Tích phân Đường

Tích phân đường loại 1 Định nghĩa Ứng dụng Cách tính 2 Tích phân đường loại 2 Định nghĩa Ứng dụng Cách tính

1 Tích phân đường loại 1

Định nghĩaỨng dụngCách tính

2 Tích phân đường loại 2

Định nghĩaỨng dụngCách tính

Bài toán tính diện tích dải băng

Xét một dải băng có đáy là cung C và chiều cao ứng với điểm(x , y ) là f (x , y ).

Diện tích của dải băng được xấp xỉ bởi

S ≈nX

i =1

f (xi∗, yi∗) · ∆li,

trong đó ∆li = |−−−−→Pi −1Pi| và (xi∗, yi∗) là điểm mẫu tùy ý thuộccung Pi −1Pi.

Định nghĩa

Cho C là một đường cong phẳng trơn và f (x , y ) là một hàm sốxác định trên C Tích phân đường loại 1 của f dọc theo Clà

f (x , y )dl = limn→∞

i =1

f (xi∗, yi∗) · ∆li,

nếu giới hạn này tồn tại.

Tính chất

Nếu C là một đường cong trơn từng khúc (piecewise-smoothcurve), tức là C là hợp của hữu hạn những đường cong trơnC1, , Cn, thì

f (x , y )dl =Z

f (x , y )dl + · · · +Z

f (x , y )dl

Ứng dụng tính diện tích dải băng

Xét một dải băng có đáy là cung C và chiều cao ứng với điểm(x , y ) là f (x , y ).

Diện tích của dải băng được tính bởi:

S =Z

f (x , y )dl

Ứng dụng tính khối lượng sợi dây

Giả sử một sợi dây có hình dạng là một cung C và mật độ tạiđiểm (x , y ) là ρ(x , y ).

Khi đó, khối lượng của sợi dây được tính bởi:

m =Z

ρ(x , y )dl

Ứng dụng tính chiều dài sợi dây

Chiều dài L của sợi dây C được tính bởi:

L =Z

C1dl

Nếu đường cong C là đồ thị của hàm số

y = y (x ), a ≤ x ≤ b,

dl =q

(dx )2+ (dy )2=q

f (x , y (x ))q

1 + (y0(x ))2dx

Nếu đường cong C được tham số bởi

→r (t) = x (t)−→i + y (t)−→j , a ≤ t ≤ b,

dl =q

(dx )2+ (dy )2 =q

f (x (t), y (t))q

f (−→r (t))|−→r 0(t)|dt

Tích phân đường loại 1 trong không gian

Cho C là một đường cong trơn trong không gian định bởi

x = x (t), y = y (t), z = z(t), a ≤ t ≤ b,

và f (x , y , z) là một hàm số xác định trên C Tích phânđường loại 1 của f dọc theo C cũng được định nghĩa tương tựnhư trường hợp C phẳng.

Công thức tính:

f (x , y , z)dlZ b

Bài toán tính công của một trường lực

khi di chuyển một chất điểm dọc theo đường đi C (path):

i =1−→

F (xi∗, yi∗) ·−−−−→Pi −1Pi =nX

i =1−→

F (xi∗, yi∗) · ∆−→r i

Định nghĩa

của đường đi C là

F · d−→r = limn→∞

i =1−→

F (xi∗, yi∗) · ∆−→ri,

nếu giới hạn này tồn tại.

F (x , y ) =P(x , y ), Q(x , y )

F · d−→r còn được ký hiệu là

P(x , y )dx + Q(x , y )dy

Ứng dụng tính công của một trường lực

đường đi C được tính bởi tích phân đường loại 2:

W =Z

F · d−→r

Nếu đường đi C (path) có phương trình tham số:

P(x (t), y (t))x0(t) + Q(x (t), y (t))y0(t)

F · d−→r =Z b

F(−→r (t)) ·−→r0(t)dt

Nếu đường đi C là đồ thị của hàm sốy = y (x )

P(x , y (x )) + Q(x , y (x ))y0(x )

dx

đến điểm (0; 2).

Hàm vectơ r(t) = x (t)i + y (t)j,t : a → b xác định một

điểm−→r (a) đến điểm −→r (b).

Ta ký hiệu −C là đường cong trùng với C nhưng ngược chiềuvới C , đó là chiều t : b → a, tức là đi từ −→r (b) đến−→r (a).

Ta có

F · d−→r = −Z

F · d−→r (tích phân đường loại 2),Z

f (x , y )dl =Z

f (x , y )dl (tích phân đường loại 1).

Nếu đường đi C là một đường cong trong không gian:−

→r (t) = x (t)−→i + y (t)−→j + z(t)−→k , t : a → b,

F (x , y , z) = P(x , y , z)−→i + Q(x , y , z)−→j + R(x , y , z)−→k ,thì với định nghĩa tương tự, ta có tích phân đường loại 2 trongkhông gian:

F · d−→r =Z

P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz

F · d−→r , trong đó−→F = (xy , yz, zx ),và C là đường đi theo chiều t : 0 → 1 có phương trình tham số