phương pháp toán lý các hàm đặc biệt

Tập hợp các hàm trực giao đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong phân tích, chủ yếu bởi vì các hàm này thuộc về một lớp hàm rất tổng quát có thể được biểu diễn bởi các chuỗi của các hàm tr

PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

CÁC HÀM ĐẶC BIỆT

GV: TRỊNH HOA LĂNG

1

Một tập hợp các hàm 𝜙 𝑛 𝑥 , n = 0, 1, 2, …, được nói là trực giao trong khoảng a < x < b tương ứng với hàm trọng số r(x) >

hàm trực giao được gọi là chuỗi Fourier tổng quát.

GIỚI THIỆU

Lớp hàm trực giao đặc biệt bao gồm tập hợp các đa thức

Legendre là tập hợp đa thức đơn giản nhất thuộc lớp hàm này Những tập hợp đa thức khác thường xuất hiện trong

các ứng dụng là các đa thức Hermite, Laguerre và

Chebyshev Các tập hợp đa thức tổng quát hơn được định

nghĩa bởi các đa thức Gegenbauer và Jacobi mà được kể

đến trong các trường hợp đặc biệt khác.

GIỚI THIỆU

Nghiên cứu tập hợp các đa thức tổng quát như đa thức Jacobi thì được quy về các nghiên cứu mỗi một tập hợp đa thức tập trung vào các tính chất mà là đặc trưng chung của tất cả các đa thức đơn lẻ Ví

dụ, tập hợp 𝑝 𝑛 𝑥 mà ta sẽ nghiên cứu tất cả thỏa phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 và hệ thức Rodrigues, và được liên hệ đến tập hợp (𝑑 𝑚 /𝑑𝑥 𝑚 )𝑝 𝑛 𝑥 (ví dụ như đa thức Legendre kết hợp) thì cũng là hàm trực giao Hơn thế nữa nó có thể được chứng minh rằng tập hợp đa thức trực giao bất kỳ thỏa ba điều kiện này thì cần thiết là thành viên của tập hợp đa thức Jacobi, hay trong trường hợp giới hạn như thế là đa thức Hermite và Laguerre.

GIỚI THIỆU

Đa thức Hermite đóng vai trò quan trọng trong vấn đề giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ parabol trong một số bài toán như trong cơ học lượng tử và lý thuyết xác suất.

(cách định nghĩa này thường được sử dụng trong thống kê) như sau:

𝒆 𝟐𝒙𝒕−𝒕 𝟐 = σ 𝒏=𝟎 ∞ 𝑯 𝒏 (𝒙) 𝒕 𝒏

ĐA THỨC HERMITE

GHI NHỚ

Với việc khai triển hàm e mũ

ĐA THỨC HERMITE

Từ (3.3) cho thấy rằng đa thức H n (x) là đa thức có bậc n,

và còn là hàm chẵn theo x với n chẵn và hàm lẻ theo x với n lẻ Do đó nó cho thấy rằng

Một số đa thức ở các bậc đầu tiên được cho trong bảng

GHI NHỚ

ĐA THỨC HERMITE

Bên cạnh chuỗi (3.3), đa thức Hermite có thể được định nghĩa theo hệ thức Rodrigues như sau:

GHI NHỚ

ĐA THỨC HERMITE

Ví dụ như hai trường hợp đơn giản nhất sau đây

ĐA THỨC HERMITE

Hãy dùng hàm sinh để chứng minh mối liên hệ sau

𝑘=0

𝑛 2

𝑛! 𝐻 𝑛−2𝑘 (𝑥)

