Báo cáo nhóm một số ứng dụng của giải tích hàm một biến và của tích phân hàm nhiều biến

Bài toán kinh tế và ví dụ Trong kinh tế người ta ký hiệu: P1P2 giá thị trường của sản phẩm i, Q1Q2 là số lượng sản phẩm thứ i, là hàm chi phí tính theo số lượng sản phẩm...  Tìm cực t

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Sinh viên thực hiện : Phạm Minh Hoàng Chu Văn Hoàng

 Hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D, M0(x0, y0) ∈ D, gọi V là lân cận nào đó trên điểm M0, ta nói:

 Hàm f(x,y) đạt cực đại tại điểm M0 nếu với M ∈ V, M ≠ M0 thì

f(M) – f(M0) < 0

 Giá trị f(M0) gọi là giá trị cực đại , điểm M0 là điểm cực đại

 Hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại điểm M0 nếu với M ∈ V, M ≠ M0 thì

f(M) – f(M0) 0

 Giá trị f(M0) goi là giá trị cực tiểu, điểm M0 là điểm cực tiểu 2 Điều kiện cần của cực trị

 Nếu hàm số z=f(x,y) có cực trị tại M0(x0, y0) và tại điểm này nếu tồn

tại đạo hàm riêng (hữu hạn) f’x (x0, y0), f’y (x0, y) thì các đạo hàm riêng này phải bằng không.

3 Điều kiện đủ của cực trị

 Giả sử M0(x0, y0) là một điểm dừng của hàm số z=f(x,y), hàm f(x,y)

có các đạo riêng cấp 2 tại lân cận của điểm M0

Ta đặt A = fxx’’(x0,y0) , A = fxy’’(x0,y0) , A = fyy’’(x0,y0)

Khi đó:

 Nếu B2 – AC < 0 thì hàm số đạt cực trị tại M0 Đó là điểm cực tiểu

nếu A > 0, là điểm cực đại nếu A < 0

 Nếu B2 – AC > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại M0

4 Bài toán kinh tế và ví dụ

 Trong kinh tế người ta ký hiệu:

 P1P2 giá thị trường của sản phẩm i, Q1Q2 là số lượng sản phẩm thứ i, là hàm chi phí tính theo số lượng sản phẩm Khi đó hàm lợi nhuận là:

Ví dụ 1: 1 công ty sản xuất 2 loại giầy, biết hàm cầu đối với 2 loại sản phẩm đó là Q1= 550 -P1, Q2= 500 – P2, hàm chi phi để doanh nghiệp sản xuất là C= 2Q12+ 4Q1Q2 +3Q22 + 2020 Hãy xác định cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) và gia tăng sản phẩm để lợi nhuận công ty thu được là tối đa.

 Ta có hàm lợi nhuận:

(1)Đạt cực trị

Ta có M(75,25) là điểm dừng

B2 – AC= 16 – 48 = -32<0 ; A = -6 < 0

 Hệ số đạt cực đại tại M(75,25)  Giá bán từng sản phẩm là

Ví dụ 2: Lớp tự động hóa 1 sản xuất và bán 2 mặt hàng điện tử là đèn led

và máy rửa tay với giá lần lượt là 150 nghìn vnđ và 180 nghìn vnđ và có hàm chi phí là Vậy hỏi lớp phải bán bao nhiêu sản phẩm điện tử mỗi loại để lợi nhuận cao nhất? Hàm lợi nhuận đại cực đại tại

 Vậy lớp cần bán 73 đèn led và 89 máy rửa tay để có doanh thu tối đa

Ví Dụ 3: Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Cho

biết hàm cầu đối với 2 loại sản phẩm đó thứ tự là Hãy cho

biết sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại, biết hàm chi phí kết hợp là

 Gọi là các mức sản lượng cần tìm

 Tìm cực trị của hàm số z=f(x,y) trong đó x, y bị ràng buộc bởi điều kiện g(x,y)=0 (gọi là cực trị có điều kiện).

Trong bài toán trên điều kiện g(x,y)=0 giải được , bài toán cực

trị của hàm hai biến trở thành bài toán cực trị của hàm một biến quen thuộc Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể rút ra từ

2 Bài toán cực trị có điều kiện

 Một người tiêu dùng phải ra quyết định mua sắm hai loại hàng và giả sử hàm lợi ích( hay hàm thỏa dụng) của người đó là U = U(x,y), trong đó biến số U chỉ lợi ích( độ thỏa mãn) của người đó khi có x đơn vị hàng hóa thứ nhất và y đơn vị hàng hóa thứ hai Tâm lý chung của người tiêu dùng là nhiều hơn ít, tức là khi x và y càng lớn thì U càng lớn Tuy nhiên do túi tiền có hạn nên muốn mua thứ này thì người tiêu dung phải bớt thứ kia.

 Giả sử, giá thị trường của của các lạo hang hóa mà người tiêu dung muốn mua là p1,p2 và người đó chỉ có số tiền là b khi đó để tối đa hóa độ thỏa dụng U=U(x,y), người đó chỉ được phép lựa chọn x và y trong khuôn khổ ràng buộc về ngân sách: p1x + p2y = b

3 Phương pháp nhân tử lagrange

ràng buộc)

Tìm cực trị của hàm số w=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=b

Trong mô hình bài toán trên:

 x,y: được gọi là các biến chọn;  w: được gọi là biến mục tiêu;  f(x,y): được gọi là hàm mục tiêu;

 g(x,y) = b: được gọi là phương trình ràng buộc Các bước giải bằng phương pháp nhân tử Lagrange

Nếu thì điểm M(x,y) là điểm cực đại có điều kiệnNếu thì điểm M(x,y) là điểm cực tiểu có điều kiệnNếu = 0 thì chưa có kết luận.

 Câu 1: Một khách hàng có 480 nghìn đồng sử dụng để mua hai sản phẩm S1 và S2 Biết giá của sản phẩm S1 là 60 nghìn đồng/ đơn vị và sản phẩm S2 là 90 nghìn đồng/đơn vị Giả sử sự hữu dụng từ x đơn vị

§1 Ứng dụng trong việc tính diện tích

Ví dụ 1: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngoài trời có dạng mái tròn vòm cong với bán kính là 4m và chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh dù là 2m.

Ta có thể coi chiếc dù là vật thể tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường và y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy là mét.

a) Tính diện tích hình phẳng trên.

b) Tính diện tích vải cần thiết để may một chiếc dù.

b) Diện tích xung quanh của chiếc dù khi quay nửa phải hình phẳng quanh trục Oy là: