Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Chương 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Chương 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Chương 4. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THÔNG THƯỜNG CÁC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM GIỮA KỲ CÁC ĐỀ THI TỰ LUẬN CUỐI KỲ CHƯƠNG TRÌNH MATLAB
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOANguyễn Đình Huy (Chủ biên)Nguyễn Quốc Lân, Lê Xuân Đại
TOÁN CAO CẤP
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIATP HỒ CHÍ MINH 2015
Trang 3Cuốn sách dành cho các bạn sinh viên trường Đại học Bách Khoa TpHCM.
Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc cho ý kiến Mọi góp ýgửi về địa chỉ: ytkadai@hcmut.edu.vn
Ngày 13 tháng 01 năm 2014Nhóm tác giả
Trang 4Lời nói đầu i
Mục lục ii
Chương 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2
1.1 Khái niệm dãy số 2
1.2 Giới hạn của dãy số 5
1.3 Giới hạn của dãy đơn điệu Định lý Weierstrass 8
1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 8
1.5 Bài tập 15
Lời giải bài tập chương 1 15
Chương 2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 18
2.1 Giới hạn của hàm số 18
2.2 Giới hạn vô cùng bé của hàm số 21
2.3 Giới hạn vô cùng lớn của hàm số 25
2.4 Hàm số liên tục 26
2.5 Bài tập 28
Chương 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 32
3.1 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến 32
3.2 Đạo hàm cấp cao 38
3.3 Vi phân của hàm một biến 40
3.4 Tìm giới hạn dạng vô định theo qui tắc L’ Hopital 41
3.5 Khai triển Taylor - Maclaurin 44
3.6 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 48
3.7 Bài tập 52
Chương 4 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 54
4.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 54
Trang 54.2 Phương pháp tính tích phân bất định 56
4.3 Tích phân của những hàm hữu tỉ 58
4.4 Tích phân của hàm vô tỉ 61
4.5 Tích phân của hàm lượng giác 64
4.6 Tích phân xác định 68
4.7 Phương pháp tính tích phân xác định 71
4.8 Tích phân suy rộng loại 1 73
4.9 Tích phân suy rộng loại 2 80
4.10 Ứng dụng của tích phân 85
4.11 Bài tập 93
Chương 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THÔNG THƯỜNG 94
5.1 Phương trình vi phân cấp một 94
5.2 Bài tập phương trình vi phân cấp một 106
5.3 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng 107
5.4 Bài tập phương trình vi phân cấp hai 113
5.5 Hệ phương trình vi phân 114
5.6 Bài tập hệ phương trình vi phân 121
CÁC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM GIỮA KỲ 124
6.1 Đề thi giữa kỳ giải tích 1- Ca 1 năm 2012-2013 124
CÁC ĐỀ THI TỰ LUẬN CUỐI KỲ 130
7.1 Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 1 năm học 2013-2014 130
7.2 Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 2 năm học 2013-2014 130
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 142
Tài liệu tham khảo 144
Trang 6GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1.1 Khái niệm dãy số 2
1.2 Giới hạn của dãy số 5
1.3 Giới hạn của dãy đơn điệu Định lý Weierstrass 8
1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 8
1.5 Bài tập 15
Lời giải bài tập chương 1 15
Diện tích hình tròn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều
Tính gần đúng diện tích của hình tròn có bán kính R
Hình 1.1: Diện tích hình tròn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều
A = lim
n→∞An= πR2.
Trang 71.1.1 Định nghĩa dãy số
Định nghĩa 1.1 Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên tập hợp số thực R được gọi là dãysố.
Dãy số được kí hiệu là (xn) xn được gọi làphần tử tổng quát thứ ncủa dãy số.
Ví dụ 1.1.1 Cho dãy (xn) với xn= 1
n thì x1 = 1, x2 =1
2, , xn=1n,
1.1.2 Sự biểu diễn hình học của dãy sốPhương pháp thứ nhất.
Dãy số (xn) được biểu diễn bằng đồ thị của nó từ những điểm (n, xn).
Hình 1.2: Biểu diễn dãy số trên mặt phẳng
Phương pháp thứ hai.
Dãy số (xn) được biểu diễn bởi những điểm của trục Ox
Hình 1.3: Biểu diễn dãy số trên trục số thực
1 + 1n
, (n ∈ N) là dãy tăng.
Trang 8Chứng minh Vì xn=
1 + 1n
> 0 nên ta chỉ cần chứng minh xn+1
xn > 1 Ta có
= (1 +
1n+1)n+1(1 +n1)n = (
n+2n+1)n+1(n+1n )n =
.n + 1
(n + 1)2
.n + 1n >
1 − 1n + 1
.n + 1
nn + 1.
n + 1n = 1
Như vậy xn< xn+1Ví dụ 1.1.3 Dãy số xn=
1 +1
n+1n )n+1(n+2n+1)n+2 =
nn + 1 =
n2+ 2n + 1n2+ 2n
nn + 1 =
n(n + 2)n+2
nn + 1 >
1 + 1
nn + 1 =
n + 1n .
nn + 1 = 1.
