Sự giam cầm của điệntử
Chuyển động của điện tử trong PQW bị giới hạn dọc theo trục Oz và chỉ có thể chuyển động tự do trong mặt phẳng xOy với tần số cyclotron @ = eB/mec và vận tốc kéo theo vg = E/B Khi đó, hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa, nhận các giá trị gián đoạn theo phương giam giữ và lần lượt được xác định bởi [39,
- 1 1 MeV 2 ey" (k) = (w+ 3) hae + (x + 3) ho, + 4 — hivaky (2.2)
Để xác định tâm của hàm sóng điều hòa trong công thức (2.1), cần sử dụng phương trình xo = —/g” (ky — meva/h), trong đó Cg = v/ủ/ (me@,) là tần số cyclotron Hàm sóng điều hòa này được biểu thị bằng đ„ (z).
32 là hàm riêng được cho bởi ®(2)————œ ( =) 8 (2.3) 2"n! VÉ, P 20,7 %, với H„ (£) là đa thức Hermite bậc n và /; = 4⁄/ (m;@;).
Sự giam cầm của phonon
Khi bị giam cầm trong PQW, phonon có năng lượng và xung lượng bị lượng tử hóa Do hiệu ứng giam cầm, tần số của phonon cũng bị lượng tử hóa Tuy nhiên, sự lượng tử hóa đối với tần số của phonon quang và phonon âm có sự khác nhau rõ rệt. Tần số của phonon âm khi bị giam cầm trong PQW được xác định thông qua vận tốc truyền sóng âm trong vật liệu và véc tơ sóng của phonon [8]:
Tần số của COP được xác định bởi [17, 60, 61]:
6001 =9 = (mộ — 03 (gi, +ah) = fer? 02 [g3 +(mx/L)Ÿ] 2.5)
Trong biểu thức (2.4) và (2.5), thành phần véc tơ sóng của phonon bị lượng tử hoá là dm = “Z có sự xuất hiện của chỉ số lượng tử m đặc trưng cho sự giam cầm của phonon, từ đó dẫn đến sự khác biệt trong biểu thức mặt giải tích của các đại lượng đặc trưng cho EE và PE trong PQW so với bán dẫn khối.
Tương tác điện tử giam cầm - phonon giam cầm
Do ảnh hưởng của hiệu ứng kích thước, tương tác điện tử giam cầm - phonon giam cầm trong PQW có nhiều điểm khác biệt so với tương tác điện tử - phonon trong bán dẫn khối Thừa số dạng điện tử đối với tương tác điện tử giam cầm - phonon giam
33 cầm trong PQW được cho bởi [17]:
Hằng số tương tác điện tử giam cầm - phonon giam cầm Cha: trong PQW thay đổi so với hằng số tương tác điện tử - phonon trong bán dẫn khối Đối với tán xạ điện tử giam cầm - CAP, sˆV4i tẩm — Sait (mi) lo ow “ay = = = + (2.7) mui 2pv;Vọ 2PVsVo với tán xạ điện tử giam cam - COP
| cjon 0ẽ neha -( 1 1 ) _ 2ne*hawp ( 1 1 ) m4) 4 ° ° Xo 0 EoVo đi + (m/L) Keo Z0
2.2 Biểu thức giải tích của hệ SỐ Ettingshausen và hệ số e?e
Hamiltonian của hệ electron bị giam hãm - phonon bị giam hãm trong quantum well phẳng (PQW) khi từ trường vuông góc với mặt phẳng chuyển động tự do của electron được viết dưới dạng:
=) Ey, n (6 y _ (0) yn kN nky TT
L Y Ona G4 mnm JN’ (u) NI nl fey ge Na (OF ¿ + bạ ¿: , nn’, ky NN —
Trong đó: A(t) là thé véc tơ của trường điện từ thoả mãn —— ứ) = Fsin@/ với c ot
F— VT; An: Và dy „, & LẦN ứ và Đụ 4; ) theo thứ tự là toỏn tử sinh, hủy
Sl dor điện tử (phonon); @ (4) = (2zi)° {ek + W lỏ ủ| ỏgồ (3 } là thộ vụ hướng với h = là véc-tơ đơn vi dọc theo hướng của từ trường; cn là hang số tương tác điện tử giam cầm - phonon giam cầm được cho bởi (2.7) (đối với phonon âm) hoặc (2.8) (đối với phonon quang); °°", là thừa số dạng điện tử được cho bởi (2.6) và
|Jv (wt) | = We uN 1" * 0) (2.10) với LM (u) là đa thức Laguerre liên kết, u = £g”42 /2 At
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử có dạng:
I fy ni, (t) mB = (Lat cayng te" (|) G10 a: _()y=lat 7
Thay thế biểu thức (2.9) vào biểu thức (2.11) và tiến hành một số phép biến đổi toán tử đại số, ta thu được phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử dưới tác động của hiệu ứng giảm kích thước trong giếng lượng tử (PQW).
* L mắt ren, Je (u PLAS )* MN'.N,mì 2
* {|/vagg (9 (Nuz, + 1) — vin #&) Nhà | * (2.12) x 5 (s0 (6+4) — ene” (ky) — hon" + new) +
+ (Ma ~ Sunny (Ð (Nmai + 1)] x x8 (ef (§, — 4) ~2f2" (&,) + hof9 — new) }. eEoqy
T 2.12), A=rong (2.12), A=" Tí: (2) là ham Bessel và Ning, = b” bmg, là hàm phân A @ mại bô của phonon.
Bỏ qua các quá trình trao đổi nhiều hơn một phonton, tức là chỉ xét ý = 0, +1.
Nhân cả hai về của phương trình (2.12) với ——&, 6 (e- eyo” (é)) rồi lấy tổng theo
N, nva kỳ, chúng tôi thu được phương trình cho mật độ dòng riêng R (£): Me
2(e.m) = crew meh vo Cod ‘| prow |? mynyn' th 15 (c8 (6+8) em (K) + hen +he) +
+ na lồ ( even (6 +9 iy) - eyo (6) +ủ@„ — ho) ~
Giải phương trình (2.13), chúng tôi thu được:
Từ biểu thức xác định mật độ dòng riêng # (€,m), chúng tôi tìm biểu thức của mật độ dòng toàn phần và mật độ thông lượng nhiệt thông qua việc lần lượt tính các
Trong quá trình tính toán, chúng tôi sử dụng biểu thức ham phân bố của điện tử trong gần đúng tuyến tính được cho bởi: ẲNag (©) = Fy ng, — Pho ( (6)) 2a (i) (2.19) với fy ¢ = 109 (e — yp, é) là hàm phân bồ cân bằng của điện tử [3, 1] và yưuạyy
So sánh kết quả tính toán từ các tích phân (2.17) và (2.18) với cách biểu diễn J,(m) = ỉĂp (m) Ep + Bip(m)V,T cho mật độ dũng toàn phan và Q, (m) Yip (m)Ep + ip (m) V„T cho mật độ thông lượng nhiệt, chúng tôi thu được biểu thức của các ten-xơ động, từ đó tìm được biểu thức giải thích của EC và PC trong PQW cho cả hai cơ chế tán xạ điện tử giam cầm - CAP và điện tử giam cầm - COP. ¢ Tan xa điện tử giam cam - phonon âm giam cam
\ kpT an ee LS A k x A v ‘A ‘A At 82 2L*Á, È
Xét ham phân bô CAP là can bang Nid ~Ng= >> , VỚI gia thiệt rang mT ma. on Aw oA = "ss Hằng số tương số tương tác điện tử giam cam - CAP được cho bởi (2.7).
Biểu thức giải tích của EC và PC trong trường hợp này lần lượt được xác định
37 thông qua các công thức: pP0W-A — =a [ứ?2w~a (m) 20W-A (m) — gj0w- 1 “A m) y9W~ -A (m)| x x {F2 ~^ (m) {BPW A (m) OWA XX (m) — oP¥ A (m) [EPA (m) — Ki] }} | va
Trong công thức xác định EC (2.21) và PC (2.22), các ten-xơ động có biểu thức cụ thể như sau:
PQW-A _ eT (Er) oO —fa————————
PQW-A — il ai (m 2) (€1m) [1 — £” (em) | ấu (m)= mz| 1 (m) (Em — €F) l+ee(eme
Trong biểu thức của các ten-xơ động kể trên: a= —~— JY (Ey„— Er) VỚI Ey, = (N' — N)hứ, + (n —n)ho,; 2nhvame zl Nn F) Nn ( ) Cc ( ) (4 eLy
Etim =A+hOA; 9m =A — hod; €3m = Eim tho;
A=(N'—N)hœ + (n! —n) ha, — eEF với F = (v3 +4 NA 14 ) _ [69, 70]; a (m) = vem Kk (m) lo — : (57) ,
Nia! với @¡ (m) = |(n—n') ho, + eEr+h@| /h@, khil = 1,2;
3 so rc a(m) = ven Kím) (Fr) ụ 12} (—1)'e 7 hee cos [2 at, im}
{1425 C1 25 cos [2a (m)]} với Ó¡ (m) = |(n—n') ho, + eEF + hop, + ho] [hae khi = 33 6 eE \” -1
0= ( >) : K(m) = nọe€ˆLy prow myn, wn! “Vay, — £r) (4hœm,pBv,2x2g”) : t(€) = +(£p) (er/£)!/2 là thời gian phục hồi năng xung lượng của điện tử [45].
