷ gần đây và đạt được nhiều kết quả quan trọng ([4])

Bài toán Dirichlet, mang tên nhà toán học Johann Peter Gustav LejeuneDirichlet Bài toán Dirichlet trong lý thuyết thế vị được mở rộng từ bài toánDirichlet cổ điển, đó là đi tìm hàm điều hòa trên một miền với các điều kiệngiới hạn biên cho trước Bài toán này cho kết quả trọn vẹn (cả tồn tài và duy

Trang 9

nhất nghiệm) đối với lớp hàm điều hòa trên một số miền đặc biệt Đây làđiểm thuận lợi của hàm điều hòa so với hàm chỉnh hình Bài toán Dirichletlà công cụ mạnh với nhiều ứng dụng cả trong toán học lý thuyết và toán ứngdụng.

Từ các lý do trên đây, tôi đã chọn đề tài "BÀI TOÁN DIRICHLETCHO LỚP HÀM ĐIỀU HÒA TRÊN ĐĨA TRONG MẶT PHẲNGPHỨC" làm nội dung nghiên cứu của luận văn thạc sĩ của mình Việc thựchiện đề tài này cũng sẽ góp phần hoàn thiện thêm các kiến thức và năng lựctoán học của bản thân, góp phần nâng cao hiệu quả công tác dạy học, bồidưỡng và học tập suốt đời.

2 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Bài toán Dirichlet cho lớp hàm điều hòa trên đĩa trong mặtphẳng phức” tôi sẽ sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Thu thập, phân tích và tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiêncứu.

- Phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.

- Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn và nhóm nghiên cứu tại cácbuổi seminar.

3 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài "Bài toán Dirichlet cho lớp hàm điều hòatrên đĩa trong mặt phẳng phức" là nghiên cứu lớp hàm điều hòa, bài toánDirichlet cho lớp hàm điều hòa xác định trên đĩa trong mặt phẳng phức.Ngoài ra, đề tài cũng đặt mục tiêu nghiên cứu một số ứng dụng của nghiệmcủa bài toán Dirichlet để nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa vàhàm chỉnh hình.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trang 10

a Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài là các lớp hàm chỉnh hình và hàmđiều hòa Cụ thể hơn là nghiên cứu bài toán Dirichlet cho lớp hàm điều hòatrên đĩa trong mặt phẳng phức.

b Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực Giải tích phức nói chungvà cụ thể hơn là thuộc lĩnh vực lý thuyết thế vị.

5 Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

•Mở đầu: Phần này nhằm giới thiệu sơ lược về các lớp hàm là đối tượngnghiên cứu chính của chuyên ngành Giải tích phức nói chung và lý thuyếtthế vị nói riêng như hàm chỉnh hình, hàm điều hòa.

•Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thểnhư sau:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung của chương nàyđược dành để trình bày về số phức, hàm chỉnh hình và một số tính chất quantrọng của hàm chỉnh hình Do lớp hàm chỉnh hình có mối quan hệ chặt chẽvới lớp hàm điều hòa nên các kết quả ở đây là sự chuẩn bị cần thiết để nghiêncứu các kết quả về hàm điều hòa ở chương 2.

Chương 2 Nghiệm điều hòa của bài toán Dirichlet trên đĩa.Chương này là nội dung chính của luận văn Nội dung của chương này baogồm các khái niệm và kết quả cơ bản về hàm điều hòa (mục 2.1); giải bàitoán Dirichlet cho hàm điều hòa trên đĩa (mục 2.2) và áp dụng nghiệm củabài toán Dirichlet cho hàm điều hòa trên đĩa để nghiên cứu một số tính chất

Trang 11

của hàm điều hòa và hàm chỉnh hình.

•Kết luận

•Tài liệu tham khảo

Trang 12

Chương 1

Nhắc lại về giải tích phức

Nội dung của chương này được dành để trình bày về số phức, hàm chỉnhhình và một số tính chất quan trọng của hàm chỉnh hình Do lớp hàm chỉnhhình có mối quan hệ chặt chẽ với lớp hàm điều hòa nên các kết quả ở đây làsự chuẩn bị cần thiết để nghiên cứu các kết quả về hàm điều hòa ở chương2 Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [5], [9].

a = c,b = d.

