Một số ứng dụng các hàm đơn điệu trong bất đẳng thức

BË GIO DÖC V€ €O T„O UBND TŸNH THANH HÂA TRìNG I HC HầNG C  L HầNG NAM MậT SÈ ÙNG DƯNG CC H€M ÌN I›U TRONG B‡T NG THÙC LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THANH HÂA, 2021 BË GIO DÖC V€ €O T„O UBND TŸNH THANH HÂA TRìNG I HC HầNG C  *  L HầNG NAM MËT SÈ ÙNG DƯNG CC H€M ÌN I›U TRONG B‡T NG THÙC LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 84 60 113 Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH NGUYN VN MU THANH HÂA, 2021 LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan luên vôn ny khổng trũng lp vợi cĂc khõa luên, luên vôn, luên Ăn v cĂc cổng trẳnh nghiản cựu  cổng bố Ngữới cam oan Lả Hỗng Nam i LI CM èN TĂc giÊ xin ữủc tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi Nh giĂo nhƠn dƠn, GS-TSKH Nguyạn Vôn Mêu, ngữới ThƯy rĐt nghiảm khưc v tên tƠm cổng viằc,  truyÃn thử nhiÃu kián thực quỵ bĂu cụng nhữ kinh nghiằm nghiản cựu khoa hồc cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cùu · t i, gióp t¡c gi£ ho n th nh mët c¡ch tốt nhĐt luên vôn ny TĂc giÊ xin ữủc chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm Hiằu, o tÔo sau Ôi hồc, khoa Khoa hồc Tỹ nhiản cừa trữớng Ôi hồc Hỗng ực, cĂc quỵ thƯy cổ giĂo  tham gia giÊng dÔy v hữợng dăn khoa hồc cho lợp cao hồc ToĂn K12 Thanh Hõa, thĂng nôm 2021 Lả Hỗng Nam ii Mửc lửc Mé U Ch÷ìng MËT SÈ TNH CH‡T CÕA H€M ÌN I›U V€ B‡T NG THÙC LI–N QUAN 1.1 C¡c t½nh ch§t cõa h m ìn i»u 1.1.1 H m ìn i»u, h m ỗng bián, nghch bián 1.1.2 ìợc lữủng mởt số tờng v tẵch phƠn cừa hm ỡn iằu Mët sè lỵp h m ìn i»u °c thị 12 1.2.1 H m ìn i»u tuy»t èi 12 1.2.2 H m ìn i»u cõ tẵnh tuƯn hon 14 CĂc Ôi lữủng trung bẳnh cỡ bÊn 15 17 2.1 Khai triºn h m sè 17 2.2 H m ìn i»u sinh bði bĐt ng thực dÔng phƠn thực 19 2.3 H m ìn i»u sinh bði cĂc Ôi lữủng trung bẳnh 30 34 3.1 H m ìn i»u liản tiáp bêc (1,2) 34 3.2 H m tüa ìn i»u 41 3.3 H m ìn i»u tøng khóc v  ph²p ìn i»u ho¡ h m sè 43 3.4 Mët sè ùng dưng kh¡c cõa h m ìn i»u 54 1.2 1.3 Chữỡng LẻP HM èN IU SINH BéI CC B‡T NG THÙC Ch÷ìng MËT SÈ ÙNG DƯNG KHC CÕA LỴP H€M ÌN I›U K˜T LUŠN T€I LI›U THAM KHƒO 69 iii 70 L½ chån · t i MÐ †U Trong nhỳng nôm gƯn Ơy cổng cuởc ời mợi phữỡng phĂp dÔy hồc (PPDH) nữợc ta  cõ mởt số chuyn bián tẵch cỹc CĂc PPDH hiằn Ôi nhữ dÔy hồc khĂm phĂ, dÔy hồc kián tÔo, dÔy hồc phĂt hiằn v giÊi quyát vĐn à  v ang ữủc cĂc thƯy, cổ giĂo quan tƠm nghiản cựu v Ăp dửng qua tứng tiát dÔy, qua tứng dÔng bi têp