Tich phan ham da thuc ham phan thuc ham luong giac klvtj

TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC Dạng toán 1 TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC Tích phân Giả sử  f x liên tục trên khoảng K và ,a b K là 1 nguyên hàm của  f x thì         b a b f x dx F b[.]

TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC Dạng tốn 1: TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC Tích phân: Giả sử f  x  liên tục khoảng K a, b  K nguyên hàm f  x  thì:  b a Tính chất:  a a f  x  dx  F  b   F  a   F  x  b a f  x  dx  0,  f  x  dx    f  x  dx b a a b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx,  kf  x  dx  k  f  x  dx   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx, b c a a b c b b b a a a Nếu f  x    a, b b b a a  f  x  b a Phương pháp tích phân đổi biến số: Dạng 1: Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục  ,   u    a, u     b thì:  f  x  dx   f u t   u ' t  dt b  a Dạng 2: Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  dt thì:  b a f  x  dx   v b  v a  g  t  dt Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  ,   thì: b b udv  u v  v.du a a a b Công thức nguyên hàm:  dx  x  C  kdx  kx  C với k số Với   1  x dx  x 1 u 1  C  u u '.du  C  1  1 Các dạng hàm đa thức: Dạng  P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  Dạng  P  x  Q  x  dx : Khai triển tích số Dạng   x  mx  n  dx : Đặt u  mx  n b a b a b a Chú ý: 1) Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x :  f t  dt,  f u  du ,  f  x  dx b b b a a a n 2) Công thức nhị thức Niu-tơn:  a  b    Cnk a nk bk  Cn0 a n Cn1a n1b   Cnn1abn1  Cnnbn n k 0 n Đặc biệt: 1  x    Cnk x k  Cn0 x0 Cn1 x   Cnn x n n k 0 Mỗi cách chọn cận tích phân cho ta hệ thức tổ hợp  Bài toán Cho f  x  dx  1,  f  x  dx  5,  g  x  dx  9 7 Tính A  1 f  x  dx; B  7 2 f  x   3g  x dx Giải A   f  x  dx   f  x  dx  1   6 9 B  2 f  x dx  3 g  x dx  2.5  3.4  2 9 7 Bài tốn Tính tích phân: b) B  0 t 1  t  dt a) A  0 1  x  dx 1 Giải a) A     1 1  x d  x    x 0       0 12 b) Đặt u   t du  4t 3dt  t 3dt  du Khi x  u  1, x  u  B   16  15 u du   u     16 16  16  Bài tốn Tính tích phân: a) I  0  x  1  x  x  3 dx b) J  2  x    x  3 dx Giải a) I  0  x3  x  5x  3 dx   x  x3  x  3x   1 2 b) Đặt u  x  x  u  3, dx  du Khi x  u  1, x   u  17 0  u  5 1 J  u du    u  10u  25  u du 1  u11 25  185 10 u  10 u  25 u du   u10  u      1  1 99  11  Bài tốn Tính tích phân: a) I  2  x   x dx b) J  1 x  x  dx Giải a) I  2  x  x  dx  0  x  x  dx   20   8 3 b) J  1  x  x  3 dx  1   x  x  3 dx  3  x  x  3 dx  x3   x3   x3  28 2    x  3x      x  3x     x  3x     1  1  3 Bài toán Tính tích phân: a) I  0 1  x  dx b) J  0 x 1  x  dx n n Giải a) Ta có: I  0 1  x  dx  0 1  x  d 1  x  1 n n 1  x   n 1 n 1  1  n 1 n 1 b) Ta có: J  0 x 1  x  dx  0  x   11  x  dx 1 n    1  x  n 1 n dx   1  x  dx  n 1 1   n  n  n  3n  Bài toán Chứng minh rằng: a)  x 1  x  dx   f 1  x  dx n b) 1 f  x  dx  0  f  x   f   x  dx 1 