Như vậy xn> xn+12 Tính bị chặn.
Định nghĩa 1.3 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi làbị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈ R),sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có xn6 M (xn> m).
Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới)của dãy (xn).
Định nghĩa 1.4 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi làbị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa lànếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có m 6 xn6 M.
Định nghĩa 1.5 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi số∀M ∈ R (m ∈ R), tồn tại số hạng của dãy số xn0 sao cho xn0 > M (xn0 < m).
Ví dụ 1.1.4 Dãy số xn =
1 + 1n
Ví dụ 1.1.5 Dãy số xn= (1 +1n)n, (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0 và bị chặn trên bởi số M = 4.
Chứng minh Với mọi ∀n ∈ N luôn có xn> 0, và xn=
1 + 1n
1 + 1n
6 4
Trang 9Hình 1.4: Ý nghĩa hình học của giới hạn của dãy số
1.2.1 Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.6 Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R,nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tạisố N = N (ε) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức |xn− a| < ε.
Chú ý.Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R thì ta viết là limn→∞xn= a.
Định nghĩa 1.7 Dãy số (xn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a ∈ R được gọi làdãy hội tụ đến a.Khi đóta viết là xn→ a.
Định nghĩa 1.8 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là phân kỳ nếu như mọi số ∀a ∈ R không là giới hạncủa dãy số này, có nghĩa là a không tồn tại hoặc bằng ∞.
1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy sốĐịnh lý 1.2
Mọi dãy hội tụ (xn) ⊂ R đều bị chặn.
Chú ý.Điều ngược lại không đúng Ví dụ dãy an= (−1)n bị chặn nhưng phân kỳ.
n→∞(xn± yn) = a ± b3 lim
1.2.3 Những giới hạn cơ bản
Trang 10= e.
10 lim
1 +a
= ea, ∀a.
Chú ý.Với p, α > 0, a > 1, khi n → ∞ thì lnpn << nα<< an<< n! << nn
1.2.4 Định lý kẹpĐịnh lý 1.5
xn6 yn6zn, ∀n > n0lim
n→∞xn= lim
n→∞zn= athì lim
Giải Ta có
0 < 7
nn < 78
= 0 nên lim
7nnn = 0.
1.2.5 Giới hạn vô cùng của dãy số
Định nghĩa 1.9 Số +∞(−∞; ∞)được gọi giới hạn của dãy số (xn) ⊂ R, nếu như với mọi ∀M > 0 tồntại số N = N (M ) > 0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức xn> M (xn< −M ; |xn| > M ).
Chú ý 1∞ = 0;
10 = ∞
Trang 11Ví dụ 1.2.2 Dãy số xn= qn(n ∈ N) với q > 1 có giới hạn limn→∞qn= +∞.Chứng minh Vì 0 < 1q < 1 nên theo giới hạn cơ bản, ta có
1q
= lim
1qn = 0.
Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M1 > 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 nàytồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức |q1n − 0| = q1n < ε = M1, cónghĩa là qn> M (∀n > N ) Như vậy lim
Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M1 > 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 nàytồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức ||q1n| − 0| = |q|1n < ε = M1 , cónghĩa là |xn| = |qn| = |q|n> M (∀n > N ) Như vậy lim
Định nghĩa 1.11 Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (xn), nếu như tồn tại dãy con(xnk) của dãy (xn), hội tụ đến số c.
Ví dụ 1.2.4 Cho dãy (xn) với xn= (−1)n Với n = 2k thì dãy {1, 1, , 1, } được gọi là 1 dãy concủa dãy (xn) và giới hạn riêng của nó x2k → 1, k → ∞ Với n = 2k + 1 thì dãy {−1, −1, , −1, }cũng là 1 dãy con của dãy (xn) và giới hạn riêng của nó x2k+1→ −1, k → ∞.
1.2.7 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ
Nếu như dãy (xn) hội tụ đến số a, thì với mọi dãy con (xnk) của dãy (xn), giới hạn của nó là a.
Chú ý.Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:
Cách 1.Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.
Cách 2.Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
Trang 12Ví dụ 1.2.5 Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn riêng khác nhau.
Đối với dãy (xn) = (−1)n(n ∈ N), dãy con của nó (x2k) = (−1)2k = 1 và (x2k−1) = (−1)2k−1= −1có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1 Chúng không bằng nhau.
Ví dụ 1.2.6 Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng.
Dãy số 1, 2, , n, không có giới hạn riêng.
Định lý 1.7
Nếu dãy số đơn điệutăng (giảm) (xn) ⊂ Rbị chặn trên(dưới)x1 6 x26 6 xn6 6 y(x1 > x2 > > xn> > z),
thì nó có giới hạn hữu hạn Còn nếu như dãy số đơn điệu tăng(giảm) (xn) ⊂ R không bị chặntrên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞).