II Phép cộng(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)và cặp(a + c, b + d)được gọilà tổng các cặp(a, b)và(c, d).

III Phép nhân(a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc)và cặp(ac − bd, ad + bc)được gọi là tích các cặp(a, b)và(c, d).

IV Cặp(a, 0)được đồng nhất với số thựca, nghĩa là:(a, 0) ≡ a.

Định lý 1.1.2 ([2]) Tập hợp C cùng với các quan hệ và phép toán trongĐịnh nghĩa 1.1.1 lập thành một trường và được gọi là trường các số phức.

Trang 13

Chứng minh.•Ta thấy rằng(C, +)lập thành một nhóm cộng giáo hoán vớiphần tử không là(0, 0)và phần tử đối của(a, b)là(−a, −b).

•Đặt C∗ :=C\ {(0, 0)} Khi đó,(C∗, )lập thành một nhóm nhân giao hoánvới phần tử đơn vị là(1, 0)và phần tử nghịch đảo của(a, b) 6= (0, 0)là

a2 + b2,−ba2 + b2

•Cuối cùng phép cộng và phép nhân trong C thoả mãn luật phân phối nhưsau.

(α, β)[(a, b) + (c, d)] = (α, β)(a + c, b + d)

= (α(a + c) − β(b + d), α(b + d) + β(a + c))= (αa + αc − βb − βd, αb + αd + βa + βc)= (αa − βb, αb + βa) + (αc − βd, αd + βc)= (α, β)(a, b) + (α, β)(c, d).

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1).(b, 0) = a + ib.

Phép biểu diễn số phứcz = (a, b)dưới dạngz = a + ibđược gọi là dạngđại số của số phức Sốađược gọi là phần thực của số phứczvà ký hiệu làa = Re(z), sốbđược gọi là phần ảo của nó và ký hiệu làb = Im(z).

Trang 14

Định nghĩa 1.1.5 [2] Giả sửz = a + ib ∈C Khi đó, số phức liên hợp củazlàz = a − ib¯.

Sau đây là một số tính chất đơn giản của số phức liên hợp.

Định lý 1.1.6 ([2]) Giả sửz, z1 vàz2 ∈C Khi đó:1.z1+ z2= z1+ z2,

2.z1.z2 = z1.z2,a.z = a.z,∀a ∈R,3.z = z.

Chứng minh Xem Định lý 1.1.3 trong [2].

Các phép toán trừ và chia được định nghĩa như các phép toán ngược vớiphép toán cộng và nhân Đối với phép trừ, ta có:

Định lý 1.1.7 ([2]) Giả sửz1,z2 ∈C Khi đó tồn tại một và chỉ một sốphứczsao choz1 + z = z2 Cụ thể là:z = z2 + (−z1) = z2 − z1.

Chứng minh Xem Định lý 1.1.4 trong [2].Nếuz1 = a1 + ib1 vàz2 = a2 + ib2, thì

z = z2 − z1 = (a2 − a1) + i(b2 − b1).

Đối với phép chia, ta có:

Định lý 1.1.8 ([2]) Giả sửz1,z2 ∈C,z2 6= 0 Khi đó tồn tại một và chỉmột số phứczsao choz2z = z1 Cụ thể là:z = z2−1z1 =z1

z2.Chứng minh Xem Định lý 1.1.5 trong [2].

Giả sửz1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 Khi đó ta có thể viết:

z =z1z2 =

z1z¯2z2z¯2 =

(a1 + ib1)(a2 − ib2)a2

2 + b22=a1a2 + b1b2

a22 + b22 + i

a2b1 − a1b2a22 + b22 .

Trang 15

1.1.3Mặt phẳng phức

Giả sử trên mặt phẳng R2 cho hệ tọa độ Descartes vuông gócxOy Như đãbiết, hai điểm được xác định bởi các tọa độ Descartes vuông góc trùng nhaukhi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau Do đó tacó thể xác lập một phép tương ứng đơn trị một - một giữa các điểm của mặtphẳng R2 với các số phức của C, trong đó mỗi số phứcz = x + iy ∈C sẽtương ứng với điểm hoàn toàn xác địnhM (x, y) ∈R2 và ngược lại mỗi điểmM (x, y) ∈R2 sẽ tương ứng với số phức hoàn toàn xác địnhz = x + iy ∈C.Như vậy phép tương ứng

R2 3 (x, y) 7→ x + iy ∈C

là đơn trị một - một Từ đó ta thấy rằng mọi số phức đều có thể biểu diễnbởi điểm của mặt phẳng và như vậy các thuật ngữ "số phứcz" và "điểmz"được dùng như những từ đồng nghĩa.

Định nghĩa 1.1.9 ([2]) Mặt phẳng với phép tương ứng đơn trị một - một

R2 3 (x, y) 7→ x + iy ∈C

như đã mô tả ở trên được gọi là mặt phẳng phức và cũng được ký hiệu là C.Có thể nói một cách khác: mặt phẳng và các điểm của nó được dùng đểmô tả số phức gọi là mặt phẳng phức Các số thực được mô tả bởi các điểmtrên trụcOxnên trụcOxđược gọi là trục thực Các số thuần ảo được môtả bởi các điểm trên trụcOynên trụcOyđược gọi là trục ảo.

Ta đã biết mỗi số thựcx ∈R tương ứng với một số thực không âm|x|đượcgọi là giá trị tuyệt đối củax:

|x| =(

xnếux ≥ 0,−xnếux < 0.

Giá trị tuyệt đối này có tính chất hiển nhiên sau (liên hệ với các phéptoán của trường số thực R):

Trang 16

(i)|x| ≥ 0, ∀x ∈R và|x| = 0 ⇔ x = 0;(ii)|xy| = |x| |y|;

(iii)||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.

Bây giờ ta muốn mở rộng hàm trị số tuyệt đối này thành một hàm mà sẽgọi là hàm module từ C tới R và các tính chất tương tự như trên còn đượcgiữ nguyên đối với các số phức Muốn vậy, với mỗi sốz = a + ib ∈C ta đặt

|z| =√a2 + b2 =√z.¯zvà gọi là module củaz.

Theo công thức, ta thấy rằng|z|chẳng qua là khoảng cách từ điểmM (a, b) ∈R2 tương ứng vớizđến gốc tọa độO(0, 0).

Các khẳng định sau tương tự như (i)-(iii) suy trực tiếp từ định nghĩatrên:

(i)|z| ≥ 0, ∀z ∈C và|z| = 0 ⇔ z = 0;(ii)|z1z2| = |z1| |z2|;

(iii)||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|(Bất đẳng thức tam giác).

Bây giờ ta chuyển sang định nghĩa argument của một số phứcz = a+ib 6=0 Ta đặtr = |z| =√

a2 + b2 Vìa2 ≤ r2, b2 ≤ r2 nên

ar ≤ 1,

≤ 1vàa2r2 +b

2r2 = 1.Vậy tồn tại duy nhất số thựcϕ0 (0 ≤ ϕ0 < 2π)sao cho

r= cos ϕ0,b

r= sin ϕ0hay

a = r cos ϕ0, b = r sin ϕ0.Nói cách khác

z = |z| (cos ϕ0 + i sin ϕ0) , 0 ≤ ϕ0 < 2π.(1.1)

Trang 17

Số thựcϕ0 (0 ≤ ϕ0 < 2π)thỏa mãn (1.1) được gọi là argument chính củaz,ký hiệu làarg z.

Nói chung mọi số thựcϕmà

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)được gọi là argument củaz.

Rõ ràng đối với mọi argumentϕcủaztồn tại số nguyênksao choϕ =arg z + 2kπ.

Ký hiệu Argzlà tập tất cả các argument củaz:

Argz = {arg z + 2kπ : k = 0; ±1; ±2; }.

Đặt C:=C∪ {∞} Ta gọi C là mặt phẳng phức mở rộng Như ta đã biết,mặt phẳng phức mở rộng C đồng phôi với mặt cầu Riemann(C)có tâm làI

0, 0,12

trong đóεlà số dương cho trước.

