CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Các khái niệm cơ bản
2.1.1 Giới hạn, tính liên tục của hàm số.
2.1.1.1 Giới hạn của hàm số
- Trong toán học, khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó Giới hạn là khái niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân Người ta ký hiệu giới hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit ) Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số ( a n ) ta viết lim( a n ) = a hoặc a n → a.
- Giả sử f ( x) là một hàm số giá trị thực và c là một số thực Biểu thức lim x →c f(x)=L có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c Trong trường hợp này, ta nói giới hạn của f(x), khi x đạt đến c là L Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cả khi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c Ví dụ, xét hàm số f(x)=x 2 −1 x−1 thì f(1) không xác định nhưng khi x tiến tới 1 thì f(x) tiến tới 2: f(0,9) f(0,99) f(0,999) f(1) f(1,001) f1,01¿ f(1,1)
Như vậy, f ( x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1
2.1.1.2 Tính liên tục của hàm số
- Một hàm số được gọi là liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số khi biến đổi đến điểm đó từ cả hai phía bằng nhau và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó Hình thức toán học của định nghĩa này có thể được mô tả như sau:
Một hàm f(x) được gọi là liên tục đại điểm c nếu thỏa mãn cả 3 điều kiện: lim x→ c +¿ f ( x ) =¿ lim x→ c −¿ f (x) =f (c)¿ ¿¿¿ ¿
Vậy hàm f ( x )=x +1 liên tục tại x=2 Đồ thị:
- Trong toán học, đạo hàm (tiếng Anh: derivative) của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó ( hay còn được gọi là độ dốc của hàm tại điểm đó) Đạo hàm của một hàm số đơn biến tại một điểm xác định nếu tồn tại, sẽ đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại chính điểm đó.
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b), x 0 thuộc (a;b) Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số f(x)−f(x¿¿0) x−x 0 ¿ khi x → x 0 được gọi là đạo hàm của hàm số tại x 0 , kí hiệu f ' ( x 0) hay y ' ( x 0) Như vậy: f ' (x 0 )=lim x → x 0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0
Nếu đặt x− x 0=∆ x và ∆ y =f ( x 0+∆ x)−f ( x 0)thì ta có: f ' ( x 0)= lim x → 0
∆ x Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).
- Một nguyên hàm của một hàm số f ( x) là một hàm F ( x) có đạo hàm bằng f (x) , nghĩa là F ' (x)=f(x) Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định.
- Ví dụ: Cho hàm số f ( x )=2 x +3
- Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên là:
∫ (2 x +3) dx= x 2 + 3 x +C Với C l à một hằng số, vì khi đạo hàm một hằng số, ta luôn nhận giá trị là 0, nên khi tìm nguyên hàm, chúng ta luôn cộng một hằng số C
- Tích phân là một khái niệm trong giải tích, liên quan đến việc tính toán diện tích dưới đường cong hoặc diện tích giữa các đường cong trên một khoảng xác định Nó được sử dụng để giải các vấn đề liên quan đến tổng hợp hoặc tích tụ thông tin từ một quy trình liên tục.
- Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), tích phân từ a đến b của hàm f(x), kí hiệu:∫ a b f(x)dx=F(b)−F(a).
- Ta xét hàm f(x)=x 2 +4 xác định, liên tục trên [0; 4 ], để tính diện tích giới hạn bởi đồ thị f ( x ) , x=0, x =4, và trục hoành Ta tính
- Vi phân dùng để nghiên cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi Các đối tượng nghiên cứu chính trong vi phân là đạo hàm của hàm số, các khái niệm liên quan như vi phân hàm số và các ứng dụng của chúng Đạo hàm của hàm tại một giá trị đầu vào được chọn mô tả tốc độ thay đổi của hàm gần giá trị đầu vào đó Về mặt hình học, đạo hàm tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm tại điểm đó.
ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
Ví dụ 1: Ứng dụng tích phân trong bài toán tìm diện tích đường cong
Tích phân xác định được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của hàm số trên một khoảng xác định Với đường cong y = f(x), ta có công thức tính phần diện tích giới hạn bởi đường cong f ( x)và g (x ) như sau:
Với a, b là điểm cắt nhau giữa đường cong f ( x)và g( x )
II Bài toán cụ thể
Một mảnh đất sau khi được đo đạc và chiếu lên trục tọa độ Oxy Người ta nhận thấy mảnh đất đó bị giới hạn bởi các đường y=−x 2 +9 và y=5.Hãy tính diện tích mảnh đất trên bằng tích phân
Với a, b là nghiệm của phương trình
% Tính tích phân area = integral( @(x) abs(f(x)-5), a, b)
Ví dụ 2: Ứng dụng đạo hàm tìm vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động
Quãng đường được xem như là đạo hàm của vận tốc vì đạo hàm là một khái niệm trong tính toán vi phân, biểu thị sự biến đổi hay tốc độ biến đổi của một hàm số theo thời gian Vận tốc là một đại lượng mô tả sự thay đổi của vị trí đối với thời gian, và đây chính là một hàm số phụ thuộc vào thời gian.
