Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

LÍI CƒM ÌN Trong st thíi gian thüc hi»n khâa luên, em  gp khổng ẵt khõ khôn và ti li»u cơng nh÷ v· m°t thíi gian Nh÷ng nhí sü giúp ù tên tẳnh cừa quỵ thƯy cổ Bở mổn Ôi Số - khoa Khoa hồc Tỹ nhiản trữớng Ôi hồc Hỗng ực, c biằt l sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa thƯy Lả Quang Huy  giúp em hon thnh à ti ny CĂm ỡn têp th lợp K17B-HSP ToĂn  tên tẳnh giúp ù, tÔo iÃu kiằn cho tỉi ho n th nh khâa luªn n y C£m ìn c¡c bÔn lợp  ởng viản, kẵch lằ, s chia, giúp ù v ỗng hnh tổi quĂ trẳnh håc tªp v  ho n th nh b i khâa luªn n y Do iÃu kiằn hÔn chá khổng trĂnh khọi nhỳng sai sõt, rĐt mong ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa thƯy cổ v cĂc bÔn  khõa luên ny cng hon thiằn hỡn Thanh Hõa, thĂng 5, nôm 2018 (Chỳ kỵ, ghi rã hå t¶n) L¶ Thà Qnh Mưc lưc KIN THC Cè Sé 1.1 nh nghắa bĐt ng thực 1.2 C¡c t½nh ch§t cõa b§t ¯ng thùc 1.2.1 T½nh ch§t 1.2.2 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n 1.3 Kắ thuêt chồn im rỡi chựng minh b§t ¯ng thùc 1.3.1 B§t ¯ng thùc Cauchy 1.3.2 B i to¡n xu§t ph¡t 1.3.3 iºm rìi b§t ¯ng thùc Cauchy Mët sè phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực 2.1 Phữỡng phĂp dịng ành ngh¾a 2.1.1 Ki¸n thùc 2.1.2 B i tªp vªn dưng 2.2 Dịng ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng 2.2.1 Ki¸n thùc 2.2.2 B i tªp vªn dưng 2.3 Phữỡng phĂp sỷ dửng dĐt ng thùc Cauchy 2.3.1 Ki¸n thùc 2.3.2 B i tªp vªn dưng 2.3.3 B i tªp vªn döng 2.4 B§t ¯ng thùc Bunhiacopski 2.4.1 Ki¸n thùc 2.4.2 B i tªp vªn dưng 7 7 15 15 15 15 18 18 18 18 20 20 21 23 23 24 24 29 29 29 2.5 Phữỡng phĂp sỷ dửng bĐt ¯ng thùc Bernoulli 2.5.1 Ki¸n thùc 2.5.2 B i tªp vªn dưng 2.6 Phữỡng phĂp dũng tam thực bêc hai 2.6.1 Ki¸n thùc 2.6.2 B i tªp vªn dưng 2.7 Phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc 2.7.1 Ki¸n thùc 2.7.2 B i tªp vªn dưng 2.8 Ph÷ìng ph¡p l÷đng gi¡c hâa 2.8.1 Ki¸n thùc 2.8.2 B i tªp vªn dưng 2.9 Phữỡng phĂp sỷ dửng hẳnh hồc 2.9.1 Ki¸n thùc 2.9.2 B i tªp vªn dưng 34 34 34 36 36 37 41 41 41 43 43 44 47 47 48 Mé U Lỵ chån · t i To¡n håc l  mët mæn khoa håc tỹ nhiản, toĂn hồc cõ mởt vai trỏ rĐt quan trồng cĂc lắnh vỹc khoa hồc, toĂn hồc nghiản cựu nhiÃu, a dÔng v phong phú Trong õ cĂc b i to¡n v· b§t ¯ng thùc l  nhúng b i to¡n khõ,  giÊi ữủc cĂc bi toĂn và bĐt ng thực, cÔnh viằc nưm vỳng khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bĐt ng thực, cỏn phÊi nưm ữủc phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực Cõ nhiÃu phữỡng phĂp  chựng minh bĐt ng thực v ta ph£i c«n cù v o °c thị méi b i to¡n m  sû dưng ph÷ìng ph¡p cho phị hđp Méi b i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc câ thº ¡p dưng nhi·u ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau, cơng câ b i ph£i phèi hủp