CĂc dÔng toĂn bêc THPT l hát sực phong phú v a dÔng Nhỳng lợp bi toĂn cỡ bÊn  cõ thuêt toĂn giÊi chẵnh thống Tuy nhiản, phƯn lợn l nhỳng dÔng toĂn thi HSG cĐp Quốc gia, c¡c cuëc thi Olympic khu vüc v  Quèc t¸ l nhỳng dÔng mợi thữớng chữa cõ thuêt giÊi chẵnh thống ựng trữợc nhỳng bi toĂn õ ta cƯn lỹa chồn phữỡng phĂp giÊi quyát phũ hủp theo c thũ cừa tứng loÔi CĂc chuyản à và bĐt ng thực v cĂc vĐn à liản quan l mởt phƯn quan trồng cừa Ôi số v giÊi tẵch toĂn hồc Nhỳng dÔng toĂn và bĐt ng thực luổn luổn xuĐt hiằn chữỡng trẳnh toĂn tứ bêc THCS án THPT CĂc hồc sinh thữớng phÊi ối mt vợi nhiÃu dÔng toĂn khõ liản quan án dÔng chuyản à ny Trong hƯu hát cĂc ký thi hồc sinh giọi quốc gia, c¡c cuëc thi Olympic To¡n khu vüc v  quèc t¸ thẳ cĂc dÔng toĂn liản quan án bĐt ng thực rĐt hay ữủc à cêp v thuởc loÔi khõ v hĐp dăn CĂc bi toĂn và khÊo sĂt tẵnh chĐt ỡn iằu nhữ tẵnh ỗng bián, nghch bián cừa hm số trản mởt khoÊng l mởt dÔng chuyản à quan trồng v cƯn thiát cho giĂo viản v hồc sinh bêc trung hồc phờ thổng Sỷ dửng cĂc tẵnh chĐt ìn i»u cõa h m sè cho ph²p chùng minh c¡c bĐt ng thực v cĂc bi toĂn cỹc tr liản quan ỗng thới, tứ mởt bĐt ng thực quen biát, ta thiát lêp ữủc dÂy cĂc bĐt ng thực mợi thổng qua kim tra tẵnh chĐt ỡn iằu cừa hm số tữỡng ựng Chẵnh vẳ vêy,  Ăp ựng cho nhu cƯu giÊng dÔy v hồc têp, tĂc giÊ chồn à ti luên vôn và "Mởt số ựng dửng cĂc hm ỡn iằu bĐt ng thực" Mửc ẵch cừa à ti Mửc tiảu cừa luên vôn l tờng hủp v m rởng cĂc dÔng toĂn và bĐt ng thùc v  x²t ùng dưng cõa c¡c h m ìn i»u v o nhúng b i to¡n cüc trà cư thº Ph÷ìng phĂp nghiản cựu Sỷ dửng phữỡng phĂp ồc v nghiản cựu cĂc ti liằu chuyản khÊo v chuyản à nhơm têng hđp c¡c k¸t qu£ v  chùng minh chi ti¸t cĂc kát quÊ õ, tiáp theo trẳnh by mởt số mð rëng v  kh¡i qu¡t hâa Dü ki¸n kát quÊ Ôt ữủc Luên vôn trẳnh by chi tiát cĂc kián thực cỡ bÊn và bĐt ng thực v x²t ùng dưng cõa c¡c h m ìn i»u v o nhúng bi toĂn cỹc tr cỹc tr liản quan Tiáp theo, trẳnh by mởt số dÔng toĂn tứ cĂc à thi HSG v Olympic ToĂn sỷ dửng tẵnh chĐt cừa hm ỡn iằu Nởi dung nghiản cựu Ngoi phƯn m Ưu, kát luên v phử lửc, luên vôn gỗm chữỡng: Chữỡng I Mởt số tẵnh chĐt cừa hm ỡn iằu v bĐt ng thực liản quan 1.1 CĂc tẵnh chĐt cừa hm ỡn iằu 1.2 Mởt số lợp hm ỡn iằu c thũ 1.3 CĂc Ôi lữủng trung bẳnh cỡ bÊn Chữỡng II Lợp hm ỡn iằu sinh bi c¡c b§t ¯ng thùc 2.1 Khai triºn h m sè 2.2 Hm ỡn iằu sinh bi bĐt ônghr thực dÔng phƠn thực 2.3 Hm ỡn iằu sinh bi cĂc Ôi lữủng trung bẳnh Chữỡng