Toán cao cấp chương 4 hàm nhiều biến đại học UEH Thầy Vân

Présentation PowerPoint 1 CHƢƠNG IV HAØM NHIEÀU BIEÁN 4 1 Khaùi nieäm y = f(x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ) 4 2 Ñaïo haøm rieâng cuûa y = f(x 1 ,x 2 , , x n )            i i 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 i.

CHƢƠNG IV HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 Khái niệm y = f(x1,x2,x3,….,xn) 4.2 Đạo hàm riêng y = f(x1,x2,…, xn)  Caáp f(x10 , ,x i01 ,x i0  x i ,x 0i1 , ,x 0n )  f(x 10 ,x 02 , ,x 0n ) f(x ) fx (x )   lim x  x i x i i  Caáp 2: i fx x i j  Caáp 3: (fx ) (f) 2f    x j x ix j x ix j fx x x  i j k i (fx x ) i j x k (fx ) 3f   x j x k x ix j x k i fx x  fx x , i, j  1, 2, , n i j j i i, j, k = 1, 2, …, n Tính chất (Định lý Schwarz): Nếu đạo hàm riêng liên tục chúng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm  chúng 2) Cách tính đạo hàm riêng : thực chất tính đạo hàm hàm biến (khi ta xem biến số số ) Bài toán 1: Tính đạo hàm riêng : Bài 1.1: Cho u2) x Tìm 2) 3xy 4y2 x +2y u, u x y Giaûi: Xem y số, ta có u 2x 3y x Xem x số, ta được: u y 3x 8y 2 CHƢƠNG IV HÀM NHIỀU BIẾN Bài 1.2 cho hàm: Tính:  Giải: u 2y x 3y2.3 z u, u , u x y z ux 2y y x x 6y.3 z uy x uz 2y2 31 z Đề thi K.37.Hàm f(x,y) sau thỏa phương trình f f x y 0 x y A f(x,y) = x  y2 B f(x,y) = ln(x.y) C.f(x,y) = x y  y x D Cả ba câu sai Giải: Xét Đạo hàm riêng cấp cao 2.1 Khaùi niệm y = f(x1,x2,x3,….,xn)  Cấp 2:  Cấp 3: f (fx ) '' (f) 2f    x j x ix j x ix j i xix j fx x x  i j k (fx x ) i j x k (fx ) fxx  fxx , i, j  1, 2, , n 3f   x j x k x ix j x k i i j j i i, j, k = 1, 2, …, n 2.2 Tính chất (Định lý Schwarz): Nếu đạo hàm riêng cấp hai liên tục chúng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm  chúng Đạo hàm riêng cấp cao Bài 2.2 Cho hàm Tính:  Giải: fx , fxy , fy fx  f f 2   12x  6xy  3y ,fy   3x  6xy  3y x y (fy ) (fx ) (fx ) fx   24x  6y,fxy   6x  6y,fy   6x  6y x y y 2 Bài 2.2 Cho hàm: u arctg x y xy 2u Tìm x y K.39,Câu 03 : Cho hàm số f (x; y)  e3x 2y Thì A d 2f (x; y)  e3x 2y 9dx  6dxdy  4dy  B d 2f (x; y)  e3x 2y 9dx  12dxdy  4dy2  C d 2f (1;1)  e 9dx  12dxdy  4dy  D Các câu sai d2f (1,1) fxx (1,1)dx 2fxy(1,1)dxdy fyy(1,1)dy2 àn Vi phân tòan phần 3.1 Định nghĩa: 3.2 Cơng thức tính: df(x,y)  fxdx  fydy,d f(x,y)  fx d 2x  2fxy dxdy  fy d 2y Bài toán 3: Tính vi phân toàn phần : Tìm du 1) u x 2y 2) u Giaûi: arctg xx yy 3) u x y2z 1) u 2x, u 2y ln2 , Vậy du 2x.dx 2y ln2.dy x y y 2y (x y)2 x y2 x y x y u x 2x (x y)2 x y2 y x y x y u dx u dy xdy ydx Từ đó: du x y x y2 2) u x u dx u dy u dz Trong : z x y u y2zx y2z ; u xy2z lnx.2yz ; x y u x y2z ln x.y2 z Ta coù du Vaäy: 2 y z y z y du y zx dx x lnx.2yzdy x z lnx.y2dz 10 Cực trị tòan cục Bài 4.2 Cho hàm u x 2x y2 Tìm cực trị hàm:  Giải: Ta coù : u x 2x 2, u y 2y Giải hệ phương trình : Tính đạo hàm riêng cấp hai điểm M Ma trận Hesse M 2u 2u 2, 2, 2 x y 2u x y H Vậy hàm đạt cực tiểu tòan cục Mo(1,0) 16 H H  Đề thi : Haøm u f (x,y) 2x 3y A f có cực tiểu toàn cục (0,0) B f điểm dừng C Vì H (0,0) nên f không đạt cực trị (0,0) D f có điểm dừng (0,0) không đạt cực trị (0,0) 17 Cực trị ràng buộc hàm số thực theo hai biến số thực : C1: Bài toán tìm cực trị hàm f(x, y) với ràng buộc g(x,y) go giải cách từ ràng buộc, rút y theo x (hay x theo y) vào f Từ đó, toán đưa việc tìm cực trị hàm biến C2ù: Tìm cực trị hàm f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = go ( giả sử g0 > 0) Trước tiên, ta lập hàm Lagrange : L x,y; ( f x,y go g x,y gọi nhân tử Lagrange) Ta thấy cực trị hàm f với ràng buộc g(x, y) = go cực trị hàm Lagrange L 18 Điều kiện cấp : Nếu L đạt cực trị địa phương (xo,yo, ' ) L o x 0, Ly' vaø L' hay dL (xo, yo, o) Điều kiện cấp : Ta định nghóa Hesse bao sau : H H2 " Lxx " Lyx L" x " Lxy " Lyy L" y " Lxx L'' x L'' x L" y L'' L'' x , H3 L'' Đặt H Ta có định lý sau : Tại (xo, yo, o ), 19  Nếu dL(xo, yo, ) = H H3 L đạt cực đại địa phương (xo, yo, o )  Nếu dL(xo, yo, ) = vaø H , H L đạt cực tiểu địa phương (xo, yo, o )  Neáu dL(xo, yo, ) = vaø H , H 0, o o o x,y, (xo,yo ) điểm cực đại toàn cục f với ràng buộc g(xo,yo ) go Nếu dL(xo, yo, ) = H o 0, H 0, x,y, (xo,yo ) điểm cực tiểu toàn cục f với ràng buộc g(xo,yo ) go 20 Bài toán 5: U (x,y) 2x Tìm cực trị có điều kiện hàm : 3y với ràng buộc 2x 4y2 17 Giải: Trước tiên, ta lập hàm Lagrange : L x,y; f x,y go g x,y (17 2x 4y2) 0, Ly' 0,L' , ta có hai điểm dừng Giải hệ Lx' 2x 3y (2,3/2,1/4); (-2,-3/2,-1/4) +B2: Tính đạo hàm riêng cấp Lxx Lyy ,Lxy ,Ly 0,3 8y ,Lx 8y,L 4x, 21 + Tại (2,3/2,1/4) ta có " " Lxx Lxy " " H Lyx Lyy L" L" x y " Lxx L'' x H2 L'' L'' x L'' x L" y L'' 64 0; 12 12 H3 H 272 Hàm đạt cực đại địa phương có điều kiện (2,3/2) +Tương tự hàm đại cực tiểu địa phương có điều kiện (-2,3/2) 22 Ứng dụng giải tốn kinh tế Bài toán:1 Một công ty sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ thị trường riêng biệt Giả sử hàm cầu thị trường laø: QD1 = 310 - P1, QD2 = 235 – 1/2P2 hàm tổng chi phí C(Q) = Q2 + 30Q + 20 Trong Pi đơn giá thị trường thứ i, i = 1, ; Q tổng sản lượng Tìm khối lượng sản phẩm công ty cung cấp cho thị trường để lợi nhuận cao nhaát ? 