Đó là hình tròn với tâm tại điểmz0và bán kínhε.∆(z0, ε)còn được gọilà đĩa mở tâmz0 bán kínhε.

ii Ta gọiε- lân cận của điểm∞là tập:

∆(∞, ε) = {z ∈C: |z| >1ε}.

Đó là phần ngoài hình tròn với tâm tại gốc tọa độ và bán kínhr =1ε.iii Ta gọi đĩa thủng tâmz0 bán kínhεlà hình vành khăn

{z : 0 < |z − z0| < ε} = ∆(z0, ε) \ {z0}.

Trang 18

Định nghĩa 1.2.2 ([2]) ChoM ⊂C (hoặc C) Điểmz0 gọi là điểm trongcủaMnếu∃ε > 0sao cho∆(z0, ε) ⊂ M.

Định nghĩa 1.2.3 ([2]) Tập conA ⊂C (hoặc C) được gọi là tập mở nếumọi điểmz ∈ Ađều là điểm trong của nó.

Định lý 1.2.4 ([2]) Họ các tập con mở của C thỏa mãn các tính chất sauđây (các tiên đề cấu trúc tô pô):

Ui.•NếuU0 = ∅thìU0 mở (theo 1.).

•Giả sửU06= ∅vàz0∈ U0 Khi đó, với mỗi giá trịi (i = 1, 2, , n)sẽ tồntạiεi > 0sao cho

U (z0, εi) ⊂ Ui.Đặtε = min

Trang 19

Định nghĩa 1.2.8 (Phần trong, phần ngoài) ([2]) ChoA ⊂C vàA 6= ∅.•Phần trong củaA, ký hiệu là intAhay ˚A, là tập tất cả các điểm trong củanó.

•Phần ngoài củaAlà phần trong của tập C\ A, tức là int(C\ A).

Định lý 1.2.9 ([2]) ChoA ⊂C vàA 6= ∅ Khi đó, điểmz0 ∈C thuộc phầnngoài củaAkhi và chỉ khi

d(z0, A) := inf

z∈A|z − z0| > 0.Chứng minh Xem Định lý 1.2.4 trong [2].

Định nghĩa 1.2.10 (Điểm tụ của một tập) ([2]) Điểmz0 ∈C được gọilà điểm tụ của tậpA ⊂C nếu trong mọiε- lân cận củaz0 có vô số điểmcủaA.

Định nghĩa 1.2.11 (Điểm tụ của dãy) ([2]) Dãy{zn} ⊂C được gọi làhội tụ tới điểmznếu với mọiε- lân cận∆(z, ε)tồn tạim0 ∈N sao cho∀m ≥ m0 ta cózm ∈ ∆(z, ε) Lúc này điểmzđược gọi là điểm tụ của dãy{zn}.

Định nghĩa 1.2.12 (Biên của tập hợp) ([2]) Tập hợp những điểm củaC không thuộc phần trong và không thuộc phần ngoài của tập hợpA ⊂Cđược gọi là biên củaAvà ký hiệu là∂A.

Định lý 1.2.13 ([2]) Điểmz0∈ ∂Akhi và chỉ khi mọiε > 0ta có∆(z0, ε)∩A 6= ∅và∆(z0, ε) ∩ (C\ A) 6= ∅.

Định nghĩa 1.2.14 (Tập compact) ([2]) 1 Tập hợpA ⊂C được gọi làtập compact nếu nó đóng và bị chặn.

2 Tập hợpA ⊂C được gọi là tập compact nếuAlà tập hợp đóng trong C.Giả sửUlà một họ tùy ý các tập mở trong C Ta gọiUlà một phủ mởcủaAnếuA ⊂ ∪{U : U ∈ U } Khi đó, hai điều kiện sau là tương đương:(I)Alà tập compact.

Trang 20

(II) Từ mọi phủ củaAđều có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là cómột số hữu hạn chỉ sối1, i2, , insao cho:

1.A ∩ A1 6= ∅, A ∩ A2 6= ∅;2.A ∩ A1∩ A2 = ∅;

Choγlà một chu tuyến trong C Khi đó,γchia mặt phẳng phức thànhhai tập Tập bị chặn (tập không chứa điểm∞) được ký hiệu làDγ+ hoặcDγ,tập còn lại (tập chứa điểm∞) ký hiệu làDγ−.

