ứng dụng bất đẳng thức harnack nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương trong c

TRONG CLUẬN VĂN THẠC SĨKHÓA: K40ĐÀ NẴNG, 2022luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van

Trang 1

TRONG C

LUẬN VĂN THẠC SĨKHÓA: K40

ĐÀ NẴNG, 2022

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

TRONG C

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨMÃ SỐ: 846.01.02

KHÓA: K40

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :TS HOÀNG NHẬT QUY

ĐÀ NẴNG, 2022

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Trang 8

1.5.1Khái niệm và một số chú ý mở đầu 281.5.2Tính chất của hàm phân tuyến tính 292Một số kết quả trên lớp hàm điều hòa dương liên quan đến

2.1Hàm điều hòa và một số kết quả 322.2Bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa trên đĩa 342.3Hàm điều hòa dương và bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm

điều hòa dương .412.4Khoảng cách Harnack và một số kết quả 43

Trang 9

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Lớp hàm điều hòa là đối tượng nghiên cứu chính của lĩnh vực giải tíchphức bên cạnh các lớp hàm khác như hàm chỉnh hình và hàm điều hòa dưới.Lớp hàm điều hòa cũng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toánhọc như giải tích Fourier, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và các lĩnhvực khác như vật lý toán Hàm điều hòa được hiểu như là hàm khả vi hailần và thỏa mãn phương trình Laplace∆(.) = 0(là một nghiệm của phươngtrình Laplace) Tuy nhiên, sau này khái niệm đạo hàm được mở rộng theonghĩa phân bố thì hàm điều hòa được mở rộng tới lớp hàm khả tích địaphương và thỏa mãn phương trình Laplace suy rộng.

Bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm điều hòa dương được đề xuất vàchứng minh bởi nhà toán học cùng tên (A Harnack) vào năm 1887 trongcông trình nghiên cứu [6] Sau này, vào các năm 1955, 1961 và 1964, các nhàtoán học J Serrin và J Moser đã tổng quát bất đẳng thức Harnack cho cácnghiệm của phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic và parabolic trong cáccông trình [7], [8], [9] Bất đẳng thức Harnack ra đời như một tính chất củahàm điều hòa dương Nhưng chính nó lại trở thành một công cụ hữu hiệuđể nghiên cứu lại lớp hàm điều hòa dương và làm cho lớp hàm này có nhiềutính chất phong phú hơn lớp hàm điều hòa nói chung.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn lĩnh vực giải tích phức nói chung vàlớp hàm điều hòa nói riêng, và góp phần nâng cao năng lực toán học chobản thân, cùng với sự hướng dẫn khoa học của TS Hoàng Nhật Quy, tôiquyết định chọn đề tài nghiên cứu: Ứng dụng bất đẳng thức Harnacknghiên cứu lớp hàm điều hòa dương trong C Đề tài được kỳ vọng là

Trang 10

có những kết quả là tài liệu tham khảo tốt cho các bạn sinh viên và học viêncao học nghiên cứu về lĩnh vực toán giải tích và giải tích ứng dụng Ngoàira, đề tài cũng sẽ góp phần làm phong phú, sâu sắc hơn lĩnh vực toán họcphổ thông khi biết triển khai ứng dụng một cách phù hợp.

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp hàm điều hòa nói chung và lớp hàmđiều hòa dương nói riêng.

3 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực giải tích phức Cụ thể là ứngdụng bất đẳng thức Harnack để nghiên cứu các tính chất của lớp hàm điềuhòa dương.

4 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản của giải tích phức.

Nghiên cứu về lớp hàm điều hòa nói chung và hàm điều hòa dương nóiriêng Đặc biệt xây dựng bất đẳng thức Harnack và ứng dụng nó đểnghiên cứu các tính chất của lớp hàm điều hòa dương.

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến lĩnh vực của đề tài.

Tham gia các seminar cùng nhóm nghiên cứu để bổ sung và hoàn thiệnnội dung nghiên cứu.

Tổng hợp, phân loại các thông tin thu thập được và xậy dựng nội dungnghiên cứu của luận văn.

