phương pháp toán lý các hàm đặc biệt

Tập hợp các hàm trực giao đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong phân tích, chủ yếu bởi vì các hàm này thuộc về một lớp hàm rất tổng quát có thể được biểu diễn bởi các chuỗi của các hàm tr

Tập hợp các hàm trực giao đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong phân tích, chủ yếu bởi vì các hàm này thuộc về một lớp hàm rất tổng quát có thể được biểu diễn bởi các chuỗi của các

hàm trực giao được gọi là chuỗi Fourier tổng quát.

GIỚI THIỆU

Lớp hàm trực giao đặc biệt bao gồm tập hợp các đa thức

Legendre là tập hợp đa thức đơn giản nhất thuộc lớp hàm này Những tập hợp đa thức khác thường xuất hiện trong

các ứng dụng là các đa thức Hermite, Laguerre và

Chebyshev Các tập hợp đa thức tổng quát hơn được định

nghĩa bởi các đa thức Gegenbauer và Jacobi mà được kể

đến trong các trường hợp đặc biệt khác.

GIỚI THIỆU

Nghiên cứu tập hợp các đa thức tổng quát như đa thức Jacobi thì được quy về các nghiên cứu mỗi một tập hợp đa thức tập trung vào các tính chất mà là đặc trưng chung của tất cả các đa thức đơn lẻ Ví dụ, tập hợp 𝑝𝑛𝑥mà ta sẽ nghiên cứu tất cả thỏa phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 và hệ thức Rodrigues, và được liên hệ đến tập hợp (𝑑𝑚/𝑑𝑥𝑚)𝑝𝑛𝑥(ví dụ như đa thức Legendre kết hợp) thì cũng là hàm trực giao Hơn thế nữa nó có thể được chứng minh rằng tập hợp đa thức trực giao bất kỳ thỏa ba điều kiện này thì cần thiết là thành viên của tập hợp đa thức Jacobi, hay trong trường hợp giới hạn như thế là đa thức Hermite và Laguerre.

GIỚI THIỆU

Đa thức Hermite đóng vai trò quan trọng trong vấn đề giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ parabol trong một số bài toán như trong cơ học lượng tử và lý thuyết xác suất.

(cách định nghĩa này thường được sử dụng trong thốngkê) như sau:

Với việc khai triển hàm e mũ

Với bước cuối cùng ta đổi biến m = n – 2k, từ đó ta có đathức Hermite như sau:

Từ (3.3) cho thấy rằng đa thức Hn(x) là đa thức có bậc n,và còn là hàm chẵn theo x với n chẵn và hàm lẻ theo xvới n lẻ Do đó nó cho thấy rằng

Bên cạnh chuỗi (3.3), đa thức Hermite có thể được định nghĩa theo hệ thức Rodrigues như sau: Đa thức Hermite có nhiều tính chất giống với đa thức Legendre, và thực tế có nhiều mối liên hệ giữa hai đa thức này với nhau.

GHI NHỚ

ĐA THỨC HERMITE

Ví dụ như hai trường hợp đơn giản nhất sau đây

Hãy dùng hàm sinh để chứng minh mối liên hệ sau

ở đây ta đã đổi chỉ số m và k, và đặt m = n – 2k Cuối cùng so sánh hệ số củatntrong hai chuỗi, ta dẫn ra

Thay chuỗi𝜔 𝑥, 𝑡 = 𝑒2𝑥𝑡−𝑡2vào phương trình

Một hệ thức hồi quy khác cũng thỏa của đa thức Hermiteđược dẫn ra từ việc thay chuỗi 𝜔 𝑥, 𝑡 vào phương trình

Tính chất trực giao của đa thức Hermite được cho bởi

׬−∞∞𝒆−𝒙𝟐𝑯𝒏(𝒙)𝑯𝒌(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎𝒌 ≠ 𝒏 (3.17)

Với 𝑒−𝑥2được gọi là hàm trọng số Ta có thể chứngminh (3.17) tương tự như trong đa thức Legendre,nhưng đối với đa thức Hermite sẽ được chứng minh

