(Luận văn) toán tử monge ampere phức và bài toán dirichlet trong lớp f

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG lu an n va p ie gh tn to TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP d oa nl w va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG lu an n va TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP gh tn to p ie Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 d oa nl w ll u nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Trần Thị Mai Phương lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lu lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học an n va Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Công nghiệp Tỉnh Hồ Bình hồn thành luận văn gh tn to đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập p ie Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết w mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên oa nl để luận văn hoàn chỉnh d Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi lu u nf va an thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 ll m oi Tác giả z at nh z @ m co l gm Trần Thị Mai Phương an Lu n va ac th si iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lu Bố cục luận văn an Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ va n 1.1 Hàm đa điều hoà gh tn to 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại ie 1.3 Hàm cực trị tương đối p 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10 nl w 1.5 Nguyên lý so sánh 13 d oa Chƣơng TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP an lu 16 u nf va 2.1 Mở đầu 16 2.2 Xấp xỉ hàm đa điều hòa liên tục 16 ll oi m 2.3 Tích phân phần 18 2.5 Lớp z at nh 2.4 Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức 21 25 z gm @ 2.6 Bài toán Dirchle toán tử Monge-Ampere 38 l KẾT LUẬN 41 m co TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm biến phức nói chung lý thuyết đa vị nói riêng xuất từ lâu, nhiên phát triển vòng 30 năm trở lại Nhiều kết quan trọng lý thuyết biết đến từ sớm Tuy nhiên phát triển lý thuyết với việc tìm thấy ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học thực mạnh mẽ sau E Berfod, B A Taylor năm 1982, xây dựng thành cơng tốn tử Monge- lu an Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, khái va n niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm lý thuyết đa vị E Berfod gh tn to B A Taylor toán tử xác định lớp hàm đa điều hòa p ie bị chặn địa phương có ảnh lớp độ đo khơng âm Tiếp đó, năm w 1984, Kiselman khơng thể mở rộng tốn tử tới lớp hàm oa nl đa điều hịa mà có ảnh lớp độ đo khơng âm Do d miền xác định toán tử Monge-Ampere quan trọng lý thuyết đa lu va an vị nhận quan tâm nhiều nhà toán học nước ( ), p ( ), p ( ) ll u nf Năm 1998, Cegrell định nghĩa lớp lượng oi m tốn tử Monge-Ampere phức xác định Năm 2004, Cegrell định nghĩa z at nh lớp ( ), ( ) lớp ( ) lớp hàm định nghĩa tự nhiên toán tử Monge-Ampere phức Đó lớp hàm lớn tốn tử Monge - z gm @ Ampère xác định, liên tục dãy giảm hàm đa điều hòa Với mong l muốn tìm hiểu sâu tốn tử Monge-Ampere áp dụng kết đạt m co việc giải toán Dirichlet lớp lượng , chúng tơi chọn nghiên cứu ” làm đề tài an Lu “Toán tử Monge-Ampere phức toán Dirichlet lớp n va ac th si 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mở rộng định nghĩa tốn tử Monge-Ampème phức tới lớp hàm đa điều hòa gồm tất hàm có giá trị giới hạn giảm hàm test Đây định nghĩa tổng qt địi hỏi tốn tử liên tục theo giới hạn giảm dần Nghiên cứu toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu lu an n va Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: tn to - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm gh đa điều hoà dưới, hàm đa điều hồ cực đại, hàm cực trị tương đối, tốn tử p ie Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ nl w - Trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hòa âm hàm đa điều d oa hòa dưới, liên tục lu hàm va an - Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp u nf đa điều hịa gồm tất hàm có giá trị giới hạn giảm hàm ll test Đó định nghĩa tổng qt địi hỏi tốn tử liên tục theo giới oi m hạn giảm dần z at nh - Trình bày vài kết nghiên cứu toán tử Monge-Ampère sử z dụng định nghĩa tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet m co l Phƣơng pháp nghiên cứu gm @ lớp an Lu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương n va pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết đa vị phức ac th si Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ Chương 2: Là nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hòa âm hàm đa điều hòa dưới, lu an liên tục sử dụng suốt chương Kế đến việc mở rộng định hàm đa điều hịa n va nghĩa tốn tử Monge-Ampère phức tới lớp tn to vài kết toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp p ie gh d oa nl w Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với n b , thành phần Hàm u gọi đa điều hoà với liên thông a u : u(a , hàm b) điều hoà trùng :a lu thành phần tập hợp an ( ) ( kí hiệu Trong trường hợp ( ) lớp hàm đa điều hoà n va này, ta viết u b tn to ) p ie gh Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: 1.1.2 Mệnh đề Nếu u, v v , oa nl u v hầu khắp nơi w ( ) u d 1.1.3 Mệnh đề Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền lu va PSH ( ), u với z , ll u nf u n tập mở liên thông bị chặn an bị chặn, tức oi y y z at nh 1.1.4 Định lý Cho sup lim sup u(y ) m u(z ) n tập mở Khi z j ( ) u j ( ) dãy giảm, n va lim u j uj an Lu u liên thông ( ) m co (ii) Nếu v số không âm l ( ) , u , gm u, v ( ) nón lồi, tức @ (i) Họ ac th si (iii) Nếu u : , u j , u tập compact (iv) Giả sử u ( ) hội tụ tới u j ( ) ( ) cho bao u A sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.5 Hệ Cho n tập mở lu Nếu u y , cơng thức ( ), lim v(x ) ( ), v x an khác rỗng tập mở thực n va to trong \ p ie gh tn max u, v u u(y ) với y oa nl w xác định hàm đa điều hoà n tập mở d 1.1.6 Định lý Cho lu (i) Cho u, v hàm đa điều hoà Nếu : va an v u nf lồi, v (u / v) đa điều hoà ll ( ), v oi ( ), v m (ii) Cho u : Nếu z at nh lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii) Cho u, v , v (u / v) z : v(z ) an Lu F n m co tập mở Nếu ( ) l 1.1.7 Định lý Cho , v gm lồi (0) @ 0, z : 0, ( ), u n va ac th si 28 Giả sử bổ đề chứng minh p p q m c q m ta chứng minh bổ đề Trước tiên ta chứng minh: p q c (dd u2 ) c dd u1 T c p q (dd u1 ) p q (dd u2 ) T p q /p q T 1/ p q Thật vậy, ta có lu (dd cu2 )p q dd cu1 (dd cu2 )p T q dd cu1 dd cu2 T an va c p q c c p q n (dd u2 ) (dd u2 ) T T p q 1/ p q w c p q T c (dd u1 ) p q dd u2 c (dd u1 ) p q dd u2 T T 1/ p q 1/ p q p q 1/ p q d oa nl (dd u2 ) c c p ie gh tn to dd u2 p q 1/ p q p q T c p q c (dd u2 ) dd u1 T 1/ p q 1/ p q ll u nf va (dd u1 ) p q 1/ p q an lu c oi m Vì p q (dd u2 ) z at nh c c dd u1 T c p q c p q (dd u2 ) T p q /p q z T (dd cu1 )p (dd cu2 )q an Lu (dd cu2 )q m co l Sử dụng điều này, ta có (dd cu1 )p T gm @ (dd u1 ) 1/ p q dd cu1 T n va ac th si 29 c p q (dd u1 ) (dd cu1 )p c dd u1 T q (dd u2 ) p q (dd u1 ) c p q c (dd u2 ) dd u1 T q /p q p/p q T p q c p/p q c p q /p q T p 1/ p q T c p q (dd u1 ) c T p q (dd u2 ) 1/ p q T q /p q q /p q lu  an bổ đề chứng minh n va h Khi hdd cu1 p ie gh tn to 2.5.5 Định lý Giả sử u1, , un dd cun h(dd cu1 )n 1/n h(dd cun )n 1/n oa nl w Chứng minh Mệnh đề 2.5.1, ta thấy cần xét trường d - Sử dụng định nghĩa lu 1/n h(dd cu1 )n ll h(dd cu2 )n n 1/n oi m (dd cu2 )n u nf hdd cu1 Sử dụng Bổ đề 2.5.4, ta có: va an hợp u1, , un un h(dd up ) c dd u1 n p u Khi c dd up 1/n p an Lu n p un m co c dd cu l dd cu p gm hdd cu1 u giả sử u p u Giả sử định lý @ un z up z at nh định lý u2 n va ac th si 30 c n p c h(dd u ) c n h(dd u1 ) c n h(dd u1 ) h(dd cu1 )n dd u1 1/n 1/n 1/n dd up c n h(dd u p ) n p 1/n p c c n h(dd u p ) h(dd cup )n 1/n 1/n 1/n c n h(dd u p ) c n p /n n p 1/n p n p /n n h(dd u ) h(dd cup )n 1/n p 1/n lu an n p 1/n  n va h(dd cu)n tn to 2.5.6 Hệ Giả sử u1, , un p ie gh Khi dd cun 1/n (dd cu1 )n (dd cun )n 1/n oa nl w dd cu1 2.5.7 Hệ Giả sử u d ( ) x Khi (x ) u (dd cu)n x 1/n , (x ) số Lelong u x oi u m ll u nf va an lu 2 n dd c log z n an Lu max log z / r, dd cu m co , sử dụng Định lý 2.5.5, ta có l gm (x ) u vu (0) @ n n Chú ý B 0,s Do đó, với r dd c log z (B ) , x z j dd cu lim z at nh Chứng minh Trước tiên, giả sử u n va ac th si 31 c max log z / r, dd u n n n max log z / r , dd log z ( c max log z / r, dd u Cho r n n n c n n ) , ta điều phải chứng minh Trong trường hợp tổng quát,  cần thay log z hàm Green đa phức với cực x Khi tồn h 2.5.8 Định lý Giả sử E tập đa cực lu cho E h an va p Chứng minh Nhắc lại định nghĩa n p [4]: u thuộc tn to ( u j )p (dd cu j )n hữu hạn, u j xác định Định ie gh sup p nghĩa 2.4.6 Chọn dãy tập hợp compact tương đối nl w j oa cho điểm E nằm số hữu hạn j (dd ch )n d j , j lu an h hàm đa điều hòa cực trị tương đối Theo Bổ đề 3.9 K h cho ll [4], tồn dãy u nf va j Theo Hệ 2.5.6, ta oi m Kj rõ ràng hj Vì E z hj vậy, hj z at nh chọn dãy dãy này, ký hiệu h j cho @ B Năng lượng cổ điển dd c dd c (1 z ) 16 (1 z ) dd c an Lu 16 m co vị l gm 2.5.9 Ví dụ Hàm log z khơng nằm (B) , B hình cầu đơn n va ac th si 32 Vì lượng cổ điển log z không bị chặn địa phương, nên theo ý sau Định nghĩa 2.4.6 suy log z (B ) Sử dụng ý tưởng này, tính tốn ( log z )v thực [5], suy v (B ) / (dd cu )n Khi (1 u )2n 2.5.10 Bổ đề Giả sử u lu Chứng minh - Giả sử u an Chọn u j n va uj u uj (dd cu j )n d dc 2n uj ) u u , j C ( ), uj n uj uj hội tụ yếu đến d d uj n u c nên để chứng minh bổ đề, ta u cần chứng minh ll u nf va an lu c n d Vì d d uj oa nl w (1 L ( ) , suy u p ie gh tn to Khi dd n u c z ( ) , nên sử dụng Hệ 2.5.2 với p cố định, ta có u)2n 1)(dd cu)n lim( j (1 u)2n 1)(dd cu j )n an Lu ( (1 m co l gm @ (1 u)2n z at nh Vì u j )2n (dd cu )n hội tụ yếu đến , j (1 u)2n oi (1 m (dd cu j )n n va ac th si 33 lim( j lim( up Cho p 2n 1) dd cu j uj j 2n 1) dd cu j n n ( up n 1) dd cu 2n  ta có điều phải chứng minh 2.5.11 Định lý Giả sử Khi tồn lu an f (dd c )n L1loc ((dd c )n ) cho f hàm độ đo dương , va n mang tập đa cực to tn (dd cu)n với u mang u ie gh Hơn nữa, p Chứng minh Sử dụng định lý Radon - Nikodym, phần thứ suy từ Định an dd n u c lu u u nf va (dd cu )n (1 u )2n d oa nl w lý 6.3 [4] Theo Bổ đề 2.5.10, ta có ll (dd cu )n Nói riêng, triệt tiêu tập đa cực Do đó, (1 u)2n oi m , ta có gm  m co l cực u u bị mang tập đa @ 2n z f (dd c )n z at nh (dd cu)n [4] n va p an Lu Định lý sau, liên quan đến nguyên lý so sánh, tổng quát hóa lớp ac th si 34 2.5.12 Định lý Nếu u, v (dd cu)n ( ) L ( ) , lim u(z ) v(z ) z (dd cv)n a 2.5.13 Định nghĩa Ta ký hiệu , u v 0, với lớp gồm tất hàm cho (dd c )n triệt tiêu tất tập đa cực 2.5.14 Bổ đề Giả sử độ đo dương Nếu ( ) a triệt tiêu tập đa cực, tồn hàm lu (dd c )n an va n Chứng minh Theo Định lý 2.5.11 suy tồn gj gh f ie tn to L1((dd c )n ) cho p (dd c g j )n w nl dãy giảm Đặt g d oa j min(f , g )(dd c )n từ Định lý 2.5.12 suy g j Bây ta chứng minh g xác định nhất: giả sử g Thật vậy, lấy s j dãy , ta chứng tỏ u nf số tự nhiên K j ll dãy tập compact với hK liên j oi m 1) dd c n 1/ j , gm @ j ma x ( / s j z hK ) z at nh tục cho (1 f (dd c )n Theo [8] , tồn va với (dd c )n hàm lim g j từ Bổ đề 2.5.3 suy g hàm đa điều hịa an lu thuộc a cho l hội tụ đơn điệu (dd c )n triệt tiêu tập đa cực Hơn nữa, sử dụng dd cma x ( , s j hK )n j (dd c )n an Lu j lim m co Mệnh đề 2.5.1, ta có n va ac th si 35 Lấy s s j viết d j dj s j hK s j hK hK max ( / s j , hK ) Ta có j j j (dd cmax ( , shK ))n j j độc lập với s theo Bổ đề 2.5.4 [4] Điều có nghĩa n c d j d d max , shK n c ,s j hK j d d max , shK j j lu an va n s j hK d d c max( , s j hK ) n n d d c max( , shK ) j tn to j Vì cho s j p ie gh sử dụng Hệ 2.5.2, ta c n c s j hK dd max( , s j hK ) (dd c )n j j oa nl w d j (dd ) n d Kết hợp bất đẳng thức đó, ta nhận lu n min(f , p) dd cmax ( , s jhK ) j f min(f , p) c n (dd ) f ll u nf va an dj m co gp w jp , an Lu n va j v jp l Khi từ Định lý 2.5.12 suy ma x ( , s j , hK ) gm min( f , p) c n (dd ) f @ dj cho z (dd cv jp )n min(f , p) (dd c )n f z at nh Mặt khác tồn v jp dj oi m n min(f , p) c dd max ( , s j hK ) j f (dd cg p )n ac th si 36 w p j c , dd w p j n min( f , p) c dj dd max ( , s j hK ) j f n lim v jp Vì Đặt v j (dd cv j )n p Do cần chứng minh Mặt khác tồn t j (dd ct j )n p j lim j j / j , nên suy v j p hội tụ yếu đến , j cho (1 d j )(dd c (max( , s j hK ))n j lu an Khi tj max( , s j hK ) j j n va j d j dd c max , s j hK n j p ie gh tn to (dd ct j )n d j2 dd c n d j dd c n hK d oa nl w Từ t j hội tụ yếu tới 0, j / j Do ll u nf va j hội tụ yếu đến với (dd cu)n v (dd cv)n v z at nh Chứng minh Khơng tính tổng quát, giả sử v h(dd c )n với , L1((dd c )n ) (dd cv)n (dd cu)n , nên ta giả sử mang tập đa cực Vì an Lu m co f với L1((dd c )n ) l f (dd c )n f gm , 0 Ta biết @ (dd cv)n u z (dd cu)n  oi m a 2.5.15 Định lý Nếu u n dd c j an lu j / s j , hK max h f Theo Bổ n va ac th si 37 đề 2.5.14 điều đủ để với nghiệm g phương trình (dd c g )n (dd c )n , ta có v tùy ý Ngay từ đầu ta sử dụng bất đẳng thức hK g Lấy K tập compact không rỗng max (v / s, hK ) v shK Do áp dụng hệ 2.5.2 Bổ đề 5.4 [4], ta max (v / s, hK ))(dd cv )n ( hK max(v / s, hK ))(dd c max(v, jhK ))n lim( hK lu j an va lim v shK n j (dd c max(v, jhK ))n v shK (dd c max(v, s hK ))n gh tn to Như max (v / s, hK ))(dd cv)n p ie ( hK max (v / s, hK ))(dd cv )n triệt tiêu tập đa cực Do đó, oa nl w suy ( hK v shK (dd c max(v, s hK ))n d gs ,K nghiệm phương trình max (v / s, hK ))(dd cv )n u nf ( hK va max (v, shK ) theo nguyên lý so sánh ll gs,K an lu (dd c gs ,K )n oi m ( hK z at nh (dd c gs ,K )n max (v / s, hK ))(dd cv )n max (v / s, hK ))f (dd c )n ( hK max (v / s, hK ))(dd c g )n z ( hK lim max(v, shK ) g  n va s K tăng đến an Lu Vậy v m co l gm @ Theo Bổ đề 2.5.4, gs ,K giảm đến g s ac th si 38 2.6 Bài tốn Dirchle đơi với toán tử Monge-Ampere Bài toán Dirichle toán tử (dd c )n L E Bedford B.A Taylor nghiên cứu năm 1982, U Cegrell S Kolodziej nghiên cứu năm 1998 Ở xét toán Dirichle lớp 2.6.1 Bổ đề Giả sử , (dd cv )n mang tập ,v đa cực Khi tồn g cho (dd c g )n (dd c )n (dd cv)n lu an Chứng minh Theo giả thiết Định lý 2.5.11 ta giả sử (dd cv )n va n mang tập v Chọn v j C ( ) , vj v, j dãy tn to v cho p ie gh tăng tập compact K j Kj (dd cv )n oa nl w (1 / j ) vt d chọn t j cho K j (dd cv )n j Điều K j compact j Khi (1 / j ) ll u nf va v an lu Kj j m vt j (dd cv)n (dd cv)n oi j z at nh vt j mở nên ta có z j j (dd cvs )n j l m co với s j đủ lớn Nhưng vt giảm nên j vs j j3 (dd cvs )n j an Lu (1 / j ) (dd cv)n gm vt @ (1 / j ) (dd cv)n n va ac th si 39 Bây chọn vs C0 j vs j2 , j cho j j j Để đơn giản ta ký hiệu v j thay cho vs Giải phương trình j j (dd c j )n (1 (dd c g j )n j )(dd cv j )n , (dd c )n Khi ta xác định g g j j (dd cv j )n , g j g, j Theo nguyên lý so sánh ta có lu g j ta buộc cho an gj n va (v j / j ) g j j j inf gh tn to gj p ie Đối với (1) g j gj j oa nl w (v j / j ) (2) Trên v j / j d ta có vj (v j / j ) j vj j gj j ll u nf va (v j / j ) an lu gj , với oi j inf ta có z at nh (v j / j ) m (3) Trên tập mở v j / j j vj j2 z v j / j j )n (dd c j )n (dd c )n (dd c (g j (1 (v j / j ) j )(dd cv j )n an Lu (dd c (dd cv j )n m co (dd c )n l (dd c g j )n gm j @ j ))n n va ac th si 40 g j (v j / j ) g j theo nguyên lý so sánh Bằng cách lấy tích j phân phần, ta (dd c (g j (v j / j ) j ))n (dd cg j ))n Vì (dd c g j )n (dd c g )n (dd c g j )n có (dd c g )n (dd c )n (dd cg j )n m (dd c (dd cg j ))n , (dd c )n (dd cv )n , j nên ta (dd cv)n , ta chứng minh j )m 0, j m ,1 n lu an Nhưng điều suy từ Định lý 2.5.5 Bổ đề chứng minh n va tn to 2.6.2 Định lý Giả sử độ đo dương f (dd c )n , p w với (dd c g )n L1((dd c )n ) với (dd cv )n mang tập đa cực Nếu có v tồn d oa nl g f ,0 ie gh hạn Khi với khối lượng tổng cộng hữu an lu Chứng minh Từ Bổ đề 2.5.14 Bổ đề 2.6.1 suy với j tồn g j ll ( ) , nên suy tồn z at nh g (dd c g j )n oi lim g j Vì m j gj Từ chứng minh Bổ đề 2.6.1 suy u nf gj min(f , j )(dd c )n va với (dd c g j )n Định lý chứng minh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hồ cực đại, hàm cực trị tương đối, tốn tử MongeAmpère, nguyên lý so sánh hệ - Một số kết việc nghiên cứu xấp xỉ toàn cục hàm đa điều hòa âm lu - Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp hàm an n va đa điều hòa gồm tất hàm có giá trị giới hạn giảm hàm tn to test Đó định nghĩa tổng quát địi hỏi tốn tử liên tục theo giới hạn giảm dần p ie gh - Vài kết nghiên cứu toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa d oa nl w tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] N.Q.Diệu L.M.Hải (1992), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại Học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Blocki Z (1993), "Estimates for the Monge-Ampere operator", Bull Pol Acad Sci Math., 41, pp 151-157 lu an [3] Blocki Z (1996), "The complex Monge- Ampere operator in hyperconvex n va domains, Annali della Scuola Normale Superiore di pisa 4, 23, pp 721- 747 gh tn to [4] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math 180, no2, pp 187 - 217 ie [5] Cegrell U (1999), "Explicit calculation of Monge-Ampere measure", Actes p des rencontres d’analyse complexe, 25-28 Mars 1999, Edited by Gilles Raby w oa nl and Frederic Symesak Atlantique Universite de Poitiers, 2000 d [6] Cegrell U (2004), "The general definition of the complex Monge - Ampère", lu va an Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp 159 - 179 ll u nf [7] Coman D.(1997), "Integration by parts for currents and applications to the oi m relative capacity and Lelong numbers", Mathematica, tome 39 (62), No 1, pp 45-57 pp 69-117 z at nh [8] Kolodziej S (1998), "The complex Monge-Ampere equation", Acta Math 180, z m co l gm @ an Lu n va ac th si