bài tập lớn giải tích 2 tính chiều dài thành hồ bơi

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2a.. Tính chiều dài thành hồ bơiTrước hết ta sẽ chọn loại hồ nước để tính và ta chọn loại hồ cong như hình dưới đây đểtính:Hồ bơi dạng cong cho các khu nghỉ mátBể b

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

a Tính chiều dài thành hồ bơi

Trước hết ta sẽ chọn loại hồ nước để tính và ta chọn loại hồ cong như hình dưới đây để tính:

Hồ bơi dạng cong cho các khu nghỉ mát

Bể bơi hình oval

Loại hình dạng bể bơi này thường được thiết kế mà đối tượng sử dụng là trẻ em nhưng chúng ta cũng bắt gặp các hồ tương đối lớn ở các homestay Hồ bơi hình Oval đẹp, uốn lượn mềm mại, hợp phong thủy

Ngoài ra bể bơi composite đúc sẵn hình oval loại mini dành cho gia đình là một lựa chọn tuyệt vời dành cho khu vườn thân yêu của bạn Hay hình oval được thiết kế và thực hiện xây dựng hồ bơi khu nghỉ dưỡng ven biển

Từ đây, ta sẽ thiết lập các kích thước bể bơi sơ bộ như sau:

Thông số ban đầu của bể bơi

-Kích thước bao của hồ là : dài 9 mét và rộng là 4.5 mét

Hình dạng của hồ bơi được tạo từ 4 đoạn khác nhau bao gồm 3 đường tròn và 1 đường thẳng (thỏa yêu cầu đề bài cho)

Từ đây, ta có thể dễ dạng nhận thấy để tính chiều dài thành hồ thì chúng ta sẽ áp dụng đến tích phân đường loại 1 và chia thành 3 tích phân để cộng lại sẽ thành chiều dài thành hồ:

Ta chọn góc tọa độ nằm ở phía dưới như hình vẽ.

dg1

❑

d l1+∫

dg 2

❑

d l2+∫

dg 3

❑

d l3

Vì trong đoạn đường tròn có 2 đường tròn có cùng đường kính và đối xứng nhau nên ta chỉ cần tích độ dài của 1 đường tròn và sẽ suy ra được chiều dài đường tròn kia

Suy ra:

dg 1

❑

d l1+∫

dg2

❑

d l2

Dựa vào kích thước trên ta sẽ có lần lượt phương trình của 3 đường tròn trên mặt OXY là:

 Đường tròn thức nhất là:

O

x y

Phương trình đường tròn: ( x−2,5 )2

+( y −2,25)2=2,252

4cost +2,5

y=9

4sin t +2,25 Với góc chạy từ:

−π

2 ≤ φ ≤2,448(140.28 độ) Suy ra: d l1=√x t ' 2

+y t '2 dt=√8116(sint

2+cost2)dt

dg1

❑

d l1= ∫

−π

2

2.448

2

+cost2)dt=∫

−π

2 2.448

√1681dt ≈ 9,042m

 Đường tròn thức hai là:

Phương trình đường tròn: x2

+( y−4,326 )2=1

y=sint +4,326

Với góc chạy từ:

3,835 ≤ φ ≤5,59

Suy ra: d l1=√x t ' 2

+y t '2 dt=√ (sint2+cost2

)dt=dt

dg 3

❑

d l3=∫

3,835

5,59

dt ≈ 1,755 m

Vậy tổng chiều dài thành hồ là:

L=5+2 L 1+ L2=5+2.9,042+1,755=24,839 m

b Tính thể tích của hồ bơi

Vì yêu cầu đề là mặt đáy phải được tạo thành từ mặt cong hay nhiều mặt phẳng ghép lại thế nên để thuận tiện cho việc tính toán thì ta sẽ chọn mặt đáy được hình thành từ 2 mặt phẳng có biên dạng như hình dưới đây và tạo ra 1 tam giác cân và giao nhau của 2 mặt là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn biên dạng như phía trên

Hình cắt của đáy hồ được tạo bởi 2 mặt phẳng

Ta có hệ trục tọa độ sẽ như trên hình thì ta sẽ có lần lượt phương trình của 2 mặt phẳng cắt ngang thành hồ là :

-Phương trình mặt đầu tiên: z=−√3

-Phương trình mặt thứ hai: z=√3

3√3 2

O

Y Z

Ta sẽ cắt từng phần ra để tính thể tích các khối Vì khối thể tích này đối xứng với nhau thông qua mặt phẳng OYZ thế nên ta chỉ cần tính thể tích 1 bên và nhân đối sẽ ra thể tích toàn phần của hồ nước Trước hết ta sẽ tích 1 phần thể tích tô đậm như trên hình; ta giả sử chiều cao thành hồ là 300 mm là bằng 0,3 m

Từ đây ta cũng tương tự tách ra hai phần thể tích khác nhau để tính toán cho thuận tiện

và vì hình được đối xứng qua 1 mặt phẳng có Y=2,25 thế nên ta cũng sẽ chỉ cần tính 1 phần phía trên hoặc phía dưới thì sẽ có thể tính được toàn phần thể tích được đánh dấu

Bài làm

*Ta có phương trình hình tròn thứ nhất như được biết là: ( x−2,5 )2

+( y −2,25)2=2,252 và chọn nửa hình tròn dưới để tính thể tích cho khối

Khối thể tích được chọn trên được tạo thành từ các mặt phẳng như sau:

Trong đó: ( x−2,5 )2

+( y −2,25)2=2,252

y ≤2,25 z=0,3 z=−√3

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

x

❑

∫

y

❑

∫

z

❑

dzdydx

D

❑

− √ 3

3 y

0,3

dz

D

❑

0,3+√3

Miền D khi ta chiều lên mặt phẳng OXY là dạng phương trình hình tròn

( x−2,5 )2+( y −2,25)2≤ 2,252 lấy nửa phía dưới đường hình tròn

Đặt x=rcosφ+2,5 (0 ≤r ≤ 2,25)

y=rsinφ+2,25(−π ≤φ ≤ 0)

Suy ra:

0

2,25

∫

−π

0

r (0,3+√3

3 (rsint + 2,25)) dφdr

0

2,25

∫

−π

0

r (6+ 1520√3)+√3

3 r

2 sinφdφdr

0

2,25

r (6+1 520√3) φ+√3

3 r

2.(−cosφ )|−π

0

dr

0

2,25

−√3

3 r

2

−[r (6+15√3

20 ).(−π )+√3

3 .r

2

]dr

→ V =8,33 2 m3

Suy ra: ta có được thể tích của toàn bộ khối tròn trụ là: V 1=2 V =2.8,332=16,663 m3

*Tiếp theo ta sẽ tính đến khối tiếp theo như hình dưới đây

Với khối thể tích này thì ta cũng sẽ phải chia nhỏ thành từng phần để tính toán cho thuận tiện Trước hết ta sẽ tính khối thể tích phía dưới như hình dưới đây

Từ khối thể tích này ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

Trong đó: ( x−2,5 )2

+( y −2,25)2≥ 2,252

O

X y

y=2,25 z=0,3 z=−√3

x=0

y=0

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

x

❑

∫

y

❑

∫

z

❑

dzdydx

D

❑

− √ 3

3 y

0,3

dz

D

❑

0,3+√3

Miền D khi ta chiều lên mặt phẳng OXY là dạng phương trình hình tròn

( x−2,5 )2+( y −2,25)2≥ 2,252 ; 0 ≤ x; 0 ≤ y ≤ 2,25lấy phía ngoài hình tròn của góc phần tư thứ

3

Ta có:

( x−2,5 )2+( y −2,25)2=2,252

→ ( x−2,5)2=2,252−( y−2,25)2

→ x−2,5=−√2,252−( y−2,25)2

→ x=−√2,252−( y−2,25 )2+2,5

Suy ra:

0

2,25

∫

0

− √ 2,25 2

− (y−2,25)2+ 2,5

0,3+√3

3 y dxdy

0

2,25

∫

0

− √ 2,25 2 − (y−2,25)2+2,5

0,3+√3

3 y dxdy

0

2,25

(0,3+√3

3 y) x|0

− √ 2,25 2

− (y−2,25)2+ 2,5

dy

→ V =∫

0

2,25

(0,3+√3

3 y).(−√2,252−( y−2,25)2+2,5)dy

→ V 2=1,175 m3

Tiếp theo ta sẽ tiếp tục tính tiếp khối thể tích tiếp theo

Để tính thể tích khối thể tích này ta sẽ tính qua trung gian và trừ các phần thể tích không cần thiết để suy ra khối thể tích cần tính

Đầu tiên ta sẽ tính khối thể tích bao quát như hình

Khối thể tích này ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

Trong đó: x=0

x=0,769 y=2,25 y=3,688 z=0,3 z=√3

3√3 2

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

x

❑

∫

y

❑

∫

z

❑

dzdydx

D

❑

√ 3

3 y− 3√

3 2

0,3

dz

D

❑

0,3−√3

3√3

Miền D sẽ có dạng: 0 ≤ x ≤ 0,769; 2,25 ≤ y ≤ 3,688

2,25

3,688

∫

0

0,769

0,3−√3

3√3

2,25

3,688

∫

0

0,769

0,3−√3

3√3

2,25

3,688

(0,3−√3

3√3

2 ) x|0

0,769

dy

2,25

3,688

(0,3−√3

3√3

2 ).0,769 dy

→ V =1,3 m2

Tiếp tục sau đó ta sẽ tính đến khối thể tích tiếp theo như hình

Khối thể tích trên ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

Trong đó: x=−√2,252−( y−2,25)2+2,5

x=0,769

y=2,25 z=0,3

z=√3

3√3 2

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

x

❑

∫

y

❑

∫

z

❑

dzdydx

D

❑

√ 3

3 y− 3√

3 2

0,3

dz

D

❑

0,3−√3

3√3

Miền D sẽ có dạng: −√2,252−( y −2,25)2+2,5≤ x ≤ 0,769; 2,25 ≤ y ≤ 3,688

Suy ra:

V = ∫

2,25

3,688

∫

− √ 2,25 2

− (y−2,25)2+2,5

0,769

0,3−√3

3√3

2,25

3,688

(0,3−√3

3√3

2 ) x|− √ 2,25 2

− (y−2,25)2+2,5

0,769

dy

2,25

3,688

(0,3−√3

3√3

2 ).(0,769+√2,252

−( y−2,25 )2−2,5)dy

→ V =0,654 m2

Tiếp theo đó, ta sẽ tính khối thể tích còn lại như hình sau

Khối thể tích trên ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

Trong đó: y=−√1−x2+4,326

x=0,769

x=0

y=3,688

z=√3

3√3 2

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

x

❑

∫

y

❑

∫

z

❑

dzdydx

D

❑

√ 3

3 y− 3√

3 2

0,3

dz

D

❑

0,3−√3

3√3

Miền D sẽ có dạng: −√1−x2+4,326 ≤ y ≤ 3,688; 0 ≤ x ≤ 0,769

Suy ra:

0

0,769

∫

− √1− x2 +4,326

3,688

0,3−√3

3√3

0

0,769

(0,3 y −√3

2

+3√3

2 y) |− √1−x2

+ 4,326

3,688

dx

0

0,769

(0,3 ×3,688−√3

2

+3√3

2 ×3,688)−(0,3−√3

6 (−√1−x2+4,326)+3√3

2 ).(−√1−x2

+4,326)dx

→ V =0,165 m3

*Cuối cùng ta suy ra được khối thể tích cần tính ban nãy là

Kết luận

Kết quả thể tích của hồ nước là:

V Tổng=2 (V 1+V 2+V 3)=2.(16,663+1,175+0,484)=36,644 m3