nhiÃu phữỡng phĂp mởt cĂc hủp lẵ Bi toĂn chựng minh bĐt ng thực ữủc vên dửng nhiÃu vo cĂc dÔng bi toĂn giÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh c biằt l tẳm giĂ tr lợn nhĐt v nhọ nhĐt cừa biu thực V  ÷đc sû dưng nhi·u ỉn têp, ổn thi ngoÔi khõa Vẳ vêy hồc sinh cƯn thi¸t ph£i n­m vúng nhúng ki¸n thùc cì b£n v· bĐt ng thực Trong thỹc tá, giÊng dÔy trữớng THPT, håc sinh g°p nhi·u khâ kh«n gi£i c¡c bi toĂn liản quan án bĐt ng thực, vẳ cĂc bi toĂn chựng minh bĐt ng thực thữớng khổng cõ cĂch giÊi mău, khổng theo mởt phữỡng phĂp nhĐt nh nản hồc sinh khổng xĂc nh ữủc hữợng giÊi bi toĂn Trong nởi dung cừa khõa luên xin ữủc têp trung giợi thiằu mởt số phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực nhữ: dũng nh nghắa, sỷ dửng cĂc php bián ời, dũng cĂc bĐt ng thực  biát, bơng phữỡng phĂp quy nÔp, v bi têp vên dửng nhơm giúp hồc sinh bợt lúng túng gp cĂc bi toĂn chựng minh hay vên dửng bĐt ng thực, giúp hồc sinh cõ th tỹ nh hữợng ữủc phữỡng ph¡p chùng minh hùng thó hìn håc b§t ¯ng thùc nâi ri¶ng v  mỉn to¡n nâi chung Mưc ẵch nghiản cựu + Hằ thống lÔi mởt số kián thực cỡ s cừa bĐt ng thực + Nghiản cựu cĂc phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực + Vên dửng cĂc phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực  giÊi cĂc dÔng bi têp liản quan ối tữủng nghiản cựu + BĐt ng thực v phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực Phữỡng phĂp nghiản cựu à ti ny sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp nghiản cựu sau: Phữỡng phĂp nghiản cựu ti liằu gỗm: ồc ti liằu sĂch tham khÊo, sĂch chuyản khÊo, tÔp chẵ toĂn hồc và bi toĂn bĐt ng thực Phữỡng phĂp tiáp cên lch sỷ: Sữu tƯm phƠn tẵch, tờng hủp tữ liằu; Nghiản cựu v tờng kát kinh nghiằm giÊng dÔy ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa à ti Hằ thống hõa v phƠn loÔi mởt số kắ thuêt v phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực, ch mởt số sai lƯm thữớng gp cừa hồc sinh chựng minh bĐt ng thực ỗng thới giÊi quyát mët sè b§t ¯ng thùc khâ ð phê thỉng gâp phƯn nƠng cao chĐt lữủng dÔy hồc toĂn cho giĂo viản v hồc sinh CĐu trúc khõa luên Khõa luên gỗm phƯn mửc lửc, m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo v hai chữỡng: Chữỡng 1: Kián thực cì sð Ch÷ìng : Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh bĐt ng thực Dỹ kián kát quÊ Ôt ữủc - Khõa luên trẳnh by cĂc phữỡng phĂp chựng minh bĐt ng thực Ôi số nhữ sỷ dửng php bián ời tữỡng ữỡng; phữỡng phĂp dũng nh nghắa; phữỡng phĂp sỷ dửng bĐt ng thực Bernoulli ; bĐt ¯ng thùc Cauchy; Chùng minh b§t ¯ng thùc lữủng giĂc, hẳnh hồc phng v hẳnh hồc khổng gian CĂc phữỡng phĂp ny ữủc trẳnh by têng qu¡t, h» thèng vỵi nhi·u líi gi£i ëc ¡o, th hiằn tẵnh sĂng tÔo - Nảu mởt số bi toĂn bĐt ng thực ữủc têp hủp v lỹa chồn k¼ thi håc sinh