Định nghĩa 1.2.17 (Miền) 1) TậpD ⊂C được gọi là một miền nếu nólà tập mở và liên thông.

2) MiềnD ⊂C được gọi là miền đơn liên nếu với mọi chu tuyếnγ ⊂ DtacóDγ+ ⊂ D.

3) MiềnD ⊂C được gọi là miền đa liên nếu tồn tại chu tuyếnγ ⊂ DsaochoDγ+ 6⊂ D.

Trang 21

f0(z) = lim∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàmcủa hàm số một biến số thực nên ta dễ dàng thiết lập được các công thứcsau đây.

Định lý 1.3.3 ([5]) Nếuf (z)vàg(z)là các hàm khả vi phức tạiz0 thìαf (z) + βg(z), f (z)g(z)vàf (z)

g(z)nếug(z0) 6= 0cũng khả vi phức tạiz0với

Trang 22

mọiα, β ∈C và ta có các công thức sau đây:i.(αf + βg)0(z0) = αf0(z0) + βg0(z0),ii.(f g)0(z0) = f0(z0)g(z0) + f (z0)g0(z0),iii.

(z0) =f

0(z0)g(z0) − f (z0)g0(z0)g02(z0),

iv nếuω = f (z)khả vi phức tạiz0, còng(ω)khả vi phức tạiω0 = f (z0)thì hàm hợpg ◦ fkhả vi phức tạiz0 và ta có công thức

∂y= −∂v∂x.

Các hệ thức(1.3)được gọi là điều kiện Cauchy - Riemann.

Chứng minh.•Điều kiện cần: Giả sửflà C - khả vi tạiz = x + iy ∈ Ω.Khi đó tồn tại giới hạn

f0(z) = lim∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

Trang 23

Vì giới hạn này tồn tại không phụ thuộc khi∆ztiến đến 0 nên nếu chọn∆z = ∆x, ta có:

f0(z) = lim∆x→0

u(x + ∆x, y) + iy(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y)∆x

= lim∆x→0

Tương tự khi chọn∆z = i∆yta có

f0(z) = −i∂u

∂y(x, y) +∂v

Từ (1.5) và (1.6) ta có

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y);∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y).Tức là,fthỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.

Lại có, vìflà C - khả vi tạiz, nên

∆f = f (z + ∆z) − f (z) = f0(z)∆z + o(∆z)vớio(∆z)là vô cùng bé bậc cao hơn∆z, tức là

∂x∆y + o(∆z) =∂u

∂x∆x +∂u

∂y∆y + o(|∆z|),

∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + o(∆z) =∂v

∂x∆x +∂v

∂y∆y + o(|∆z|).luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 24

Điều đó có nghĩauvàvkhả vi tại(x, y).

•Điều kiện đủ: Vìuvàvkhả vi tại(x, y)nên

∆u =∂u

∂x∆x +∂u

∂y∆y = o(p

∆x2 + ∆y2),

∆v =∂v

∂x∆x +∂v

∂y∆y = o(p

∆x2 + ∆y2).Theo điều kiện (1.3) hai đẳng thức trên có thể viết thành

∆u =∂u

∂x∆x −∂v

∂x∆y + o(|∆z|),∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + o(|∆z|).Từ hai đẳng thức trên ta có

∆u∆z+ i

∂x∆x −∂v

∂x∆y + o(∆z)

∂x∆x +∂u

∂x∆y + o(∆z)∆z

∂x∆x + i∂u∂x∆y

∂x∆y + i∂v∂x∆x

∂x+ i∂v∂x+

o(∆z)∆z.Vì vậy

∂u∂x+ i

∂v∂x,tức làflà C - khả vi tạiz = x + iy.

Định nghĩa 1.3.6 (Hàm chỉnh hình) ([1]) Hàmfxác định trong miềnΩ ⊂C với giá trị trong C gọi là chỉnh hình tạiz0 ∈ Ωnếu tồn tạir > 0đểflà C - khả vi tại mọiz ∈ ∆(z0, r) ⊂ Ω Nếufchỉnh hình tại mọiz ∈ Ωtanóifchỉnh hình trênΩ.