Biểu thức (2.21) và (2.22) cho thay cả EC và PC đều phụ thuộc vào biên độ Ep và tần số @ của sóng điện từ mạnh, cường độ điện trường không đổi E, từ trường B, nhiệt độ T và các chỉ số N, n đặc trưng cho sự giam cầm của điện tử và đặc biệt là chỉ số lượng tử m đặc trưng cho sự giam cầm của phonon âm Đóng góp của CAP thông
40 qua thành phần ứœˆ = ủvymZ/L dẫn đến cỏc kết quả giải tớch thu hoàn toàn khỏc so với trong bán dẫn khối và trong PQW khi không kể đến sự giam cầm của phonon âm (năng lượng của phonon âm giam cầm (un-CAP) được coi là nhỏ và bỏ qua trong quá trình tính toán) [12] Khi cho z tiền về 0 và biểu thức thừa số dạng điện tử trở về biểu thức như trường hợp un-CAP, chúng tôi thu được các kết quả giới hạn cho trường hợp un-CAP trong PQW [12]. ¢ Tan xạ điện tử giam cam - phonon quang giam cam
Trong điều kiện nhiệt độ cao, tán xạ điện tử giam cầm COP chiếm ưu thế hơn các tương tác khác vì COP có hàm phân bố cân bằng dạng Nhu Ly.
Nỹ = len ( — 1) — 1 va tần số của phonon quang giam cầm œ, h -1
= ự @g2— 02(m#/L)” Hằng số tương tác điện tử giam cầm - COP được xác định bởi (2.5).
Biểu thức giải tích của EC và PC lần lượt được xác định bởi
-ứ_ _] - - pres © =e [one “ứm) „ ° (m) — ơi” —9(n) yee"? (m)] x
— — 1 xơ" 9( m) { peer o( Pow — °(m )-ofow (Mm ) fener o( (m) — Kz] }}
(2.29) va ryrew—o — Hex (im) (2.30) ow~0 trong đó: oP OW-0 (m) —pb et (Er) e x
+b; (m) ƒn [1 — @2? (€7)| + bạ (m) fg [1 — @2 7? (eg)]}, of ewe (m) =— e@ {ằ 1 es + h {bỡ (m) + ba (m)] fist (€13) +
+ [bạ (m) + bạ (m)] frat (€24) + bs (m) fst (€5) + (2.32)
+ [bz (m) + ba (m)] fosara [1 — G21? (€24)] + + bs (m) ƒsdas [1 — ot" (£s) | + be (m) fede [1 — wt" (£6) | +
1-9 (m) = —TBLOV~° (m), (2.34) vạt (m) = — = iby (m) + bạ (m)] ansfist (E13) +
+ [ba (m) + bạ (m)] aoa frat (E24) + bs (m) as fst (Es) + (2.35)
+ be (m) ao fot (&) + bạ (m) a7 f7T (E1) + bg (m) ag fgt (s) } ,
+ [b2 (m) + ba (m)| ara” fog To4 (m) [1 — ot" (€24)| +
+ bs (m) as” fst (£s) [1 — @2 7” (€5)] + (2.36) + be (m) ag” fot (E6) [1 — @¢ t” (6) | +
+ by (m) az? frt (6) [1 — @2 7° (€7)] ++bg (m) ag” fet (€8) [1 — @; 7° (€8)] }
Trong các biểu thức từ (2.23) đến (2.28): b= —$ 19](ky) Y exp Gaal với Evin = (N+ 3) h@, + (n+ 3) ho, + “SE; — 2 mekpT N,n £13 =A+hw®; 4 =A — hog; &5 = €13+ho;
& = E24 +h; Ê = E13 — ủ@; € = &4 —ho; fis = 7 (€13m) [1+ @20? (€1am)] “3 Đa = t2 (€04) [1 + 2 (€04)] 75 fi = (€)) [14+ @222(e,)] > khil = 5 +8; đ13 = €13 — Ep; đạa = 24 — Ep; ds = Es — Er khis = 5+ 8;
PQW = 2 bị (m) =Áo EE TM, (£2?)Y(N.n)ð(en);
PQW - bo(m)=Ao EE ron | (827) T(N,n) 8 (04):
A POW = 2 3 bà (m)= = SP YY POW | (27) Y(N,n)ð (En)› y1 JHY; bạ (m) = —*32 ằ ằ pew ( LÊ Y (m)I (x) (Sr c2(Er—£Na) § (4.; ) ›
Ks im =4 (2) b› css, Y(m)1 (x) (Fr) (ere) 5 (A, — ho);
Kim) =4 (4) rr css, ¥ (m) I(x) (57) cz(Sr=8:)8 (A, +o);
Ky (m) = 7 (3) ry css, Y (m) I(x) (57) et (Erevan) § (4., +o):
Kỳ (m) = 5 (3) PP [ess | y(n) r(x) (57) c#(Er~Êwa) Đ (^¿ —ủ@); N,N! , iF TM m
A 412e3ngœœy (1 ` 1 1 đi t= (kp) = VỚI = ; mẹEoVo Xoo Xo) eM — 1 B