Ví dụ 1.3.1 Chứng minh rằng dãy số (xn) = (1 +n1)n(n ∈ N) có giới hạn hữu hạn Giới hạn nàyđược kí hiệu là e.
Chứng minh Như ta đã biết dãy (xn) trên là dãy tăng và bị chặn trên Vì vậy theo định lýWeierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn
1 + 1
= e.
Chú ý Số e là số siêu việt (không phải là số đại số) Nó không là nghiệm của đa thức với hệ sốnguyên có bậc n > 1.
Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle.
1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số
Ví dụ 1.4.1 Tìm giới hạn I = lim
n2n + 1−
n3n2+ 1
(n + 1 − n + 1)(n + 1 + n − 1)((n + 1)2+ (n − 1)2)
(n2+ 1 − n2+ 1)(n2+ 1 + n2− 1) = limn→∞
2n(n2+ 1)n2 = ∞.
Trang 131 +n12 + 1= 0.
Ví dụ 1.4.5 Tìm giới hạn I = lim
n2+ 1 − n√
1 +2n+q
1n+ n12
n− 1nn n
n − 1 <nn − 1.
n! <2
n Mặt khác limn→∞
n = 0 nên I = 0.
Trang 14Ví dụ 1.4.9 Tìm giới hạn I = lim
2n − 1.
Mặt khác lim
|q| > 1, do đó1
|q| = 1 + h, h > 0 Theo bất đẳng thức Bernoulli (1.1) ở trang3, ta có
|q|n = (1 + h)n> 1 + nh > nh ⇒ 0 < |q|n< 1nh.
Trang 157n − 1 = −49 vì limn→∞
17n = 0.
Ví dụ 1.4.15 Tìm giới hạn lim
2n+2+ 3n+32n+ 3n
Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có
n→∞an= lim
3n + 33
3n + 1 = 27 vì limn→∞
2n3n = 0.
n→∞an= lim
5n − 3.5
5n + 2 = −15
2 vì limn→∞
2n5n = 0.
vì lim
5n(−6)n = 0.
Ví dụ 1.4.18 Tìm giới hạn lim
2n+ 3−n2−n− 3n
Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có
3n +91n
16n − 1Do đó lim
n→∞an= lim
n = limn→∞
(−1)nn2 = 0.
Trang 161.4.4 Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ 1.4.20 Chứng minh rằng dãy an= 15 + 1 +
52+ 1+ +1
5n+ 1 hội tụ.
Dãy an là dãy đơn điệu tăng Thật vậy, vì
an+1 = an+ 15n+1+ 1
nên an+1 > an.
Dãy an bị chặn trên Thật vậy
an= 15 + 1 +
52+ 1+ +15n+ 1 <
52 + + 15n =
5 −5n+11
1 −15 =14
1 − 1
< 1
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Ví dụ 1.4.21 Chứng minh rằng dãy an= 13 + 1 +
32+ 2+ +1
3n+ n hội tụ.
Dãy an là dãy đơn điệu tăng Thật vậy, vì
an+1 = an+ 13n+1+ n + 1
nên an+1 > an.
Dãy an bị chặn trên Thật vậy
an= 13 + 1+
32+ 2+ +13n+ n <
32 + + 13n =
3 −3n+111 −13 =
1 − 1
< 1
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Ví dụ 1.4.22 Chứng minh rằng dãy an= 2
n! hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Giải Dãy an là dãy đơn điệu giảm Thật vậy, vì
an =
Ví dụ 1.4.23 Cho dãy a1 = √2, an+1 = √2an Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạncủa nó.
Trang 17Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3< Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi 2.Thật vậy, a1 =√2, a2=√2a1 <√2.2 = 2.
Giả sử đã chứng minh được rằng an6 2 Ta sẽ chứng minh an+1 6 2.
Thật vậy, an+1=√2an6√2.2 = 2 Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an6 2, ∀n ∈ NNhư vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
n→∞an= 2.
Ví dụ 1.4.24 Cho dãy x1 =√a, x2 =pa +√a, , xn=r
a +q
a + +√a
n dấu căn
, a > 0 Chứng
minh rằng dãy (xn) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Giải Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 < Ta sẽ chứng minh dãy xn bị chặn trênbởi √a + 1.
Thật vậy, x1=√a <√a + 1, x2=pa +√a <pa +√a + 1 <pa + 2√a + 1 =√a + 1.Giả sử đã chứng minh được rằng xn6√a + 1 Ta sẽ chứng minh xn+16√a + 1.
Thật vậy, xn+1 =√a + xn < pa +√a + 1 < pa + 2√a + 1 = √a + 1 Vậy theo nguyên lý quinạp ta có xn6√a + 1, ∀n ∈ N
Như vậy, dãy xnđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.Giả sử lim
n→∞xn= x Ta có xn+1=√a + xn⇒ x2
n+1 = a + xn.Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được
n→∞x2n+1= a + lim
Do đó x2 = a + x ⇒ x = 1 −√
1 + 4a
√1 + 4a
, k ∈ N
Trang 18= e−1.