Sau đây ta sẽ định nghĩa một số toán tử vi phân phức Vớiz = x+iy, ¯z =x − iy Ta đặt

dz = dx + idy, d¯z = dx − idy.

Trang 25

Suy ra

dx =1

2(dz + d¯z),dy =1

2i(dz − d¯z).

Vớif (z) = u(x, y) + iv(x, y) Theo công thức vi phân toàn phân ta códf =∂f

∂xdx +∂f∂ydy =

2(dz + d¯z) +∂f∂y

2i(dz − d¯z)=1

∂x− i∂f∂y

dz +12

∂f∂x+ i

∂x− i∂f∂y

∂ ¯z=12

∂f∂x+ i

.Khi đó, ta có

df =∂f∂zdz +

∂f∂ ¯zd¯z.

Sau đây ta sẽ biểu diễn điều kiện Cauchy - Riemann dưới dạng đạo hàmriêng theo biến phức Ta có

∂f∂ ¯z=

∂f∂x+ i

∂u∂x+ i

+ i

∂u∂y+ i

+ i

.Theo điều kiện Cauchy - Riemann ta có

+ i

= 0.

Vậy điều kiện Cauchy - Riemann ở trên tương đương với điều kiện sau đây∂f

∂ ¯z(z) = 0.

Sau đây ta sẽ tìm thêm công thức tính đạo hàm phứcf0(z)thông quacác hàm phần thực và phần ảo của nó Giả sử,f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z =x + iy ∈ U Khi đó, theo điều kiện Cauchy - Riemann ta có

f0(z) =∂f

∂z(z) =12

∂x− i∂f∂y

(u0x+ iv0x) − i u0y + iv0y=1

x+ iv0x) − i (−vx0 + iu0x)]=1

x+ 2ivx0) = u0x+ ivx0.

Trang 26

Vậy nếuf (z) = u(x, y) + iv(x, y)là hàm chỉnh hình thì đạo hàm phức cóthể được tính bởi công thức:

f0(z) = u0x+ ivx0.

Sau đây là một số ví dụ về hàm chỉnh hình.

Ví dụ 1.3.1 a Xét hàmf (z) = z Từ định nghĩa, ta dễ dàng tính đượcf0(z) = 1, ∀z ∈C.

b Xét hàmf (z) = zn, n ∈N∗ Ta có(z + ∆z)n− zn = ∆z

(z + ∆z)n−1+ (z + ∆z)n−2z + + zn−1i

Từ đó suy ra

f0(z) = lim∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

(z + ∆z)n− zn∆z

= lim∆z→0

∆zh(z + ∆z)n−1 + (z + ∆z)n−2z + + zn−1i∆z

= lim∆z→0

2z − 3, z 6=3

2 Bằng cách áp dụng iv và các kết quả trênta có công thức tínhf0(z)như sau:

f0(z) =2z(2z − 3) − 2z2

(2z − 3)2 =2z

2 − 6z

(2z − 3)2, ∀z 6=32.

Như vậy, hàmf (z) =z2

2z − 3là C - khả vi tại mọiz 6=32.

Trang 27

Nhận xét 1.3.7 Từ các ví dụ trên ta có thể tổng quát rằng hàmf (z) =Pn(z)

Qm(z)là C - khả vi trên tại mọiz ∈C màQm(z) 6= 0.

Định lý 1.3.8 ([1]) Giả sử miềnD ⊂C vàH(D)tập hợp mọi hàm chỉnhhình trong miềnD Khi đó:

1.H(D)là một vành;

2 Nếuf ∈ H(D)vàf (x) 6= 0, ∀z ∈ Dthì1

f∈ H(D);

3 Nếuf ∈ H(D)vàfchỉ nhận giá trị thực thìflà hằng số.Chứng minh Xem Định lý 3 (trang 68) trong [1].

Định lý 1.3.9 (về hàm hợp) ([1]) Nếuf (ω)là hàm chỉnh hình trongD∗vàg : D → D∗ là hàm chỉnh hình trongDthì hàm hợpf [g(z)]chỉnh hìnhtrongD.