giäi Quèc gia v  ký thi Olympic khu vüc v  quèc t¸ - Tø â x²t mët sè ùng dưng cõa b§t ¯ng thùc bi toĂn tẳm giĂ tr lợn nhĐt - nhọ nhĐt; giÊi phữỡng trẳnh - hằ phữỡng trẳnh TĂc giÊ mong muốn khõa luên s phửc vử thiát thỹc cổng viằc giÊng dÔy bĐt ng thực nh trữớng, hiằn tÔi cụng nhữ tữỡng lai Chữỡng KIN THC Cè Sé 1.1 nh nghắa bĐt ng thực Cho hai sè thüc a, b Ta nâi a lỵn hỡn b, kỵ hiằu a > b náu a b l  mët sè d÷ìng Lóc â ta cơng nâi b < a Ta nâi a lỵn hìn b ho°c bơng b, kỵ hiằu a b náu a b l  mët sè khỉng ¥m Lóc â ta cơng nõi b nhọ hỡn hoc bơng a, kỵ hiằu b ≤ a C¡c m»nh · "a > b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤ b" gåi l  c¡c bĐt ng thực 1.2 CĂc tẵnh chĐt cừa bĐt ng thực 1.2.1 Tẵnh chĐt Cho a, b, c, d R Tẵnh chĐt ( a > b, a > c b > c Tẵnh chĐt a > b ⇒ a + c > b + c T½nh ch§t ( a > b, b > c ⇒ a + c > b + d Tẵnh chĐt  a > b > 0, c > d > ac > bd Tẵnh chĐt a > b > 0, ho°c b < a < Tẵnh chĐt a > b > n ∈ N∗ \ {1} 1 < a b  an > bn , ⇒ √ n na>√ b Tẵnh chĐt a > b, n N  a2n+1 > b2n+1 , ⇒ √ √  2n+1 a > 2n+1 b Tẵnh chĐt a > ⇒ (ab > ac ⇔ b > c), < a < ⇒ (ab > ac ⇔ b < c) Tẵnh chĐt < a < b < ⇒ (ac > bc ⇔ c < 0) 1.2.2 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n B§t ¯ng thùc chùa d§u gi¡ trà tuy»t èi Cho a1, a2, , an ∈ R, ta câ |a1 + a2 + + an | ≤ |a1 | + |a2 | + + |an | D§u ” = ” x£y v  ch¿ (i = 1, n) dĐu BĐt ng thực liản quan án hm số mơ v  logarit Vỵi  a > x > y  0 < a < x y ⇒a >a ; x > y ⇒ ax < ay Vỵi  0 < a < ⇒ loga x > loga y; x > y > a > x > y > ⇒ loga x < loga y B§t ¯ng thùc Cauchy a B§t ¯ng thùc CauChy cho sè a+b √ ≥ ab vỵi a ≥ 0, b ≥ D§u "=" x£y v  ch¿ a = b Chùng minh: Bơng phữỡng phĂp bián ời tữỡng ữỡng ta cõ a+b √ ≥ ab ⇔  a+b 2 ≥ ab ⇔ a2 + b2 + 2ab ≥ 4ab ⇔ (a b)2 BĐt ng thực hin nhiản óng a ≥ 0, b ≥ D§u "=" x£y v  ch¿ a = b b BĐt ng thực Cauchy ối vợi n số nh lỵ 1.2.1 Vợi n số khổng Ơm a1, a2, , an(n ≥ 2), ta câ √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 · a2 · · an n (1.1) D§u "=" x£y v  ch¿ a1 = a2 = = an Bơng phữỡng phĂp quy nÔp Ta cõ bĐt ng thực 1.1 úng vợi n = (bĐt ng thực Cauchy cho hai số khổng Ơm) GiÊ sỷ 1.1 úng vợi ¸n n = k, tùc l  a1, a2, , an ≥ ta câ: Chùng minh: √ a1 + a2 + + ak ≥ k a1 · a2 · · ak k v  ch¿ a1 = a2 = = an v dĐu bơng xÊy X²t n = k + Vỵi a1 = a2 = = ak+1 ≥ 0, ta câ Sk+1 k k a1 +a2 + +a + ak+1 a1 + a2 + + ak + ak+1 k = = k+1 k+1 (1.2) Theo giÊ thiát quy nÔp, suy Sk+1 √ k k a1 · a2 · à ak + ak+1 k+1 DĐu bơng 1.2 xÊy (theo giÊ thiát quy nÔp) a1 = a2 = = ak °t a1 · a2 · · ak = αk(k+1) v  ak+1 = k+1 Khi õ 1.2 cõ dÔng Sk+1 kk+1 + β k+1 ≥ k+1 (1.3) Tø 1.1 ta câ Sk+1 − √ k+1 a1 · a2 · · ak · ak+1 ≥ kαk+1 + β k+1 − αk β k+1 (1.4) Dạ dng nhên thĐy: kk+1 + k+1 − kαk β − αk β V F 1.4 = k+1 = [kαk (α − β) − β(αk − β k )] k+1 (α − β)2 k−1 [α + αk−2 (α − β) + αk−3 = k+1 + (αk−1 + α2 β + + β k−1 )] (α2 + αββ ) + Do α, β ≥ 0, n¶n suy VP 1.4 ≥ ⇒ Sk+1 ≥ √ k+1 a1 · a2 · · ak · ak+1 (1.5) Tø 1.5 suy b§t ¯ng thùc Cauchy cơng óng n = k + Theo nguyản lẵ quy nÔp suy bĐt ng thực Cauchy úng vợi n N DĐu bơng xÊy 1.5 v ch ta cõ ỗng thới dĐu bơng 1.2 v 1.4, tực l : a1 = a2 = = ak ⇔ α = β ⇔ a1 = a2 = = ak = ak+1 BĐt ng thực Cauchy ữủc chựng minh hon to n 10 + < + + n + Gi£i: Vỵi ∀k ∈ N∗ ta câ < k2 1  =  1 k2 − k− k+ 2 1 ⇒ 2< − 1 k k− k+ 2  ⇒   1 1 1 1 1 + + + < + + − −    5 7 22 32 n2 2    +  n− − 1  = − <  1 3 n+ n+ 2 33 Theo â theo BT Bunhiacopski r q a1 a2 a 1 n + a2 + + a2 + + + + + + < a n 2 n + 22 32 n2 r √ √ = < 3 Suy i·u phÊi chựng minh 2.5 Phữỡng phĂp sỷ dửng bĐt ng thực Bernoulli 2.5.1 Kián thực BĐt ng thực Becnuli(dÔng ỡn giÊn nhĐt) Náu a thẳ vợi mồi số tü nhi¶n n, ta câ (1 + a)n ≥ + na D§u "=" x£y v  ch¿ ho°c a = 0, ho°c n = 0, ho°c n = BĐt ng thực Becnuli (dÔng suy rởng) Náu a 1, thẳ vợi mồi số hỳu t r ≥ 1, ta câ (1 + a)r ≥ + ar D§u "=" x£y v  ch¿ ho°c a = 0, ho°c α = 2.5.2 B i tªp vên dửng Bi 1: Chựng minh rơng ab + ba > 1, ∀a, b > Gi£i: N¸u a ≥ hay b1‘ ≥ th¼ ¯ng ¯ng thùc ln óng N¸u < a, b < p dưng b§t ¯ng thùc Becnuli   b  1−a b b(1 − a) a + b = 1+ a+b 34 (2.39) (2.40) T÷ìng tü  b   1−b b a(1 − b) a + b = 1+ a+b (2.41) (2.42) Tø 2.39, 2.41 suy ab + ba > (pcm) B i 2: Cho a, b, c > Chùng minh r¬ng a5 + b5 + c5 (a + b + c)5 ≥ 35 Gi£i: (2.43) (3a)5 + (3b)5 + (3c)5 ≥ 3(a + b + c)5 3  5  5  3b 3a 3a + + ≥3 ⇔ a+b+c a+b+c a+b+c 2.5.2 ⇔ p dưng b§t ¯ng thùc Becnoulli  3a a+b+c 5 b + c − 2a = 1+ a+b+c 5 a + c − 2a = 1+ a+b+c 5  ≥1+ 5(b + c − 2a a+b+c (2.44) ≥1+ 5(a + c − 2b a+b+c (2.45) ≥1+ 5(a + c − 2c a+b+c (2.46) T÷ìng tü  3b a+b+c 5  v   3c a+b+c 5 a + b − 2a = 1+ a+b+c  5 Cëng 2.44, 2.45, 2.46 vá vợi vá ta ữủc  3a a+b+c 5  + 3b a+b+c 5  + 3c a+b+c 5 Suy iÃu phÊi chựng minh Chỵ ỵ: Ta câ b i to¡n têng qu¡t sau ¥y Cho a1 , a2 , , an chùng minh r¬ng ar1 + ar2 + + arn ≥ n  35 a1 + a2 + + an n r > 0, r ≥ D§u "=" x£y v  ch¿ a1 = a2 + = an B i 3: Cho ≤ x, y, z ≥ Chùng minh r¬ng (2x + 2y + 2z )(2−x + 2−y + 2−z ) ≤ Gi£i: 81 °t a = 2x, b = 2y , c = 2z (1 ≤ a, b ≤ 2) ≤ a ≤ ⇒ (a − 1)(a − 2) ≤ Do a2 − 3a + ≥ ⇒ a + T÷ìng tü ≤ b ≤ ⇒ (b − 1)(b − 2) ≤ ⇒ b2 − 3b + ≥ ⇒ b + T÷ìng tü ≤ c ≤ ⇒ (c − 1)(c − 2) ≤ ⇒ c2 − 3c + ≥ ⇒ c + Cëng 2.47, 2.48, 2.49 vá theo vá ta ữủc  1 ≥ (a + b + c) + + + a b c  (2.47) ≤3 a ≤3 b (2.48) ≤3 c (2.49) s  1 ≥ (a + b + c)2 + + a b c  (p dưng b§t ¯ng thùc Cauchy)  1 ⇔ 81 ≥ · 2(a + b + c) + + a b c (pcm) Chú ỵ: luổn cõ    81 1 ⇔ ≥ (a + b + c) + + a b c B i to¡n têng qu¡t n y cho n sè x1, x2, , xn ∈ [a, b, c] > ta x1 x2 xn −x1 (c , c , , c )(c −x2 ,c , , c −xn   n ca + cb )≤ 4ca+b 2.6 Phữỡng phĂp dũng tam thực bêc hai 2.6.1 Ki¸n thùc Cho f (x) = ax2 + bx + c 36