Më ®Çu 1 MỞ ĐẦU 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ "Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo nhữ[.]
MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1.Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào việc đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nước” [3-tr1] Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đề ra: “Phải đổi phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu …” Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh, …; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” 1.2 Dạy Toán dạy hoạt động Toán học (A A stơliar), hoạt động chủ yếu hoạt động giải Toán Bài tập Toán mang nhiều chức năng: chức giáo dục, chức giáo dưỡng, chức phát triển tư chức kiểm tra đánh giá Dạy học giải tập Toán xem tình điển hình dạy học mơn Tốn Khối lượng tập Tốn trường phổ thông vô nhiều phong phú, đa dạng Có lớp tốn có thuật giải phần lớn tốn chưa có khơng có thuật giải Đứng trước tốn đó, giáo viên gợi ý hướng dẫn học sinh để giúp họ giải toán – vấn đề quan trọng Tuy nhiên, vấn đề khó khăn đề gợi ý hợp lý, lúc, chỗ nghệ thuật sư phạm người giáo viên Trong chương trình Tốn phổ thơng có nhiều tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN hàm số mà đặc biệt toán chứa tham số cần vận dụng kiến thức đạo hàm Thực tiễn sư phạm cho thấy, đứng trước tốn tìm GTLN, GTNN hàm số, chứng minh bất đẳng thức chứa tham số, học sinh thường gặp nhiều khó khăn lúng túng, đồng thời nhiều mắc phải sai lầm Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đúc kết rằng: “Những tốn có tham số không dễ học sinh thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thường có tâm lý e ngại, chí sợ sệt dạng Toán này” Dạy Toán dạy kiến thức, kỹ năng, tư tính cách (Nguyễn Cảnh Tồn); dạy kỹ có vị trí đặc biệt quan trọng, khơng có kỹ khơng phát triển tư không đáp ứng nhu cầu giải vấn đề Kỹ giải vấn đề liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN hàm số chứa tham số thiết thực học sinh THPT Nếu có kỹ hiệu học tập mơn Tốn nâng cao; ngược lại, kỹ bị hạn chế học sinh gặp phải nhiều khó khăn việc chiếm lĩnh kiến tạo tri thức Toán học Thực tiễn dạy học Toán trường phổ thơng địi hỏi phải có cơng trình nghiên cứu nhằm đưa thủ pháp dạy học, hướng dẫn sư phạm để giúp người giáo viên giảng dạy tốt kiến thức chương trình, kiến thức tương đối phức tạp giàu tính ứng dụng điển hình Mặc dù có nhiều cơng trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, chưa có cơng trình nghiên cứu việc rèn luyện kỹ giải vấn đề liên quan tới 1.3 Trong nội dung chương trình mơn Tốn lớp 12 THPT, đạo hàm ứng dụng đạo hàm có vai trị quan trọng chiếm khối lượng lớn kiến thức thời gian học chương trình, có mặt hầu hết đề thi tốt nghiệp đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng Vì việc sử dụng đạo hàm để giải toán hàm số chứa tham số điều cần thiết bổ ích HS lớp 12 trung học phổ thông 1.4 Thực tế dạy học toán trường phổ thơng cho thấy HS cịn lúng túng khó khăn sử dụng phương pháp đạo hàm để giải tốn cực trị, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số, chứng minh bất đẳng thức đặc biệt toán hàm số chứa tham số 1.5 Nhiệm vụ hàng đầu mơn tốn trường trung học