6 Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

•Mở đầu: Giới thiệu về tổng quan nghiên cứu và lý do chọn đề tài củaluận văn nghiên cứu.

Trang 11

•Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thểnhư sau:

Chương 1 NHẮC LẠI VỀ GIẢI TÍCH PHỨC1.1 Sơ lược về số phức

1.2 Sơ lược về tô pô trên mặt phẳng phức.1.3 Hàm chỉnh hình và một số kết quả.

1.4 Nhắc lại về hàm phân hình và hàm bảo giác.1.5 Hàm phân tuyến tính.

Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN LỚP HÀM ĐIỀU HÒADƯƠNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC HARNACK2.1 Hàm điều hòa và một số kết quả.

2.2 Hàm điều hòa dương và bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm điềuhòa dương.

2.3 Một số ứng dụng của Bất đẳng thức Harnack trên lớp hàm điều hòadương.

2.4 Khoảng cách Harnack và một số kết quả.

•Kết luận

•Tài liệu tham khảo

Trang 12

Chương 1

Nhắc lại về giải tích phức

Nội dung của chương này được dành để trình bày về số phức, hàm chỉnhhình và một số tính chất quan trọng của hàm chỉnh hình Do lớp hàm chỉnhhình có mối quan hệ chặt chẽ với lớp hàm điều hòa nên các kết quả ở đây làsự chuẩn bị cần thiết để nghiên cứu các kết quả về hàm điều hòa nói chungvà hàm điều hòa dương nói riêng ở chương 2 Nội dung của chương này đượctham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4].

1.1.1Định nghĩa số phức

Ta xét phương trình

x2 + 1 = 0.

Rõ ràng là phương trình này không có nghiệm thuộc R vìx2+1 ≥ 1,∀x ∈R.

Do đó một vấn đề đặt ra là tìm một tập hợp (ta ký hiệu là C) thỏa mãn cácđiều kiện sau:

1 C là một trường.2 R⊂C.

3 Phương trìnhx2 + 1có nghiệm trong C.

Vì tập hợp các số thực R là một tập con của C nên khi xác định các phép

Trang 13

tính cơ bản trên các số phức ta cần đòi hỏi rằng khi áp dụng cho các số thựccác phép toán đó đưa lại kết quả như kết quả thu được trong số học các sốthực Mặt khác, nếu ta mong muốn các số phức có những ứng dụng trongcác vấn đề của giải tích thì ta cần đòi hỏi rằng các phép toán cơ bản đượcđưa vào đó phải thỏa mãn các tiên đề thông thường của số học các số thực.Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Mỗi cặp số thực có thứ tự(a, b),∀a ∈R,∀b ∈R

được gọi là số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phépcộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:I.

(a, b) = (c, d) ⇔

a = c,b = d.

II Phép cộng(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)và cặp(a + c, b + d)được gọi làtổng các cặp(a, b)và(c, d).

III Phép nhân(a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc)và cặp(ac − bd, ad + bc)đuợcgọi là tích các cặp(a, b)và(c, d).

IV Cặp(a, 0)được đồng nhất với số thựca, nghĩa là:

1 C là một trường, hiển nhiên phần tử đơn vị của trường C là cặp(1, 0)vì

Trang 14

rằng(a, b).(1, 0) = (a.1 − b.0, a.0 + b.1) = (a, b)và phần tử không của C làcặp(0, 0)vì rằng(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) Để chứng tỏ C làmột trường, ta chỉ cần kiểm nghiệm sự tồn tại của phần tử nghịch đảo Giảsửz = (a, b) ̸= (0, 0) Ta sẽ tìmz′ = (a′, b′)sao cho:

(a, b).(a′, b′) = (1, 0).

Từ I và III suy ra:

aa′− bb′ = 1,ab′+ a′b = 0.

Trang 15

hay là

a2 − b2 + 1 = 0,2ab = 0.

Từ đó rút raa = 0, b = 1vàa = 0, b = −1 Ta kí hiệu hai nghiệm đó là

2 Tương tự

z1.z2 = (a1.a2 − b1.b2) − i(a1b2 + a2b1)= (a1 − ib1).(a2 − ib2) = z1.z2.