Giải a) Đặt u   x du  dx, x   u  1, x   u   b) f  x  dx   f 1  u  du   f 1  u  du   f 1  x  dx 1 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 1 1 1 Do  f  x  dx   f  u  du   f   x  dx 0 1 1  f  x  dx    f  x   f   x  dx 1 1 Bài toán Giả sử hàm số f  x  liên tục đoạn  a; a  Chứng minh: a) Nếu f hàm số lẻ  a a f  x  dx  b) Nếu f hàm số chẵn  a f  x   2 f  x  dx a a Giải I   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx a a a a Đổi biến x  t tích phân a) Nếu f lẻ  a b) Nếu f chẵn  a f  x  dx ta được: f  x  dx   f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  I   a a a a 0 f  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  I  2 f  x  dx a a a 0 Bài toán Xác định số b dương để tích phân   x  x  dx có giá trị lớn b a Giải Xét hàm số f  x   0  t  t  dt x Ta có: F '  x   x  x2 , F '  x    x  Lập bảng biến thiên F  x   0;   F  x  đạt giá trị lớn x  , b  1 1 Bài toán Chứng minh: Cn0 20  Cn1 21   3n 1  Cnn 2n  n 1  n  1 Giải Ta có: n 0 1 1 k k n x k 1 Cn  Cn   Cnn 2n   Cn   n 1 k 0 k  k 0 k  1 n k k n k k 1  x  n C x dx  C x dx   x dx      n n k 0 0 0 k 0 0 n 1 n 1  Bài toán 10 Chứng minh: 3n 1    n  1 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn1  2n 2n  Giải Ta có: 1  x   C20n  C21n x   C22nn x n 2n 1  x  2n  C20n  C21n x   C22nn x n  1  x   1  x    C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn1x n1  2n Do đó:  2n 1  x  2n  1  x  dx    C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn 1 x n 1  dx 2n Ta tính riêng vế: Và  C 1 2n  1  x  2n  1  x  1  x   1  x  dx  2  2n  1 n 1 2n n 1  22 n  2n  x  C23n x  C25n x   C22nn 1 x n 1  dx  x2 x4 x6 x2n    C21n  C23n  C25n   C22nn 1  2n   1 1  C21n  C23n  C25n   C22nn 1 2n 1 n1 22 n  Suy C2n  C2n  C2n   C2n  2n 2n  Tính I n  0 x 1  x  dx, n nguyên dương: Bài toán 11 n  1 C n 1 1 Suy tổng: S  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   n  n  1 n Giải Đặt t   x2  dt  2x.dx Khi x   t  1, x   t  1 t n 1 I n    t n  dt   2  n  1  n  1 Khai triển nhị thức dấu tích phân: I n   x 1  x  dx   x  Cnk   x  dx n  n   1 k 0 k n k 0 k n Cnk x k 1dx    1 Cnk  x k 1.dx k k 0 n  x   1 C k    1 C   n  k 0  2k   k  2k  n k 2k 2 k k n  1 C n 1  Cn0  Cn1    n  n  1 n  1 C n  1 Từ ta có: S  Cn0  Cn1   n  n  1  n  1 n Bài toán 12 Tìm Cn0  số nguyên dương 22  1 23  2n1  n 3n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 2019 Giải Ta có: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x2   Cnn x n n n cho: Suy  1  x  n dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  dx 2 n 1  2 n 1 x x n x  x  C x  C  C   C    n  n n n  n 1 n 1  22  1 23  2n1  n 3n1  2n1 Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Do Cn0  3n1  2n1 3n1  2n1 Nên   n   2019  n  2018 n 1 2019 Dạng tốn 2: TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC Cơng thức ngun hàm: Với a  1:  x dx  u'  x dx  ln x  C  u dx  ln u  C x 1 u 1  C  u u '.dx  C  1  1 Các dạng hàm hữu tỉ: - Dạng:  dx Lập   q  4qr px  qx  