Ví dụ 1.4.27 Tìm giới hạn lim
1 + 1
= lim
1 + 1
= e1.
Ví dụ 1.4.28 Tìm giới hạn lim
2n+ 12n
= lim
1 + 1
= e.
1.4.6 Chứng minh dãy số phân kỳ
Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:
Cách 1 Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.Cách 2 Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
Ví dụ 1.4.29 Chứng minh rằng dãy an= (−1)n2n + 3
3n + 1 phân kỳ.
Giải Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có
a2k = (−1)2k2.2k + 33.2k + 1 →
a2k+1= (−1)2k+12.(2k + 1) + 33.(2k + 1) + 1 → −
khi k → ∞ Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.
1.4.7 Tóm tắt các khái niệm cơ bản của chương 1Giới hạn của dãy số
Trang 194 lim
1 + 2
8 lim
ln(n2+ 3)ln(2n3+√n)
9 lim
12 lim
n + (−1)nn − (−1)n
13 lim
sin(n3)ln(1 +√5n3+ 1)
16 I = lim
17 I = lim
ln(n2+ 2n cos n + 1)1 + ln(n + 1)
23 I =q
6 +p6 +√6 +
Bài tập 1.5.2 Sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu:
1 Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau: 0 < a1 < 1, an+1= an(2 − an), ∀n > 1.2 Cho dãy a1 = √k5, an+1 = √k
5an, k ∈ N Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn củanó.
3 Chứng minh rằng dãy an= n!
nn hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Lời giải bài tập chương 1
2n + 1n + 3
3n+2n−5= 8
n) = 0
1 + 2
= e2
n4+ 5n= 5
Trang 20cos(n4)ln(1 +√4
n3+ 2n) = 08.lim
ln(n2+ 3)ln(2n3+√
n) =23
n = 010.lim
2n+ 3n= 311.lim
nn + 1cos
sin(n3)ln(1 +√5
n3+ 1) = 014.lim
16 I = lim
lg(n) + lg10lg(n)
5n + 1n + 5
= en→∞lim
ln(5 −24n+5)
n = e0= 1.
21 I =lim
2n2− 5n + 3n5+ 1
= en→∞lim
ln 2n2− 5n + 3n5+ 1
23 I =q
6 +p6 +√
6 + = 3
Trang 211.5.21 Đầu tiên ta sẽ chứng minh anbị chặn, cụ thể là 0 < an< 1 Thật vậy, ta có 0 < a1< 1.Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an< 1 Ta sẽ chứng minh 0 < an+1< 1 Thật vậy, an+1=an(2 − an) = 1 − (1 − an)2 Do 0 < (1 − an)2 < 1 nên 0 < an+1< 1 Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có0 < an+1< 1, ∀n ∈ N.
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy an đơn điệu tăng Thậy vậy an+1= an(2 − an) ⇒ an+1
an = 2 − an > 1 Từđó an+1> an Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ Giả sử lim
n→∞an= a.Ta có an+1 = an(2 − an) Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được lim
n→∞an+1 =lim
5 Thật vậy, an+1=√k
5an 6 51k+1
k(k−1)= 5k−11 =k−1√5.Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 6k−1√
5 Vì an>√k
5 nên a =k−1√
5 Vậy lim
3 Dãy anlà dãy đơn điệu giảm Thật vậy, vìan+1
an =
= n
(n + 1)n< 1,nên an+1< an.
Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an> 0 Dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.Giả sử lim
n!nn= 0.
Trang 22GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤCCỦA HÀM MỘT BIẾN
2.1 Giới hạn của hàm số 182.2 Giới hạn vô cùng bé của hàm số 212.3 Giới hạn vô cùng lớn của hàm số 252.4 Hàm số liên tục 262.5 Bài tập 28
Lý thuyết tương đối của Albert Einstein
Nếu L0 là khoảng cách từ người đứng yên đến vật đang đứng yên, L là khoảng cách từ ngườiđứng yên đến vật đang chuyển động với vận tốc v(m/s) thì ta có công thức
L = L0.r
1 −v
c2 = L0.r
2.1.1 Định nghĩa điểm giới hạn
Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là 1 số cố định nào đó.
Trang 23Hình 2.1: Chuyển động của vật với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng
Định nghĩa 2.1 Nếu số a ∈ R là điểm giới hạncủa tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại dãy số (xn) ⊂ X \ ahội tụ về điểm a này xn→ a.
Định nghĩa 2.2 Tập hợp (a − ε, a + ε), với ε > 0 là số tùy ý, được gọi là lân cận của a Kí hiệuO(a, ε).
2.1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số
Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X này.Định nghĩa 2.3 Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a, nếu như với mọi dãy∀(xn) ⊂ X \ a hội tụ về a : xn→ a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f (xn) → A.
Ví dụ 2.1.1 Giới hạn của hàm số f (x) = x+1, khi x → 0 là 1 vì với ∀xn→ 0 thì f (xn) = xn+1 → 1.