3 Hiển nhiên.

Trang 16

Các phép toán trừ và chia được định nghĩa như các phép toán ngược vớiphép toán cộng và nhân Đối với phép trừ, ta có:

Định lý 1.1.5 ([2]) Giả sửz1 vàz2 ∈C Khi đó tồn tại một và chỉ một số

Từ đóz = (−z1) + z2 và như vậy định lý được chứng minh.

Số phứcz = (−z1) + z2 đươc gọi là hiệu của các số phứcz1 vàz2 Thôngthường hiệu đó được ký hiệu là

Đối với phép chia, ta có:

Định lý 1.1.6 ([2]) Giả sửz1 vàz2 ∈C,z2 ̸= 0 Khi đó tồn tại một và chỉmột số phứczsao choz2.z = z1 Cụ thể là:z = z2−1.z1.

Chứng minh 1 Nếuz = z2−1.z1 thìz2.z = z2.(z2−1.z1) = z1.

2 Nếuz2.z = z1 → z = z2−1.(z2.z) = z2−1z1 Như vậy sốz2−1 là thương củaphép chiaz1 choz2.

Trang 17

Số thương thường được ký hiệu làz1z2.

Giả sửz1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 Khi đó ta có thể viết

z =z1z2

=(a1 + ib1)(a2 − ib2)a22 + b22

=a1a2 + b1b2a22 + b22 + i

a2b1 − a1b2a22 + b22 .

Như vậy

z =a1a2 + b1b2a22 + b22 + i

a2b1 − a1b2a22 + b22 .

Và từ đó suy ra rằng phép chia số phứcz ̸= 0bất kỳ luôn thực hiện được.

Giả sử trên mặt phẳng R2 cho hệ tọa độ Descartes vuông gócxOy Như đãbiết, hai điểm được xác định bởi các tọa độ Descartes vuông góc trùng nhaukhi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau Do đó tacó thể xác lập một phép tương ứng đơn trị một - một giữa các điểm của mặtphẳng R2 với các số phức của C, trong đó mỗi số phứcz = x + iy ∈C sẽ

tương ứng với điểm hoàn toàn xác địnhM (x, y) ∈R2 và ngược lại mỗi điểm

M (x, y) ∈R2 sẽ tương ứng với số phức hoàn toàn xác địnhz = x + iy ∈R2.Như vậy phép tương ứng

R2 ∋ (x, y) 7→ x + iy ∈C,

là đơn trị một - một Từ đó ta thấy rằng mọi số phức đều có thể biểu diễnbởi điểm của mặt phẳng và như vậy các thuật ngữ "số phứcz" và "điểmz"được dùng như những từ đồng nghĩa.

Định nghĩa 1.1.3 Mặt phẳng với phép tương ứng đơn trị một - một

R2 ∋ (x, y) 7→ x + iy ∈C,

như đã mô tả ở trên được gọi là mặt phẳng phức và cũng được kí hiệu là C.Có thể nói một cách khác: mặt phẳng và các điểm của nó được dùng để môtả số phức gọi là mặt phẳng phức Các số thực được mô tả bởi các điểm trục

Trang 18

Oxnên trục đó được gọi là trục thực Các số thuần ảo được mô tả bởi cácđiểm trên trụcOynên trụcOyđược gọi là trục ảo.

Ta cũng có thể xác lập phép tương ứng giữa các phần thực và phần ảo của sốphức với các tọa độ của vector với gốc, chẳng hạn, tại gốc tọa độ Sự tươngứng giữa các số phức và các vector trên mặt phẳng phức với gốc tạiOlà mộtphép tương ứng đơn trị một - một Do đó số phứczcòn có thể biểu diễn bởimột vector với gốc tọa độ tạiOvà đầu mút tại điểmzvà ta có thể sử dụngthuật ngữ "số phứcz" và "vectorz" như những thuật ngữ đồng nghĩa.Nhờ cách minh họa vector đối với các số phức, về mặt hình học có thể thựchiện phép cộng và phép trừ các số phức theo quy tắc cộng trừ các vector.