Hãy bắt đầu với các mối liên hệ của hàm sinh như sau:

Tiếp theo ta nhân hai vế (3.19) với hàm trọng số 𝑒−𝑥2và sau đó thực hiện

Dựa vào các hệ thức (3.17) và (3.22), ta có thể hình thành một lý thuyết về khai triễn cho các đa thức bất kỳ hay các hàm bất kỳ một cách tổng quát theo chuỗi các đa thức Hermite Đặc biệt nếu 𝑓(𝑥) là hàm phù hợp được định nghĩa cho mọi x, ta tìm được khai triễn tổng quát của hàm như sau:

Các chuỗi kiểu này được gọi là chuỗi Hermite Ta có các định lý cho chuỗi

này sau đây.

ĐỊNH LÝ 3.1 Nếu 𝑓 trơn từng phần trong các khoảng hữu hạn và

−∞ ∞

𝒆−𝒙𝟐𝒇𝟐(𝒙)𝒅𝒙 < ∞

Thì chuỗi Hermits (3.23) có các hệ số được xác định trong (3.24) hội tụ vềcác điểm trong từng phần tại mỗi một điểm liên tục của𝑓(𝑥) Ở các điểmkhông liên tục, chuỗi hội tụ về giá trị trung bình

Hãy biểu diễn hàm𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑏𝑥theo chuỗi các đathức Hermite, và sử kết quả để dẫn ra giá trị của tích

Giải: Trong trường hợp này ta có thể có được chuỗi theo cách gián tiếp sau Ta đơn giản đặt t = b

Trong cơ học sóng, phương trình cơ bản để mô tả (ví dụ trong một chiều) vị trí của một hạt bị giữ (bị hút) bởi thế năng V(z) là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian sau:

ℎ2𝑉 𝑧 − 𝐸 = 0(3.25)

Với m là khối lượng của hạt, E là năng lượng tổng, và h là hằng số Planck Đại lượng chua biết ψ được gọi là hàm sóng, nghĩa là biên độ sóng có cường độ cho ra xác suất tìm thấy hạt ở một điểm bất kỳ trong không gian Vấn đề cơ bản trong cơ học sóng quan tâm đến chuyển động của hạt được giữ trong thế vuông Nó được hình thành bởi các nghiệm “giải trong các vùng giữ hạt” của phương trình Schrodinger mà cho thấy rằng các nghiệm thõa các điều kiện cho hạt bị giam giữ chỉ xảy ra cho các mức năng lượng rời rạc (gián đoạn) của hạt trong thế vuông.

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA ĐƠN GIẢN

ĐA THỨC HERMITE

Ví dụ cụ thể của vấn đề quan trọng này là bài toándao động tử tuyến tính(hay còn được gọi là dao động tử điều hòa đơn giản), lời giải của phương trình này dẫn đến các đa thức Hermite.

Nếu lực phục hồi tác dụng lên hạt ở khoảng cách z từ vị trícân bằng là – kz, với k có thể là hằng số dao động tử cổ điển“độ cứng của lò xo nếu dao động từ lò xo”, thì thế năng của

Thay vào phương trình (3.25) và đặt biến theo tham số không thứnguyên như sauở đây đạo hàm theo biến x Thêm vào đó, hàm sóng ψ cần phải thõa điềukiện biên sau

Để tìm kiếm nghiệm liên kết (hạt bị giam trong hố thế) của (3.26) ta bắt đầu với trường hợp λ rất nhỏ so với x2khi x lớn nên có thể bỏ qua với x lớn Do đó dạng tiệm cận của nghiệm ta mong đợi của (3.26) có dạng sau

𝜓 𝑥 ~𝑒±𝑥

2|𝑥| ⟶ ∞

ở đây chỉ có nghiệm tương ứng dấu trừ là thõa điều kiện(3.27) Dựa vào nghiệm này, ta có giả sử rằng (3.26) có