Ví dụ 2.1.2 Tìm giới hạn I = lim
ln nn
Giải Xét 2 dãy xn = 2πn+1 π2
→ 0 và yn = nπ1 → 0 Ta có lim
n→∞f (xn) = lim
n→∞sin(2πn + π2) =lim
n→∞sin(π2) = 1 và lim
n→∞f (yn) = lim
n→∞sin(πn) = 0 Vậy @I.
Trang 242.1.3 Giới hạn của hàm số từ một phía
Xa+ = {x ∈ X \ x > a}, Xa− = {x ∈ X \ x < a} Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ Rcòn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+(Xa−).
Định nghĩa 2.4 Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → atừ bên phải (từ bên trái)
nếu như lim
1, x > 00, x = 0−1, x < 0
x→a+0f (x) = Alim
x→a[f (x) ± g(x)] = A ± Blim
x→a[f (x).g(x)] = A.B
Nếu có thêm điều kiện B 6= 0 thì lim
f (x)g(x) =
AB
Trang 25Phân loại giới hạn của hàm số
Các dạng không phải vô địnha
0 = ∞(a 6= 0);a∞ = 0;
∞a = ∞;a.∞ = ∞(a 6= 0); q∞= 0(|q| < 1).
7 dạng vô định trong giới hạn hàm số∞
∞ ,0
0 , ∞ − ∞ , 0.∞ ,1
∞ , ∞0 , 00
Tính chất của giới hạn của hàm số
1 Nếu hàm số f (x) khi x → a có giới hạn hữu hạn lim
x→af (x) = A thì giới hạn đó là duynhất.
2 Nếu(
y→3sin y = sin 3
Tìm giới hạn I = lim
α(x)β(x) =
2.2.1 Định nghĩa
Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a là điểm giới hạn của tập hợp X.Định nghĩa 2.5 Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé(VCB) khi x → a, nếu như giới hạncủa nó bằng 0
x→aα(x) = 0.
Trang 262.2.2 Tính chất của hàm vô cùng bé
Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giớihạn của tập hợp X.
α = α(x) −V CB khi x → a
β = β(x) −V CB khi x → a ⇒ α ± β = α(x) ± β(x) −V CB khi x → a
α = α(x) −hàm bị chặn∀x ∈ O(a, ε)
β = β(x) −V CB khi x → a ⇒ α.β = α(x).β(x) = α(x).β(x) −V CB khi x → a3o Nếu α = α(x) làVCB khi x → a thì với mọi∀c ∈ R tích c.α(x) cũng làVCB khi x → a.4o
2.2.4 Vô cùng bé tương đương
Định nghĩa 2.6 Những VCB α = α(x) và β = β(x) khi x → a được gọi là tương đương nếu nhưlim
Chú ý Tổng các VCB cóbậc thấp nhấtcủa tử và mẫu phải TỒN TẠI, có nghĩa là chúng khôngbị triệt tiêu.
Trang 272.2.5 Những giới hạn cơ bản
1 lim
sin xx = 1.
2 lim
loga(1 + x)
x = logae =1
2.2.6 Bảng những hàm vô cùng bé tương đương
Khi x → 0những hàm VCB sau tương đương
1 sin x ∼ x, tan x ∼ x, 1 − cos x ∼ 12x
1 + x − 1 ∼ x
n(n ∈ N)6 sinh x ∼ x, cosh x − 1 ∼ x
Bảng các VCB tương đương thường gặp khi x → 0.
1 x, sin x, arcsin x, sinh x, tan x, arctan x, ln(1 + x), ex− 1 là các VCB tương đương.
2 x
2 , 1 − cos x, cosh x − 1 là các VCB tương đương.3 (1 + x)α− 1 và αx là 2 VCB tương đương
Trang 28Cách sử dụng VCB tương đương khi tính giới hạnĐịnh lý 2.5
u(x) → 0 khi x → af (x) ∼ g(x) khi x → 0
thì f (u(x)) ∼ g(u(x)) khi x → a.
Định lý 2.6
Nếu α(x) → α06= 0 và β(x) ∼ β(x) khi x → a thì α(x).β(x) ∼ α0.β(x) khi x → a
2.2.7 Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương
x22 ) =
∼ 2cos 1.
1 + x3− 12
2cos 1.x3
5x3 = 52cos 1.
2.2.8 Những lỗi SAI thường gặp
1 Nếu f (x), g(x) là những VCB tương đương khi x → a thì f (x) + C ∼ g(x) + C, C 6= 0SAI ???
4 Nếu f (x) ∼ f (x), g(x) ∼ g(x) khi x → a thì f (x) ± g(x) ∼ f (x) ± g(x) có thể SAI ???
ví dụ sin x ∼ tan x khi x → 0 nhưng sin x − x và tan x − x KHÔNG tương đương nhau.lim
sin x − x
tan x − x = −1/2. Nguyên nhân SAI: VCB có bậc thấp nhất ở tử và mẫu KHÔNG TỒNTẠI vì hệ số của nóbằng 0 SỬ DỤNG được quy tắc ngắt bỏ VCB có bậc cao hơn khi tổng cácVCB có bậc thấp nhất phải TỒN TẠI.