1.1.4Module của số phức

Bây giờ ta xét các tọa độ cực điểm của điểm biểu diễn số phứczbằng cáchchọn gốc tọa độ làm gốc - cực và phần dương của trục thực làm trục cực.Như ta đã biết, các tọa độ cực của điểm gồm có bán kính vector của nó vàgốc cực tạo bởi hướng dương của trục cực và vector đi từ cực đến điểmz.Định nghĩa 1.1.4 Độ dài của bán kính vector của điểm biểu diễn số phức

zđược gọi là Module của số phức và được kí hiệu là|z|.Rõ ràng nếuz = a + ibthì

|z| =√z.¯z = (a2 + b2)12.

Đối với số phứcz ∈C bất kì Module của nó xác định một cách đơn trị.

Trong trường hợp khizlà số thực thì Module củaztrùng với giá trị tuyệtđối của nó.

Định lý 1.1.7 Module của số phứczcó các tính chất sau:1.|z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0;

Trang 19

Trên C và C ta đã đưa vào các metric tương ứng biến C và C thành nhữngkhông gian metric Bây giờ ta đưa vào các tập hợp được xét những topotương ứng với những metric ấy và qua đó trình bày vắn tắt những tính chấtcơ bản của mặt phẳng phức.

Trang 20

Do đó ta hiểuϵ- lân cận của điểm∞là tập hợp

U (∞, ϵ) =

z ∈C: z >1ϵ

nếu mọi điểmz ∈ Ađều là điểm trong của nó.

Định lý 1.2.1 ([2]) Họ các tập con mở của C thỏa mãn các tính chất sauđây (các tiên đề cấu trúc tôpô):

1.∅và C là những tập hợp mở.

2 Hợp của một số hữu hạn hay vô hạn bất kỳ các tập hợp mở là một tập hợp

Trang 21

3 Giả sửU1, Un là những tập hợp mở NếuU0 =n

Ui = ∅thìUmở (theo1) Giả sửU0 ̸= ∅vàz0 ∈ U0 Khi đó, với mỗi giá trịi(i = 1, 2, , n)sẽ tồntạiϵi > 0sao cho

U (z0, ϵi) ⊂ Ui.

Hiển nhiên rằngU (z0, ϵi) ⊂ U0, trong đó

ϵ = mini=1,n

Trang 22

1.2.2Phần trong và phần ngoài

Định nghĩa 1.2.5 ([2]) Giả sửA ⊂C, A ̸= ∅ Tập hợp các điểm trong của

Ađược gọi là phần trong củaAvà được ký hiệu là ˚A.Từ Định nghĩa 1.2.3 ta suy ra rằng A là tập hợp mở.

Định lý 1.2.5 ([2]) Điểmz0 ∈C là điểm ngoài của tập hợpAkhi và chỉkhid(z0, A) > 0, trong đó khoảng cách:

d(z0, A) = inf

z′∈Ad(z0, z′).1.2.3Điểm tụ

Ta xét điểm tụ của tập hợp và của dãy điểm trên C.

Định nghĩa 1.2.6 ([2]) Điểmz0 ∈C được gọi là điểm tụ (hay điểm giới

hạn) của tậpA ⊂C nếu trong lân cận bất kỳ của nó có vô số điểm củaA.Tập hợp các điểm tụ của tập hợpAđược ký hiệu làA′ Từ định nghĩa 1.2.6suy rằng lân cận bất kì của điểmzgiao vớiAkhi và chỉ khiz ∈ Ahoặcz

là điểm tụ củaA Vì vậy, có thể mô tả khái niệm tập hợp đóng theo ngônngữ lân cận như sau:

Định nghĩa 1.2.7 ([2]) Ánh xạzn :N→C được gọi là một dãy điểm trên

C và được kí hiệu là{zn}n≥0 Dãy{zn} ⊂C được gọi là hội tụ tới điểmz

nếu: với mọi lân cậnVcủaz, đều∃m0 ∈N: ∀m ∈N, m > m0 thìzm ∈ V.Định lý 1.2.6 ([2]) Trong C mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

1.2.4Biên của tập hợp

Định nghĩa 1.2.8 ([2]) Tập hợp những điểm của C không phụ thuộc phầntrong và không phụ thuộc phần ngoài của tập hợpA ⊂C được gọi là biên

củaAvà ký hiệu là∂A.