phổ thơng truyền thụ kiến thức rèn luyện kĩ cho HS việc rèn luyện cho HS kĩ sử dụng đạo hàm để giải toán hàm số góp phần thực nhiệm vụ mơn tốn Từ lý trên, để giúp HS có kĩ ứng dụng đạo hàm để giải tốn hàm số chứa tham số, chúng tơi chọn đề tài: “Hệ thống toán chứng minh bất đẳng thức phƣơng pháp đạo hàm” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống tập đề xuất biện pháp nhằm rèn luyện cho HS kĩ sử dụng đạo hàm để giải toán chứng minh bất đẳng thức NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1 Làm rõ số kiến thức sử dụng ứng dụng đạo hàm giải toán chứng minh bất đẳng thức 3.2 Thực trạng nghiên cứu lý luận kĩ giải toán, phương pháp dạy học giải tập toán học 3.3 Hệ thống toán, phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp đạo hàm 3.4 Đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ giải toán hàm số lớp 12 THPT PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu lí luận dạy học mơn tốn, kĩ giải tốn - Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra thực trạng dạy học chương đạo hàm ứng dụng để giải tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN hàm số GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu triển khai cách hợp lí biện pháp rèn luyện kĩ cho HS thông qua việc giải hệ thống tập đa dạng giúp HS thành thạo việc ứng dụng đạo hàm để giải tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN hàm số góp phần nâng cao hiệu dạy học CẤU TRÚC KHÓA LUẬN Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo Khóa luận gồm có chương: Chương Cơ sở lí luận thực tiễn việc dạy học giải toán chứng minh bất đẳng thức Chương Hệ thống tập nhằm rèn luyện kĩ giải toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp đạo hàm CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN GIẢI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM 1.1.Kĩ kĩ giải toán 1.1.1.Kĩ Theo từ điển Hán Việt Phan Văn Các, “kĩ khả vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn’’ khả hiểu sức có (về mặt ) để làm tốt cơng việc Như kĩ khả thực có kết hành động theo mục đích điều kiện định Nếu ta tách riêng tri thức kĩ để xem xét tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả “biết”còn kĩ thuộc phạm vi hành động, thuộc khả “biết làm” Kĩ có tính chất sau: +) Kĩ phải dựa sở lí thuyết- kiến thức, cấu trúc kĩ bao gồm: hiểu mục đích - biết cách đến kết -hiểu điều kiện để triển khai cách thức Kiến thức sở kĩ kiến thức phản ánh đầy đủ thuộc tính chất đối tượng, thử nghiệm thực tiễn tồn ý thức với tư cách công cụ hành động Như kĩ giải toán phải dựa sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp) Do nói đến kĩ giải tốn khơng thể tách rời với phương pháp tốn học nhằm hình thành rèn luyện kĩ +) Vai trị quan trọng kĩ góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, xác hóa lại kiến thức Điều vừa tính chất, đồng thời vừa mục tiêu quan trọng dạy học: Chú ý đến rèn luyện phát triển kĩ cho HS, từ làm sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần bước tiếp thu kiến thức kĩ phù hợp với phát triển trí tuệ rộng phù hợp với yêu cầu sống +) Kĩ hình thành hoạt động hoạt động Kĩ tri thức thống hoạt động Tri thức cần thiết để tiến hành thao tác, độ thành thạo