báo cáo nhóm chủ đề ứng dụng cực trị có điều kiện và không có điều kiện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: HPBS6001CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN Sinh viên thực hiện: Phạm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM

HỌC PHẦN: HPBS6001

CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ

KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN

Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Quỳnh Chi Dương Quốc An

Nguyễn Tuấn Anh Trần Gia Bảo

Phạm Văn Đại Nguyễn Thành Đạt

Đặng Khắc Đạt Tạ Trường Giang

Phan Trí Hiếu Nguyễn Trí Huy

Tên lớp: 2023NLTT01

Giáo viên hướng dẫn: Trần Thị Hồng Trang

Hà Nam tháng 11 năm 2023

BẢNG ĐÁNH GIÁ TIÊU CHÍ LÀM VIỆC NHÓM (5 tiêu chí)

Tiêu

chí

Tên

thành

viên

Sự nhiệt

tình

tham

gia

công

việc

Đưa ra

ý kiến

và ý tưởng làm bài

Giao tiếp và phối hợp tốt với thành viên khác cùng giải quyết vấn đề chung

Tổ chức

và hướng dẫn cả nhóm

Hoàn thành công việc hiệu quả

Tổng điểm được đánh giá bởi A cho từng thành viên (TĐ )A

Phạm Thị

Dương Quốc

An

Nguyễn Tuấn

Anh

Phạm Văn

Đại

Nguyễn

Thành Đạt

Đặng Khắc

Tạ Trường

Giang

10 10 10 10 10 50

TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA CÁC THÀNH VIÊN VÀ QUI ĐỎI RA HỆ SỐ

CÁ NHÂN:

Tên thành viên TĐ = Tổng điểm

được đánh giá bởi tất cả các thành viên trong nhóm

Điểm trung bình

= TĐ/(5x số thành viên: 5x10=50)

Hệ số cá nhân ( dựa vào bảng quy đổi)

Phạm Thị Quỳnh

Chi

Nguyễn Thành Đạt 48 0.96 0.4

Tạ Trường Giang 47 0.94 0.4

BẢNG QUI ĐỔI RA HỆ SỐ CÁ NHÂN:

Điểm trung

bình

[10;10] [8;10) [7;8) [6;7) [0;6)

Hệ số cá

nhân

Mục lục

PHẦN MỞ ĐẦU:……….5

PHẦN NỘI DUNG:……….6

1 Kiến thức cơ bản về cực trị có điều kiện và không có điều kiện………….6

1.1 Cực trị có điều kiện[1]……… 6

1.2 Cực trị không có điều kiện[2]……… 6

2 Các ứng dụng của cực trị có điều kiện và không có điều kiện………….…6

2.1 Các ví dụ về cực trị có điểu kiện……….… 6

2.2 Các ví dụ về cực trị không có điều kiện………10

PHẦN KẾT LUẬN……… 13

Tài liệu tham khảo………14

PHẦN MỞ ĐẦU:

Tiền đề về sự phát triển của cực trị đã có mặt từ rất sớm trong lịch sử nhân loại (152 TCN) Điều đó đã chứng tỏ cực trị có một vai trò to lớn với cuộc sống của con người, đóng góp cho sự phát triển xã hội hiện đại như ngày nay

Từ những ứng dụng đầy thực tế của cực trị cùng sự hướng dẫn của giảng viên Trần

Thị Hồng Trang , nhóm 1 chúng em đã xây dựng bản báo cáo về đề tài :Ứng dụng

của cực trị có điều kiện và cực trị không điều kiện Nội dung bản báo cáo được thiết kế gồm 3 phần:

Kiến thức cơ bản về cực trị có điều kiện và không điều kiện

Ứng dụng của cực trị có điều kiện và không điều kiện

.Bản báo cáo là tổng hợp các ví dụ cùng lời giải chi tiết về giải bài tập và ứng dụng của cực trị có điều kiện và không điều kiện trong môn học Giải Tích mà nhóm 1 chúng em đã tìm hiểu, đóng góp, hoàn thiện Bản báo cáo giúp cho sinh viên hiểu biết chi tiết, đầy đủ về cực trị có điều kiện và không điều kiện và áp dụng được những hiểu biết ấy vào thực tế cuộc sống Thông qua ta sẽ có cái nhìn tổng quan về môn học Giải Tích và tính ứng dụng trong đời sống, từ đó không còn thấy môn học

vô ích và nhàm chán như nhiều người lầm tưởng

Do thời gian tìm hiểu, viết bản báo cáo không dài, tài liệu tìm hiểu còn hạn chế nên bản báo cáo của nhóm không thể tránh khỏi những sai sót, nhầm lẫn Nhóm chúng

em mong sẽ nhận được những lời nhận xét, đóng góp, phê bình của cô và các bạn để bản báo cáo của chúng em được chỉn chu và hoàn thiện hơn

PHẦN NỘI DUNG:

1 Kiến thức cơ bản về cực trị có điều kiện và không có điều kiện

1.1 Cực trị có điều kiện[1]:

Định nghĩa:

Tìm cực trị của hàm số z=f(x,y) trong đó x, y bị ràng buộc bởi điều kiện g(x,y) = 0 (gọi là cực trị có điều kiện)