Định lý 1.2.7 ([2]) Điểma ∈ ∂Akhi và chỉ khi lân cận bất kì của điểma

đồng thời chứa điểm củaAvà củaCA.

Trang 23

1.2.5Tập hợp compact

Định nghĩa 1.2.9 ([2]) 1 Tập hợpA ⊂C được gọi là tập hợp compact

nếu nó đóng và bị chặn.

2 Tập hợpA ⊂ ¯C được gọi là tập compact nếuAlà tập hợp đóng trongC.¯

Giả sửUlà họ tùy ý các tập hợp phủ mở tập hợp Compact A, tức là mỗiđiểmz ∈ ađều thuộc ít nhất mỗi tập của họU Người ta cũng nói rằngU

là một phủ mở củaA Đối với các tậpA ⊂C hai điều kiện sau đây là tương

đương với nhau:(I)Alà tập compact.

(II) Từ mọi phủ củaAđều có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là cómột số hữu hạn chỉ cói1, i2, , in sao cho:

A ⊂ Ui1 ∩ Ui2 ∩ ∩ Uin, Uik ∈ U, k = 1, 2, , n.

Đó chính là nội dung của bổ đề Heine-Borel-Lebesgue.

Một trong những hệ quả quan trọng nhất của bổ đề Heine-Borel-Lebesguelà nguyên lý Bolzano - Weierstrass.

Định lý 1.2.8 ([2]) (nguyên lý Bolzano - Weierstrass) Dãy vô hạn bất kì

các điểm của tập hơp compactK ⊂ ¯C có ít nhất một điểm tụ.

Chứng minh Giả thiết nào không có điểm nào củaKlà điểm giới hạn củadãy (1.1) Điều đó có nghĩa là∀z ∈ K, ∃δ > 0, sao choU (z, δ)chứa khôngquá một số hữu hạn điểm của dãy (1,1).Ta kí hiệuUlà họ các tập hợp mở

U (z, δ)khizchạy trênK Đó là phủ mở củaKvà theo bổ đề Heine - Lebesgue có thể trích phủ con hữu hạn phủK:

Borel-[U (z1′, δ1), U (z2′, δ2), , U (zn′, δn)].

Vì mỗi dãyU (zk′, δk)chứa không quá một số hữu hạn điểm của dãy (1.1) nêndãy (1.1) không thể là dãy vô hạn Nghĩa là giả thiết của chúng ta khôngđúng Do đó nguyên lý Bolzano - Weierstrass được chứng minh.

Trang 24

1.2.6Tập liên thông

Giả sửAlà tập hợp con của mặt phẳng phức C Ta có:

Định nghĩa 1.2.10 ([2]) Tập hợpA ⊂C được gọi là tập hợp liên thông

nếu không tồn tại hai tập hợp mởA1 vàA2 trong C sao cho :1.A ∩ A1 ̸= ∅, A ∩ A2 ̸= ∅;

2.A ∩ A1 ∩ A2 = ∅;3.A ⊂ A1 ∪ A2.

Định nghĩa 1.2.11 ([2]) Tập hợpA ⊂C được gọi là tập hợp liên thông

nếu trongAkhông tồn tại một tập hợp con nào đồng thời vừa đóng vừa mởtrongAtrừ chính tập hợpAvà tập hợp∅.

Định nghĩa 1.2.12 ([2]) Tập hợpD ⊂C đươc gọi là một miền nếu nó thỏa

mãn hai điều kiện sau:1.Dlà tập mở.

2.Dlà tập liên thông.

1.2.7Hàm phức biến thực Tuyến và đường cong

Bây giờ ta chuyển sang khái niệm hàm phức biến thực.