thao tác hiểu kĩ năng, thao tác thực kiểm tra tri thức Con đường từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ tương ứng đường luyện tập Nội dung luyện tập phong phú Nói để khẳng định vai trò quan trọng việc tổ chức hoạt động học tập trình hình thành phát triển kĩ cho HS Nhưng đồng thời phải ý hoạt động phải người học thực nhiều lần, mang tính liên tục đến mức độ định đó, kĩ hình thành +) Nói đến kĩ ta cần phân biệt với kĩ xảo Kĩ kĩ xảo có điểm tương đồng, khả người hình thành sở tri thức chủ thể trình tiến hành hoạt động trình tập luyện, cách thức hành động Tuy nhiên kĩ kĩ xảo có điểm khác biệt sau: kĩ yêu cầu độ linh hoạt, sáng tạo chủ thể cao kĩ xảo thiên khn mẫu, máy móc Kĩ xảo có trước tiền đề để có kĩ Kĩ có tính ổn định không bền vững kĩ xảo Trong q trình hoạt động, qua thời gian, kĩ bổ sung rút ngắn đi, thay đổi Kĩ thực hoạt động sau thời gian đồng thời tái hình thành (thường sau thời gian ngắn thời gian hình thành kĩ đó) +) Theo trình bày, kiến thức sở kĩ năng, tùy theo nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có yêu cầu rèn luyện kĩ tương ứng Con đường từ kiến thức đến kĩ phong phú phụ thuộc vào nhiều tham số kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ chủ động, tích cực HS,…Con đường tốt đảm bảo tính sư phạm tham gia hoạt động hoạt động chủ động, tích cực, độc lập chủ thể 1.1.2.Kĩ giải toán Kĩ giải toán khả vận dụng kiến thức toán học để giải tập tốn học ( tìm tịi, suy đốn, suy luận, chứng minh…) Kĩ giải toán dựa sở tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ năng, phương pháp HS sau nắm vững lý thuyết, trình tập luyện, củng cố đào sâu kiến thức kĩ hình thành, phát triển đồng thời góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức tốn học Kĩ tốn học hình thành phát triển thơng qua việc thực hoạt động Toán học hoạt động học tập mơn Tốn Kĩ rút ngắn, bổ sung, thay đổi trình hoạt động Do trừu tượng hóa Tốn học diễn nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho HS kĩ bình diện khác nhau: +) Kĩ vận dụng tri thức nội mơn Tốn; +) Kĩ vận dụng tri thức Tốn học vào môn học khác nhau; +) Kĩ vận dụng Toán học vào đời sống Kĩ bình diện thứ thể mức độ thơng hiểu tri thức Tốn học Khơng thể hình dung người hiểu tri thức Toán học mà lại khơng biết vận dụng chúng để làm tốn Kĩ bình diện thứ hai thể vai trị cơng cụ Tốn học mơn học khác, điều thể mối liên hệ liên mơn mơn học nhà trường địi hỏi người GV dạy Tốn cần có quan điểm tích hợp việc dạy học môn Kĩ bình diện thứ ba mục tiêu quan trọng mơn Tốn Nó cho HS thấy rõ mối liên hệ Toán học đời sống 1.1.3 Một số kĩ cần thiết giải toán Hệ thống kĩ giải tốn HS chia làm cấp độ: biết làm, thành thạo sáng tạo việc giải toán cụ thể a) Nhóm kĩ chung: + Kĩ tìm hiểu nội dung tốn: Phân tích tốn, làm rõ kiện đặt ra, tốn có tính chất vấn đề cần tìm khâu cịn chưa biết quy tắc tổng quát phương pháp có yếu tố thuật tốn để giải tốn, xác định trọng tâm suy nghĩ tìm hướng giải Đây kĩ phát giải vấn đề, kĩ quan trọng giải tốn có tính chất vấn đề Cần làm rõ thành phần, mối liên hệ (tường minh hay không tường minh) qua yếu tố (có khơng có) tốn + Kĩ tìm kiếm, đề chiến lược giải, hướng giải toán: Huy động tri thức, kinh nghiệm