Ứng dụng bất đẳng thức harnack nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương trong c

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— VƯƠNG THỊ KIM CÚC ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC HARNACK NGHIÊN CỨU LỚP HÀM ĐIỀU HÒA DƯƠNG TRONG C LUẬN VĂN THẠC SĨ KHÓA: K40 ĐÀ NẴNG, 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— VƯƠNG THỊ KIM CÚC ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC HARNACK NGHIÊN CỨU LỚP HÀM ĐIỀU HỊA DƯƠNG TRONG C CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH Mà SỐ: 846.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHĨA: K40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS HOÀNG NHẬT QUY ĐÀ NẴNG, 2022 Mục lục MỞ ĐẦU 1 Nhắc lại giải tích phức 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Sơ lược số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức 4 1.1.2 1.1.3 Dạng đại số số phức Mặt phẳng phức 1.1.4 Module số phức Sơ lược tô pô mặt phẳng phức 10 11 1.2.1 1.2.2 Tôpô C Phần phần 12 14 1.2.3 1.2.4 Điểm tụ Biên tập hợp 14 14 1.2.5 Tập hợp compact 15 1.2.6 1.2.7 Tập liên thông Hàm phức biến thực Tuyến đường cong 16 16 1.2.8 1.2.9 Phép đồng luân Miền đơn liên đa liên 18 18 Hàm chỉnh hình số kết 1.3.1 Một số khái niệm mở đầu 19 19 1.3.2 Một số tính chất Nhắc lại hàm phân hình hàm bảo giác 20 24 1.4.1 1.4.2 Hàm phân hình Ánh xạ bảo giác 24 25 Hàm phân tuyến tính 28 1.5.1 Khái niệm số ý mở đầu 28 1.5.2 Tính chất hàm phân tuyến tính 29 Một số kết lớp hàm điều hòa dương liên quan đến bất đẳng thức Harnack 31 2.1 Hàm điều hòa số kết 32 2.2 2.3 Bài tốn Dirichlet cho hàm điều hịa đĩa Hàm điều hòa dương bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm 34 2.4 điều hòa dương Khoảng cách Harnack số kết 41 43 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lớp hàm điều hịa đối tượng nghiên cứu lĩnh vực giải tích phức bên cạnh lớp hàm khác hàm chỉnh hình hàm điều hịa Lớp hàm điều hịa có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác tốn học giải tích Fourier, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực khác vật lý tốn Hàm điều hịa hiểu hàm khả vi hai lần thỏa mãn phương trình Laplace ∆(.) = (là nghiệm phương trình Laplace) Tuy nhiên, sau khái niệm đạo hàm mở rộng theo nghĩa phân bố hàm điều hịa mở rộng tới lớp hàm khả tích địa phương thỏa mãn phương trình Laplace suy rộng Bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm điều hòa dương đề xuất chứng minh nhà toán học tên (A Harnack) vào năm 1887 cơng trình nghiên cứu [6] Sau này, vào năm 1955, 1961 1964, nhà toán học J Serrin J Moser tổng quát bất đẳng thức Harnack cho nghiệm phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic parabolic cơng trình [7], [8], [9] Bất đẳng thức Harnack đời tính chất hàm điều hịa dương Nhưng lại trở thành cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu lại lớp hàm điều hịa dương làm cho lớp hàm có nhiều tính chất phong phú lớp hàm điều hịa nói chung Với mong muốn tìm hiểu sâu lĩnh vực giải tích phức nói chung lớp hàm điều hịa nói riêng, góp phần nâng cao lực tốn học cho thân, với hướng dẫn khoa học TS Hồng Nhật Quy, tơi định chọn đề tài nghiên cứu: Ứng dụng bất đẳng thức Harnack nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương C Đề tài kỳ vọng có kết tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên học viên cao học nghiên cứu lĩnh vực tốn giải tích giải tích ứng dụng Ngồi ra, đề tài góp phần làm phong phú, sâu sắc lĩnh vực tốn học phổ thơng biết triển khai ứng dụng cách phù hợp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp hàm điều hịa nói chung lớp hàm điều hịa dương nói riêng Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực giải tích phức Cụ thể ứng dụng bất đẳng thức Harnack để nghiên cứu tính chất lớp hàm điều hòa dương Mục tiêu nghiên cứu đề tài ˆ Hệ thống hóa kiến thức giải tích phức ˆ Nghiên cứu lớp hàm điều hịa nói chung hàm điều hịa dương nói riêng Đặc biệt xây dựng bất đẳng thức Harnack ứng dụng để nghiên cứu tính chất lớp hàm điều hòa dương Phương pháp nghiên cứu ˆ Nghiên cứu tài liệu liên quan đến lĩnh vực đề tài ˆ Tham gia seminar nhóm nghiên cứu để bổ sung hồn thiện nội dung nghiên cứu ˆ Tổng hợp, phân loại thông tin thu thập xậy dựng nội dung nghiên cứu luận văn Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: Giới thiệu tổng quan nghiên cứu lý chọn đề tài luận văn nghiên cứu Ví dụ 2.1.1 Ví dụ hàm điều hòa: Hàm u(x, y) = x2 − y Hàm v(x, y) = 2xy Hàm u(x, y) = x3 − 3xy Định lý 2.1.2 ([1]) Giả sử u hàm điều hòa miền đơn liên Ω Khi u phần thực hàm chỉnh hình Ω Hơn nữa, hàm chỉnh hình sai khác số Chứng minh • Tính sai khác số hàm f : Giả sử, tồn hàm chỉnh hình f D cho: h = Ref Ta viết: f = h + ik Khi đó, theo điều kiện (C-R) ta có f ′ = hx + ikx = hx − ihy (2.3) Từ công thức (2.3) ta có: Nếu hàm f tồn hàm f ′ hoàn toàn xác định hàm h Và hàm f sai khác số • Sự tồn hàm f : Từ công thức (2.3) cho ta phương pháp để xây dựng hàm f sau: Bước 1: Xác định hàm g : D −→ C công thức g = hx − ihy Do h ∈ C (D) nên g ∈ C (D) g thỏa mãn điều kiện (C-R) Thật vậy: (hx )x = hxx = −hyy = (−hy )y (hx )y = hxy = hyx = (hy )x = −(−hy )x Vậy g hàm chỉnh hình D Bước 2: Cố định điểm z0 ∈ D Ta xác định hàm f : D −→ C công thức Z z f (z) = h(z0 ) + g(ω)dω, z0 tích phân lấy theo đường nối z0 với z nằm D Do g hàm chỉnh hình D miền đơn liên nên theo định lý Cauchy ta có tích phân khơng phụ thuộc vào đường nối z0 với z nằm D 33 Ta có f ′ = g = hx − ihy nên suy f hàm chỉnh hình D Ta cịn phải e Ta có chứng Ref =h Thật vậy: Giả sử e h = Ref Ta viết f = e h + ik ex = e f′ = e hx + i k hx − ie hy Từ suy e hx − ie hy = hx − ihy , D Suy (e h − h)x ≡ (e h − h)y ≡ Từ suy e h − h = c D với c số Từ cơng thức xác định hàm f ta có: f (z0 ) = h(z0 ) ∈ R e ) Suy k(z e ) = h(z0 ) = e Mặt khác, ta có f (z0 ) = e h(z0 ) + ik(z h(z0 ) Vậy ta có c = h = e h D, tức Ref =h Định lý 2.1.3 ([1]) (về giá trị trung bình) Giả sử u hàm điều hòa miền Ω z0 ∈ Ω Khi Z 2π u(z0 + reiφ )dφ u(z0 ) = 2π với < r < d(z0 , ∂Ω) Chứng minh Cho < r < d(z0 , ∂Ω) Theo Định lý 2.1.2 ta tìm hàm chỉnh hình f D(z0 , r) cho Ref = u Bởi Z 2π f (z0 ) = f (z0 + reiφ )dφ, 2π So sánh phần thực hai vế ta thu Z 2π u(z0 ) = u(z0 + reiφ )dφ 2π 2.2 Bài tốn Dirichlet cho hàm điều hịa đĩa Bài tốn Dirichlet tìm hàm điều hịa miền với giá trị biên cho trước Bài toán cho kết trọn vẹn (cả tồn tài nghiệm) 34 lớp hàm điều hòa số miền đặc biệt Đây điểm thuận lợi hàm điều hịa so với hàm chỉnh hình Bài tốn Dirichlet cơng cụ mạnh với nhiều ứng dụng Sau phát biểu cụ thể toán Dirichlet Định nghĩa 2.2.1 ([3]) Cho D miền C ϕ : ∂D −→ R hàm liên tục Bài tốn Dirichlet