GHI NHỚ

VÍ DỤ 1

ĐA THỨC HERMITE

ở đây ta đã đổi chỉ số m và k, và đặt m = n – 2k Cuối cùng so sánh hệ số của

t n trong hai chuỗi, ta dẫn ra

VÍ DỤ 1

ĐA THỨC HERMITE

Thay chuỗi 𝜔 𝑥, 𝑡 = 𝑒 2𝑥𝑡−𝑡 2 vào phương trình

𝜕𝜔

𝜕𝑡 − 2 𝑥 − 𝑡 𝜔 = 0 (3.9) Sau một vài phép biến đổi ta được

σ 𝑛=1 ∞ 𝐻 𝑛+1 𝑥 − 2𝑥𝐻 𝑛 𝑥 + 2𝑛𝐻 𝑛−1 𝑥 𝑡 𝑛

𝑛! + 𝐻 1 𝑥 − 2𝑥𝐻 0 𝑥 = 0 (3.10)

Nhưng 𝐻 1 𝑥 − 2𝑥𝐻 0 𝑥 = 0, và do đó ta rút ra hệ thức hồi quy

𝑯 𝒏+𝟏 𝒙 − 𝟐𝒙𝑯 𝒏 𝒙 + 𝟐𝒏𝑯 𝒏−𝟏 𝒙 = 𝟎 (3.11)

Với n = 1,2,3,…

CÁC HỆ THỨC HỒI QUY

GHI NHỚ

ĐA THỨC HERMITE

Một hệ thức hồi quy khác cũng thỏa của đa thức Hermite được dẫn ra từ việc thay chuỗi 𝜔 𝑥, 𝑡 vào phương trình

ĐA THỨC HERMITE

ĐA THỨC HERMITE

Do đó ta thấy rằng 𝑦 = 𝐻 𝑛 𝑥 𝑛 = 0,1,2,3, … là nghiệm phương trình vi phân tuyến tính bậc hai

Được gọi là phương trình Hermite

CÁC HỆ THỨC HỒI QUY

GHI NHỚ

ĐA THỨC HERMITE

Tính chất trực giao của đa thức Hermite được cho bởi

׬ −∞ ∞ 𝒆 −𝒙 𝟐 𝑯 𝒏 (𝒙)𝑯 𝒌 (𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎 𝒌 ≠ 𝒏

(3.17) Với 𝑒 −𝑥 2 được gọi là hàm trọng số Ta có thể chứng minh (3.17) tương tự như trong đa thức Legendre, nhưng đối với đa thức Hermite sẽ được chứng minh theo cách khác nữa

CHUỖI HERMITE

GHI NHỚ

ĐA THỨC HERMITE

Hãy bắt đầu với các mối liên hệ của hàm sinh như sau:

CHUỖI HERMITE

ĐA THỨC HERMITE

Tiếp theo ta nhân hai vế (3.19) với hàm trọng số 𝑒 −𝑥 2 và sau đó thực hiện tích phân để tìm

𝑡 𝑘 𝑘! න

σ 𝑛=0 ∞ σ 𝑘=0 ∞ 𝑡 𝑛

𝑛!

𝑡 𝑘 𝑘! ׬ −∞ ∞ 𝑒 −𝑥 2 𝐻 𝑛 (𝑥)𝐻 𝑘 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋 σ 𝑛=0 ∞ 2 𝑛 𝑡 𝑛 𝑠 𝑛

𝑛! (3.21)

CHUỖI HERMITE

ĐA THỨC HERMITE

GHI NHỚ

Dựa vào các hệ thức (3.17) và (3.22), ta có thể hình thành một lý thuyết về khai triễn cho các đa thức bất kỳ hay các hàm bất kỳ một cách tổng quát theo chuỗi các đa thức Hermite Đặc biệt nếu 𝑓(𝑥) là hàm phù hợp được định nghĩa cho mọi x, ta tìm được khai triễn tổng quát của hàm như sau:

Các chuỗi kiểu này được gọi là chuỗi Hermite Ta có các định lý cho chuỗi

này sau đây.