thân có liên quan để giải tốn, bao gồm hai dạng: - Dạng nội dung mà HS sản sinh cách tích cực thao tác tư duy, lao động trí óc thực hành - Dạng ý tưởng lóe sáng tự phát, hiểu theo nghĩa bừng sáng trình tư sáng tạo Chuyển dịch vấn đề quen thuộc có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào thuật giải có tìm kiếm thuật giải +Kĩ tự kiểm tra đánh giá tiến trình kết toán, tránh sai lầm giải toán: Trong học tập giải toán, việc phát sửa chữa sai lầm thành công người học tốn + Kĩ thu nhận, hợp thức hóa toán thành kiến thức người giải toán b) Nhóm kĩ thực hành: + Kĩ vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ rèn luyện q trình tìm tịi lời giải toán Cần ý kĩ chuyển từ tư thuận sang tư nghịch để nắm vững vận dụng kiến thức (một thành phần tư tốn học), kĩ biến đổi xi chiều ngược chiều song song với giúp cho việc hình thành liên tưởng ngược diễn đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận + Kĩ tính tốn: điều cần thiết thực tiễn sống Ở đâu địi hỏi kĩ tính tốn như: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí Các đức tính để có kĩ là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí, kiên trì, ln có ý thức tìm tịi phương pháp tính tốn khác Kĩ tính tốn rèn luyện qua luyện tập, thơng qua tính nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực phép tính gần + Kĩ trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc vẽ đồ thị xác, rõ ràng + Kĩ ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục ý nghĩa thực tiễn Để có kĩ cần rèn luyện cho HS thói quen ước lượng sử dụng dụng cụ đo thực tiễn Đặc biệt với kĩ vẽ hình HS phải hình thành rèn luyện kĩ vẽ hình xác, phù hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, vẽ đẹp + Kĩ tốn học hóa tình thực tiễn HS rèn luyện kĩ thông qua tốn có tính thực tiễn tốn có nội dung khơng phải dạng túy toán học mà dạng vấn đề thực tế cần giải c, Nhóm kĩ tư duy: + Kĩ tổ chức hoạt động nhận thức giải tốn: xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải tốn; phân loại tốn để lựa chọn kế hoạch phương pháp giải, tập hợp kiện, xác định ẩn, biểu thị qua mối liên hệ, xác định rõ giả thiết, kết luận, phản ánh rõ kí hiệu tốn; biết sử dụng phương pháp suy luận thao tác tư khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự tiến trình giải tốn, biết giải riêng, phận tốn từ đến giải chung, tổng thể toán (và ngược lại) + Kĩ tổng hợp: liên kết kiện toán, khái quát dấu hiệu, tóm tắt nội dung tốn, xác định rõ giả thiết, kết luận, kết cấu lại đề toán, định hướng tiến trình giải tốn + Kĩ phân tích: biết phân tích quan hệ cấu trúc toán, nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán, phân tích khắc phục sai lầm q trình giải tốn, phân loại khả có lời giải cách đến lời giải, xác định trọng tâm cần giải tốn + Kĩ mơ hình hóa: Hành động mơ hình hóa tốn hành động chuyển tốn thành mơ hình phân tích quan hệ tốn học phương pháp tốn học sử dụng mơ hình Đây kĩ cần thiết để giải tốn có ứng dụng thực tiễn tốn liên mơn khác + Kĩ sử dụng thông tin : nhận biết, thu thập ghi nhận thông tin từ nội dung toán Phân loại, xếp thể qua kênh thông tin hoạt đông giải toán để tạo sở huy động kiến thức, vốn kinh nghiệm có liên quan hữu ích đến việc