tìm hàm điều hòa h miền D cho limz→ξ h(z) = ϕ(ξ) với ξ ∈ ∂D Tính nghiệm toán Dirichlet khẳng định định lý sau Định lý 2.2.1 (Định lý nghiệm) ([3]) Với giả thiết ký hiệu Định nghĩa 2.2.1, tốn Dirichlet có nhiều nghiệm h thỏa mãn Chứng minh Giả sử có hai hàm điều hịa h1 h2 thỏa mãn tốn Dirichlet Khi ta có trường hợp sau đây: • Trường hợp 1: Hàm h1 − h2 hàm điều hòa D theo giả thiết ta có lim[h1 (z) − h2 (z)] = 0, z→ξ ∀ξ ∈ ∂D Do hàm h1 − h2 thác triển liên tục tới D ∂D Áp dụng nguyên lý cực đại ta có h1 − h2 ≤ D • Trường hợp 2: Lập luận tương tự trường hợp cho hàm h2 − h1 ta dẫn đến h2 − h1 ≤ D Vậy h1 = h2 miền D Câu hỏi tồn nghiệm toán Dirichlet phức tạp giải chương Sau đây, ta tập trung nghiên cứu toán miền D đĩa C (một trường hợp đặc biệt quan trọng) với kết đẹp tồn nghiệm toán Sau đây, ta nhắc lại hai khái nhân Poisson tích phân Poisson Định nghĩa 2.2.2 ([3]) a Nhân Poisson P : ∆(0, 1) × ∂∆(0, 1) −→ R định nghĩa công thức sau:   ξ+z − |z|2 P (z, ξ) := Re = ξ−z |ξ − z|2 35 (|z| < 1, |ξ| = 1) b Đặt ∆ = ∆(ω, ρ) Cho ϕ : ∂∆ −→ R hàm khả tích Lebesgue Khi đó, tích phân Poisson hàm ϕ hàm P∆ ϕ : ∆ −→ R xác định công thức sau:  Z 2π  z − ω iθ P ,e ϕ(ω + ρeiθ )dθ (z ∈ ∆) P∆ ϕ(z) := 2π ρ Cụ thể hơn, đặt z = ω + reit với r < ρ ≤ t < 2π ta có Z 2π ρ2 − r P∆ ϕ(ω + reit ) = ϕ(ω + ρeiθ )dθ 2 2π ρ − 2ρr cos(θ − t) + r Sau số tính chất nhân Poisson Bổ đề 2.2.1 ([3]) Nhân Poisson P thỏa mãn tính chất sau đây: (i) P (z, ξ) > 0, (|z| < 1, |ξ| = 1); R 2π iθ (ii) 2π (|z| < 1); P (z, e )dθ = 1, (iii) sup|ξ−ξ0 |≥δ P (z, ξ) −→ z → ξ0 với (|ξ0 | = 1, δ > 0) Chứng minh i Dễ thấy từ công thức xác định nhân Poisson ii Biến đổi vế trái đẳng thức ta có  iθ   Z 2π iθ  Z 2π Z 2π e +z 1 e +z iθ P (z, e )dθ = Re iθ dθ = Re dθ 2π 2π e −z 2π eiθ − z   Z ξ + z dξ = Re (ξ = eiθ ⇒ dξ = iξdθ) 2πi |ξ|=1 ξ − z ξ     Z 1 dξ = Re − 2πi |ξ|=1 ξ − z ξ = Re(2 − 1) = iii Cố định |ξ0 | = δ > Với |ξ − ξ0 | ≥ δ ta có |ξ − z| = |(ξ − ξ0 ) + (ξ0 − z)| ≥ |ξ − ξ0 | − |ξ0 − z| ≥ δ − |z − ξ0 | Suy − |z|2 − |z|2 P (z, ξ) = ≤ , ∀|ξ − ξ0 | ≥ 0, |z − ξ0 | < δ |ξ − z|2 (δ − |z − ξ0 |)2 36 Suy − |z|2 sup P (z, ξ) ≤ , ∀|z − ξ0 | < δ (δ − |z − ξ0 |)2 |ξ−ξ0 |≥δ Suy  lim sup P (z, ξ) ≤ lim z→ξ0 |ξ−ξ0 |≥δ z→ξ0 − |z|2 (δ − |z − ξ0 |)2  = Đánh giá kết hợp với i ta có lim sup P (z, ξ) = z→ξ0 |ξ−ξ0 |≥δ Nghiệm toán Dirichlet đĩa khẳng định định lý sau Định lý 2.2.2 ([3]) Với giả thiết ký hiệu Định nghĩa 2.2.2, ta có khẳng định sau đây: a P∆ ϕ hàm điều hòa đĩa ∆; b Nếu ϕ hàm liên tục ξ0 ∈ ∂∆ limz→ξ0 P∆ ϕ(z) = ϕ(ξ0 ) Đặc biệt, ϕ hàm liên tục ∂∆ hàm h := P∆ ϕ nghiệm toán Dirichlet đĩa ∆ Chứng minh Trước hết ta ý rằng, dùng phép đổi biến affine z = f (z ′ ) = ρz ′ + ω f biến đĩa ∆(0, 1) thành đĩa ∆(ω, ρ) Khi đó, thay hàm ϕ : ∂∆(ω, ρ) −→ R hàm ϕ ◦ f : ∂∆(0, 1) −→ R mệnh đề định lý phát biểu đĩa đơn vị ∆(0, 1) Do đó, khơng tính tổng qt ta giả thiết ω = ρ = Đặt ∆ = ∆(0, 1) a Với z ∈ ∆ ta có  iθ  Z 2π Z 2π 1 e + z P∆ ϕ(z) = P (z, eiθ )ϕ(eiθ )dθ = Re iθ ϕ(eiθ )dθ 2π 2π e −z  Z 2π iθ  e +z = Re ϕ(eiθ )dθ iθ 2π e − z Đặt g(z) := 2π Z 2π eiθ + z ϕ(eiθ )dθ z ∈ ∆ iθ e −z 37 Từ tính chất tích phân phụ thuộc tham số ta suy g hàm chỉnh hình ∆ Từ suy P∆ ϕ hàm điều hòa ∆ b Áp dụ Bổ đề 2.2.1(i.,ii.) ta có đánh giá sau Z 2π Z 2π 1 |P∆ ϕ(z) − ϕ(ξ0 )| = P (z, eiθ )ϕ(eiθ )dθ − P (z, eiθ )ϕ(ξ0 )dθ 2π 2π