Ví dụ 2.2.2 Tìm I = lim
ex2− cos xx2
Trang 29Giải.I = lim
1 − cos xx2 = 1
f (x)
g(x) = 0 thì f (x) được gọi là VCL cóbậc thấp hơng(x).
4 không tồn tại lim
f (x)
g(x) hữu hạn hay vô cùngthì f (x), g(x) được gọi là VCL không so sánh được.
2.3.3 Vô cùng lớn tương đương
Định nghĩa 2.8 Những hàm vô cùng lớn f (x) và g(x) khi x → a được gọi là tương đương nếu nhưlim
f (x)g(x) = 1.
Chú ý.Tổng các VCL cóbậc cao nhất của tử và mẫu phải TỒN TẠI, có nghĩa là chúng không bịtriệt tiêu.
Những giới hạn cơ bản của vô cùng lớn.
Trang 302.3.4 Tìm giới hạn bằng cách thay VCL tương đương
Ví dụ 2.3.1 I = lim
x2+ 4 + 2x + 3√x√
Ví dụ 2.3.2 I = lim
x2+ 4 −√x2+ xx
Giải.Khi x → +∞ ta có √x2+ 4x→+∞∼ x,√x2+ xx→+∞∼ x nên những VCL có bậc cao nhất nàybịtriệt tiêu.
2.4.1 Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp số X ⊂ R và điểm x0 ∈ X là điểm cố định của tập hợp Xnày.
Định nghĩa 2.9 Hàm số f (x) được gọi làliên tụctại điểm x0 ∈ X, nếu như luôn có đẳng thức
f (x) = f (x0).
Định lý 2.7
Cho điểm x0 ∈ X là điểm giới hạn của tập hợp X+
x0, Xx−0 có nghĩa cũng là điểm giới hạn củatập hợp X Khi đó để hàm số f (x) liên tục tại điểm x0 ∈ X điều kiện cần và đủ là luôn có đẳngthức
1 có ít nhất 1 trong 2 giới hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0)không tồn tại hoặc bằng vô cùng.
2 cả 2 giới hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0) tồn tại hữu hạn nhưng không thỏa mãn ít nhất 1 trongnhững đẳng thức trên.
2.4.2 Điểm gián đoạn loại I.
Định nghĩa 2.11 Điểm x0 ∈ X được gọi làđiểm gián đoạn loại Icủa f (x) nếu tại x0 ∃ giới hạnhữuhạnf (x0+ 0) và f (x0− 0) nhưng không thỏa mãn ít nhất 1 trong 2 đẳng thức f (x0+ 0) = f (x0− 0) =f (x0).
Trang 31Định nghĩa 2.12 Điểm x0 ∈ X được gọi làđiểm gián đoạn khử được của f (x) nếu tại x0 ∃ nhữnggiới hạn hữu hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0) sao cho f (x0+ 0) = f (x0− 0) 6= f (x0).
Ví dụ 2.4.1 Khảo sát điểm gián đoạn của hàm số
f (x) =(
|x|, x 6= 01, x = 0
Định nghĩa 2.13 Điểm x0 ∈ X được gọi làđiểm gián đoạn với bước nhảy hữu hạncủa hàm số f (x)nếu như tại điểm này tồn tại những giới hạnhữu hạnf (x0+0) và f (x0−0) sao cho f (x0+0) 6= f (x0−0).Khi đó f (x0+ 0) − f (x0− 0) 6= 0 được gọi là bước nhảycủa hàm số f (x) tại điểm x0.
Ví dụ 2.4.2 Hàm số
f (x) = sign(x) =
1, x > 00, x = 0−1, x < 0
Giải.Rõ ràng f (0 + 0) = lim
x→0+01 = 1 và f (0 − 0) = lim
x→0−0(−1) = −1 Như vậy f (0 + 0) 6= f (0 − 0)và x0 = 0 là điểm gián đoạn với bước nhảy hữu hạn f (0 + 0) − f (0 − 0) = 2 của hàm số f (x).
2.4.3 Điểm gián đoạn loại II
Định nghĩa 2.14 Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gián đoạn loại II của hàm số f (x) nếu như tạiđiểm này có ít nhất 1 trong 2 giới hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0) hoặc bằngvô cùng hoặckhông tồn tại.
Ví dụ 2.4.3 Khảo sát điểm gián đoạn của hàm số
f (x) =
x, x 6= 00, x = 0
x, x 6= 00, x = 0
Giải.Ta sẽ chứng minh f (0 + 0) không tồn tại Xét 2 dãy xn= 2πn+1 π2
→ 0 và yn= nπ1 → 0 Ta cólim
2.4.4 Tóm tắt các khái niệm cơ bản của chương 2
Trang 32Giới hạn và tính liên tục của hàm số
1 Giới hạn của hàm số Tính chất cơ bản
2 Giới hạn vô cùng bé.
3 Giới hạn vô cùng lớn
4 Hàm số liên tục Điểm gián đoạn: loại I, loại II.
2.5.1 Tìm giới hạn bằng cách thay VCB tương đương
Bài tập 2.5.1 Tìm các giới hạn sau bằng cách thay VCB tương đương
1 I = lim
ln(1 + x tan x)x2+ sin3x
2 I = lim
ln(cos x)ln(1 + x2)
3 I = lim
sin(ex−1− 1)ln x
4 I = lim
(ex− 1)(cos x − 1)sin3x + 2x4
5 I = lim
sin 2x + 2 arctan 3x + 3x2ln(1 + 3x + sin2x) + xex
Bài tập 2.5.2 1 Tìm a ∈ R để lim
ln(1 + a3x)x + limx→0
tan(3ax)x + limx→0
2 I = lim
x→0 1 + 2x4 1sin2 x
3 I = lim
x→0 1 − tan2x
1sin2 2x
Trang 336 I = lim
ex1 +1
2.5.5 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f (x)g(x) khi x → a2.5.6 Tính liên tục của hàm số
Bài tập 2.5.7 1 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x0= 0
f (x) =
x sin1
x, x 6= 0a, x = 0.
2 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x0 = 0
f (x) =(
ax2+ 1, x > 0−x, x 6 0.3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x0 = 0
f (x) =(
cos x, x 6 0a(x − 1), x > 0.
4 Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó
f (x) =
(x − 1)3, x 6 0ax + b, 0 < x < 1
x, x > 1.5 Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó
f (x) =(
x, |x| 6 1x2+ ax + b, |x| > 1.
Lời giải bài tập chương 2
2.5.11 lim
x→0ln(1 + x tan x) = 0, lim
x→0x2+ sin3x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng VCB tương đương.Khi x → 0 thì ln(1 + x tan x)x→0∼ x tan xx→0∼ x2vì ln(1 + u(x)) ∼ u(x) khi u(x) → 0 và tan x ∼ x.Khi x → 0 thì x2+ sin3xx→0∼ x2.
Vậy I = lim
x2= 1.2 Ta có lim
Vậy I = lim
x2= −12.
Trang 343 Ta có lim
x→1sin(ex−1− 1) = 0 và lim
x→1ln x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những VCB tương đương.Khi x → 1 thì sin(ex−1− 1)x→1∼ ex−1− 1x→1∼ x − 1 vì sin(u(x))x→1∼ u(x), eu(x)− 1 ∼ u(x) khi u(x) → 0.Khi x → 1 thì ln x = ln(1 + (x − 1))x→1∼ x − 1.
Vậy I = lim
x − 1x − 1 = 1.4 Ta có lim
2 , sin
3x + 2x4 x→0∼x3 Vậy I = lim
x3= −12.5 Ta có lim
x→0sin 2x + 2 arctan 3x + 3x2= 0 và lim
x→0ln(1 + 3x + sin2x) + xex= 0 nên thay VCB tương đương.Khi x → 0 thì sin 2x + 2 arctan 3x + 3x2 x→0∼ (2x + 2.3x), ln(1 + 3x + sin2x) + xex x→0∼ 3x + x.
Vậy I = lim
8x4x = 2.
2.5.21 Ta có lim
ln(1 + a3x)x = a
52− 3
r1 −√
2x2x = 1.
2 Đặt t = −x Ta có√
x2+ 14 + x√
x2− 2 + x =√
t2+ 14 − t√
t2− 2 − t =
t2− 2 + t)(−2)(√
t2+ 14 + t) Khi t → +∞ thì√
t2− 2 +tt→+∞∼t + t,√
t2+ 14 + tt→+∞∼t + t.Vậy I = lim
1 + 8x2− 4
x2 −48 .8x2x2 −4
= e82 I = lim
x→01 + 2x4
sin2 x= e0= 13 I = lim
x→01 − tan2x
− tan2 x.− tan2 x
sin2 2x= e−1/4=√41e
4 I = lim
x→0(1 + (cos x − 1))cos x−11 .cos x−1
x2= e−1/2=√1e
5 I =lim
1 + 42x2− 1
2x2 −14 .4x22x2 −1
= e2
Trang 356 I =lim
1 + (e1x+ 1x− 1)
1
ex + 1x−1
2/x1/x = 2.
2.5.71 Vì 0 6 x sin1
6 |x| nên limx→0 x sin 1
= 0 ⇒ lim
x sin1
= 0 Để hàm số sau liên tục tạix0= 0 thì a = 0.
Đáp số a = 1, b = −1.
Trang 36ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦAHÀM MỘT BIẾN
3.1 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến 323.2 Đạo hàm cấp cao 383.3 Vi phân của hàm một biến 403.4 Tìm giới hạn dạng vô định theo qui tắc L’ Hopital 413.5 Khai triển Taylor - Maclaurin 443.6 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 483.7 Bài tập 52
Bài toán máy bay rơi
Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay đang bay thì hết xăng, độ cao của máy bay khi hếtxăng được mô tả bởi phương trình H(t) = H0+ v0t − 16t2, với H0(km) là độ cao của máy baylúc hết xăng, v0(km/h) là vận tốc của máy bay lúc hết xăng Thời gian từ lúc hết xăng cho đếnkhi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h Hãy tìm vận tốc v0 của máy bay khi hết xăng?