CHUỖI HERMITE

ĐA THỨC HERMITE

GHI NHỚ

ĐỊNH LÝ 3.1 Nếu 𝑓 trơn từng phần trong các khoảng hữu hạn và

CHÚ

Ý

Hãy biểu diễn hàm 𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝑏𝑥 theo chuỗi các đa thức Hermite, và sử kết quả để dẫn ra giá trị của tích phân

VÍ DỤ 2

Giải: Trong trường hợp này ta có thể có được chuỗi theo cách gián tiếp sau Ta đơn giản đặt t = b

Và do đó ta có chuỗi theo sau

𝑒 2𝑏𝑥 = 𝑒 𝑏2 ෍

𝑛=0

∞

𝑏 𝑛 𝑛! 𝐻 𝑛 𝑥

Vi phân trực tiếp kết quả này từ (3.24) dẫn ra

VÍ DỤ 2

Trong cơ học sóng, phương trình cơ bản để mô tả (ví dụ trong một chiều) vị trí của một hạt bị giữ (bị hút) bởi thế năng V(z) là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian sau:

− 𝑑 2 𝜓

𝑑𝑧 2 + 8𝑚𝜋 2

ℎ 2 𝑉 𝑧 − 𝐸 = 0 (3.25) Với m là khối lượng của hạt, E là năng lượng tổng, và h là hằng số Planck Đại lượng chua biết ψ được gọi là hàm sóng, nghĩa là biên độ sóng có cường độ cho ra xác suất tìm thấy hạt ở một điểm bất kỳ trong không gian Vấn đề cơ bản trong cơ học sóng quan tâm đến chuyển động của hạt được giữ trong thế vuông Nó được hình thành bởi các nghiệm “giải trong các vùng giữ hạt” của phương trình Schrodinger mà cho thấy rằng các nghiệm thõa các điều kiện cho hạt bị giam giữ chỉ xảy ra cho các mức năng lượng rời rạc (gián đoạn) của hạt trong thế vuông.

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

ĐƠN GIẢN

ĐA THỨC HERMITE

Ví dụ cụ thể của vấn đề quan trọng này là bài toán dao động

tử tuyến tính (hay còn được gọi là dao động tử điều hòa đơn giản), lời giải của phương trình này dẫn đến các đa thức Hermite.

Nếu lực phục hồi tác dụng lên hạt ở khoảng cách z từ vị trí cân bằng là – kz, với k có thể là hằng số dao động tử cổ điển

“độ cứng của lò xo nếu dao động từ lò xo”, thì thế năng của lực này là

Thay vào phương trình (3.25) và đặt biến theo tham số không thứ nguyên như sau

Để tìm kiếm nghiệm liên kết (hạt bị giam trong hố thế) của (3.26) ta bắt đầu với trường hợp λ rất nhỏ so với x 2 khi x lớn nên có thể bỏ qua với x lớn Do đó dạng tiệm cận của nghiệm ta mong đợi của (3.26) có dạng sau

𝜓 𝑥 = 𝑦(𝑥)𝑒 − 𝑥2 2 (3.28)

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

ĐƠN GIẢN

ĐA THỨC HERMITE

Với hàm y(x) phù hợp Thay (3.28) vào (3.26) ta có phương trình vi phân

𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 𝜆 − 1 𝑦 = 0 (3.29) Điều kiện biên (3.27) được dùng cho giả sử rằng bất cứ dạng hàm y nào, giả sử hàm y hữu hạn cho mọi x tiến đến vô cùng ở tốc độ chậm hơn tốc

độ của 𝑒 − 𝑥2 2 tiến đến 0 Thì chỉ những nghiệm của (3.29) thõa điều kiện này tương ứng với điều kiện

𝜆 − 1 = 2𝑛 Hay

𝜆 ≡ 𝜆 𝑛 = 2𝑛 + 1 𝑛 = 0,1,2, … (3.30)

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

ĐƠN GIẢN

ĐA THỨC HERMITE

Được gọi là các trị riêng Biểu diễn các trị riêng theo số hạng năng lượng

E ta có

𝐸 𝑛 = 𝑛+

1

2 ℎ𝜔 2𝜋 𝑛 = 0,1,2, … (3.31)

𝜓 𝑛 𝑥 = 𝐻 𝑛 𝑥 𝑒 − 𝑥2 2 𝑛 = 0,1,2, … (3.32)