Với hàm y(x) phù hợp Thay (3.28) vào (3.26) ta có phương trình vi phân

𝑦′′− 2𝑥𝑦′+ 𝜆 − 1 𝑦 = 0(3.29)

Điều kiện biên (3.27) được dùng cho giả sử rằng bất cứ dạng hàm y nào,giả sử hàm y hữu hạn cho mọi x tiến đến vô cùng ở tốc độ chậm hơn tốcđộ của 𝑒−𝑥22tiến đến 0 Thì chỉ những nghiệm của (3.29) thõa điều kiệnnày tương ứng với điều kiện

Được gọi là các trị riêng Biểu diễn các trị riêng theo số hạng năng lượng

Mà chính là phương trình Hermite có nghiệm là𝑦 = 𝐻𝑛(𝑥) Do đó ta kếtluận rằng mỗi một trị riêng λnđược cho bởi (3.30) sẽ có tương ứng cácnghiệm của (3.26) được gọi là hàm riêng hay trạng thái riêng được cho bởi

BÀI TẬP ĐA THỨC HERMITE

BÀI TẬP ĐA THỨC HERMITE

BÀI TẬP ĐA THỨC HERMITE

BÀI TẬP ĐA THỨC HERMITE

ở đây ta đã đảo ngược thứ tự lấy tổng từ k trước rồi đến m Cuối cùng, ta đổi chỉ số m = n – k dẫn đến biểu thức (3.33)

chính là đa thức Laguerre được định nghĩa bởi

Do vậy, đồng nhất hệ số ở hai vế phương trình (3.40) nên các hệ số của tnởbên trái phải bằng 0, ta được hệ thức hồi quy

Hệ thức cuối cùng cho phép ta biểu diễn vi phân của đa thức Laguerre theo số hạng đa thức Laguerre.

GHI NHỚ

ở đây ta kết luận rằng 𝑦 = 𝐿𝑛𝑥 (𝑛 = 0,1,2, … ) là nghiệm

phương trình Laguerre sau

GHI NHỚ

CHUỖI LAGUERRE

ĐA THỨC LAGUERRE

Cũng giống như đa thức Legendre và Hermite, nhiềuhàm khác nhau thõa điều kiện chung có thể được khaitriễn theo chuỗi đa thức Laguerre Cơ sở của lý thuyếtchuỗi như thế là tính trực giao của đa thức Laguerre như

CHUỖI LAGUERRE

ĐA THỨC LAGUERRE

So sánh hệ số tnsnở cả hai vế của (3.52) ta rút ra kết quả (3.49), trongkhi với k = n, ta cũng thấy rằng (với n = 0, 1, 2, …)

Thì chuỗi Laguerre (3.54) có hệ số được xác định bởi (3.55)hội tụ từng phần về 𝑓(𝑥) ở mỗi điểm liên tục của 𝑓 Ở cácđiểm không liên tục, chuỗi hội tụ về giá trị trung bình

Trong nhiều ứng dụng, cụ thể trong cơ học lượng tử, ta

cần đa thức Laguerre tổng quát mà được gọi là đa thức

Laguerre kết hợp như sau

Hàm sinh cho đa thức Laguerre kết hợp𝐿𝑛𝑚𝑥 có thể đượcdẫn ra từ hàm sinh cho đa thức Laguerre Ln(x) Trước tiên tathay n bằng n + m trong (3.33) ta được

Các số hạng của chuỗi cho n = -1, -2, …,-m tất cả đều bằng 0, khi đạo hàm lần thứ m của đa thức có bậc nhỏ hơn m thì bằng 0, và do đó ta dẫn ra rằng

1 − 𝑡−1−𝑚𝑒−1−𝑡𝑥𝑡= σ𝑛=−𝑚∞𝐿(𝑚)𝑛(𝑥)𝑡𝑛𝑡 < 1(3.58)

Đa thức kết hợp có nhiều tính chất mà đơn giản là sự tổng quát của những tính chất này của đa thức Laguerre

Các đa thức𝐿𝑛𝑚cũng thõa nhiều hệ thức mà có các chỉ số trên khác nhau Hai hệ thức như thế được cho như sau