23 9L1/3K1/3 L 0,03K 1/3 2/3 3L K 1; / 3L1/3K K Giải : Ta coù : / L Ta có điều kiện cần để / L / K K L2 L K2 3L 2/3K 1/3 2/3 0,03 đạt cực trị (L,K) : vaø 3L1/3K 2/3 0,03 (1/3)2 K (0,01)3 L (0,01)3K (0,03)3L4 (L /3)2 K 30.000 L 900 L 24 Ta có ma trận Hesse : H // LL // KL // LK // KK 2L 5/3K 1/3 L 2/3K 2/3 L 2/3K 2/3 2L1/3K 5/3 Điều kiện caáp : H H 2L 5/3K1/3 4L 4/3K 4/3 L 4/3K 4/3 3L 4/3K 4/3 L 0, K Suy cục : K lõm ngặt toàn cục Do đó, 30.000 L đạt cực đại toàn 900 25 Bài toán:2 (Bài tập số 8-Trang 267) Giả sử hàm lợi nhuận công ty loại sản phẩm : R C PQ wL rK lợi nhuận, R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, w tiền lương lao động, K tiền vốn, r lãi suất tiền vốn, P đơn giá bán Giả sử Q hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng: Q L1/3K1/3 w 1, r =0,03, P Xác định lượng lao động L, lượng vốn K để công ty có lợi nhuận cao 26 Bài tốn:3 (Bài tập số 21, trang 272) Xác định lượng lao động L, lượng vốn K xí nghiệp để cực tiểu hóa chi phí C(L,K) = wL + rK Trong w = 800 tiền lương cho lao động, r = 0,02 lãi suất vốn vay Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Qo = 1000 đơn vị sản phẩm hàm sản phẩm :Q = F(L,K) = L1/2K1/2 Giải : Haøm Lagrange : F (L,K, ) = 800L + 0,02K + (Qo – L1/2K1/2) Điều kiện cấp : 27 F' L F' K F' 800 L 1/2K 1/2 0,02 L1/2K 1/2 Q L1/2K 1/2 0 (1600)2 L (0,04)2 K LK 106 K L L K 200.000 28 Hessian bao : H L 3/2K 1/2 L 1/2K 1/2 L 1/2K 1/2 L 3/2K 1/2 L 1/2K 1/2 H2 H3 H L 1/2K 1/2 L1/2K 3/2 L1/2K 1/2 L 1/2K 1/2 L1/2K 1/2 L 1/2K 1/2 L 1K L 1/2K 1/2 L,K, 0 Vậy, hàm chi phí C đạt cực tiểu toàn cục khi: L = L* = 5, K = K* = 200.000 29 Bài tốn 4: Giả sử hàm lợi ích phụ thuộc vào số tiền tiêu dùng cuối hai thời kỳ C1 C sau : = C 1C Giả sử lãi suất cuối thời kỳ thứ r = 0,01, tổng thu nhập cuối thời kỳ thứ I=1000 Giả sử ta có C I ràng buộc :C 1 r (C /(1 r )là thời giá C cuối thời kỳ thứ 1) Tìm C 1, C để cực đại hóa hàm lợi ích A (505,500) C (500,505) Chọn câu B (500,510) D Một kết khác 30 ... (0,03)3L4 (L /3)2 K 30.000 L 900 L 24 Ta có ma trận Hesse : H // LL // KL // LK // KK 2L 5/3K 1/3 L 2/3K 2/3 L 2/3K 2/3 2L1/3K 5/3 Điều kiện cấp : H H 2L 5/3K1/3 4L 4/ 3K 4/ 3 L 4/ 3K 4/ 3 3L 4/ 3K 4/ 3... 10 11 4. Cực trị hàm nhiều biến 4. 1 Cực trị địa phƣơng a) Định nghĩa: b) Điều kiện để hàm đạt cực trị + Điều kiện cần + Điều kiện đủ 4. 2 Cực trị toàn cục a) Định nghĩa: b) Điều kiện để hàm đạt...2) Cách tính đạo hàm riêng : thực chất tính đạo hàm hàm biến (khi ta xem biến số số ) Bài toán 1: Tính đạo hàm riêng : Bài 1.1: Cho u2) x Tìm 2) 3xy 4y2 x +2y u, u x y Giải: Xem y