III Mởt số ựng dửng khĂc cừa lợp hm ỡn iằu 3.1 Hm ỡn iằu liản tiáp bªc (1,2) 3.2 H m tüa ìn i»u 3.3 H m ìn i»u tøng khóc v  ph²p ìn i»u hâa h m sè 3.4 Mët sè ùng dưng kh¡c cõa h m ìn i»u CH×ÌNG MËT SÈ TNH CH‡T CÕA H€M ÌN I›U V€ B‡T NG THÙC LI–N QUAN Mưc ½ch cõa chữỡng ny nhơm giợi thiằu mối quan hằ giỳa Ôo hm v cĂc hm ỡn iằu, ỗng bián, nghch bián, hm lỗi, hm lóm v mởt số mởt số hằ quÊ quan trồng Ăp dửng cho cĂc Ôi lữủng trung bẳnh cỡ bÊn v cĂc lợp hm sỡ cĐp nhữ h m a thùc, h m lơy thøa, h m si¶u vi»t v  cĂc hm lữủng giĂc Tiáp theo, s trẳnh by mởt số dÔng bĐt ng thực cỡ bÊn ữủc suy tø t½nh ìn i»u cõa h m sè 1.1 C¡c t½nh ch§t cõa h m ìn i»u 1.1.1 H m ìn i»u, h m ỗng bián, nghch bián I(a, b) R l nhơm ng¦m hđp (a, b), [a, b), (a, b] ho°c [a, b], vỵi a < b X²t h m sè f (x) xĂc nh trản têp I(a, b) R Ta thữớng dũng kỵ hiằu nh nghắa 1.1 nh mởt bốn têp Náu vợi mồi x1, x2 I(a, b) cho x1 < x2, ta ·u (xem [4]) câ f (x1 ) ≤ f (x2 ) th¼ ta nâi rơng f (x) l mởt hm ỡn iằu tông trản I(a, b) °c bi»t, ùng vỵi måi c°p x1 , x2 ∈ I(a, b), ta ·u câ f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 < x2 , thẳ ta nõi rơng f (x) l mởt hm ỡn iằu tông thỹc sỹ trản I(a, b) Ngữủc lÔi, náu vỵi måi x1 , x2 ∈ I(a, b) cho x1 < x2 , ta ·u câ f (x1 ) f (x2 ) thẳ ta nõi rơng f (x) l mởt hm ỡn iằu giÊm trản I(a, b) Náu x£y f (x1 ) > f (x2 ) ⇔ x1 < x2 ; ∀x1 , x2 ∈ I(a, b), thẳ ta nõi rơng f (x) l mởt hm ỡn i»u gi£m thüc sü tr¶n I(a, b) Nhúng h m sè ỡn iằu tông thỹc sỹ trản I(a, b) ữủc gồi l hm ỗng bián trản I(a, b) v hm số ỡn iằu giÊm thỹc sỹ trản I(a, b) ữủc gồi l hm nghch bián trản têp õ Trong chữỡng trẳnh giÊi tẵch,  biát án cĂc tiảu chuân  nhên biát no thẳ mởt hm số khÊ vi cho trữợc trản khoÊng trản khoÊng õ (a, b) l mởt hm ỡn iằu nh lỵ 1.1 (xem [4-6]) Cho hm số f (x) cõ Ôo hm trản khoÊng (a, b) (i) Náu f (x) > vợi mồi x (a, b) thẳ hm số f (x) ỗng bián trản khoÊng õ (ii) Náu f ′ (x) < vỵi måi x ∈ (a, b) thẳ hm số f (x) nghch bián trản khoÊng õ Vẵ dử 1.1 Hm y = sin x Thêt vêy ỡn iằu tông trản oÔn h i , 2 π πi ∀x1 , x2 ∈ − , , x1 < x2 , 2 h ta câ x2 − x1 x1 + x2 sin · 2 π x1 + x2 π − < < 2 sin x2 − sin x1 = cos V¼ v  π π ⩽ x1 , x2 ⩽ , 2 x2 − x1 π 0< ⩽ 2 − n¶n Do â, c£ hai thøa sè ð vá phÊi cừa (1.1) Ãu dữỡng trản oÔn sin x2 > sin x1 V½ dư 1.2 H m y = [x] (1.1) h π πi − , 2 l  hm tông m khổng l hm ỗng bián trản v R [x] l số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ x Do õ náu x1 < x2 thẳ [x1 ] < x2 v