r b a  0 b 0  b  0 b - Dạng:  b a : Dùng công thức dx : Đặt x  k tan t x  k2 a a dx  mx  n  a dx 1  1  :     2 x k x k 2k  x  k x  k  mx  n dx Lập   q  4qr px  qx  r    Phân tích dùng cơng thức A  px  qx  r  ' mx  n B 0   2 px  qx  r px  qx  r x    k2 - Dạng:  b a dx x 1  x  n m  x n 1dx b a x 1  x n  n m : đặt t   xn Chú ý: 1) Biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh,… 2) Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé mẫu Nếu bậc tử bé bậc mẫu phần tích mẫu thừa số bậc  x  a  hay x  px  q  bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo tổng phân số dạng: A Bx  C , , x  a x  px  q Bài tốn Tính tích phân: a)  dx 4x  4x 1 b)  x2  x dx x3 Giải a) b)   1 dx dx  1             1   2  4x  4x 1   x  1  x    3 x2  x 4 4  dx      dx   ln x     ln 3 x x1 x x   Bài tốn Tính tích phân: a)  1 dx x  2x  b)  3x  dx x  4x  Giải a) dx dx  1 x2  x  1  x  12    2 Đặt x   tan t ,   t  Khi x  t   , x  1 t   /6  tan t  1 dt  /6 dx  /6 3   dt  t  1 x2  x  1  tan t  1 1 3 18 3x  3x  A B    x  x   x  1 x  3 x  x  b) Ta có: Nên 3x    A  B  x  A  B A  B   A  2  3 A  B   B  Đồng hệ số  Vậy:  5  2 3x   dx     dx   2ln x   5ln x    ln  2ln  ln18  4 x  4x   x 1 x   Bài tốn Tính tích phân: 5x a) A  0 x  4 x2 b) B  2   dx  x3 dx Giải d  x  4 1 a) A  0   2  x2  4 x 4 b) Đặt t  x  x   t  5, dx  dt Khi x  2 t  1, x  t  7 10 25  25  192  B   1    dt   t  10ln t     10ln t t  t 1   Bài toán Tính tích phân: a) I  1 x9 dx x10  x5  b) J  0 6x  dx x  x 1 Giải a) Đổi biến t  x5 dt  5x4dx Khi x  t  1, x  t  32 I 32 tdt 32  t    dt 32          dt 2  t  4t  5  t   t  2  t  2 1  32  34 31    ln  t       ln   5 t21  51  b) J  0 3 2  x  1  x  1  dx dx  dx  2   0 x  x 1 x  x 1 1  x     2  2x 1 dx  3ln x  x   3ln x  x 1 2 Đặt x     tan t   t   dx   tan t  dt  2 2   Khi x  t   , x  , t  5 dx 2 1  x   2  3 10  / 3   t  Vậy J  3ln   /6  / 3  5  /3 Bài tốn Tính tích phân với a  : a /2 a) I  0 dx x  a2 a b) J  0 dx a  x2 Giải a) I  a /2  1  xa a/2  dx  ln   ln    2a 2a x  a 2a  xa xa   2 b) Đặt x  a.tan t với   t  dx  a 1  tan t  dt Khi x  t  0, x  a t  J   /4 a 1  tan t  dt a 1  tan t     /4  /4  dt  t   a a 4a Bài tốn Tính tích phân: a) I  0 x4  x  dx x2  b) J  0 x4  x2  dx x6  Giải  a) Đặt x  tan t , x  0; 2  t  0;   I   /4  4 16 tan t  tan t  2dt  /4  16 tan t  tan t  1dt   cos t  tan  1    /4 16 tan t 1  tan t   16 tan t  tan t  dt 0 Từ tính được: I   Cách khác: 16 17   ln x4  x  x 17  x2    x 4 x 4 x 4 dx  x2  d x  b) J  0   dx  0  0 x   x3 2   x 1 x 1  Lần lượt đặt x  tan t , x3  tan u J  5 12 Bài tốn Tính tích phân: x2  a) M  2  x  1  x  3 1/ b) N  0 dx Giải a) x2   x  1  x  3  A B C D    x   x  1  x  1 x  Đồng được: A  5 , B  ,C  , D   32 32 xdx x8   Từ tính được: M   1   x  13   x   37  ln  ln   16  x  1 32 x   56 32 15 b) Đặt t  x xdx  dt 1 , t  3 Khi x  t  0, x  N 1/ dt 1/  1     dt    0 t 1  t 1 t 1   t 1  1/    ln  arctan t   ln   24  t 1 0   Bài tốn Tính tích phân: 1/2 a) I  0 dx x  