Định nghĩa 1.2.13 ([2]) Giả sửI = [a, b] ⊂R Một hàm phức biến thựcγ : [a, b] →C;

là một quy tắc cho ứng mỗit ∈ [a, b]với mỗi số phứcz = γ(t).luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 25

Định nghĩa 1.2.14 ([2]) Nếu tồn tại giới hạn

h→0δ(h) = limh→0

x(t + h) − x(t)

y(t + h) − y(t)h

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàmz(t)tại điểmtvà kí hiệu là:

dz(t)dt= z

Định nghĩa 1.2.16 ([2]) 1 Nếu ánh xạγ : [a, b] →C liên tục và đơn trị

một thì tuyếnz = γ(t), t ∈ [a, b]được gọi tuyến Jordan.

2 Tuyếnz = γ(t), t ∈ [a, b]được gọi tuyến trơn nếu tại mọi điểmt ∈ [a, b]

đều tồn tại đạo hàm liên lụcγ′(t).

3 Tuyếnz = γ(t)được gọi tuyến trơn từng khúc nếu hàmz = γ(t)liên tụctrên[a, b]và[a, b]có thể chia thành một số hữu hạn đoạn thẳng sao cho hạnchế củaγ(t)trên mỗi đoạn thẳng đều xác định tuyến trơn.

4 Tuyếnz = γ(t), t ∈ [a, b]được gọi đo được nếu nếu hàmγ(t)có biến phânbị chặn.

Định nghĩa 1.2.17 ([2]) Hai tuyếnz = γ1(t) : [a, b] →C vàz = γ2(r) :[c, d] →C được gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại hàmr = g(t)liên tụcvà đơn điệu tăng trên[a, b]và ánh xạ[a, b]lên[c, d]sao choγ1(t) = γ2g(t).Định nghĩa 1.2.18 ([2]) Lớp các tuyến tương đương được gọi là một đườngcong.

Định nghĩa 1.2.19 ([2]) Đường congΓđược gọi là đường cong Jordan nếutồn tại tham số hóaγ : [0, 1] →C của nó sao choγ(t)đơn điệu một-mộttrên đoạn[0, 1] Nếuγ(0) = γ(1)thìΓlà đường cong đóng Jordan.

Trang 26

1.2.8Phép đồng luân

Định nghĩa 1.2.20 ([2]) 1 Giả sử hai tuyến:

γ0 : I → Dγ1 : I → D

δ(t, 0) = γ0(t),

δ(0, u) = γ0(0) = γ1(0),

1.2.9Miền đơn liên và đa liên

Định nghĩa 1.2.21 ([2]) MiềnD ⊂C được gọi là miền đơn liên nếu mọi

tuyến đóngγở trongDđều đồng luân với0 (γ ≈ 0).

Định lý 1.2.10 ([2]) (Định lý Jordan) Mọi đường cong đóng Jordan đềuchia mặt phẳng phức mở rộngC thành hai miền đơn liên mà nó là biên của¯

mỗi miền; một miền là phần trong (không chứa điểm vô cùng) và miền lialà miền ngoài chứa điểm vô cùng.

Trang 27

1.3Hàm chỉnh hình và một số kết quả1.3.1Một số khái niệm mở đầu

Định nghĩa 1.3.1 (Hàm biến phức) ChoΩ ⊂C là một tập mở Ta gọi

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

vớiu(x, y)vàv(x, y)là các hàm thực hai biến.

Định nghĩa 1.3.2 (Đạo hàm phức) Cho hàmf (z)xác định trên tập mở

Ω ⊂C Xét giới hạn

f (z + ∆z) − f (z)

Định nghĩa 1.3.3 (Hàm C-khả vi và hàm R2-khả vi) Hàmf (z)xácđịnh trên tập mởΩđược gọi là C - khả vi trênΩnếu nó có đạo hàm phức tạimọiz ∈ Ω Và hàmf (z)được gọi là R2 - khả vi nếu các hàmu(x, y), v(x, y)

là các hàm khả vi tại mọi điểm(x, y) ∈ Ω.

Định nghĩa 1.3.4 (Hàm chỉnh hình) Hàmfxác định trong miềnΩ ⊂C

với giá trị trong C gọi là chỉnh hình tạiz0 ∈ Ωnếu tồn tạir > 0đểflà C- khả vi tại mọiz ∈ ∆(z0, r) ⊂ Ω Nếufchỉnh hình tại mọiz ∈ Ωta nóif

chỉnh hình trênΩ.