giải tốn 1.1.4 Con đƣờng hình thành rèn luyện kĩ giải toán cho HS Việc rèn luyện kĩ giải toán cho HS phải nhằm vào việc biến kiến thức kĩ chương, mục thành kiến thức kĩ tổng hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho hoạt động học tập lao động nghề nghiệp cho HS.Trước hết, người GV cần xác định rõ đường hình thành kĩ cho HS vai trị qui trình nhờ sơ đồ sau đây: Quy trình hình thành phát triển kĩ giải tốn cho HS Kiến thức chuẩn SGK Hoạt động GV HS Hệ thống toán GV gợi động cơ, hướng HS vào hoạt động Quy trình giải (Thuật tốn, quy tắc) GV hướng dẫn quy trình ( phương pháp ) HS thực hành, luyện tập (áp dụng phương pháp) Các tập áp dụng nâng cao Khái quát hoá hoạt động chọn phương pháp tối ưu (hồn thiện quy trình giải) Hồn thiện quy trình giải dạng tốn Kĩ 10 Suy y'(t) với ; y'(t) với t t Bảng biến thiên f(t) t - -2 y’(t) + - + - + y -2 Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 Nhận xét i, Đặt t a b b giúp ta chuyển y hết biến t a ii, Để xét dấu y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên y’, sau suy dấu y’ khoảng ( ; 2] [2; Bài 16 Cho x, y, z > x +y+z S x2 y2 z2 ) Tìm GTNN biểu thức 3 x3 y3 z3 Lời giải: Nhận xét: Ta quy S “ x+ y +z ” Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x x2 y2 z2 )(12 12 12 ) (x y z)2 y2 (x z2 y z)2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si ta có: 3 x3 y3 z3 33 x (x y z) Vậy S 3 y3 z xyz x y z ( ) 81 (x y z)3 81 (x y z)3 Đặt t= x+y+z (0 t 1) Khi S f (t) t2 81 t3 ; f '(t) f(t) nghịch biến (0;1] 2t minS 243 2t 729 t4 3t f (t) f (1) t (0;1] 52 t (0;1] 244 Bài 17 Cho A, B, C góc tam giác Tìm GTNN biểu thức P sin A B C A B C sin sin cot cot cot 2 2 2 Lời giải: A Ta có P sin sin B C sin 2 Trong tam giác ABC ta có sin 1 A sin B sin C sin 2 A B C sin sin 2 Ta đánh giá biểu thức theo t sin 3 A B C sin sin với t (0; ] 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si ta có: sin A B sin sin 27 Vậy P t C A B C sin sin 2 2 sin với t t3 27 A B C (sin sin sin )2 2 f (t) t2 54 f '(t) 0; Bảng biến thiên t f’(t) + P=f(t) Vậy MinP 21 21 t Bài 18: Cho x 0, y x + y = Tìm GTNN, GTLN biểu thức P = 32 x + 3y Lời giải: Do x 0, y x + y = y = 1- x x 53 P = 32 x + 3y = 32 x + Đặt t = 3x 3x t t Khi P f (t) t f '(t) 2t t2 t=3 với t 1;3 Bảng biến thiên t f’(t) - 3 + 10 f(t) 33 Từ bảng biến thiên ta có minP = 33 x =1 y=0 3x = maxP = 10 x = log3 3 3x = 3 y = 1- log3 3 Bài 19: Cho x 0, y x + y = Tìm GTNN, GTLN biểu thức P= x y + y+1 x+1 Lời giải: x+ y - xy+1 - xy x y + Ta có: P = = = x+ xy y+1 x+1 + xy 54 xy Đặt xy= t, x+ y =1, x 0, y Khi P = f(t) = 2+t đoạn 0; < với t 0; 1 minP = f( ) = t = 4 x = 0, y = y = 0, x = x=y= (x, y) |0 x 1;0 y Tìm GTNN hàm số f (x, y) (1 x)(2 y)(4x 2y) Lời giải: f (x, y) (1 x)(2 y) 2 y 41 y Đặt u=1-x ; v=1-y u 0;1 ;v 0;2 f (x, y) g(u, v) uv(2v 4u) 2uv2 4u 2v Coi u ẩn, v tham số Ta có: g'(u, v) g'(u, v) 8uv 2v2 u v Bảng biến thiên u - v + - g '(u, v) v3 g(u, v) nên hàm số f(t) nghịch biến maxP = f(0) = t = xy = Bài 20 Cho miền D t - 2t với t 2+t -6 Do f '(t) xy xy 2v2 4v 55 + Vì 2v2 4v 2v(v 2) 0;2 nên v g(u,v) 2v2 4v 2(v 1)2 2 Vậy Min g(u, v) =-2 u v Suy Minf(x,y)=-2 x y Bài 21 Cho hàm số f (x, y,z) xy yz zx 2xyz miền D (x, y,z) |0 x, y, z x y z } Tìm GTNN, GTLN f(x,y,z) Lời giải: *) Tìm GTNN f(x,y,z) Giả sử z min{x, y,z} z 0; f (x, y,z) xy (x y)z 2xyz xy(1 2z) z(1 z) (1 z)2 (1 2z) z(1 z) (2z z 1) với z Xét hàm số F(z) F'(z) (6z 2z) z (2z z 1) z(1 3z) - z 0; 0; F’(z) + 27 F(z) Vậy Max f(x,y,z) = 27 x *) Tìm Min f(x,y,z) 56 y z + f (x, y,z) (1 y z)y yz z(1 y z) 2(1 y z)yz y y2 z zy z2 2yz 2y 2z 2z 2y Xét G(z) z2 (2y 1) z(1 3y 2y2 ) y y2 G '(z) 2(2y 1)z 3y 2y 2(2y 1)z (2y 1)(y 1) Giả sử y x, y,z G'(z) z y 0; y Bảng biến thiên z - y G’(z) + - y G( ) G(z) y y2 Vì y2 (y y2 ) 2y2 y y(2y 1) G(z) y2 ; G(z) Vậy Min f(x,y,z)=0 y2 y z x y z Bài 22 Cho x, y, z >0 thỏa mãn x y z xyz Tìm GTNN, GTLN biểu thức S x ( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 ) 57 y4 z + Lời giải: S1 Đặt S2 S3 x y z xy yz zx xyz Ta biểu diễn S theo f (S2 ) Căn vào đề bài, tìm miền biến thiên S2 Sau ta khảo sát f (S2 ) để tìm GTNN, GTLN S *) Ta biểu diễn S2 theo z S2 z(4 z) 4z z z xy yz zx z *) Ta tìm miền biến thiên z x y z Do xy z z - z-2 - z 6z + VT - Vậy z z (4 z)2 (z 2)(z2 6z 4) + + - - + + - + 5;2 5; Từ giả thiết suy z (0;4) Do z Xét S2 4z z S'2 2z 5;2 với z z 5;2 (1 z)(2z 2z 2) z2 z2 Bảng biến thiên 58 + z - S'2 S2 - 1 2 + 5 + - 5 5 5 Suy S2 5; Khi x y4 z (x y2 z2 )2 2(x y2 S12 2S2 = S12 2S2 = 16 2S2 2 = 256 64S2 y 2z z x ) xy yz zx S22 2xyz x 2S1S2 S22 16 4S22 2S22 32 = 2S22 64S2 288 = f (S2 ) f '(S2 ) 4S2 64 S2 5; 5 Bảng biến thiên S2 5 f’( S2 ) 18 f( S2 ) 383 165 59 y z Vậy MinS= 383 165 ; MaxS=18 Để rèn luyện kĩ giải tốn dạng trên, ta có tốn sau: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tìm GTNN, GTLN biểu thức S sin15 x.cos20 x với x 0; Bài : Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau: x2 a, M xy y 3x x2 b, N y (x xy 2y 4x y2 (x y2 0) y2 0) Bài Tìm GTNN hàm số: y x 2 x (x 2)(2 x) ( x Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y x2 2x x Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y x2 2x xy y 2 y ( x2 y2 0) Bài Tìm GTNN , GTLN biểu thức sau: S sin 2010 x cos2010 x Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) ( x Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y sin x cos6 x 2cos4x sin 2x Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y 9x 3y với x, y x+y=1 60 4;2 ) 2;2 ) Bài 10 Tìm GTNN, GTLN hàm số: y 4cos x cos 4x với x ; 2 Bài 11 Tìm GTNN, GTLN hàm số: y 3cos x 4sin x 3sin x 2cos x Bài 12 Tìm GTNN, GTLN hàm số: S 9x 4(3x 1 ) 3x 9x với x 1;1 Bài 13: Cho x, y,z x+y+z=1 Tìm GTLN biểu thức: S xyz x( y 1 ) y( z x 1 ) z( z y ) x Bài 14: Cho x, y, z thỏa mãn x, y,z Tìm GTLN biểu thức P 2(x3 y3 z3 ) (x y y2z z2x) Bài 15 Tìm GTNN hàm số: y (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 15 với x Bài 16 Tìm GTNN, GTLN biểu thức S sin15 x.cos20 x với x 0; Bài 17 Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau: S x x (x 1)(8 x) với x Bài 18 Cho x, y, z >0 thỏa mãn x y z xyz Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau: a, M x y2 z b, N x3 y3 z3 c, P x3y xy3 x3z xz3 y3z yz3 Bài 19 Tìm GTNN, GTLN hàm số : 61 1;8 y sin6 x cos6 x 4(sin x cos4 x) 2cos2x , với x R 2.3 Giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho HS Để rèn luyện kĩ giải tốn cho HS ta cần