Khái niệm đạo hàm vận tốc có nguồn gốc từ việc xem xét sự thay đổi của quãng đường theo thời gian Khi tính đạo hàm của hàm số vận tốc theo thời gian, ta thu được một hàm số mới, biểu thị tốc độ biến đổi của vận tốc theo thời gian Việc xem quãng đường (S) như một hàm số đối với thời gian (t) cho phép chúng ta tính được đạo hàm của nó theo thời gian Do đó, ta có thể kết luận rằng quãng đường là đạo hàm của vận tốc, và gia tốc là đạo hàm của vận tốc.
Vận tốc: là đạo hàm của quãng đường theo thời gian và được xác định bằng tỷ lệ của đạo hàm của quãng đường tới thời gian Chính vì vậy, đạo hàm vận tốc đơn thuần là việc ứng dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng, xác định dựa trên phương trình tương ứng là: v=dS dt
Gia tốc: là đạo hàm của vận tốc theo thời gian Gia tốc tức thời của thời của vật tại thời điểm t 0 là: a=dv dt
II Bài toán cụ thể:
“Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t)=t 3 −3t 2 +5t+2
Trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét Tính vận tốc và gia tốc tức thời của chuyển động khi t = 3s ”
Ta có vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm của phương trình chuyển động tại thời điểm t. v=dS dt=3t 2 –6t+5
Vận tốc của vật tại thời iểm t = 3s là:điểm t = 3s là: v(3)=3.3 2 −6.3+5m/s
Gia tốc tức thời của vật là đạo hàm cấp hai của chuyển động, tức là đạo hàm của hàm vận tốc tại thời điểm t. a=dv dt=6t−6
Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 3s là: a(3)=6.3−6m/s 2
Kết luận: Với đạo hàm, ta có thể tìm được vận tốc, gia tốc tức thời tại thời điểm t 0 cho trước
III Matlab t = sym('t'); s = t^3 - 3*t^2 + 5*t + 2; v = diff(s,t); a = diff(s,t,2); t0 = 3; v0 = subs(v,t,t0); a0 = subs(a,t,t0); fprintf('Vận tố! c tức thời tại t = %d là %.2f \n',t0,v0); fprintf('Gia tố! c tức thời tại t = %d là %.2f',t0,a0);
Ví dụ 3: Ứng dụng tích phân trong bài toán tìm thể tích khối tròn xoay
Trong không gian ba chiều, tích phân cũng được sử dụng để tính thể tích của các đối tượng Bằng cách sử dụng tích phân, chúng ta có thể tính thể tích của vật thể không gian bằng cách tích diện tích cắt ngang với chiều dài của vật thể Với đường cong f(x) > 0 với mọi x, ta có thể tạo thành một khối tròn xoay quanh trục Ox Với diện tích mặt cắt tại một vị trí x0 là π [ f ( x 0 ) ] 2 , từ đó thành lập được công thức tính thể tích khối tròn xoay:
Tương tự khi ta cho đường cong xoay quanh trục Oy:
II Bài toán cụ thể
“Một đường cong có dạng y= sin x +2 được xoay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay, khối được giới hạn bởi hai đường x=0 và x=2 π Tính thể tích khối tròn xoay thỏa mãn đề bài như trên”
Thay thế các dữ kiện đề bài vào công thức trên, ta có:
III Matlab f = @(x) sin(x) + 2; % Phương trình đường cong a = 0; % Giới hạn dưới tích phân b = 2*pi; % Giới hạn trên tích phân
V = pi*integral(@(x) power(f(x),2), a, b) % Tính thê= tích
Ví dụ 4: Ứng dụng vi phân vào bài toán tính độ hòa tan
Việc sử dụng phương trình vi phân để tính độ hòa tan của một chất là một ứng dụng quan trọng trong hóa học và khoa học môi trường Để xác định độ hòa tan của một chất, ta có thể sử dụng các phương trình vi phân mô tả quá trình hòa tan của chất đó trong dung dịch Dưới đây là một ví dụ cụ thể:
“1 thùng nước chứa V 0 lít nước tinh khiết Bơm lượng nước muối với nồng độ a kg/lít vào bể Tốc độ bơm vào là M lít/phút Dung dịch được hòa tan thành hỗn hợp và bơm ra với tốc độ N lít/phút.”
Sau đây là cách lập phương trình vi phân tìm lượng muối trong bể sau t phút:
Gọi: y(t) : là lượng muối còn lại trong bể sau t phút (kg) v 1 : là tốc độ bơm muối vào (kg/phút) v 2 : là tốc độ bơm muối ra (kg/phút)
Từ đó có thể suy ra: y’(t) là tốc độ thay đổi lượng muối.
Ta có thể giải phương trình vi phân trên để xác định được y(t) Sau khi đã có y(t), việc thế t vào hàm số y(t) sẽ giải quyết được yêu cầu bài toán.