Trang 28

∂x = ∂v∂y,∂u

∂y = −∂v∂x.

Các hệ thức (1.6) được gọi là điều kiện Cauchy - Riemann.

Chứng minh + Điều kiện cần Giả sửflà C - khả vi tạiz = x + iy ∈ Ω.Khi đó tồn tại giới hạn

f′(z) = lim∆z→0

u(x + ∆x, y) + iy(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y)

= lim∆z→0

u(x = ∆x, y) − u(x, y)

= i lim∆z→0

Tương tự khi chọn∆z = i∆yta có

f′(z) = −i∂u

∂y(x, y) +∂v

Trang 29

Từ 1.11 và 1.12 ta có

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y).∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x∆y+σ(∆z) =∂u∂x∆x+

∂y∆y+σ(|∆z|)∆v =∂v∂x∆x+

∂x∆y+σ(∆z) =∂v∂x∆x+

Điều đó có nghĩauvàvkhả vi tại(x, y).

+ Điều kiện đủ Vìuvàvkhả vi tại(x, y)nên

∆u =∂u

∂x(∆x) +∂u

∂x∆y + σ(|∆z|)∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + σ(|∆z|)

Từ hai đẳng thức trên ta có

∆u∆z+ i

∂x+ i∂v∂x+

Trang 30

Vì vậy

∂u∂x+ i

δ ¯z(f + g) =δfδ ¯z+

δgδ ¯z,δ

δ ¯z(f.g) =δf

δ ¯z.g + f.δgδ ¯z.

Từ đó suy ra (1)và (2) Để chứng minh (3), ta nhận xét rằngδfδx,

chỉ nhận giá trị thực Nhưng mặt khác:

δfδx= i

nên suy raδf

δy≡ 0 Vậyflà hằng số.

Định lý 1.3.3 ([2]) (về hàm hợp) Nếuf (ω)là hàm chỉnh hình trongD∗ vànếug : D → D∗ là hàm chỉnh hình trongDthì hàm hợpf [g(z)]chỉnh hìnhtrongD.

Chứng minh Thật vậy dễ dàng thấy rằng

∂[f (g)]∂(¯z)=

∂g∂ ¯z+

∂f∂ ¯w.

∂ ¯g∂ ¯z.

Theo giả thiết∂f∂ ¯w= 0,

∂ ¯z= 0nên suy raf [g(z)]là hàm chỉnh hình trongD.

Tiếp theo giả sửw = f (z), z ∈ Dlà hàm chỉnh hình ánh xạ đơn trị

một-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hop một-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hop một-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hop một-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hopmột-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hop một-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hopmột-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hop một-luan van tot nghiep, một-luan van thac si, một-luan van cao hoc, một-luan van tong hop

Trang 31

môt miềnDlên miềnD∗ Điều đó có nghĩa là theo hàm đã cho mỗiz ∈ D

đều tương ứng với mỗi giá trịw ∈ D∗ và đồng thời theo quy luật đó mỗi

w ∈ D∗ tương ứng với mỗiz ∈ D Từ đó xác định được hàm đơn trị

z = φ(w), w ∈ D∗ có tính chất làf [φ(w)] = w, w ∈ D∗ Như ta đã biết hàm

z = φ(w)được gọi là hàm ngược với hàmw = f (z), z ∈ D.

Ta chứng minh rằng nếuf′(z) ̸= 0, z ∈ Dthì hàmz = φ(w)là hàm chỉnhhình trênD∗.

Thật vậy giả sửw, w + ∆w ∈ D∗ Nhờ hàm ngược, các điểm này tương ứngvớiz, z + ∆z Theo giả thiết hàmfcó đạo hàm tại điểmznênf (z)liên tụctại đó:∆w → 0nếu∆z → 0.

Do đó tính đơn trị một-một ta có thể khẳng định ngược lại∆z → 0nếu

∆w → 0.Nhưng khi đó

∆w= lim∆w→01∆w

Vìwlà điểm tùy ý củaD∗,f′(z)liên tục vàf′(z) ̸= 0nên hàmφ(w)chỉnhhình trênD∗.