x2  b) J  1 8x7  dx x 1  x  Giải 1 1 1      a) Ta có:  2 x  x   x  1  x  1  x 1 x 1   1 1        x  12  x  12  x  1 x  1  1 1 1          x  12  x  12 x  x   1 1 x   1/   ln Từ I     x 1 x 1 x   b) J  1 ln   8x  8x7  dx  dx   dx  x8  x x 1  x  x 1  x  2 x6 d x   ln  x  x    dx  ln129   1 x 1  x  x 1  x  x7 256  ln129  ln  ln129  ln 7 1 x 129 Dạng tốn 3: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Các nguyên hàm lượng giác:  cos xdx  sin x  C  cos u.u '.dx  sin u  C  sin xdx  cos x  C  sin u.u '.dx  cosu  C dx u' 2  cos x  tan x  C  cos u dx  tan u  C dx  sin x   cot x  C  u' dx   cot u  C sin u Các biến đổi lượng giác: Biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng lượng giác, biến đổi theo góc phụ x t  tan sin  x  a    x  b   1   sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b  1  2 a sin x  bcosx a  b sin  x     sin x   cosx   A  a sin x  bcosx  c  ' B   a sin x  bcosx  c a sin x  bcosx  c a sin x  bcosx  c 1  2 a sin x  b sin xcosx  cos x a tan x  bt tan x  c cos x A  a sin x  b cos x  ' sin xcosx     a sin x  b2cos x   a sin x  b2cos x  Chú ý: 1) Cận đặc biệt tích phân: đối, bù, phụ đặt tương ứng: t   x, t    x, t  2)  b  b a a P  x  sin  xdx, enx sin  xdx,  b a  P  x  cos xdx b a : đặt u  P  x  , v '  sin  x cos x enx cos xdx : đặt u  enx , v '  sin  x cos x 3) Nếu R   sin x, cosx    R  sin x, cosx  đặt t  cosx Nếu R  sin x, cosx    R  sin x, cosx  đặt t  sin x Nếu R   sin x, cosx   R  sin x, cosx  đặt t  tan x,cot x Bài toán Tính tích phân: a)  /2   2cosx  sin x  dx b) Giải   /4 sin x dx  x a) b)  /2     2cosx  sin x  dx   2sin x  cosx   /2   /4  1   /4  cos x  /4  2 x dx   dx   x  sin x   0 2 sin Bài tốn Tính tích phân: a)   /2 b) cos3x.cos xdx   cos xdx Giải a)   /2  /2  cos7 x  cosx  dx   cos3x.cos xdx  b) cos x  1  cos x   Suy   cos xdx  1  2cos x  cos 2 x    cos x  cos x  8 3 Bài toán Tính tích phân:  /2  /4 a) A  0 cos3 x.sin xdx b) B  0  cos x 1 cos xdx Giải a) Đặt t  cos x dt   sin xdx Khi x   t  1, x  Nên A  1 /2  t  2 2/2 t 3dt   t  16  /2  /2 b) B  0 cos5 xdx  0 cos xdx Đặt t  sin x dt  cos xdx, x  t  0, x  B1    /2 B2    /2 cos5 xdx    /2 cos xdx  Vậy: B  1  sin x  2  t  1  cosxdx   1  t  dt   t  t  t    15   /2 1  /2   cos x  dx   x  sin x     2 0   15 Bài tốn Tính tích phân:  /2  a) C  0 cos x.sin 8xdx b) D  0 Giải sin x  cos x  dx    9 a) Xét I  0 sin x.sin 8xdx C  I  0 sin x  cos x  C  I    cos x  sin x  sin xdx   cos2x sin xdx  b) Đặt x    /2   0   cos10 x cos x   sin10 x  sin x  dx     0C     2 10 0   t dx  dt , x   t   ,x   t 0  /2  /2  /2   sin xdx    sin   t  dt   cos7 tdt   cos7 xdx  D    sin x  cos x  dx   0 2  Bài toán Tính tích phân: a)  /3  /4  /3  sin b) tan xdx x tan xdx Giải a) Đặt t  cos x  dt   sin xdx, x   /3    /3 tan xdx  /4    1  cos x  sin x dx  cos x /4 t   ,x  t  1 t2  t dt  /2 1/2  1/  3     ln   t  dt   ln t   t 2t  / 2   /2  1/2   /3 b)  sin  /3 x tan xdx   sin x sin x dx  cosx  /3   cos x    /3 dx    