phải có giải pháp đồng bộ, bao gồm hoạt động sau: a, Tổ chức hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập HS q trình chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kĩ Mục tiêu quan trọng việc tổ chức hoạt động học tập đảm bảo cho HS nắm cách vững có hệ thống kiến thức quy định chương trình Căn vào chương trình, người GV cần phải xác định chọn lọc kiến thức, kĩ cần trang bị, hình thành, phát triển cho HS Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi phương pháp dạy học, trình dạy học, người GV cần tổ chức hoạt động học tập để HS tham gia, cụ thể là: - Tạo tình gợi hoạt động tương thích với nội dung mục tiêu dạy học - HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có giao lưu HS với HS, GV với HS - GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ HS vượt qua khó khăn cách phân tách hoạt động thành phần đơn giản hơn, cung cấp cho HS số tri thức phương pháp nói chung điều chỉnh mức độ khó khăn nhiệm vụ dựa vào phân bậc hoạt động - GV giúp HS xác nhận tri thức đạt trình hoạt động, đưa bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức cách sâu sắc, đầy đủ b Trang bị tri thức phƣơng pháp giải toán cho HS Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định bước polya từ hình thành kĩ giải tốn theo quy trình 62 Khi có quy trình giải toán chung trên, cộng với tri thức phương pháp nội dung toán học cụ thể HS tìm tịi, khám phá để tìm đến lời giải toán - Đối với tốn có thuật giải: GV cần vào yêu cầu chung chương trình tình hình thực tế để, thông báo tường minh thuật giải cho HS thực hoạt động học tập ăn khớp với tri thức phương pháp - Đối với tốn chưa có khơng có thuật giải: GV cần hướng HS suy nghĩ, tìm tịi lời giải Qua trang bị cho HS số tri thức phương pháp giải tốn Thơng qua dạy HS giải số toán cụ thể mà cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải lớp tốn có dạng quen thuộc Từ hình thành kĩ giải loại tốn c Rèn luyện kĩ giải tốn thơng qua củng cố, luyện tập Cấu tạo SGK phổ thông theo nguyên tắc: Mỗi nội dung Toán học dựa vào nội dung học trước Vì việc củng cố tri thức kĩ cách có định hướng có hệ thống có ý nghĩa to lớn việc dạy học tốn Củng cố cần thực khơng tri thức mà kĩ năng, kĩ xảo, thói quen thái độ Trong mơn tốn củng cố diễn hình thức: luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hố ơn Luyện tập: trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ kĩ xảo Luyện tập tính tốn mà cịn việc dựng hình, vẽ đồ thị hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máy tính Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát giải vấn đề liên quan đến phương diện khác nhau, khía cạnh khác tri thức, bổ sung, mở rộng hoàn chỉnh tri thức Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: nghiên cứu tồn nhất, xem xét trường hợp mở rộng, trường hợp đặc biệt suy biến, nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc, lật ngược vấn đề, thay đổi hình thức phát biểu 63 Ứng dụng: hiểu vận dụng tri thức kĩ lĩnh hội vào việc giải vấn đề nội mơn tốn thực tiễn Trong khâu ứng dụng cần rèn luyện cho HS lực phát giải vấn đề, lựa chọn phận tri thức kĩ thích hợp, tìm kiếm đường giải quyết, lí giải trình bày lời giải, kiểm tra đánh giá kết xếp kiến thức đạt vào hệ thống tri thức có Ngồi dạng tập chứng minh, tìm tịi, mặt quan trọng ứng dụng thực tế toán học Trong trường hợp này, cần làm bật khắc sâu cách tiếp cận giải vấn đề sau: Bước 1: Toán học hố tình thực tế Bước2: Dùng cơng cụ tốn học để giải tốn mơ hình Bước 3: Chuyển kết mơ hình tốn học sang lời giải toán thực tế Việc làm cho HS thấy rõ mối quan hệ toán học thực tế góp phần giáo dục giới quan, thẩm mỹ cho HS Hệ thống hoá: nhằm vào việc so sánh, đối chiếu tri thức đạt được, nghiên cứu điểm giống khac nhau, làm rõ mối quan hệ chúng Nhờ người học đạt tri thức riêng lẻ mà cịn hệ thống tri thức Ơn: tức nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ có Ơn giữ vị trí đặc biệt so với bốn hình thức khác củng cố, thường kết hợp với hình thức đó, trí đan kết, hồ nhập vào hình thức Ơn lại khơng phải lĩnh hội lý thuyết mà cần thiết nhắc lại tri thức đạt khâu củng cố Kết luận chƣơng Với mục đích rèn luyện kĩ sử dụng đạo hàm để giải toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp đạo hàm, tìm GTLN, GTNN hàm số thông qua việc hệ thống dạng tập Khóa luận trình bày hệ thống tập theo chủ đề kiến thức với mức độ từ đơn giản đến phức tạp 64 KẾT LUẬN CHUNG 1- Làm rõ khái niệm kĩ kĩ giải toán, yêu cầu kiến thức kĩ sử dụng phương pháp đạo hàm để giải toán hàm số chứa tham số lớp 12 THPT 2- Khóa luận nêu bật vai trị, vị trí, chức hệ thống tập nhằm rèn luyện kĩ giải toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp đạo hàm 3- Đã xây dựng hệ thống tập đa dạng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp theo chủ đề kiến thức để rèn kĩ ứng dụng đạo hàm vào toán chứng minh bất đẳng thức, GTNN GTLN hàm số 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Các: Từ điển Hán Việt, NXB Giáo dục Hà Nội , 1992 [2] Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy-Tạ Mân-Đào Tam-Lê Thống Nhất: Các giảng luyện thi mơn Tốn (tập 3), NXB Giáo dục, 1999 [3] Nguyễn Hoàng Dương: “Hệ thống kĩ dạy học Tốn THPT”, Tạp chí Giáo dục số 186 (Kì 2-2/2008) [4] Nguyễn Huy Đoan-Trần Phương Dung- Nguyễn Xuân Liêm-Phạm Thị Bạch Ngọc- Đoàn Quỳnh- Đặng Hùng Thắng: Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục , 2009 [5] G Polya: Giải toán nào? NXB Giáo dục, 1997 [6] Lê Văn Hồng- Lê Ngọc Lan-Nguyễn Văn Thàng: Tâm lí học lứa tuổi tâm lí học sư phạm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 [7] Phan Huy Khải: Các toán hàm số, NXB Hà Nội, 1997 [8] Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm Hà Nội , 2006 [9] Nguyễn Bá Kim: Học tập hoạt động hoạt động, NXB Giáo dục,1999 [10] Nguyễn Văn Mậu- Nguyễn Văn Tiến: Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng HS giỏi THPT, NXB Giáo dục, 2009 [11] Bùi Văn Nghị: Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể môn Toán, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2008 [12] Bùi Văn Nghị: Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2010 [13] Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan- Trần Phương Dung-Nguyễn Xuân Liêm-Đặng Hùng Thắng: Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 [14] Trần Phương: Tuyển tập chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn –Hàm số, NXB Hà Nội, 2007 66