Ta xét ví dụ hàm

w = az + b, a ̸= 0,

là hàm tuyến tính nguyên Hàm này ánh xạ đơn trị một-một mặt phẳng phức

zlên mặt phẳng phứcw Hàm ngược của nó có dạng

z =w − ba.

Dễ thấy rằng hàmw = az + bvà hàm ngược của nóz =w − b

achỉnh hình

khắp nơi trên mặt phẳngzvàwtương ứng (w′z = a, zw′ =1a).

Một số kết quả sau đây được tham khảo từ tài liệu [2].

Trang 32

Định lý 1.3.4 ([2]) Giả sử chuỗi lũy thừaX

được tìm theo công thức

f′(z) =Xn≥0

(I) Lớp các hàm thỏa mãn khả năng thứ nhất được gọi là lớp các hàm đơntrị;

(II) Lớp các hàm thỏa mãn khả năng thứ hai được gọi là lớp các hàm đa trị.

Trang 33

2 Hàm phân hình

Ta lưu ý rằng hàm đơn trị được gọi là hàm phân hình nếu trong toàn mặtphẳng (có thể trừ điểm∞) nó chỉ có các điểm bất thường là cực điểm.Hàm phân hình có thể có một số hữu hạn hoặc vô hạn cực điểm Nếu nó cóvô số cực điểm thì các cực điểm không thể có điểm tụ trong C vì điểm tụ đólà điểm bất thường nhưng không cô lập và trong mọi trường hợp nó khôngphải là cực điểm Điều đó trái với định nghĩa hàm phân hình.

Bây giờ ta xét các đường trònCn vàCn+1 với bán kính bằngnvàn + 1

tương ứng Suy ra rằng giữa các đường tròn này chỉ có một số hữu hạn cựcđiểm của hàm phân hình Từ đó chứng tỏ rằng các cực điểm có thể đánh sốtheo thứ tự không giảm đối với Module của chúng

là phần chính của khai triển Laurent tại lân cận của điểman.

f′(z) ̸= 0, ∀z ∈ D Khi đó ánh xạω = f (z)bảo giác trong miềnD.

Chứng minh Vìf′(z) ̸= 0, ∀z ∈ Dnên độ co giãn là đều qua ánh xạ đó Tacần chứng minh rằng góc giữa các đường cong được bảo toàn qua ánh xạ đó.

Trang 34

Thật vậy, giả sửz0 là điểm tùy ýD,γ1 vàγ2 là hai cung trơn Jordan xuấtphát từz0, ở đây

arg f (z0) = arg w1(t0) − arg z1′(t0)(mod 2π),arg f (z0) = arg w2(τ0) − arg z2(τ0)(mod 2π).

Từ đó suy ra rằng với sự khai thác số hạng2kπta có

arg w′1(t0) − arg w1′(τ0) = argz1′(t0) − arg z2′(τ0).

Hay là

φ(Γ1, Γ2) = φ(γ1, γ2),

Từ định lí vừa chứng minh suy ra tính chỉnh hình và đạo hàm khác khônglà điều kiện đủ để hàmflà hàm bảo giác Điều đó được luận chứng trongđịnh lí sau đây.

Định lý 1.4.2 ([2]) Giả sử hàmω = f (z)thực hiện ánh xạ bảo giác miền

Dlên miềnD∗ Khi đó hàmf ∈ H(D)vàf′(z) ̸= 0với mọiz ∈ D.

Trang 35

Chứng minh Đặt∆w = ∆f = f (z + ∆z) − f (z), ∀z, z + ∆z ∈ D Theo điềukiện định lí,flà ánh xạ bảo giác tại điểmz0 ∈ Dbất kỳ ánh xạw = f (z)

có tính chất nào bảo toàn góc và độ co giãn đều Do đó, với mọiz1, z2 thuộclân cận củaz0, với sự sai khác đại lượng vô cùng bé, ta có:

∆z1 = α.(1.13)

và do đó tồn tại đạo hàmf′(z0) VìA ̸= 0nên

∆w∆z= f

′(z0) ̸= 0.

Vìz0 là điểm tùy ýD, nênfchỉnh hình trongD.