Y(m)= 1 với Np = max (N,N’), Nj = min (N,N);
EN n = (w+ 3) h@ + Eno + 22 VỚI En,0 = med? — An;
Az+ =(N'—N)hŒ, + &, 2 Eno — ủVạ eEr+hœỉ VỚI Ê„„ z= hm (w+ ly 4 ` med? + nà A
Met = 1— O27? (En )s Mein = 1 — O27? (Em) với i = 5+ 8;
Eạ„> = £r + ho®; 5m = Eq — B@; Em = E_ +; Em = Eạ +hO; Egm = & —ho.
Biểu thức giải tích của EC và PC thu được trong trường hợp này là các hàm của các đại lượng đặc trưng cho trường ngoài, các tham số cau trúc của CSS, nhiệt độ của hệ và các chỉ số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm của điện tử và phonon Khi cho chỉ số lượng tử m đặc trưng cho sự giam cầm của phonon quang tiến về 0 và thừa số dạng của điện tử trở về biểu thức tương ứng với trường hợp un-COP, chúng tôi thu được kết quả tương ứng với trường hợp chưa xét tới sự giam cầm của phonon quang
Kết quả tính số và thảo luận - 87 4.4 Kết luận chương 4 Ặ Q Q Q TQ ee 100
Các kết quả giải tích thu được ở trên được tính số đối với CSS GaAs /Al,Ga,_,As với hàng rao thé (độ chênh lệch giữa độ rộng vùng cấm) giữa hai lớp bán dẫn là
U = 0,564x — 0,032x7 [71] Các tham số vật liệu của hồ thé (lớp bán dẫn GaAs) được sử dụng là 7(£z) = 107? s, Ly = Ly = 1 nm Cường độ điện trường không đổi là E=2.10 Vim. ¢ Tan xa điện tử giam cam - phonon âm giam cam
Chúng tôi tính số các kết quả giải tích để nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam cầm phonon âm lên EE va PE trong CSS GaAs/Alp.25Gao,75As với € = 9,2 eV, vs 6560 V/m [11], diy =5nm.
Hình 4.1(a) cho thấy sự dao động đã xảy ra khi khảo sát sự phụ thuộc của
EC vào từ trường và biên độ dao động tăng khi từ trường tăng So với trường hợp un-CAP, sự dao động của EC mạnh hơn với nhiều đỉnh cộng hưởng có biên độ lớn khi kể tới sự giam cầm của phonon âm Kết quả cho trường hợp un-CAP (được thu
Hình 4.1: Sự phụ thuộc của EC vào từ trường với Ey = 10° V/m, w = 3.10!” Hz, T 3K
Hình 4.2: Sự phụ thuộc của PC vào từ trường với Ey = 10° V/m, @ = 3.10! Hz, T =
89 nhận khi cho chỉ số lượng tử m đặc trưng cho sự giam cầm phonon tiến về 0) trùng khớp với các kết quả nghiên cứu đã được công bồ về hiệu ứng Ettingshausen trong CSS GaAs/Alo.2sGao.sAs khi không kể đến ảnh hưởng của sự giam cầm phonon âm
[11] Sự dao động từ của EC mà chúng tôi thu được phù hợp với các nghiên cứu lý thuyết về các hiệu ứng từ-nhiệt-điện xảy ra trong hệ bán dẫn 2D [30], dữ liệu thực nghiệm quan sát được trong kim loại [36] và trong một số hệ bán dẫn thấp chiều khác
[41, 59] Trong siêu mạng GaAs/AlGaAs, sự dao động từ có nguyên nhân từ sự cộng hưởng với sự chuyển tiếp điện tử và lỗ trống ở các mức Landau, mỗi cộng hưởng tương ứng với một đỉnh [48] Các đỉnh cộng hưởng được xác định bởi MPPRC trong
Mức đóng góp đáng kể của phonon âm giam cầm vào điều kiện cộng hưởng là do thành phần ħωS Chính sự đóng góp này dẫn đến thay đổi trong biểu thức bảo toàn năng lượng Từ đó, kết quả thu được sẽ hoàn toàn khác biệt, làm dịch chuyển vị trí đỉnh cộng hưởng và thay đổi dáng điệu dao động của EC so với trường hợp không có CAP.