Hình 3.1: Tìm vận tốc của máy bay khi hết xăng
Trang 37Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h, có nghĩa là khi t = 0, 3thì v(0, 3) = 0.
Theo công thức, ta có
v(t) = (H(t))0 = v0− 32.t.
Như vậy v(0, 3) = v0− 32.(0, 3) = 0 ⇒ v0 = 9, 6(km/h)
3.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến
Định nghĩa 3.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm x0 Giới hạn (nếu có) củatỉ số
f (x) − f (x0)x − x0
được gọi làđạo hàm của hàm số y = f (x) tại x0 và được ký hiệu là f0(x0) hay y0(x0).
Định nghĩa 3.2 Đạo hàm tráicủa y = f (x) tại x0 là giới hạn trái (nếu có)
f−0 (x0) = lim
f (x) − f (x0)x − x0
Như vậy f+0(0) = 1 6= −1 = f−0(0) Do đó hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0.
3.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm
Trang 38y0 = u0± v0 = u0(x0) ± v0(x0) (3.6)
Định lý 3.4
Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u0= u0(x) và v0 = v0(x) tại điểm x0 ∈ Xthì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x).v(x) cũng có đạo hàm hữu hạn y0 tại điểm x0, lúc nàyluôn có đẳng thức
y0= u0.v + u.v0 = u0(x0).v(x0) + u(x0).v0(x0) (3.7)
Chú ý.Công thức (3.7) cũng có thể mở rộng cho tích của hữu hạn những hàm số.
(u.v ω)0 = u0.v .ω + u.v0 .ω + + u.v .ω0.
Định lý 3.5
Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u0= u0(x) và v0 = v0(x) tại điểm x0 ∈ Xsao cho v(x0) 6= 0 thì tại điểm này hàm số y = u
v =u(x)
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm hữu hạn f0(x0) tại điểm x0 còn hàm số z = g(y) có đạo hàmhữu hạn g0(y0) tại điểm tương ứng y0 = f (x0) ∈ E(f ), thì hàm hợp z = h(x) = g(f (x)) có đạohàm hữu hạn tại điểm x0, lúc đó luôn có đẳng thức
h0(x0) = g0(y0).f0(x0) ⇔ zx0 = z0y.y0x (3.9)
Trang 39Ví dụ 3.1.2 Tìm đạo hàm của hàm y = sin5(4x + 3)
Giải.y0 = 5 sin4(4x + 3) cos(4x + 3).(4x + 3)0= 20 sin4(4x + 3) cos(4x + 3).
3.1.4 Đạo hàm của hàm ngượcĐịnh lý 3.7
Cho hàm số y = f (x)tăng (hoặc giảm), liên tục trên khoảng X ⊂ R xác định từ khoảng X ⊂ Rlên toàn khoảng Y ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn f0(x0) 6= 0 tại điểm x0 Khi đó hàm ngượcx = g(y) = f−1(y) có đạo hàm hữu hạn tại điểm tương ứng y0 = f (x0) ∈ Y, và luôn có đẳngthức
g0(y0) = 1
f0(x0) ⇔ x
0y = 1
Ví dụ 3.1.3 Tìm đạo hàm của hàm ngược của hàm y = x + x3, x ∈ R.
Giải Hàm số y liên tục khắp nơi và là hàm tăng, đạo hàm y0 = 1 + 3x2 > 0, ∀x ∈ R nênx0y = 1
2 được gọi là hàm cos hyperbolic.
Định nghĩa 3.5 Hàm số tanh x = sinh x
cosh x được gọi là hàm tan hyperbolic.
Định nghĩa 3.6 Hàm số coth x = cosh x
sinh x được gọi là hàm cotan hyperbolic.
Đạo hàm của những hàm sơ cấp
Hàm hằng
y = C = const ⇒ y0 = 0.
Trang 40Hàm lũy thừa
y = xµ(x 6= 0) ⇒ y0 = µxµ−1
• y = x ⇒ y0= 1
• y = 1x ⇒ y
0 = − 1x2.
• y =√x ⇒ y0 = 12√x.
• y = √n
x ⇒ y0= 1n√nxn−1.
• y = cot x ⇒ y0 = − 1sin2x
Hàm lượng giác ngược
• y = arcsin x(x ∈ (−1, 1)) ⇒ y0 = √ 11 − x2
• y = arccos x(x ∈ (−1, 1)) ⇒ y0= −√ 11 − x2
• y = arctan x, (x ∈ (−∞, +∞)) ⇒ y0= 11 + x2
• y = arccot x, (x ∈ (−∞, +∞)) ⇒ y0 = − 11 + x2