Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN 1iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv2 A M ẦU 13 Formatted: English (U.S.) 13 g ê Mụ ứu 13 Đố ượng nghiên cứu 24 P ươ g p áp g ê ứu 24 Cấu trúc khóa luận 24 Kết luận 35 N I DUN 45 Chƣơng 1: M T SỐ ẤT ẲN ấ g ứ THỨC CƠ ẢN 46 - Si……… 1.1.2 - 46 - Si cho n 46 1.2 ấ g ứ - NhiA- Côpski 57 1.3 ấ g ứ - Đơ 68 1.4 ấ g ứ – Copski 69 1.5 ấ g ứ 810 Chƣơng 2: CÁC PHƢƠN PHÁP CHỨN 2.1 P ươ g p áp g 2.1.1 Kk ế 2.2 gp p 2.2.1 ế 2.3 P ươ g p áp ế 911 ụ g 911 ế ươ g ươ g 113 ứ 113 ập ậ 2.2.2 THỨC 911 ứ 911 ập ậ 2.1.2 2.3.1 g MINH ẤT ẲN 46 ụ g 113 ụ g Đ - Sy 146 ứ 146 Formatted: Font: 12 pt, English (U.S.) i 232 ập ậ 2.4 P ươ g p áp 2.4.1 ế 2.5 P ươ g p áp 2.5.1 ế 2.6 P ươ g p áp 2.6.1 ế ụ g 179 ụ g Đ 1921 ụ g 1921 g ứ ậ 224 ứ 224 ập 225 2.6.2 2.7 P ươ g p áp 2.7.1 -Nhia-Copski 179 ứ 1921 ập ậ 2.5.2 ụ g Đ ứ 179 ập ậ 2.4.2 ụ g 146 ế p 235 ứ 235 ập ậ 2.7.2 g ụ g 235 2.8 P ươ g p áp ượ g g 268 2.8.1 ế 282 ứ 268 ập ậ 2.9 P ươ g p áp 2.9.1 2.9.2 ế 2.10.2 ụ g 2830 ứ 2830 ập ậ 2.10 P ươ g p áp 2.10.1 ụ g 279 ế ụ g 2931 ố g 324 ứ 324 ập ậ ụ g 324 TÀI LIỆU THAM KHẢO 357 Formatted: Font: 12 pt, English (U.S.) ii LỜI CẢM ƠN ó ậ ượ x ThS Ph â ắ ự ậ ó gả g p p ượ g ủ g ớp ý â ậ ũ g x ể ướ ự ướ g ẫ ố ố ả SP ầ ự â ữ g gườ g úp ỡ g ố g g ả â ò g ữ g g ế ườ g Đ ã ế ý g Đứ ựN ê g Đứ , , ủ ế g ập p p ượ g 7- Đ ế ệ ứ , ũ g ủ ã ườ g Đ â , ộ g ập ũ g ầ g ê , g ệ ự ệ ố g â , ộ g x p pg ê g úp ỡ ả g ố ế ữ g gườ ã g ườ g â è ã ập Formatted: Font: 12 pt, English (U.S.) iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Đ g : Bât ứ THCS : g THPT : g p NXB :N x ấ ả ĐP :Đ p ả ứ g NXBGD :N x ấ ả gá NXBGDTPHCM : N x ấ g ả gá ụ ụ p Minh : CMR ứ g g Formatted: Font: 12 pt, English (U.S.) iv A M L h n i ộ g p ự g ự gp ú ượ , g ó á ấ ả ấ g ó ấ ủ ứ ó ứ g ệ giả ập ậ ứ ủ ậ g p ả ứ g á ứ ượ ệ ụ g ế p ả ắ g ữ g g p ó ứ g Đ ấ ập ggớ g g ư: ã ế, ữ g ó ú Đ ệ ấ p ươ g p áp ụ g p p ứ g p,… g p ể ự ó g ộ ố p ươ g , ứ g ướ g ượ p ươ g p áp ê g ộ ấ g h nghiên ứu ứ ườ g ê g p ươ g p áp ụ g Đ , g úp ứ g Đ g ế ứ g , ũ g ó ượ ậ ữ g ứ ợp ộ p ươ g p áp ậ x ứ g ứ g ứ P , ú g ú g + Ng ê , ệ p ươ g ầ g úp + Nắ ệ ụ g ứ … Đ , ó ấ ể ườ g ướ g g ả g ủ ượ ụ g Mụ ứ ẫ , g ứ g ữ g ó ểgả ợp , ấ p ươ g ế gả ụ g , g ộ ậ g ê g ộ ế g p ươ g p áp g ả ó ượ ượ , ượ p ươ g p áp p ế, g ả g g xá ắ ụ g p ươ g p áp ấ ấ ự g ó ị ấ ấ ắ g ấ ả ộ ữ g ấ ấ g g ứ g ậ p ươ g ứ ứ ứ , ò p ả p ươ g p áp ập, ế ứ ệ ể áp ụ g ợp gá ó ứ g gả g ứ , ê g p ả p ố g ê ấ g ấ ê , á p ươ g p áp ể ấ ẦU ứ ứ ó g + ậ ụ g p ươ g p áp ập ê ế ấ g ứ g ấ g ứ ểgả ấ g g ứ ối ƣợng nghiên cứu + ệ + ấ ê g ấ + g gá ứ p ươ g p áp ứ g ứ ứ ê ườ g S P Phƣơng pháp nghiên ứu - P ươ g p áp g ê +S ứu lí luận ụ g p ươ g p áp p â +P â ệ g ợp ó ê - P ươ g p áp g ê + P ươ g p áp ể g ê ệ ứ ấ g ậ ủ ứu thực tiễn ưp m Cấu trúc khóa luận ó ậ gồ ươ g : g ê ầ ộ ố ấ ươ g ế g p ầ ươ g: g ứ ú g ấ g ứ , ứ g g ấ ả , g ứ , ả a ấ g ứ -Si b ấ g ứ - Nhia- Côpski c ấ g ứ d ấ g ứ e ấ g ứ - Đơ - Côpski ươ g 2: p ươ g p áp Ở ứ ả ươ g ứ g ộ ập ậ g ụ g, ấ g ứ p ươ g p áp gồ P ươ g p áp g g 2 P ươ g p áp gp p P ươ g p áp ụ g ấ g ứ P ươ g p áp ụ g ấ g ứ ế ươ g ươ g - Si p ứ g ấ g P ươ g p áp ụ g ấ P ươ g p áp ụ g P ươ g p áp g g ứ ứ p ậ P ươ g p áp ượ g g P ươ g p áp P ươ g p áp ố 6.Kết luận g ó ị ấ ũ g ập ậ ả ữ g â ế â ế ó ậ , gả ã ộ ụ g ẽ, õ g g, ố gắ g ượ ậ , ế ấ g ự góp ý ủ ý ự ể xá ã ố g g ẽ g ể ấ ã ó ậ g gừ g ầ ữ g N I DUN Chƣơng 1: M T SỐ ẤT ẲN 11 ấ THỨC CƠ ẢN ng C - Si - ab  ab ấ a  0, b  ab xả ứ g : g p ươ g p áp ế ươ g ươ g ó ab ab  ab     ab    a  b2  2ab  4ab   a  b  Đ ể ấ ê a  0, b  ú g ab xả 1.1.2 - Si cho Đ : n ố gâ a1 , a2 , , an  n   , ó a1  a2   an n  a1a2 an (1) n ấ a1  a2   an xả ứ g : ú g n2 ó Đ gả ứ g ấ  ak 1  p Đ -S ú g n  k 1 Đ g gả a1  a2   ak  x0 k ế gâ p, ậ a1  a2   ak  ak 1  y  cho ak 1  x  y gả ố ú g n  k ,(k  2) Đ ầ p ả g g p ươ g p áp ó: x k  a1a2 ak ậ k 1 k 1 k 1 y   a  a  ak  ak 1   k x  x  y       x  k 1 k 1    k 1   y  x k 1  (k  1).x k  x k 1  x k y  x k ( x  y )  a1a2 ak ak 1 k 1 a  a   ak  ak 1 k 1   a1a2 ak ak 1 k 1 ấ ậ ú g n  * Đ 1.2 ấ ng Đ -N a b  a b  1 - Nhia- Côpski p - 2 ấ ộ a1  a2   an xả p ố ự  a , a  , b , b  2 ấ ó   a  a22   b12  b22  b1 b2  a1 a2 xả g ự (n  2),(a1 , a2 , , an ) (2n) ố (b1 , b2 , , bn ) ó (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) ấ ứ g Đ b1 b2 b    n a1 a2 an xả : a  a12  a22   an2 ; b  b12  b22   bn2 +, Nế a  hay b  Đ ú g +, Nế a, b a, b  Đ i  b ; i  i (i  1,2, , n) a b ế  i i  ( i2  i2 ) 2 11       n  n  (12   22    n2 )  ( 12   22    n2 )  Suy a1b1  a2b2   anbn  ab ó: a1b1  a2b2   anbn  a1b1  a2b2   anbn Suy (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) ấ b1 b2 b    n a1 a2 an xả 1.3 ấ ả ng Hơn- ộ ( p, q ) p ố n k 1 k 1 ợp ộn ố gâ ấ ó (a1 , a2 , , an ) , (b1 , b2 , , bn ) n ũ ê n  ak bk  ( akp ) p ( bkq ) q (1) ấ k 1 xả ố g g g không cho Aakp  Bbkq , k  1,2,3, , n ứ g : ể ê g ế ứ ,gả p ụ g ab  ó ấ ộ b1  b2   bn  b j ươ g a p bq  p q ak a Đ a1  a2   an  (a1p  a2p   anp ) p bk ;b  (b1q  b2q   bnq ) q ượ ak bk p (a1p   anp ) (b1q   bnq ) ó Đ ấ a1p   anp b1q   bnq 1    1 p a1p   anp q b1q   bnq p q  ứ g A.akp  B.bkq , k  1,2, , n xả 1.4 ấ ả ượ q ng Min – Copski p 1 p ộ ố ự (a1 , a2 , , an ) , (b1 , b2 , , bn ) ó 1 ( a  b1   an  bn ) p  ( a1   an ) p  ( b1   bn ) p p p p p p ộ g 2,3,4 ế ế ượ 5  3a   3b   3c        3 abc abc abc ú ý: ó g Cho a1 , a2 , , an  0, r  ứ g â ứ g g a1r  a2r   anr  a1  a2   an    n n   ấ p ả r a1  a2   an xả 3: Cho  x, y, z  ứ g (2 x  y  z )(2 x  2 y  2 z )  g 81 gả Đ a  2x , b  y , c  2z 1  a, b    a   (a  1)(a  2)  Do (1) a  a  3a    a   ươ g ự  b   (b  1)(b  2)   b2  3b    b   (2) b ươ g ự  c   (c  1)(c  2)   c  3c    c  ộ g ,2,3 ế  (3) c ế ượ 1 1 1 1  (a  b  c)       (a  b  c)2     a b c a b c Co-si) 1 1  81  4.2.(a  b  c)     a b c  81 1 1  (a  b  c)     a b c p 21 áp ụ g Đ ú ý: g g ố x1 , x2 , , xn  a, b, c  ó c x1  c   c x2 xn  c  x1 Phƣơng pháp 26 ế c  x2   c ng  xn  n(c a  cb )    4c a b ậ h i ứ Cho f ( x)  ax  bx  c Đ : f ( x)  0, x  a  0 f ( x)  0, x  a  0 f ( x)  0, x  a  0 f ( x)  0, x  a  0 Đ f ( x)  ó 2: p ươ g f ( x)  ó p ươ g g ệ x1    x2  a f (a)  g ệ  a f ( x)   x1  x2     s  0 2 f ( x)  ó P ươ g g ệ  a f ( x)    x1  x2    s  0 2 f ( x)  ó P ươ g 2.6.2 ập : ứ g g ệ g 22   x1    x2  f ( ) f (  )    x1    x2   f ( x, y)  x  y  xy  x  y   (1) gả  x2  x(2 y  1)  y  y   ó ,  (2 y  1)2  y  y   y2  y   y2  y  = ( y  1)2   f ( x, y)  0, x, y ậ 2: g f ( x, y)  x y  2( x  2) y  xy  x  xy ứ g gả ấ g ứ ầ ứ g ươ g ươ g x y  2( x  2) y  xy  x  xy   ( y  1).x  y (1  y ) x  y  ó ,  y (1  y )2  y ( y  1)2  16 y  f ( x, y)  a  ( y  1)2  ậ 2.7 Phƣơng pháp 27 ế Để ứ g ướ án h ú g n  n0 Đ ể ướ 2: ả ướ 4: ế ậ ập ậ ứ g ệ ú g nk Đ ứ g ự ú g n  n0 Đ ướ 3: : n p ứ : 2: ng p Đ Đ ú g n  k 1 n  n0 ú g ụ g g 1 1      , n  , n  (1) 2 n n 23 ướ gả n2 ả ó 1 1 2 ú g ú g nk Đ ậ p ả ú g n2 Đ ứ g Đ ú g n  k 1 ậ n  k 1 ậ (1)  1 1     2 2 k (k  1) k 1 gả ế p 1 1 1      2  2 2 k (k  1) k k 1 1 1 1         2 k (k  1) k  (k  1) k   k 11   k (k  2)  (k  1)2  k  2k  k  2k  (k  1) k S Đ ượ 2: ứ g ab 0 n ú g ứ g g n n ab a b (1)      n gả: ấ ả Đ ú g n 1 Đ ú g nk p ả ứ g Đ n  k 1 ậ ậ n  k 1 ab (1)      k 1  ó a k 1  b k 1 k 1 k 1 ab ab a b   (2)    k ế  a k  bk a  b a k 1  ab k  a k b  b k 1 a k 1  b k 1    2 24 ú g  a k 1  bk 1 a k 1  ab k  a k b  b k 1    (a k  bk )(a  b)  0(3) ứ g +, ab ả gả a b a  b ế  a k  b  bk  (a k  bk )(a  b)  k +, ả ab gả ế a  b  a  b k k  a k  bk  (a k  bk ).(a  b)  ậ Đ ú g p ả Suy 3: ứ g a  1,1  n  g (1  a)n   na ứ g gả n 1 Đ ú g n  k (k  ) g ả Đ (1  a)k 1   (k  1).a ú g ứ ó (1  a)k 1  (1  a)(1  a)k  (1  a)(1  ka)   (k  1)a  ka   (k  1)a  Đ ậ ú g n  k 1 p (1  a)n   na, n  g ê 4: ã a1  a2   an   n  , a1 , a2 , , an  g (1  a1 )(1  a2 ) (1  an )  ứ g gả n  1: a1  ả 1   a1  2 ú g ú g n  k (k  ) , ứ (1  a1 )(1  a2 ) (1  ak )  25 2 n  k 1 ầ : (1  a1 )(1  a2 ) (1  ak 1 )  ứ g ó (1  a1 )(1  a2 ) (1  ak 1 )  (1  a1 )(1  a2 ) (1  ak 1 ) 1  (ak  ak 1 )  ak ak 1   (1  a1 )(1  a2 ) (1  ak 1 ) 1  (ak  ak 1 )  (a1  a2   ak 1  (ak  ak 1 )   ú g n  k 1 Đ ậ p p g ê 2.8 Phƣơng pháp ƣợng giá 28 ế ứ , Nế x 1 2, Nế x R    x  sin  ,    ,   2 x  cos , 0,  g Đ ó ứ R2  x2  x  R cos  ,   0,     x  R sin  ,     ,    2   3, Nế x 1 4, Nế x R0 x     3  ,  0,    ,  cos  2   ó R      3   x  cos  ,  0,    ,       R   y  sin  ,   0,   5, Nế x  y  R  x  R cos  ,( R  0),  0,2    y  R sin  6, Nế ( x  a)2  ( y  b)2  R ( R  0) 26 ứ ể ứ x2  R2  x  a  R cos  ,   0,2    y  b  R sin  x2 y 7, Nế   R ,(a, b, R  0) a b  x  Ra cos  ,   0,2    y  Rb sin   x    y    8, Nế      R ,(a, b, R  0)  a   b  2  x    Ra cos  ,    0,2    y    Rb sin  9, Nế x2 y   1,(a, b  0) a b2  x  Ra cos ,(0  R  1,  0,2 )   y  Rb sin  , Nế g x ấ ệ ể ứ x2  R2 ệ ể ứ (ax)2  b2 ,(a, b  0)    x  R tan  ,    ,   2 11, Nế g x ấ b    x  tan  ,    ,  a  2 2, Nế g x ấ ệ x g g ộ    x  tan  ,    ,   2 2: : ập ậ ụ g ứ g g (1  x )5  x9  1, x  0,1 gả x 0,1  x    x  cos  ,  0,   2 Suy VT  (1  (cos )2 )5  (cos )9  sin   cos   27 ệ  sin   cos   1(đpcm) 2: Cho x  y  a , a  ứ g g T= x(2 x  a )8 y8  8a y  a  a gả Do x  y  a , a  ê ó ể  x  a cos  ,   0,2    y  a sin  T= a cos (2a cos2   a )(8a sin   8a sin   a ) ó  a cos  (2cos   1) 8sin  (sin   1)  1  a cos  cos 2 (1  8sin  cos  ) Do cos  1, cos2  1,  8sin  cos   T  a7 (đpcm) ab  3: 2   ứ g g a  (a  4b) 2 2 a  4b2 gả Đ    a  2b tan  ,    ,   2 S ó a  (a  4b) tan   (tan   2)  a  4b  tan   4(tan   1)cos   2sin 2  2(1  cos 2 )  2(sin 2  cos 2 )    2 sin(2  )    2  2,2   ( đpcm) 2.9 Phƣơng pháp 29 ế ụng h nh h ứ + P ươ g p áp 28 ộ ố Đ p ó ể ượ g Oxy ứ g g ấ a(a1 , a2 ), b(b1 , b2 ) ó -, a  a12  a22 -, a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) -, a.b  a1b1  a2b2 -, a.b  a b cos(a,b) -, (a)2  a -, a  b  a  b ó -, u1 (a1 , b1 ); u2 (a2 , b2 ); ;un (an ,bn ) n u i 1 i  n u i 1 i +, P ươ g p áp ự -, Đ g g ABC ó a, b, c a  b  c  2bc cos A b  c  a  2ac cos B c  a  b  2ab cos C g -, ứ ệ 1  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  bc.sin A  ca sin B  ab sin C S= 2  pr abc  4R -, ể 292 ập ậ : ứ g g A, B, C p g ụ g g x  x   x  x   13 29 AB  AC  BC ủ g gả 2 1 3 3 1     x   x   2   2   VT =  1 3 3 u x ,  ; v    x,  , u  v  1,2 2    2  Đ  ó u  v  u  v  x  x   x  x   13 ấ xả u, v g ướ g x  y  z 1 ứ g 3  x1  x  2 x x, y, z  2: x2  g 1  y   z   82 x y z gả  1  1  1 a   x,  , b   y ,  , c   z ,   x  z  y ó a  b  c  abc 1  x   y2   z2   x y z x  y  Z  2 1 1      x y Z 1 1  VT  81( x  y  z )       80( x  y  z ) x y z ó 1 1  2.9( x  y  z )      80( x  y  z ) x y z  2.9.9  80  82 30 ấ x yz xả 3: ã 0ca a, b, c 0cb ứ g g c(c  a)  c(b  c)  ab gả A B C H ự g ẽ  ó S ABH  S AHC  S ABC AH  c Đườ g AB  a , AC  b , BC  a  c  b  c ABC ó 1 c( a  c)  c(b  c)  ab sin A 2  c(c  a)  c(b  c)  ab ấ sin A   A  xả 4: x, y, z ý ứ g  g x  xy  y  x  xz  z  y  yz  z (1) gả: 2 2 y   3y  z       y z   x   z      y z   x   2   2       2  g p g Oxy x : 31 2 y   AB   x     2    y  2   y z  BC       y z   2  2 z    CA   x     z 2    ó AB  AC  BC ấ 2 p xả g A, B, C g ể A ởgữ B C  xy  yz  zx  2.10 Phƣơng pháp h ế ng h ứ +, p ụ g ả ố ệ ứ g ủ ố f ( x)  g ( x), x   a, b  Đ ố h( x)  f ( x)  g ( x) x   a, b - Nế h( x) g ế h( x)  h(a) , x   a, b  ê ( a , b) - Nế h( x) g ế h( x)  h(b), ê ( a , b) h( x)  h(a), x   a, b  x   a, b  +, ố f ( x) ê ụ ê  a, b  f ' ( x)  0, x   a, b  - Nế ó ố f ( x) ê  a, b  g ê  a, b  , ó x  f ( x)  f ( a ) f ' ( x)  0, x   a, b  - Nế x  ố f ( x) g ả f ( x)  f ( a ) : ập ậ ụ g   tan x  sin x, x   0,   2 32  a, b , ó gả   ố f ( x)  tan x  sin x, x  0,   2 ó f ' ( x)  =  f ( x) g  cos x cos x  cos3 x    0, x  0,  cos x  2 ế   ả g x  0,   2 ê    f ( x)  f (0), x   0,   2   Hay tan x  sin x  0, x   0,   2    tan x  sin x, x   0,   2 2: p g e x   x, x  ứ g gả ố f ( x)  e x   x, x  0,   ó f ' ( x)  e x   e0   0, x   f ( x) g ế ả g  0,  ê f ( x)  f (0), x  Hay e x   x  0, x   e x   x, x  3:    p ứ g g 2sin  2tan  2  gả: Do 2sin ,2tan  2sin  2tan (1)   ố f ( x)  sin x  tan x  x, x  0,   2 33 ó f ' ( x)  cos x  2 cos x cos3 x  2cos x  cos x (cos x  1)(cos  cos x  1)  0 cos x    x  0,  , cos x   0,cos x  cos x 1   2 f ( x) g 4: ế   ê 0,   2 ứ g p g a  b2  c  2(cos a  cos b  cos c)   ố a, b, c không âm gả ố y  a  2cos a ó y '  2a  2sin a y ''   2cos a Do y ''  0, a nên y ' ệ Suy y '  y ' (0)  ó y Do y  y(0)  ậ ươ g ự N â ệ 0,  g ê a  2cos a   (1) ó b2  2cos b   ế ủ 0,  g ê ấ g ứ c2  2cos c   (3) ,2,3 34 ượ p ả ứ g TÀI LIỆU THAM KHẢO ầ S g 8, Ng ễ ũ g– ấ g ứ ầ P ươ g ê õ ấ ố g – ứ ấ p ươ g ầ ố , P ươ g p áp g ả ự , p ươ g p áp ậ ứ g ấ g ứ – Nxb TPHCM ầ P ươ g Nxb Đ ,N ữ g ê ươ g g ấ ứ ,S Đ ố g 8,5 – Nxb GD 35 ấ g ứ g ứ –