II Bài toán cụ thể
“Một cái bể chứa 100 lít nước tinh khiết Người ta đổ dung dịch nước muối chứa 0,1 kg muối/lít vào bể với tốc độ 10 lít/phút Dung dịch được hòa tan và chảy ra khỏi bể với tốc độ bằng tốc độ chảy vào Hỏi lượng muối trong bể sau 6 phút là bao nhiêu?” Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương trình vi phân để mô tả quá trình thay đổi lượng muối trong bể theo thời gian: v1 = 0,1 x 10 = 1 v2= y 100 (t ) x 10 = y 10 (t )
10Tiếp theo, ta sẽ giải phương trình vi phân để xác định y(t): dy dt = 1 - y
10 dy = ∫ dt Đặt u = 1 - 10 y , ta có du = −1 10 dy suy ra dy = -10du Thay thế vào phương trình trên:
Trong đó C là hằng số tích cực Thay lại u và giải tìm y(t):
y(t) = 10 - 10 e −t 10 − 10 C (*) Để xác định hằng số C, ta xét điều kiện ban đầu Khi t = 0 thì bể chỉ chứa nước tinh khiết (không có lượng muối nào) nên y(0) = 0 Thế t và y vào giải phương trình (*), ta có C 0 Từ đó ta có hàm số y(t) hoàn chỉnh: y(t) = 10 - 10 e −t 10
Sau khi có phương trình y(t), ta có thể tính y(6) để xác định lượng muối trong bể sau 6 phút: y(6) = 10 - 10 e −6 10 ≈ 4,512 (kg)
Kết luận: lượng muối trong bể sau 6 phút là xấp xỉ 4,512 kg.
V_be = 100; % Thể tích bể (lít) c = 0.1; % Hàm lượng muối trong dung dịch đổ vào (kg/lít) q = 10; % Tốc độ chảy vào/ra (lít/phút) t = 6; % Thời gian xét (phút) dydt = @(t,y) q*c - (q/V_be)*y; sol = ode45(dydt,[0 t],[0]); y = deval(sol,t); disp(['Luong muoi trong be sau ' num2str(t) ' phut: ' num2str(y) ' kg']);
Ví dụ 5: Ứng dụng phương trình vi phân cho sự gia tăng dân số
Nếu N(t) là số lượng cá thể tại thời điểm t và số lượng cá thể này thay đổi theo thời gian do sinh sản và tử vong Nếu muốn xét những thay đổi diễn ra ở thời gian t và t + h ( t+h là một thời gian tăng sau đó)
N(t + h) – N(t) = số lượng sinh – số lượng cái chết ( 1 )
N(t+h)−N(t) h =[ số lần h sinh ] − [ số người chết h ]
Nếu thu hẹp khoảng thời gian h → 0 Thì dN dt =¿
Gọi r và m lần lượt là tỷ lệ sinh bình quân đầu người và tỉ lệ tử vong bình quân đầu người Ta có:
Số lần sinh trong một đơn vị thời gian = r N
Số người chết trong một đơn vị thời gian = m N Kết hợp với phương trình (1 ) dN dt =rN−mN=(r−m)N
Nếu k =( r−m ) Thì k là tốc độ tăng trưởng của dân số Do đó dN dt =kN ,k=(r−m).
Giả sử tại thời điểm đó ta biết t = 0 thì quy mô dân số N 0
Vậy hàm mô tả dân số theo thời gian là: N(t)=N 0 e kt =N 0 e (r −m)t
II Bài toán cụ thể
Một quần thể vi sinh vật phát triển theo mô hình tăng trưởng theo thời gian t ( giây) kể từ thời điểm ban đầu được mô tả bằng phương trình vi phân dy dt =0,2y và có quy mô tại thời điểm ban đầu là 600.
Tìm quy mô quần thể sinh vật vào thời điểm 5 giây sau đó ( làm tròn đến số nguyên gần nhất )
Vì y(0) = 600 nên ln(600)= 0+C Vậy C = ln(600). ln|y|=0,2t+ln(600)
% Định nghĩa phương trình vi phân dydt = @(t, y) 0.2 * y;
% Giải phương trình vi phân
% Vẽ đồ thị plot(t, y); title('Gia =i phương trình vi phân dy/dt = 0.2y'); xlabel('Thời gian (t)'); ylabel('y'); grid on;
% Hiê= n thị giá trị cuố! i cùng final_value = y(end); fprintf('Giá trị cuố! i cùng cu =a y khi t=5 là: %.2f\n', final_value);
Ví dụ 6: Ứng dụng đạo hàm vào bài toán chi phí trong kinh tế
- Lợi nhuận (P) được định nghĩa là sự chênh lệch giữa doanh thu (R) và chi phí (C):
- Hàm doanh thu phụ thuộc vào giá bán (P) và số lượng sản phẩm (Q):
- Hàm chi phí thường bao gồm chi phí biến đổi (f(Q)) và chi phí cố định (F):