Giải tích hàm một biến: Giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Hàm số y=f(x) có đạo hàm tạix0 khi và chỉ khi nó cóđạo hàm trái và đạo hàm phải tạix0. Trong bài toán về tiếp tuyến ta đã chứng minh được rằng đối với đường liên tụcy =f(x) hệ số góc k0 của tiếp tuyến tại điểm M0(x0, f(x0))được tính theo công thức.

Tìm giới hạn dạng vô định theo qui tắc L’ Hopital

Chú ý.Trên thực tế dạng vô định này chuyển về dạng vô định 00 bằng cách khác. Những dạng vô định này đối với hàm sốf(x)g(x) khix→asẽ được chuyển về dạng vô định quen thuộc 0.∞ bằng cách logarit hóa.

Khai triển Taylor - Maclaurin

Tính giới hạn bằng khai triển Maclaurin Tìm giới hạn bằng khai triển Maclaurin đối với dạng 0. Khai triển Maclaurin những hàm không phải là đa thức đến bậc thấp nhất của VCB ở mẫu. Giải.VCB ở mẫu có bậc bằng4 nên ta sẽ khai triển Maclaurin của tử đến bậc 4 cosx= 1−x2.

• Khai triển Maclaurin ở mẫu số trước để xác định bậc VCB của mẫu số tanx=x+x3. Khai triển Maclaurin ở mẫu số trước để xác định bậc VCB của mẫu số sinx=x−x3.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Nếu đạo hàm đổi dấu từ+sang- khi quaxi thì hàm số đạtcực đại tạixi. • Nếu đạo hàm đổi dấu từ- sang+khi quaxi thì hàm số đạtcực tiểu tại xi. Nếu hàm số có tiệm cận ngang về 1 phía nào đó thì sẽ không có tiệm cận xiên và ngược lại.

Nguyên hàm và tích phân bất định

Hàm sốF(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng X, nếu như F(x)liên tục và khả vi trongX và với mọi∀x∈X luôn có đẳng thức.

Phương pháp tính tích phân bất định

Cho những hàm sốu=u(x) vàv =v(x) khả vi trong khoảng X⊂R.Khi đó ta luôn có đẳng thức sau. Chú ý.Phương pháp tích phân từng phần không mạnh bằng phương pháp đổi biếntuy nhiênmột số tích phân chỉ tính được bằng phương pháp tích phân từng phần.

Tích phân của những hàm hữu tỉ

Qm(x)dx, trong đó Pn(x), Qm(x) là các đa thức với hệ số thực bậc nvàm tương ứng, được gọi là tích phân của hàm hữu tỉ.

Tích phân của hàm lượng giác

Nếu R(sinx,cosx) là hàm chẵn theo sinx,cosx, có nghĩa là R(−sinx,−cosx) = R(sinx,cosx) thì ta đặtt= tanx. Giải.Biểu thức dưới dấu tích phân là hàm chẵn theosinx,cosx nên đặtt= tanx. Nếunlà số lẻ không âm thì đặtt= sinx.Nếum là số lẻ không âm thì đặtt= cosx.

Nếu cả m, n là những số chẵn không âm thì chúng ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân.

Tích phân suy rộng loại 1

Nếu giới hạnI không tồn tại hoặc bằng ∞ thì tích phân suy rộng loại 1 được gọi làphân kỳ. Ý nghĩa hình họcTrong trường hợp f(x)>0,∀x∈(−∞, b],giá trịcủa tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạn bởi x =b, trục Ox và đồ thị hàmf(x). Nếu hàm số f(x) xác định trênRvà khả tích trênmọi đoạn [a, b]thì∀c∈Rtích phân suy rộng loại 1của hàmf(x) trên(−∞,+∞) được xác định bởi.

Tích phân suy rộng này được gọi là hội tụnếu cả hai tích phânở vế phảiđều hội tụkhông phụ thuộc lẫn nhau. Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng củahàm có dấu không đổiđược xác định theo tiêu chuẩn so sánh. Tuy nhiên, với hàm có dấu tùy ý trong khoảng lấy tích phân thì ta sẽ khảo sát sự hội tụ tuyệt đốicủa tích phân suy rộng.

Tích phân suy rộng loại 2

Trong trường hợp f(x)>0,∀x ∈[a, b),giá trị của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học là diện tíchcủa hình phẳng vô hạn được gới hạn bởi x=a, x=btrục Ox và đồ thị hàmf(x),trong đó x=b làtiệm cận đứngcủa hàm sốf(x). Trong trường hợp f(x)>0,∀x ∈(a, b],giá trị của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học là diện tíchcủa hình phẳng vô hạn được gới hạn bởi x=a, x=btrục Ox và đồ thị hàmf(x),trong đó x=alàtiệm cận đứng của hàm sốf(x).