ln cosx  cos x   ln  cosx  0 Bài tốn Tính tích phân:  /2 a)   /3 sin xdx  cosx sin xdx   cos2 x b) Giải  /2 a)   /3 b)   /2  /2 d 1  cosx  sin xdx    ln  cosx  ln  cosx  cosx  /3 d  cosx  sin xdx  /3     cos x cos x cosx Bài toán Tính tích phân:  /2 a)   /2 dx  cosx b) Giải x x 2dt a) Đặt t  tan  dt  1  tan  dx  dx  2 2 2 1 t cos3x  sin x  1dx Khi x  t  0; x   /2   t  dx 1 t2  dt   dt   cosx 02  t 2 1 b) cos3x  4cos3 x  3cosx   4cos x  3 cosx Đặt t  sin x  dt  cos xdx, x   t  0, x   /2    t  cos3x  4t   dx   dt   4t    dt   3ln sin x  t 1 t 1  0 1 Bài tốn Tính tích phân:  /2 a) I    /6 sin xdx  4sin x  cos x b) J   tan x dx cos x Giải a) Đặt t  sin x  dt  cosxdx, x  t  0, x   /2 I   tan x dx  cos x  /6 t   tan x dx dx Đặt t  tan x dt  2 cos x 1  tan x  cos x Khi x  t  0, x  1/ J 1 sin x.cosxdx tdt 1   1 1     ln t      ln   dt   2    sin x  2sin x   t  1 t    t 1 0  1  t   /6 b) J    t4 dt  1 t2 1/   t  t 1 1 dt  1 t2 1/   1    t    dt 1  t   t  1    t3 t   1/ 10     t  ln  ln    t 1     Bài tốn Tính tích phân:  /2 2 a) A    cos xdx b) B   sin x cos x  4sin x dx Giải 2 a) A    /2 b) B   2 2    2 2sin x dx   sin x dx    sin xdx   sin xdx    cosx   cosx 4   0  sin xdx  3sin x   /2 2  3sin x    3 3 Bài tốn 10 Tính tích phân:  /2  /2  a) A  b) B  xcosx.dx   x  1 cos xdx 0 Giải  /2  /2  /2  xd  sin x    x sin x  a) A    /2   x  1 b) B    cos2 x dx  2  /2  /2 1     x  1 dx    x   cos2 xdx  /2     sin xdx    1  Tính tích phân:  /2  xcosx sin a) I    /2 1 1 /2  x    x  1 2 2 Bài toán 11  /2    sin xdx    cosx   /4 b) J  xdx  x tan xdx Giải a) Đặt u  x, dv  cosx sin xdx Khi du  dx, v  sin x I  /  /2  x sin x   sin xdx     3  /4  b) J   /4     x  1 dx   cos x  xd  tan x    /4  xdx  cos x  /4  xdx  x tan x  xdx  /4 Bài toán 12  /4  /4   tan xdx  x2  /  2   ln  32 Tính tích phân:  /2  /2 a) A   b) B  x sin xcosxdx a) Đặt u  x, dv  sin x dx x Khi du  dx, v   cos x  /2  Giải A   x  sin x  cos xdx x  /2 sin x cos x   x cos x   / dx      0     /2  b) B   x  sin x  d  sin x     x  sin x  sin x  /2 0  /2  1  2sin x.cosx  sin xdx   /2  /2       1   cosx    sin x    0 3 2  Bài tốn 13 Tính tích phân:  /4  /2  x cosxdx a) A   b) B  x sin xdx 0 Giải  /2  x d  sin x   x a) A  2 sin x    /2    xd  cosx    /2   x sin xdx  2   xcosx   /2  /2  /2   x sin xdx  /2    cos xdx   2 2 b) Đặt t  x  x  t  dx  2dt Khi x   t  0, x  2 t    /2 nên L   t sin tdt Đặt u  t , dv  sin tdt Khi du  3t 2dt , v  cost B   t cost   /2  /2  /2   t costdt   t 2costdt 0 Áp dụng tích phân phần lần B    4 Bài tốn 14 Tính tích phân:   sin x  cos x dx sin x  cosx 4 dx cos x  sin x cosx  a) I   b) J   Giải   sin x  cos x 2sin xcosx  2cos x  dx   dx sin x  cosx sin x  cosx 0 a) Ta có: I      sin x  cos x dx  dx   cos x   sin x  cosx sin x  cosx 0 4    4 dx dx  2sin x    2 sin x  cosx sin x  cosx 0  dx  , đặt t  sin  x   sin x  cosx 4  Tính J   Ta có:   4 J   dx    0  2cos  x   4  0  1  1  t   t   dt  2  ln t   ln t      2 ln  2 2 1 2 