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

ĐƠN GIẢN

ĐA THỨC HERMITE

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

HÀM SINH

ĐA THỨC LAGUERRE

HÀM SINH

ĐA THỨC LAGUERRE

Khai triển hàm e mũ theo chuỗi, ta có

𝟏 − 𝒕 −𝟏 𝒆 − 𝟏−𝒕 𝒙𝒕 = ෍

𝒌=𝟎

∞

−𝟏 𝒌 𝒌! (𝒙𝒕)

HÀM SINH

ĐA THỨC LAGUERRE

Thì (3.34) trở thành

1 − 𝑡 −1 𝑒 −

𝑥𝑡 1−𝑡 = σ 𝑚=0 ∞ σ 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 𝑘+𝑚 !𝑥 𝑘

(𝑘!) 2 𝑚! 𝑡 𝑘+𝑚 (3.35)

ở đây ta đã đảo ngược thứ tự lấy tổng từ k trước rồi đến m Cuối cùng, ta đổi chỉ số m = n – k dẫn đến biểu thức (3.33)

chính là đa thức Laguerre được định nghĩa bởi

𝑳 𝒏 (𝒙) = σ 𝒌=𝟎 𝒏 −𝟏 𝒌 𝒏!𝒙 𝒌

𝒌! 𝟐 (𝒏−𝒌)! (3.36)

Một số hàm Laguerre đầu tiên được cho trong bảng

GHI NHỚ

CÁC HỆ THỨC

HỒI QUY

ĐA THỨC LAGUERRE

CÁC HỆ THỨC

HỒI QUY

ĐA THỨC LAGUERRE

Tương tự thay (3.33) vào phương trình

GHI NHỚ

CÁC HỆ THỨC

HỒI QUY

ĐA THỨC LAGUERRE

Và bằng cách viết (3.43) theo các dạng tương đương sau

CÁC HỆ THỨC

HỒI QUY

ĐA THỨC LAGUERRE

Để đưa ra phương trình vi phân Laguerre, ta bắt đầu đạo hàm (3.46) và sử dụng (3.43) ta có

𝑥𝐿 ′′ 𝑛 𝑥 + 𝐿 ′ 𝑛 𝑥 = 𝑛𝐿 ′ 𝑛 𝑥 − 𝑛𝐿 ′ 𝑛−1 𝑥 = −𝑛𝐿 𝑛−1 𝑥

Ta có thể khử 𝐿 𝑛−1 𝑥 bằng cách sử dụng (3.46) dẫn ra

𝑥𝐿 ′′ 𝑛 𝑥 + 1 − 𝑥 𝐿 ′ 𝑛 𝑥 + 𝑛𝐿 𝑛 𝑥 = 0 (3.47)

ở đây ta kết luận rằng 𝑦 = 𝐿 𝑛 𝑥 (𝑛 = 0,1,2, … ) là nghiệm

phương trình Laguerre sau

GHI NHỚ

CHUỖI LAGUERRE

ĐA THỨC LAGUERRE

Cũng giống như đa thức Legendre và Hermite, nhiều hàm khác nhau thõa điều kiện chung có thể được khai triễn theo chuỗi đa thức Laguerre Cơ sở của lý thuyết chuỗi như thế là tính trực giao của đa thức Laguerre như sau

Chứng minh (3.49) cũng tương tự như cho đa thức Hermite.

GHI NHỚ

CHUỖI LAGUERRE

ĐA THỨC LAGUERRE

Ta bắt đầu nhân hai chuỗi sau

σ 𝑛=0 ∞ σ 𝑘=0 ∞ 𝑡 𝑛 𝑠 𝑘 ׬

0

∞

𝑒 −𝑥 𝐿 𝑛 (𝑥)𝐿 𝑘 (𝑥)𝑑𝑥 = 1 − 𝑡𝑠 −1 = σ 𝑛=0 ∞ 𝑡 𝑛 𝑠 𝑛

CHUỖI LAGUERRE

ĐA THỨC LAGUERRE

So sánh hệ số t n s n ở cả hai vế của (3.52) ta rút ra kết quả (3.49), trong khi với k = n, ta cũng thấy rằng (với n = 0, 1, 2, …)

CHUỖI LAGUERRE

ĐA THỨC LAGUERRE

ĐỊNH LÝ 3.2 Nếu hàm 𝑓 trơn từng phần trong mỗi một

1

2 𝑓 𝑥

+ + 𝑓 𝑥 −

CHÚ Ý

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Trong nhiều ứng dụng, cụ thể trong cơ học lượng tử, ta

cần đa thức Laguerre tổng quát mà được gọi là đa thức

Laguerre kết hợp như sau

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Hàm sinh cho đa thức Laguerre kết hợp 𝐿 𝑛 𝑚 𝑥 có thể được dẫn ra từ hàm sinh cho đa thức Laguerre L n (x) Trước tiên ta thay n bằng n + m trong (3.33) ta được

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Các số hạng của chuỗi cho n = -1, -2, …,-m tất cả đều bằng 0, khi đạo hàm lần thứ m của đa thức có bậc nhỏ hơn m thì bằng

0, và do đó ta dẫn ra rằng

1 − 𝑡 −1−𝑚 𝑒 − 1−𝑡 𝑥𝑡 = σ 𝑛=−𝑚 ∞ 𝐿 (𝑚) 𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛 𝑡 < 1(3.58)

Đa thức kết hợp có nhiều tính chất mà đơn giản là sự tổng quát của những tính chất này của đa thức Laguerre

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Trong các tính chất này, ta có tính chất quan trọng là các

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Các đa thức 𝐿 𝑛 𝑚 cũng thõa nhiều hệ thức mà có các chỉ số trên khác nhau Hai hệ thức như thế được cho như sau

𝑳 𝒏−𝟏 𝒎 𝒙 + 𝑳 𝒏 𝒎−𝟏 𝒙 − 𝑳 𝒏 𝒎 𝒙 = 𝟎 (3.62)

Và

𝑳 𝒏 𝒎 ′ 𝒙 = −𝑳 𝒏−𝟏 𝒎+𝟏 (𝒙) (3.63)

Phương trình vi phân bậc 2 được thõa bởi các đa thức 𝐿 𝑛 𝑚 (𝑥)

là đa thức Laguerre kết hợp sau

𝒙𝒚 ′′ + 𝒎 + 𝟏 − 𝒙 𝒚 ′ + 𝒏𝒚 ′ = 𝟎 (3.64)

GHI NHỚ

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Để chứng minh điều này, trước tiên ta để ý rằng đa thức 𝑧 =

𝐿 𝑛+𝑚 (𝑥) là nghiệm phương trình Laguerre

𝑥𝑧 ′′ + 1 − 𝑥 𝑧 ′ + 𝑛 + 𝑚 𝑧 = 0 (3.65) Bằng cách đạo hàm (3.65) m lần, sử dụng quy tắt Leibniz (3.38), ta được

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Hay tương đương với

So sánh (3.64) và (3.66) ta thấy rằng hàm bất kỳ 𝑦 = 𝐶 1 𝑑 𝑚 𝑧

𝑑𝑥 𝑚

là nghiệm của (3.64) với C 1 là hằng số bất kỳ Cụ thể, 𝑦 =

𝐿 𝑛 𝑚 (𝑥) là nghiệm phương trình.

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

3.3 ĐA THỨC

LAGUERRE KẾT

HỢP

ĐA THỨC LAGUERRE

Chú ý: Đa thức Laguerre kết hợp 𝐿 𝑛 𝑚 (𝑥) có thể được tổng quát hóa cho trường hợp m không nguyên như sau

NGUYÊN TỬ

HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Ở trên ta đã giải phương trình Schrodinger một chiều cho dao động tử điều hòa tuyến tính, các nghiệm dẫn đến đa thức Hermite Một ứng dụng quan trọng liên quan đến đa thức Laguerre là tìm hàm sóng của electron trong nguyên tử hydro Vấn đề này liên quan đến lực xuyên tâm và dẫn đến hình thành phương trình Schrodinger được cho bởi