Định lý 1.3.10 ([1]) Giả sử chuỗi lũy thừaX

Nếu bán kính hội tụ của chuỗi trên làR > 0thì tổngS(z)của nó là hàmchỉnh hình trong đĩa∆(0, R) = {z ∈C: |z| < R} Hơn nữa, vớiz ∈ ∆(0, R)ta có

S0(z) =∞Xn=1

Chứng minh Xem Định lý 5 (trang 69) trong [1].

Trang 28

1.4Tích phân Cauchy của hàm chỉnh hìnhvà một số kết quả

1 Công thức tích phân Cauchy

Định lý 1.4.1 ([1]) Giả sửflà hàm chỉnh hình trên miềnΩvàz0 ∈ Ω.Khi đó với mọi chu tuyếnγ ⊂ Ωγ⊂ Ωta có công thức tích phân Cauchy

f (z0) =12πi

∂Ωf (η)

Chứng minh Giả sửγlà chu tuyến tùy ý vây quanhz0 sao choΩγ ⊂ Ω Chọnρ > 0đủ bé để hình trònD(z0, ρ) ⊂ Ω Ký hiệuCρ là biên củaD(z0, ρ) ⊂ Ωγvà đặt

Ωγ,ρ = Ωγ \ D(z0, ρ)ở đó,Ωγ,ρ là miền 1 - liên, nên theo (1.7) ta có

f (η)

η − z0dη = 0.Từ đó có đẳng thức

f (η)

η − z0dη =Z

f (η)

η − z0dη =Z 2π

f (z0 + ρeiϕ)dϕ

= iZ 2π

Trang 29

Chú ý rằng khiρ → 0thì do tính liên tục củafta cólim

ρ→0iZ 2π

[f (z0+ ρeiϕ) − f (z0)]dϕ = 0.

Vì thế

f (η)

Kết hợp điều này với (1.9) ta có công thức (1.7).

Trường hợpfliên tục trênΩvà chỉnh hình trênΩcó thể lấy∂Ωthaychoγtrong chứng minh trên Khi đó với mọiz ∈ Ωcác điều kiện của trườnghợp nói trên đều được thỏa mãn Vì thế ta có công thức (1.8).

2 Tích phân loại Cauchy

Giả sửΓlà đường cong Jordan trơn từng khúc,f (η)là hàm liên tục trênΓ.Với mọiz ∈C\ Γ, hàm

ϕ(η) =f (η)η − zliên tục trênΓ Do đó nếu đặt

F (z) =12πi

f (η)

ta nhận được hàmFxác định trên C\ Γ.

HàmF (z)được gọi là hàm tích phân loại Cauchy.

Định lý 1.4.2 ([1]) Giả sửf (η)là hàm liên tục trên đường cong Jordantrơn từng khúcΓ Khi đó tích phân (1.11) là một hàm chỉnh hình trên C\ Γ.Hơn nữa trên C\ ΓhàmF (z)có đạo hàm mọi cấp, chúng được cho bởi côngthức

F(n)(z) =n!2πi

f (η)

(η − z)n+1dη, n = 0, 1, (1.12)Ở đây định nghĩa bằng quy nạp

F(n)(z) =

F(0)(z) = F (z).

Trang 30

Chứng minh Bằng cách đặt

ϕk(η, z) =(k − 1)!f (η)2πi(η − z)k ,ta có

∂ϕk(η, z)

k!f (η)

2πi(η − z)k+1 = ϕ(k+1)(η, z),và công thức (1.12) trở thành

F(n)(z) =Z

ϕ1(η, z)dη.Giả sử (1.13) đúng tớin − 1, tức là có đẳng thức

F(n−1)(z) =Z

Ta sẽ chứng minh rằng

F(n)(z) =Z

U (x, y) =Z

udµ − Γvdν, V (x, y) =Z

vdµ + Γudν.(1.15)

Vớiηcố định(η ∈ Γ)hàmϕn(η, z)theo biếnzcó đạo hàm mọi cấp trênC\ Γ, do đó nói riênguvàvlà các hàm số có đạo hàm riêng liên tục Mặtkhác hiển nhiênuvàvlà các hàm số liên tục theo các tập biếnµ, ν, x, y Vìthế ta có thể lấy các đạo hàm riêng các tích phân (1.15) dưới dấu tích phân.

∂u∂xdµ −

∂U∂ydµ −

∂v∂ydν,luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 31

∂v∂xdµ +

∂v∂ydµ −

Vìϕn là C - khả vi theoznênuvàvthỏa mãn điều kiện Cauchy Riemann Do đó hai tích phân cuối có thể viết thành

∂u∂ydµ −

∂v∂ydν =

Γ∂u∂xdµ −

∂v∂xdν =

Điều đó có nghĩaU (x, y)vàV (x, y)thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemanntrên C\ Γtức là hàmF(n−1) là C - khả vi trên C\ Γ Ta còn chứng tỏ

F(n)(z) =F(n−1)0(z) =Z

ϕn+1(η, z)dη.

Thật vậy, theo công thức (1.15) ta có

F(n)(z) =∂U∂x+ i

∂u∂x+ i

(dµ + idν)

∂z(η, z)dη =Z

f(n)(z) =n!2n!

f (η)

(η − z)n+1dη, n = 0, 1, 2, (1.16)trong đóγlà chu tuyến vây quanhzsao choΩγ ⊂ Ω.

Định lý 1.4.4 ([1]) Giả sửflà hàm liên tục trên miền đơn liên trênΩsaocho tích phân của nó theo mọi chu tuyến trongΩđều bằng không Khi đófchỉnh hình trênΩ.

Trang 32

1.4.2Một số định lý quan trọng của hàm chỉnh hìnhĐịnh lý 1.4.5 (Bất đẳng thức Cauchy) ([1]) Nếuflà hàm chỉnh hìnhtrên miềnΩ, điểma ∈ Ω,0 < r < d(a, ∂Ω)và

M (a, r) = sup|z−a|=r

≤n!M (a, r)

Chứng minh Theo công thức (1.16) vớiγ = ∂D(a, r)ta có

f (η)(η − a)n+1dη

Chứng minh Giả sửz ∈C tùy ý Theo bất đẳng thức Cauchy (vớin = 1)ta có

|f0(z)| ≤M

Rvới mọiR > 0,ở đây

M = supz∈C

|f (z)| < ∞.

ChoR → ∞, ta cóf0(z) = 0 Vì thếf = const.

Hệ quả 1.4.7 (Định lý D’alembert) ([1]) Mọi đa thức bậcm ≥ 1cóđúngmnghiệm nếu mỗi nghiệm thực được tính một số lần bằng đúng bội củanó.

Chứng minh Đầu tiên giả thiết đa thứcPcó bậcm ≥ 1không có nghiệm.Khi đó1/P (z)là hàm chỉnh hình và bị chặn trên C và do đó theo Định lýLiouville1/P (z)và vậy thìP (z)là hằng số Trái với giải thiếtm ≥ 1.

Trang 33

VậyP (z)có ít nhất một nghiệmz = z0 ∈C Khi đóP1(z) =P (z)z − z0 làđa thức bậcm − 1 Nếum − 1 > 0thìP1 lại có ít nhất một nghiệm Tiếptục lập luận như vậy ta thu đượcmnghiệm củaP.

Định lý 1.4.8 (Định lý về giá trị trung bình) ([1]) Nếuflà hàm chỉnhhình trên miềnΩvà hình trònD(z0, r) ⊂ Ω, thì

f (z0) =12π

Z 2π0

Chứng minh Theo công thức tích phân Cauchy ta có

f (z0) =12πi

f (z)(z − z0)dz.Viếtz = z0 + reiϕ, z ∈ ∂D(z0, r)ta có

f (z0) =12π

Z 2π0

f (z0 + reiϕ)dϕ.

Định lý 1.4.9 (Nguyên lý môđun cực đại) ([1]) Giả sửflà hàm chỉnhhình trên miền bị chặn trên miềnΩvà liên tục trênΩ Khi đó hoặcf = consthoặc|f (z)|chỉ đạt cực đại trên biên∂ΩcủaΩ.

Chứng minh Vìfliên tục trên tập compactΩ¯nên tồn tạiz0∈ ¯Ωsao chomax

Z 2π0

|f (z0)| dϕ =12π

Z 2π0

f (z0 + reiϕ)dϕ

2πZ 2π