ln  2   ln  2 dt  1 t2  2 Vậy I =      cos  x   dx  d sin  x  4 4        sin  x    2cos  x     4 4          dx 1 dx  2  cos x tan x  tan x  cos x  tan x   tan x   0 b) Ta có: J   Đặt tan x  t  dx  dt cos x Khi x  t  0, x   t  1 dt t    t  1  1  J    dt     dt   ln t   ln t    ln t  t   t  1 t    t 1 t   3 Bài tốn 15 Tính tích phân:   sin x  5cos x a) I   dx  5sin x  cos x 2 b) J    dx sin x  2sin x Giải a) Đặt sin x  t cos xdx  dt Khi x   t  0; x    t 1  (2sin x  5) cos x 2t  2t  I  dx   dt   dt 2t  5t  2t  1 t    5sin x  1  2sin x  0  1 1    dt  4 dt   dt     dt t2 2t  1 t   t2  2t  t   0  1 1 1  ln 2t   ln t   ln  ln 3   b) J      2 3 d  cos x  dx dx sin xdx 12      sin x  2sin x  2sin x  cos x  1  sin x  cos x  1  1  cos x  1  cos x  1  u   1  u     du  1  u 1  u 2  /2  0  0 1 du du   1 1 u  1    ln     ln 2     1  u   1  u   u  1 u  2  Giả sử hàm số liên tục đoạn [a;b] Chứng minh: Bài toán 16 a)  f  sin x dx   /2   f  cos x dx b)  xf  sin x dx  0   0 f  sin x dx Giải a) Đặt x   /2     t dx  dt , x   t     f  sin x dx    f  sin   t  dt     /2  ,x   /2  t  f  cos t dt    /2  f  cos x dx b) Đặt x    t dx  dt , x   t   , x    t       0 0  xf  sin x dx     t  f  sin t  dt    f  sin t  dt   tf  sin t  dt    f  sin x dx   xf  sin x dx   0 Do 2 xf  sin x  dx    f  sin x dx  đpcm Bài toán 17 a) Chứng minh rằng: lim  x n sin  xdx  x t 4 b) Giải phương trình:  sin cos dt   Giải a) Với x  0;1  xn sin  x  xn 1 0 Do đó:   x n sin  xdx   x n dx  Vì lim n 1   đpcm n 1 x b) x x x 1 1 t 2 t sin cos dt  sin dt  1  cos t  dt   t  sin t    x  sin x  0   40 80 8 Ta có phương trình:  x  sin x     x  sin x  8  x  8 Tính đạo hàm hàm số: Bài tốn 18 x a) F  x    cos tdt b) G  x   sin x  3t dt Giải a) F '  x   cos x  x  '  cos x x b) G '  x   3sin x. sin x  '  3sin x cos x Bài toán 19  /2 a) Tính:  maxsin x,cos xdx b) Tính f   biết: x2  f  t  dt  x cos  x  Giải a)  /2  /4 0  /4  /2  maxsin x;cos xdx   cos xdx   sin xdx   sin x    cos x  /4    /2  2          /4  2    b) Lấy đạo hàm vế có xf  x2    x sin  x   cos  x  Cho x  : f    2 sin 2  cos 2  f    BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập a b) J   max  x ,3x  2dx a) I   1  x  dx , với n  n 0 HD-ĐS a a) Dùng công thức:  u n u ' dx  a  1 Kết quả: n 1 n 1 1 b) Xét x2  3x  x2  3x  đoạn  0;2 Kết 17 / 16 Bài tập Tính: a) K    x   x   dx b) I  m    x  x  m dx 4 HD-ĐS 3 4 3 a) K  7  dx    x  1 dx   7dx  Kết K  b) Tam thức f  x   x2  x  m, '   m Ta xét trường hợp sau: - Nếu '    m   m   x3 1  x  mx   m   0 Khi đó: I  m     x  x  m  dx   - Nếu '    m   m   x1    m  Khi đó: f  x      x2    m  Với x2    m  hay m   x3 1 I  m      x  x  m  dx     x  mx    m  0 Với x2   m  I  m  1  m  x  x  m  dx   x  x  m  dx 1 1 m 1  m   m  3m   x3    m  x3 1    x  mx     x  mx    0   1 1 m Bài tập Tính: 2 x3dx b) I   x  x 2 xdx a) I   x  4x  HD-ĐS a) Phân tích thành tổng x x A B    x  x   x  1 x  5 x  x  5 Kết ln  ln b) Đặt t  x dt  2x.dx Khi x   t  0; x   t 