Ứng dụng của tích phân

Tính diện tích hình phẳng, giới hạn bởi y= 4x−x2 và trục Ox Giải.Phương trình hoành độ giao điểm củay= 4x−x2 và trục Ox. Thể tích của vật thể tạo bởi khi quay hình thang cong06y6f(x), a6x6bquanh trục Ox là. Tính vi phân thể tíchdV : ứng với vi phân dxta có 1 vật thể vô cùng bé là 1 lát mỏng, có thể coi là hình trụ đáyS(x) và chiều cao dx.

Thể tích của vật thể tạo bởi khi quay hình thang cong06x6g(y), c6y6dquanh trụcOy là. Thể tích của vật thể tạo bởi khi quay hình thang cong06y 6f(x), a6x6bquanh trục Oy là. Tính yếu tố thể tích dV :ta hình dung lớp hình hộp này có đáy là tấm hình chữ nhật với chiều rộng là |f(x)|chiều dài là 2π|x|và chiều caodx.

Phương trình vi phân cấp một

Nhiệt độ của môi trường xung quanh là 25oC.Hỏi sau bao nhiêu phút từ lúc lấy bánh mỳ ra, nhiệt độ của bánh mỳ hạ xuống còn30oC?. Tốc độ làm lạnh vật thể là sự giảm nhiệt độ T trong 1 đơn vị thời gianτ và được biểu diễn bởi đạo hàm dT. Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỉ lệvới hiệu số nhiệt độ của vật thể T và của môi trường xung quanh t.

Hạt mưa đá có khối lượngM (gam), rơi tự do trong không trung, sẽ bịbốc hơi đều mỗi giây giảm m (gam). Hãy tìm mối quan hệ giữa vận tốc rơi của hạt mưa và thời gian rơi của hạt mưa, biết rằng tại thời điểm ban đầu vận tốc của hạt mưa là 0(m/s) và hệ số tỉ lệ k6=m. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhấtcó dạng y =C(x).e−RP(x)dx, với C(x) là hàm khả vi liên tục (phương pháp Lagrange).

Phi công lái máy bay từ thành phốAđến thành phốB,nằm về hướng Tây theo phương ngang so với thành phố A. Hãy tìm phương trình quỹ đạo bay của máy bay, biết vận tốc của nó là v(km/h) và vận tốc gió thổi từ hướng Nam với vận tốc w(km/h).Khoảng cách từ thành phố Ađến thành phốB theo phương ngang là a(km).

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

• Trong trường hợp lực cản không tồn tại, còn quả nặng sẽ dao động theo 1 ngoại lực có chu kỳ, theo quy luật là`.sinωt. • Trong trường hợp này, chỉ có lực có xu hướng đưa quả nặng về vị trí cân bằng làk(y+`.sinωt). Nếu∆ = 0thì phương trình đặc trưngcó nghiệm képk=k0.Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất làytn=C1ek0x+C2x.ek0x.

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất sẽ có dạngyr =xs.eαx.Qn(x),trong đó Qn(x) là đa thức cần tìm có cùng bậc với Pn(x). Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất sẽ có dạngyr =xs.eαx.(Hk(x).cosβx+ Tk(x).sinβx),trong đóHk(x), Tk(x)là những đa thức cần tìm có cùng bậck= max{m, n}. Nếu α+iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng yr =eαx.(Hk(x).cosβx+Tk(x).sinβx).

Bước 4.Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng là ytq =ytn+yr. Phương pháp này áp dụng để tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất tuyến tính cấp 2 khi biếtnghiệm cơ bản của phương trình thuần nhấty1, y2 vàf(x) không có dạng đặc biệtnhư trên.

Hệ phương trình vi phân

Định lý không đòi hỏi các trị riêng phải phân biệt, nhưng các véc-tơ riêng phải độc lập tuyến tính. Khi đó phương trình (5.11) có 2 nghiệm thực độc lập tuyến tính eαt[Ucosβt−V sinβt], eαt[Usinβt+V cosβt]. Phương pháp khử:Từ những phương trình của hệ không thuần nhất ta dùng phương pháp khử để đưa về phương trình vi phân cấp cao.

Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 2 năm học 2013-2014

Tiệm cận đứng:Vì tập xác địnhD=R\{2} nên ta lấy giới hạn của hàm số khix→2.Khi đó lim. Ứng vớif2(x) =−6thì nghiệm riêng có dạngyr2 =xs.Ce0x.Vìα= 0là nghiệm đơncủa phương trình đặc trưng nêns= 1vàyr2 =Cx. Nghiệm riêng có dạngyr=xs.(Ax+B)e2x.Vìα= 2là nghiệm đơncủa phương trình đặc trưng nêns= 1 vàyr=x.(Ax+B)e2x.

2t 2t = 1 Tiệm cận xiên: Chúng ta chỉ xét tiệm cận xiên về phía phải vì về phía trái đã có tiệm cận ngang nên không thể có tiệm cận xiên về phía trái. Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay miền D quanh trụcOy bằng thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay miềnD1 quanh trục Oy cộng thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay miền D2. Ứng vớif2(x) = 1thì nghiệm riêng có dạngyr2 =ts.Be0t.Vìα= 0không là nghiệmcủa phương trình đặc trưng nêns= 0vàyr2 =B.