∇ 2 𝜓 + 8𝜇𝜋 2

ℎ 2 𝑉 𝑟 − 𝐸 𝜓 = 0 (3.67) Với μ là khối lượng electron, h là hằng số Planck, V(r) là thế năng của electron, và E là năng lượng tổng

NGUYÊN TỬ

HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Ở đây ta giả sử rằng thế năng xuyên tâm có dạng V(r) = k/r, với k là hằng số dương Trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ , θ) phương trình (3.67) có dạng

𝜕 2 𝜓

𝜕𝜃 2 + 8𝜇𝜋

NGUYÊN TỬ

HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Từ các xấp xĩ trong phương pháp tách biến có thể chứng tỏ rằng hàm Θ(𝜃) và Φ(𝜙) thõa các phương trình vi phân tương ứng sau

Θ ′′ + 𝜇Θ = 0 − 𝜋 < 𝜃 < 𝜋 (3.70) Và

1 𝑠𝑖𝑛𝜙

𝑑

𝑑𝜙 𝑠𝑖𝑛𝜙 Φ′ + 𝜈 − 𝜇

𝑠𝑖𝑛 2 𝜙 Φ = 0 0 < 𝜙 < 𝜋 (3.71) Vơi μ và ν là các hằng số tách biến Để nghiệm thõa các điều kiện của bài toán vật lý thì hàm Θ(θ) cần phải là hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π Yêu cầu này dẫn đến μ = m 2 , m = 0,1,2,…, mà từ đó dẫn ra rằng Θ(θ) có dạng

Θ 𝑚 𝜃 = 𝑒 𝑖𝑚𝜃 𝑚 = 0,1,2, … (3.72)

NGUYÊN TỬ

HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Với μ = m 2 , cho thấy rằng phương trình (3.71) chỉ có các

nghiệm liên kết khi ν = l(l+1), l = 0,1,2,…, và trong trường

hợp này các nghiệm là

Φ 𝑙𝑚 𝜙 = 𝑃 𝑙 𝑚 cos 𝜙 𝑚, 𝑙 = 0,1,2, … (3.73) Với 𝑃 𝑙 𝑚 cos 𝜙 là đa thức Legendre kết hợp Tích của những hàm này là

𝑌 𝑙 𝑚 𝜃, 𝜙 = 𝑃 𝑙 𝑚 cos 𝜙 𝑒 𝑖𝑚𝜃 (3.74)

Được gọi là các hàm cầu điều hòa và là hàm rất quan trọng

trong rất nhiều ứng dụng ngoài ứng dụng cho hydro.

NGUYÊN TỬ

HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Dựa vào các kết quả trên, thành phần phương trình xuyên tâm R(r) của hàm sóng khi đó thõa phương trình

𝜌 = 𝛼𝑟; 𝛼 2 = − 32𝜇𝜋

2 𝐸

ℎ 2 (𝐸 < 0) Và

𝜒 𝜌 = 𝑅 𝜌

𝛼 ; 𝜆 =

8𝑘𝜇𝜋 2

𝛼ℎ 2

NGUYÊN TỬ

HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

NGUYÊN TỬ

HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Nên ta cần giới hạn cho λ phải là các giá trị nguyên mà là

λ = n, n = 1, 2, 3, …, với n > l Giới hạn như thế của λ có

ảnh hưởng đến giới hạn cho năng lượng hạt phải có các giá trị rời rạc (gián đoạn) được cho bởi

ĐA THỨC LAGUERREBÀI TẬP

ĐA THỨC LAGUERREBÀI TẬP

ĐA THỨC LAGUERREBÀI TẬP

ĐA THỨC LAGUERREBÀI TẬP

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

TẬP HỢP CÁC ĐA

THỨC TRỰC GIAO

TỔNG QUÁT KHÁC

ĐỌC THÊM

PHỤ

LỤC

PHỤ

LỤC

PHỤ

LỤC

PHỤ

LỤC

PHỤ

LỤC

PHỤ

LỤC