Trong bài toán trên điều kiện g(x,y)=0 giải được y = φ(x), bài toán cực trị có điều kiện của hàm hai biến trở thành bài toán cực trị của hàm một biến quen thuộc Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể rút ra y = φ(x) từ g(x,y)=0

1.2 Cực trị không có điều kiện[2]:

Định nghĩa: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trong miền D và điểm

Ta nói là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại _lân cận của

sao cho:

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại

Nhận xét: – Hàm số đạt cực tiểu (cực đại) tại nếu:

– Nếu thay đổi dấu khi thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại

2 Các ứng dụng của cực trị có điều kiện và không có điều kiện:

2.1 Các ví dụ về cực trị có điểu kiện:

Bài 1 Một gia đình nông dân đang dự định mua 500 con gà nuôi để lấy trứng đem bán Có :

2 loại gà mà họ đang chọn lựa: loại 1 có năng suất đẻ 300 trứng 1 năm, giá mỗi trứng đạt

3000 đồng, loại 2 có năng suất đẻ 150 trứng 1 năm, giá mỗi trứng đạt 4000 đồng Chủ gia đình ước tính, nếu mua x con gà loại 1 và y con gà loại 2 thì tổng chi phí đề nuôi gà là x – 2

xy +y (nghìn đồng) Hãy xác định số gà mỗi loại mà gia đình nông dân đó cần mua nuôi 2

để có lợi nhuận 1 năm là lớn nhất

Số gà cần mua là: x + y = 500

Hàm doanh thu có tổng số tiền khi bán gà : D = 1000x + 600y

Hàm chi phí: C = x – xy + y 2 2

Hàm lợi nhuận từ việc bán trứng trong 1 năm: 1000x + 600y – (x – xy + y ) 2 2

Yêu cầu bài toán : tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận

F(x,y) = : 1000x + 600y – (x –xy + y ) với x + y = 500 ; x>0 , y>0

Đặt g(x,y) = x + y – 500

Lập hàm số Lagrange: L(x,y, ) = 1000x + 600y – (x –xy + y ) + (x + y -500)l 2 2 l

Ta có : L = 1000 – 2x + y + L = 600 + x - 2y + L = x + y -500x’ l y’ l l

Lx’ = 0 x = 300

Ly’ = 0 y = 200 điểm M(300,200) là điểm tới hạn khi = -500 l

Ll = 0 l = -500

L’’

xx = -2 ; L = 1 ; L = -2 ; g = 1 ; g = 1xy’’ yy’’ x’ y’

0 g g 0 1 1 x’ y’

H = g Lx’ ’’xx Lxy’’ = 1 -2 1 = 6

gy’ Lxy’’ L’’

yy 1 1 -2

Do H = 6 >0 nên M(300,200) là điểm cực đại

Vậy cần mua 300 con gà loại 1 và 200 con gà loại 2 để lợi nhuận cao nhất

Bài 2: Có một trang trại đã có x gà và y vịt sau vài năm họ kinh doanh thua lỗ nên họ quyết định bán hết gà và vịt để chuyển sang hình thức kinh doanh khác biết rằng số giá bán của 1 con gà là 8$ 1 con vịt là 16$ Biết rằng sức chứa của trang trại của họ x +y =50000 (con).2 2 Hãy xác định số gà số vịt của doanh trại hoj có để lợi nhuận của họ đạt cao nhất

Hàm doanh thu có tổng số tiền khi bán gà : D = 8x+ 16y

Điều kiện sức chứa x +y =500002 2

Yêu cầu bài toán : xác định số gà số vịt của doanh trại có để lợi nhuận của họ đạt cao nhất F(x,y) = : 8x+ 16y với x +y =50000; x>0 , y>02 2

Đặt g(x,y) = x +y – 500002 2

Lập hàm số Lagrange: L(x,y, ) = 8x+ 16y - (x +y -50000)l l 2 2

Ta có : L = 8 – 2 x L = 16 - 2 y L = x +y -50000x’ l y’ l l 2 2

Th1: = 0.04 l

Lx = 8 - 2 x = 0 X = 100 (con)l

Ly’ = 16 - 2 y = 0 Y = 200 (conl

Ll = x +y -50000= 0 2 2

Th2: =-0.04l

X = -100 (loại)

Y = -200 (loại)

L’’

xx = -2 ; L = 0 ; L = -2 ; g = 2X=200 ; g = 2Y=400xy’’ yy’’ x’ y’

0 g g 0 200 400 x’ y’

H = g Lx’ ’’xx Lxy’’ = 200 -2 0 = 40000>0

gy’ Lxy’’ L’’

yy 400 0 -2

Do H = 40000 >0 nên M(100, 200) là điểm cực đại

Vậy trang trại cần có 100 con gà và 200 con vịt để có lợi nhuận cao nhất

Bài 3: Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa đó trong thị trường nội địa là QD= 4200 - P, Qs+200+¿P

Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một đơn vị hàng) là

P0=¿3200

Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế xuất khẩu nhất Giải: Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu

Và Q là lượng hàng xuất khẩu

P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu

Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là

Q =Q Qs− D = -200 + P - ( 4200 –P ) = 2P -4400

Doanh thu

R= P0 Q =P0( 2P -4400)= 3200( 2P- 4400)

Chi phí

C= P.Q =P (2P- 4400)

10 Tổng thuế nhập khẩu phải nộp

T =t.Q =t( 2P -4400)

Lợi nhuận

π = R- C -T =(2P- 4400) (3200- P -t )

π '=2 (3200 -P - t )- (2P- 4400) =10800- 2t- 4P

π ' =0 => 10800 - 2t – 4P= 0

=> P= 2700 - t2

π' '=4<0 nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá P= 2700- p t

2 Khi đó tổng thuế

T= t.Q= t (2P- 4400)= t [2( 2700-t2)- 4400]= t (1000 -t )

T’ = 1000- 2t

T =0 => t= 500

T”= 2 hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 500 Þ

Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là 2700 - 500

2 = 2450 2.2 Các ví dụ về cực trị không có điều kiện

Bài 1: Cho QD= 2000− P

C(Q) = Q2 +1000 + 50 Q

Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để doanh nghiệp thu được nhiều thuế nhất

Giải

Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Q QD =

=> = 2000 − Q P

=> = 2000 − P Q

Doanh thu của doanh nghiệp

R = P = (2000 −Q) = 2000 − 2 Q Q Q Q

Chi phí

C Q = 2 +1000 + 50 Q

Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp

T = t.Q

Lợi nhuận

π R C T = − − = −2 2 + (1000−t) −50 Q Q

Trước hết tìm = Q Q(t) để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

π′ = −4 +1000 − Q t

π′ = 0 = ⇒ Q 1000−t

4

Vì ′′ = −4 < 0 nên Q = π 1000−t

4 là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

Khi đó

T = t = t Q 1000−t

4

T’ = 14(1000 - 2t)

T’ = 0 => t = 10002 = 500

T” = −1

2 < 0 nên tổng thuế T sẽ đạt cực đại tại t = 500

Vậy t = 500 là mức thuế cần tìm để doanh nghiệp thu được nhiều thuế nhất

Khi đó sản lượng là Q = 1000 500−

2 = 125 Bài 2: Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với Q =656 – D

1

2P Hàm chi phí C(Q)= Q –77Q +1000Q+100 Tìm mức lượng sản xuất để có lợi3 2 nhuận cao nhất?

Giải Gọi Q là mức sản lượng cần tìm

Để doanh nghiệp tiêu thụ hàng thì:

Q= Q(D)= 656π – 1

2P

=>P= 1312 – 2Q Doanh thu của doanh nghiệp

R=P.Q= (1312 – 2Q).Q= 1312Q – 2Q2 Chi phí

C= Q – 77Q + 1000Q + 1003 2 Lợi nhuận

π= R – C= –Q + 75Q + 312Q – 1003 2 Bài toán trở thành tìm Q để hàm đạt cực đại

π’= –3Q + 150Q + 3122 π’= 0=> [Q=2

Q=52 π”= –6Q + 150

+ Tại điểm nghi ngờ Q= 2

π”= –6.2 + 150 = 138 > 0

=>π đạt cực tiểu tại Q= 2 (Đây không phải mức sản lượng cần tìm)

+ Tại điểm nghi ngờ Q= 52

π”= –6.52 + 150 ≤ 0

=>π đạt cực đại tại Q= 52

Vậy để có lợi nhuận cao nhất , doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q= 52

Bài 3: Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với số lượng lần lượt là Q1,Q2 và giá bán lần lượt là P1=300 , P2=360.Chi phí doanh nghiệp cần bỏ ra là C=Q1+Q1Q2+Q2 Hãy xác định cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) để lợi nhuận doanh nghiệp thu được là tối đa Tính mức lợi nhuận tối đa đó?

GIẢI

-Ta có hàm lợi nhuận

π=P1Q1+P2Q2−C (Q1, Q2)= 300 Q1+360Q2−(Q1+Q1Q2+Q2)

=−Q1−Q1Q2−Q2 +300 Q1+360Q2

-Ta có

1

'

=0

πQ 2

'=0ó{πQ

1

'

=−2 Q1−Q2+300 0=

πQ 2

' =−Q1−2Q2+360=0 ó{Q1=80

Q2=140 -Ta có

A= πQ

1

' '=-2, B=πQ' '1Q2=−1, C =πQ

2

' '= -2

=>B2-AC=1-4=-3<0, A=-2<0

Vậy hàm đạt cực đại tại (80, 140) và πmax= 37200

PHẦN KẾT LUẬN:

Thông qua ta sẽ có cái nhìn tổng quan về môn học Giải Tích và tính ứng dụng trong đời sống, ta có thể thấy có rất nhiều cách để giải bài tập cực trị và Giải Tích có tính ứng dụng cực lớn trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học Bởi vậy chúng ta cần chăm chỉ hoc tập và khám phá chuyên sâu về bộ môn này

Tài liệu tham khảo:

[1]; [2] : “Chương trình dạy học kết hợp”Haui013,Trường đại học Công Nghiệp, Hà Nội