Trong điều kiện cộng hưởng, thành phan fiw!) = ng phụ thuộc vào bề dày d; của lớp GaAs Vì vậy, tham số cấu trúc ảnh hưởng tới sự cộng hưởng từ trong CSS.
Khi d; càng nhỏ, chu kỳ của siêu mạng càng nhỏ, phonon âm bị giam cầm càng mạnh và hiệu ứng lượng tử thể hiện rõ nét Trong trường hợp bề rộng hồ thé đ; lớn, hiệu ứng kích thước là nhỏ, đồng nghĩa với sự giam cầm đối với điện tử và phonon âm là yếu và siêu mạng có xu hướng trở về cấu trúc bán dẫn khối dẫn Day là nguyên nhân dẫn đến sự mat dan các dao động, giảm số lượng các đỉnh cộng hưởng khi d; tăng dan. Kết quả này được biểu thị trong Hình 4.1(b) và phù hợp với kết quả thu được trong siêu mạng hợp phần khi chưa kể đến sự giam cầm của phonon âm [11].
Trong vùng từ trường yếu, giá trị PC thay đổi chậm Khi từ trường lớn lên, PC tăng nhanh và đạt giá trị ổn định Sự giam cầm của phonon âm có ảnh hưởng không đáng kể đến PC.
Hình 4.3: Sự phụ thuộc của EC vào tan số của sóng điện từ mạnh với Ey = 10° V/m,
Hình 4.4: Sự phụ thuộc của EC va PC vào biên độ của sóng điện từ mạnh với @ =
92 trường Trong trường hợp CAP, chu kỳ đ của siêu mạng ảnh hưởng mạnh tới PC khi từ trường thay đổi Hình 4.2(b) chỉ rõ: chu kỳ siêu mạng càng lớn sự ổn định hệ số này càng được mở rộng về vùng từ trường có giá trị nhỏ Điều này có nghĩa khi hiệu ứng giam cầm nhỏ, PC ổn định trong từ trường.
Khi khảo sát sự phụ thuộc của EC vào tần số của sóng điện từ mạnh, chúng tôi thu được kết quả như Hình 4.3 Đã có sự xuất hiện các dao động của EC theo biên độ của sóng điện từ mạnh Khi cho chỉ số lượng tử m bang 0 và thừa số dạng của điện tử trở về biểu thức trong trường hợp un-CAP, chúng tôi thu được kết quả tương ứng với trường hợp un-CAP trong cùng loại vật liệu đã được nghiên cứu trước đây [11].
Do ảnh hưởng của CAP, các dao động của EC trở nên mạnh hơn với sự xuất hiện của nhiều đỉnh cộng hưởng hơn so với trường hợp khi chưa kể đến sự giam cầm của phonon âm Trong trường hợp CAP, chúng tôi nhận thấy EC dao động mạnh hơn ở vùng từ trường nhỏ và dao động yếu rồi mất dần khi từ trường tăng cao Khi từ trường mạnh (B = 7 T), các đỉnh cộng hưởng chỉ còn xuất hiện ở vùng tần số của sóng điện từ mạnh nhỏ hơn @ < 10! Hz, các dao động ở vùng tan số của sóng điện từ mạnh lớn hơn đã biến mất hoàn toàn.
Kết quả chúng tôi thu được trong Hình 4.4 chỉ rõ sự phụ thuộc phi tuyến của cả EC và PC vào biên độ Ep của sóng điện từ mạnh Khi Ey < 4,5.10° V/m, EC giảm; hệ số này tăng nhanh trong vùng Ep = 4, 5.107 8, 5.10 V/m và giảm nếu Ep tiếp tục tăng (Hình 4.4(a)) Trong khi đó, PC chỉ bắt đầu giảm khi Ey > 9,5.10° V/m; ở vùng biên độ của sóng điện từ mạnh nhỏ hơn, hệ số này giữ giá trị ổn định là một hằng số