vẳ vêy [x1 ] [x2 ], Ơy náu m x1 < x2 < m + th¼ [x1 ] = [x2 ] = m ựng vợi m Z Thêt vêy, nh nghắa 1.2 H m g ÷đc gåi l  h m ng÷đc cõa h m f náu ỗng thới xÊy cĂc ỗng nhĐt thực g ◦ f = eDf v  f ◦ g = eDg , â e(x) ≡ x H m ng÷đc cõa f ữủc kỵ hiằu l f iÃu kiằn Ưu cõ nghắa rơng x Df f (x) Dg (v¼ Ef ⊂ Dg ) v  g(f (x)) = x (vẳ thá Df Eg ) iÃu kiằn thự hai cụng ữủc giÊi thẵch theo ỵ nghắa tữỡng tỹ Nhên xt rơng mồi hm ỡn iằu thỹc sỹ (ỗng bián hoc nghch bián) Ãu cõ hm ngữủc vẳ cĂc Ănh xÔ thỹc hiằn bi cĂc hm Đy Ãu l ỡn tr mởt - mởt Tuy nhiản, tẵnh ỡn iằu thỹc sỹ (ỗng bián hoc nghch bián) ch l iÃu kiằn ừ  tỗn tÔi hm ngữủc chự khổng phÊi l iÃu kiằn cƯn Thêt vêy, tỗn tÔi nhỳng hm khổng ỡn iằu lÔi cõ hm ngữủc, chng hÔn nhữ hm x xĂc nh trản têp R \ {0} cõ hm ngữủc l chẵnh nõ Thổng th÷íng, º chùng minh mët h m n o â khỉng câ hm ngữủc ta ch cƯn ch rơng cõ hai số phƠn biằt Vẵ dử 1.3 x1 , x2 cho f (x1 ) = f (x2 ) y = x2 , x R khổng cõ hm ngữủc vẳ vỵi x1 = −3 ∈ R x2 = ∈ R thẳ (3)2 = (3)2 = Những náu ta x²t y = x2 , x ∈ R+ th¼ nâ √ h m ng÷đc l  y = x + 2 Thêt vêy, ựng vợi x1 , x2 R , x1 ̸= x2 , ta câ y1 = x1 , y2 = x2 Suy H m v  câ y1 − y2 = x21 − x22 = (x1 − x2 )(x1 + x2 ) ̸= V· sau, ta th÷íng sỷ dửng kát quÊ sau Ơy nh lỵ 1.2 Hm ngữủc cừa hm tông thỹc sỹ (ỗng bián) cụng l hm tông thỹc sỹ Tữỡng tỹ, hm ngữủc cừa hm gi£m thüc sü (nghàch bi¸n) cơng l  h m gi£m thüc sü Chùng minh.Gi£ sû f l  h m t«ng thüc sü Ta cƯn chựng minh rơng náu y1 , y2 Df −1 v  y1 < y2 th¼ suy f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ) Thªt vªy, giÊ sỷ ngữủc lÔi, f (y1 ) f (y2 ) Do f ỗng bián nản f (f −1 (y1 )) ⩾ f (f −1 (y2 )) hay y1 y2 , mƠu thuăn Trong chữỡng trẳnh giÊi tẵch,  biát án cĂc tiảu chuân  nhên biát no thẳ mởt hm số khÊ vi cho trữợc trản khoÊng (a, b) l mởt hm ỡn iằu trản khoÊng õ CĂc nh lẵ sau Ơy cho ta mët sè °c tr÷ng ìn gi£n kh¡c cõa h m ỡn iằu nh lỵ 1.3 Hm số f (x) x¡c ành tr¶n R+ l  mët h m ìn i»u (xem [4-6]) tông v ch vợi mồi cp bở sè d÷ìng a1 , a2 , , an v  x1 , x2 , , xn , ta ·u câ n X ak f (xk ) ≤ n X k=1 Chùng minh Khi f (x) n  X  ak f xk f (xj ) f k=1 k=1 ỡn iằu tông trản n X (1.2) R thẳ hin nhiản ta cõ  xk , j = 1, 2, , n k=1 Suy aj f (xj ) ≤ aj f n X  xk , j = 1, 2, , n k=1 (1.3) Vªy ta câ hm số ỡn iằu tông g1 (x) mực thĐp nhĐt thoÊ mÂn (3.55) ữủc xĂc nh theo cổng thực  g0 (x) = ối vợi trữớng hủp p, p, f (x), khi ⩽ x ⩽ 2p 2p x thẳ hin nhiản hm số ỡn iằu tông thĐp nhĐt thoÊ mÂn (3.55) s l  h m h¬ng g1 (x) mùc g1 (x) ≡ p Mồi hm số ỡn iằu tông khĂc ữủc xĂc nh theo (3.57), Tữỡng tỹ, ta xt viằc mổ tÊ lợp hm ỡn iằu cho trữớng hủp hm số  cho ữớng mực cao nhĐt Vẵ dử 3.12 Xt hm sè f (x) = x2 − 2px + 1, < p < X¡c ành c¡c h m sè ìn i»u g(x) [0, 1] cho g(x) ⩽ f (x), x [0, 1] Lới giÊi Nhên xt rơng, ỗ th hm số y = f (x) (3.58) (xt trản R) cõ trửc ối xựng x = p Trữợc hát, ta xƠy dỹng hm số ỡn iằu giÊm (3.58), tùc l , ùng vỵi måi g(x) g0 (x) mùc cao nhĐt thoÊ mÂn ỡn iằu giÊm v thoÊ mÂn g(x) ⩽ g0 (x), ∀x ∈ [0, 1] (3.58), ta ·u cõ (3.59) [0, p] hm số  cho nghch bián n¶n hiºn nhi¶n g0 (x) = f (x) [0, p] [p, 1], hm f (x) ỗng bián, nản  f (x), ⩽ x ⩽ p g0 (x) = f (p) = 1, p ⩽ x Vẳ Vẳ (3.59), Tiáp theo, ta xĂc ành h m sè ìn i»u t«ng g1 (x) mùc cao nhĐt thoÊ mÂn (3.58), tực l, ựng vợi mồi g(x) ỡn iằu tông v thoÊ mÂn (3.58), ta Ãu cõ Måi h m sè ìn i»u gi£m kh¡c ÷đc x¡c ành theo g(x) ⩽ g1 (x), ∀x ∈ [0, 1] X²t tr÷íng hđp 0⩽p⩽ hay ⩽ 2p ⩽ 44 [0, p] h m sè ¢ cho nghàch p x = , n¶n hiºn nhi¶n g0 (x) = Vẳ bián v ỗ th hm số  cho câ tröc èi xùng (3.60) f (0) = [0, 2p] [2p, 1], hm f (x) ỗng bián, nản g0 (x) ≡ f (x) t«ng g1 (x) mùc cao nhĐt thoÊ mÂn (3.58) ữủc xĂc Vẳ Vêy ta câ h m sè ìn i»u ành theo cỉng thùc  g0 (x) = 1, f (x), khi ⩽ x ⩽ 2p 2p ⩽ x ⩽ 1 ⩽ p, thẳ hin nhiản hm số (3.58) s l hm hơng g1 (x) ỡn iằu tông ối vợi trữớng hủp nhĐt thoÊ mÂn g1 (x) mực cao Mồi hm số ỡn iằu tông khĂc ữủc xĂc nh theo (3.58), V½ dư 3.13 p ∈ (0, 1) v  cho h m x1 , x2 , x3 , x4 (x1 ⩽ x2 ⩽ x3 ⩽ x4 ) [0, 1] Cho sè sè f (x) = |x − p| X²t cĂc bở số Tẳm giĂ tr lợn nhĐt cừa biu thùc M = |f (x1 ) − f (x2 )| + |f (x2 ) − f (x3 )| + |f (x3 ) − f (x4 )| Líi gi£i Nhªn x²t rơng, tứ ỗ th hm số  cho, ta ữủc thùc x£y câ x1 = 0, x4 = v  mët nót x2 ho°c x3 M ⩽1 v  dĐu ng trũng vợi p v vẳ vêy, max M = B i to¡n 3.24 Cho h m sè n ∈ N [Têng qu¡t] f (x) li¶n tưc v  câ húu hÔn khoÊng ỡn iằu trản Xt tĐt cÊ cĂc dÂy sè t«ng {xi } [a, b] v  1< [a, b]: x0 = a ⩽ x1 ⩽ x2 ⩽ · · · ⩽ xn ⩽ xn+1 = b T¼m gi¡ tr lợn nhĐt cừa biu thực n X M= f (xi ) − f (xi+1 ) i=0  giÊi quyát bi toĂn ny ta xt tứng trữớng hđp cư thº B i to¡n 3.25 +∞ v  f (x) liản tửc v ỡn iằu trản [a, b] vợi < a < b < tĐt cÊ cĂc dÂy số t«ng {xi } [a, b]: Cho h m < n ∈ N X²t x0 = a ⩽ x1 ⩽ x2 ⩽ · · · ⩽ xn ⩽ xn+1 = b Tẳm giĂ tr lợn nhĐt cừa biu thực n X M= f (xi ) − f (xi+1 ) i=0 45 Líi gi£i V¼ f (x) ìn iằu trản [a, b] nản vợi mồi dÂy tông (xn )∞ n=1 [a, b]: x0 = a < x1 < · · · < xn < xn+1 = b ta ·u câ n