𝑳𝒏−𝟏𝒎𝒙 + 𝑳𝒏𝒎−𝟏𝒙 − 𝑳𝒏𝒎𝒙 = 𝟎(3.62)

𝑳𝒏𝒎 ′𝒙 = −𝑳𝒏−𝟏𝒎+𝟏(𝒙)(3.63)

Phương trình vi phân bậc 2 được thõa bởi các đa thức 𝐿𝑛𝑚(𝑥)

là đa thức Laguerre kết hợp sau

𝒙𝒚′′+ 𝒎 + 𝟏 − 𝒙 𝒚′+ 𝒏𝒚′= 𝟎(3.64)

GHI NHỚ

Để chứng minh điều này, trước tiên ta để ý rằng đa thức 𝑧 =𝐿𝑛+𝑚(𝑥) là nghiệm phương trình Laguerre

Chú ý: Đa thức Laguerre kết hợp𝐿𝑛𝑚(𝑥) có thể đượctổng quát hóa cho trường hợp m không nguyên như sau

NGUYÊN TỬ HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Ở trên ta đã giải phương trình Schrodinger một chiều cho dao động tử điều hòa tuyến tính, các nghiệm dẫn đến đa thức Hermite Một ứng dụng quan trọng liên quan đến đa thức Laguerre là tìm hàm sóng của electron trong nguyên tử hydro Vấn đề này liên quan đến lực xuyên tâm và dẫn đến hình thành phương trình Schrodinger được cho bởi

∇2𝜓 +8𝜇𝜋2

ℎ2𝑉 𝑟 − 𝐸 𝜓 = 0(3.67)

Với μ là khối lượng electron, h là hằng số Planck, V(r) là thế năng của electron, và E là năng lượng tổng

NGUYÊN TỬ HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Ở đây ta giả sử rằng thế năng xuyên tâm có dạng V(r) = k/r, với k là hằng số dương Trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ , θ) phương trình (3.67) có

Để có hàm sóng liên kết trong thế năng, ta bắt đầu tìm kiếm nghiệmcủa (3.68) có dạng tích của các hàm theo từng biến như sau (phươngpháp tách biến)

NGUYÊN TỬ HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Từ các xấp xĩ trong phương pháp tách biến có thể chứng tỏ rằng hàm Θ(𝜃) và Φ(𝜙) thõa các phương trình vi phân tương ứng sau Vơi μ và ν là các hằng số tách biến Để nghiệm thõa các điều kiện của bài toán vật lý thì hàm Θ(θ) cần phải là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π Yêu cầu này dẫn đến μ = m2, m = 0,1,2,…, mà từ đó dẫn ra rằng Θ(θ) có dạng

Θ𝑚𝜃 = 𝑒𝑖𝑚𝜃𝑚 = 0,1,2, …(3.72)

NGUYÊN TỬ HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Với μ = m2, cho thấy rằng phương trình (3.71) chỉ có các

nghiệm liên kết khi ν = l(l+1), l = 0,1,2,…, và trong trường

Được gọi là các hàm cầu điều hòa và là hàm rất quan trọng

trong rất nhiều ứng dụng ngoài ứng dụng cho hydro.

NGUYÊN TỬ HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Dựa vào các kết quả trên, thành phần phương trình xuyên tâmR(r) của hàm sóng khi đó thõa phương trình

NGUYÊN TỬ HYDRO

ĐA THỨC LAGUERRE

Nên ta cần giới hạn cho λ phải là các giá trị nguyên mà là

λ = n, n = 1, 2, 3, …, với n > l Giới hạn như thế của λ có

ảnh hưởng đến giới hạn cho năng lượng hạt phải có cácgiá trị rời rạc (gián đoạn) được cho bởi

ĐA THỨC LAGUERRE BÀI TẬP

ĐA THỨC LAGUERRE BÀI TẬP

ĐA THỨC LAGUERRE BÀI TẬP

ĐA THỨC LAGUERRE BÀI TẬP

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC