Các hàm đặc biệt thường được sử dụng trong các bài toán vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ NGUYỄN HỮU PHÁT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC HÀM ĐẶC BIỆT THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ Mã số sinh viên: 44.01.102.093 Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 Lời cám ơn Khóa luận tốt nghiệp trang bị cho em kỹ nghiên cứu kiến thức quý báu làm hành trang cho công việc giảng dạy Vật lý sau Trước hết, em xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Đặc biệt Q thầy tổ mơn Tốn lý tận tình dạy trang bị cho em kiến thức cần thiết suốt thời gian ngồi ghế giảng đường làm tảng cho em hồn thành khóa luận Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Lê Anh, người thầy trực tiếp hướng dẫn em suốt trình làm khóa luận Thầy ln đồng hành giúp đỡ, động viên em chùn bước dẫn tận tâm em gặp vấn đề khó hiểu Ngồi ra, em nhận từ thầy tự tin, kinh nghiệm sống niềm đam mê nghiên cứu khoa học Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè tập thể lớp 44.01.LY.SPB ln sẻ chia giúp đỡ tơi q trình học tập sống Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 04 năm 2022 Nguyễn Hữu Phát ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn thầy Nguyễn Lê Anh Các kết thu khóa luận tốt nghiệp hồn tồn trung thực khách quan Tác giả Nguyễn Hữu Phát iii Mục lục Lời cám ơn ii Lời cam đoan iii Mục lục iv Danh sách bảng vi Danh sách hình vẽ vii Kí hiệu viết tắt ix Mở đầu 1 Đa thức Legendre hàm cầu 1.1 1.2 Giới thiệu 1.1.1 Cơ sở vật lý: Tĩnh điện 1.1.2 Hàm sinh 1.1.3 Chuỗi lũy thừa 1.1.4 Đa cực điện tuyến tính 11 1.1.5 Khai triển vector 12 Các hệ thức truy hồi tính chất đặc biệt 16 1.2.1 Các phương trình vi phân 19 iv 1.2.2 Giới hạn Pn (cos θ) 20 1.3 Tính trực giao 23 1.4 Định nghĩa đan dấu đa thức Legendre 35 1.5 Hàm Legendre liên kết 38 Hàm Bessel 2.1 2.2 49 Các hàm Bessel loại 50 2.1.1 Hàm sinh cho bậc nguyên 50 2.1.2 Ứng dụng hệ thức truy hồi 55 2.1.3 Phương trình vi phân Bessel 56 2.1.4 Phép biểu diễn tích phân 58 2.1.5 Tính trực giao 62 2.1.6 Sự chuẩn hóa 2.1.7 Chuỗi Bessel 64 2.1.8 Hàm Bessel bậc không nguyên 76 64 Hàm Neumann, hàm Bessel loại hai 79 2.2.1 Định nghĩa dạng chuỗi 80 2.2.2 Các dạng khác 82 2.2.3 Các hệ thức truy hồi 82 2.2.4 Công thức Wronskian 83 2.3 Khai triển tiệm cận 87 2.4 Hàm cầu Bessel 95 2.4.1 Các giá trị giới hạn 99 2.4.2 Hệ thức truy hồi 102 Kết luận hướng phát triển 111 Tài liệu tham khảo 113 v Danh sách bảng 1.1 Các đa thức Legendre 1.2 Các hàm Legendre liên kết 41 1.3 Các hàm cầu (pha Condon-Shortley) 44 2.1 Các điểm không hàm Bessel đạo hàm cấp chúng 61 vi Danh sách hình vẽ 1.1 Thế tĩnh điện điện tích q đặt cách gốc tọa độ khoảng a 1.2 Các đa thức Legendre P1 (x), P2 (x), P3 (x), P4 (x) P5 (x) 1.3 Lưỡng cực điện 11 1.4 Tứ cực điện tuyến tính 15 1.5 Bát cực điện tuyến tính 15 1.6 Vật dẫn hình cầu trường 28 1.7 Vịng dây dẫn tích điện 31 2.1 Các hàm Bessel J0 (x), J1 (x), J2 (x) J3 (x) 54 2.2 Nhiễu xạ Fraunhofer, độ tròn 60 2.3 Mảnh hình chữ nhật màng dao động 65 2.4 Điều kiện đầu với dao động mặt trống ban đầu 70 2.5 Mặt trống với a = 1, c = 0.1 71 2.6 Khoang cộng hưởng trụ 2.7 Các hàm Neumann Y0 (x), Y1 (x) Y2 (x) 80 2.8 Đường biên hàm Bessel 89 2.9 Các đường biên hàm Hankel 90 72 2.10 Tiệm cận gần J0 (x) 92 2.11 Các hàm cầu Bessel 97 2.12 Các hàm cầu Neumann 97 vii 2.13 Sóng phẳng tới bị tán xạ V thành sóng cầu 104 viii Kí hiệu viết tắt • H: hình • PT: phương trình • PTVP: phương trình vi phân ix dao động phụ thuộc vào ba tham số rời rạc: s ωmnp = c p2 π αmn + , a2 l     m = 0, 1, 2, n = 1, 2, 3,    p = 0, 1, 2, (2.71) Đây tần số cộng hưởng cho phép trạng thái từ tính ngang Feynman phát triển hàm Bessel từ cộng hưởng khoang 2.1.8 Hàm Bessel bậc không nguyên Cách tiếp cận hàm sinh thuận tiện cho việc suy hai hệ thức truy hồi, PTVP Bessel, phép biểu diễn tích phân, định lý cộng (Ví dụ 2.1.2) biên Tuy nhiên, hàm sinh xác định hàm Bessel bậc nguyên J0 , J1 , J2 , Đây hạn chế cách tiếp cận hàm sinh mà ta tránh cách sử dụng tích phân đường (Phần 2.3) Tuy nhiên, hàm Bessel loại Jν (x) định nghĩa cho số không nguyên ν cách sử dụng chuỗi (PT(2.15)) định nghĩa Ta nghiệm lại hệ thức truy hồi cách thay vào dạng chuỗi Jν (x) Từ hệ thức này, có phương trình Bessel tương ứng Trong thực tế, ν số nguyên, thực có đơn giản hóa quan trọng Người ta thấy Jν J−ν độc lập khơng tồn hệ thức dạng PT (2.18) Mặt khác, với ν = n số nguyên, ta cần nghiệm khác Sự phát triển nghiệm thứ hai nghiên cứu tính chất chủ đề Phần 2.2 76 Bài tập 2.1.1 Suy khai triển Jacobi-Anger e iz cos θ = ∞ X im Jm (z)eimθ m=−∞ Đây khai triển sóng phẳng chuỗi sóng trụ 2.1.2 Chứng minh P n (a) cos x = J0 (x) + ∞ n=1 (−1) J2n (x), P n+1 (b) sin x = ∞ J2n+1 (x) n=1 (−1) 2.1.3 Chứng minh sin x = x ˆ π/2 − cos x = x J0 (x cos θ) cos θ dθ, ˆ π/2 J1 (x cos θ) dθ Gợi ý: Sử dụng tích phân ˆ π/2 · · · · · (2s) · · · · · (2s + 1) cos2s+1 θ dθ = 2.1.4 Chứng minh J0 (x) = π ˆ cos xt √ dt − t2 Tích phân phép biến đổi cosine Fourier Phép biến đổi sine tương ứng, J0 (x) = π ˆ ∞ sin xt √ dt, t2 − thiết lập cách sử dụng phép biểu diễn tích phân hàm Hankel 2.1.5 Chứng minh hai điểm không liên tiếp Jn (x), có điểm không Jn+1 (x) 77 Gợi ý: Sử dụng phương trình (2.1) (2.6) 2.1.6 Phân tích dạng xạ anten hệ thống có độ trịn bao gồm phương trình ˆ g(u) = f (r)J0 (ur)r dr Nếu f (r) = − r2 , chứng minh g(u) = J2 (u) u2 Tiết diện vi phân thí nghiệm tán xạ hạt nhân cho dσ/dΩ = |f (θ)|2 Một khảo sát gần dẫn đến −ik f (θ) = 2π ˆ 2π ˆ R exp[ikρ sin θ sin ϕ]ρ dρ dϕ, 0 θ góc mà qua hạt bị phân tán R bán kính hạt nhân Chứng minh  2 dσ J1 (kR sin θ) = (πR ) dΩ π sin θ 2.1.7 Một hệ hàm Cn (x) thỏa mãn hệ thức truy hồi 2n Cn (x), x Cn−1 (x) + Cn+1 (x) = 2Cn0 (x) Cn−1 (x) − Cn+1 (x) = (a) Cn (x) thỏa PTVP thường bậc hai tuyến tính nào? (b) Bằng cách đổi biến, biến đổi PTVP thường thành phương trình Bessel Điều cho thấy Cn (x) biểu diễn dạng hàm Bessel đối số biến đổi 78 2.1.8 Chứng minh hệ thức truy hồi Jn0 (x) = [Jn−1 (x) − Jn+1 (x)] thu trực tiếp từ phép lấy đạo hàm Jn (x) = π ˆ π cos(nθ − x sin θ) dθ 2.1.9 Bằng cách sử dụng dạng lượng giác (PT (2.29)), xác minh J0 (br) = 2π ˆ 2π eibr sin θ dθ 2.1.10 Phần ánh sáng tới độ trịn (tỷ lệ tới bình thường) truyền cho ˆ T = 2ka  J2 (x) − x 2ka  dx, a bán kính độ k số sóng 2π/λ Chứng minh P∞ (a) T = − J2n+1 (2ka), ka n=0 ´ 2ka (b) − J0 (x) dx 2ka 2.2 Hàm Neumann, hàm Bessel loại hai Từ lý thuyết PTVP thường, biết PTVP Bessel thường bậc hai có hai nghiệm độc lập Thật vậy, bậc không nguyên ν , ta tìm hai nghiệm ký hiệu cho chúng Jν (x) J−ν (x) cách sử dụng chuỗi vô hạn (PT (2.15)) Vấn đề ν nguyên, PT (2.18) giữ nguyên ta có nghiệm độc lập Nghiệm thứ hai phát triển theo phương pháp khác Điều thu nghiệm 79 Hình 2.7 Các hàm Neumann Y0 (x), Y1 (x) Y2 (x) thứ hai hoàn tồn tốt phương trình Bessel khơng phải dạng chuẩn 2.2.1 Định nghĩa dạng chuỗi Như cách tiếp cận thay thế, ta sử dụng tổ hợp tuyến tính riêng Jν (x) J−ν (x) Yν (x) = cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x) sin νπ (2.72) Đây hàm Neumann (Hình2.7) Đối với ν khơng ngun, Yν (x) thỏa phương trình Bessel tổ hợp tuyến tính nghiệm biết, 80 Jν (x) J−ν (x) Thay chuỗi lũy thừa (PT (2.15)) với n → ν , thu (ν − 1)! Yν (x) = − π  ν + x (2.73) với ν > Tuy nhiên, với ν nguyên, PT (2.18) áp dụng PT (2.58) trở nên bất định Định nghĩa Yν (x) chọn cách có chủ ý cho tính bất định Một lần nữa, thay chuỗi lũy thừa ước lượng Yν (x) ν → quy tắc l’Hopital cho dạng bất định, ta thu giá trị giới hạn Y0 (x) = (ln x + γ − ln 2) + O(x2 ) π (2.74) với n = x → 0, sử dụng ν!(−ν)! = πν sin πν (2.75) Các số hạng thứ ba PT (2.74) có từ việc sử dụng (d/dν)(x/2)ν = (x/2)ν ln (x/2), γ có từ (d/dν)ν! với ν → Đối với n > 0, ta thu tương tự (n − 1)! Yn (x) = − π  n 2  x n  x  + + ln + x π n! (2.76) Các PT (2.74) (2.76) thể phụ thuộc vào hàm logarit mong đợi Tất nhiên, điều xác minh tính độc lập Jn Yn 81 2.2.2 Các dạng khác Như tất hàm Bessel khác, Yν (x) có phép biểu diễn tích phân Đối với Y0 (x), ta có Y0 (x) = − π ˆ ∞ cos(x cosh t)dt = − π ˆ ∞ cos(xt) dt, (t2 − 1)1/2 x > Các dạng suy phần ảo phép biểu diễn Hankel Phần 2.3 Dạng sau phép biến đổi cosine Fourier Nghiệm tổng quát PTVP thường Bessel cho ν viết sau y(x) = AJν (x) + BYν (x) (2.77) Nó nhận thấy từ PT (2.74) (2.76) Yn (x) lệch theo hàm logarit Một số điều kiện biên đòi hỏi nghiệm toán với nghiệm hàm Bessel hữu hạn điểm gốc tự động loại trừ Yn (x) Ngược lại, trường hợp khơng có điều kiện Yn (x) phải ý 2.2.3 Các hệ thức truy hồi Thay PT (2.72) với Yν (x) (ν không nguyên) PT (2.76) (ν nguyên) vào hệ thức truy hồi (các PT (2.8) (2.21)) với Jn (x), ta thấy rõ ràng Yν (x) thỏa hệ thức truy hồi giống Điều thực tạo thành chứng khác Yν nghiệm Lưu ý rằng, điều ngược lại không thiết Tất nghiệm không thiết phải thỏa hệ thức truy hồi giống Yν với ν khơng ngun liên quan đến J−ν 6= Jν tuân theo hồi quy với ν → −ν 82 2.2.4 Công thức Wronskian Ta có cơng thức Wronskian cho nghiệm phương trình Bessel uν (x)vν0 (x) − u0ν (x)vν (x) = Aν , x (2.78) đó, Aν tham số phụ thuộc vào hàm Bessel riêng uν (x) vν (x) xét Nó số theo nghĩa độc lập với x Xét trường hợp đặc biệt uν (x) = Jν (x), vν (x) = Jν (x), (2.79) Aν x (2.80) Jν J−ν − Jν0 J−ν = Vì Aν số, xác định cách sử dụng số hạng cao khai triển chuỗi lũy thừa (các PT (2.15) (2.17)) Tất lũy thừa x triệt tiêu Ta nhận Jν → xν /(2ν ν!), J−ν → 2ν x−ν /(−ν)!, Jν0 → νxν−1 /(2ν ν!), → −ν2ν x−ν−1 /(−ν)! J−ν (2.81) Thay vào PT (2.80), thu Jν (x)J−ν (x) − Jν0 (x)J−ν (x) = −2ν sin νπ =− xν!(−ν)! πx (2.82) Theo PT (2.18), rõ ràng Jn (x) J−n (x) phụ thuộc tuyến tính Sử dụng hệ thức truy hồi, ta dễ dàng phát triển lượng lớn 83 dạng đan dấu, số sin νπ , πx sin νπ Jν J−ν−1 + J−ν Jν+1 = − , πx , Jν Yν0 − Jν0 Yν = πx Jν Yν+1 − Jν+1 Yν = − πx Jν J−ν+1 + J−ν Jν−1 = (2.83) (2.84) (2.85) (2.86) Ví dụ 2.2.1: Ống dẫn sóng đồng trục Ta quan tâm đến sóng điện từ giới hạn bề mặt hình trụ đồng tâm, dẫn có ρ = a ρ = b Hầu hết phép toán giải Ví dụ 2.1.5 Tức là, ta làm việc tọa độ trụ tách phụ thuộc vào thời gian trước đây, sóng lan truyền ei(kz−ωt) thay sóng dừng Ví dụ 2.1.5 Để thực điều này, ta đặt A = iB nghiệm w(z) = A sin kz + B cos kz nhận Ez = X bmn Jm (γρ)e±imϕ ei(kz−ωt) (2.87) m, n Đối với ống dẫn sóng đồng trục, hàm Bessel Neumann tham gia điểm gốc ρ = khơng cịn sử dụng để loại trừ hàm Neumann phần vùng vật lý (0 < a ≤ ρ ≤ b) Tóm lại, có hai điều kiện biên, ρ = a ρ = b Với hàm Neumann Ym (γρ), Ez (ρ, ϕ, z, t), trở thành Ez = X [bmn Jm (γmn ρ) + cmn Ym (γmn ρ)]e±imϕ ei(kz−ωt) m, n 84 (2.88) đó, γmn xác định từ điều kiện biên Với điều kiện từ trường ngang Hz = (2.89) nơi, ta có phương trình cho sóng từ tính ngang Điện trường (tiếp tuyến) phải biến bề mặt dẫn (điều kiện biên Dirichlet), bmn Jm (γmn a) + cmn Ym (γmn a) = 0, (2.90) bmn Jm (γmn b) + cmn Ym (γmn b) = (2.91) Để tồn nghiệm thường bmn , cmn phương trình tuyến tính này, định thức chúng phải khơng Kết phương trình siêu việt, Jm (γmn a)Ym (γmn b) = Jm (γmn b)Ym (γmn b), giải cho γmn sau xác định tỷ số cmn /bmn Từ Ví dụ 2.1.5, 2 k = ω µ0 ε0 − γmn ω2 = − γmn , c (2.92) đó, c vận tốc ánh sáng Vì k phải dương với nghiệm dao động, tần số tối thiểu lan truyền (trong trạng thái từ tính ngang này) ω = γmn c, (2.93) với γmn cố định điều kiện biên, PT (2.90) (2.91) Đây tần số ngưỡng ống dẫn sóng Nói chung, tần số định nào, có số trạng thái hữu hạn lan truyền Kích thước (a < b) ống dẫn hình trụ thường chọn cho tần số cho có trạng thái thấp k lan truyền Ngồi cịn có trạng thái điện ngang với Ez = Hz cho PT (2.88) 85 Tóm tắt: Ta khảo sát hàm Neumann Yν (x) lý sau: Nó nghiệm độc lập thứ hai phương trình Bessel, điều làm cho nghiệm tổng quát thêm đầy đủ Nó cần thiết cho tốn vật lý cụ thể, sóng điện từ cáp đồng trục lý thuyết tán xạ học lượng tử Nó dẫn trực tiếp đến hai hàm Hankel (Phần 2.3) Bài tập 2.2.1 Chứng tỏ hàm Neumann Yn (với n số nguyên) thỏa mãn hệ thức truy hồi 2n Yn (x) x Yn−1 (x) − Yn+1 (x) = 2Yn0 (x) Yn−1 (x) + Yn+1 (x) = Gợi ý: Các hệ thức chứng minh cách lấy đạo hàm hệ thức truy hồi Jν cách sử dụng dạng giới hạn Yν , không chia thứ cho không 2.2.2 Chứng minh Y−n (x) = (−1)n Yn (x) 2.2.3 Chứng minh Y00 (x) = −Y1 (x) 2.2.4 Nếu Y Z hai nghiệm phương trình Bessel, chứng minh Yν (x)Zν0 (x) − Yν0 (x)Zν (x) = 86 Aν , x Aν phụ thuộc vào ν độc lập với x 2.2.5 Xác minh công thức Wronskian Jν (x)J−ν+1 (x) + Jν (x)Jν−1 (x) = Jν (x)Y ν(x) − Jν0 (x)Yν (x) = sin νπ , πx πx 2.2.6 (a) Bằng cách lấy đạo hàm thay vào PTVP Bessel thường, chứng minh ˆ ∞ cos(x cosh t) dt nghiệm Gợi ý: Có thể xếp lại tích phân cuối sau ˆ ∞ d {x sin(x cosh t) sinh t} dt dt (b) Chứng minh Y0 (x) = − π ˆ ∞ cos(x cosh t) dt độc lập tuyến tính với J0 (x) 2.3 Khai triển tiệm cận Thơng thường, tốn vật lý cần phải biết hàm Bessel cho hoạt động giá trị lớn đối số, tức trạng thái tiệm cận Đây trường hợp máy tính khơng hữu ích lắm, ngoại trừ việc kết hợp nghiệm số với dạng tiệm cận biết kiểm tra dự đoán tiệm cận số Một cách tiếp cận khả thi phát triển nghiệm chuỗi lũy thừa PTVP (sử dụng lũy thừa âm) Đây phương 87 pháp Stokes Hạn chế số giá trị dương đối số (đối với chuỗi hội tụ), ta ta có hỗn hợp nghiệm bội số nghiệm cho Vấn đề liên hệ chuỗi tiệm cận (hữu ích cho giá trị lớn biến) với chuỗi lũy thừa định nghĩa liên quan (hữu ích cho giá trị nhỏ biến) Mối quan hệ thiết lập cách giới thiệu phép biễu diễn tích phân phù hợp sau sử dụng phương pháp xuống đồi dốc (the method of steepest descent) khai triển trực tiếp phát triển phần Với phép biểu diễn tích phân hàm Bessel (và Hankel), có lẽ thích hợp để hỏi ta quan tâm đến phép biểu diễn tích phân Có bốn nguyên nhân Đầu tiên, đơn giản tính thẩm mỹ Thứ hai, phép biểu diễn tích phân giúp phân biệt hai nghiệm độc lập tuyến tính Thứ ba, phép biểu diễn tích phân tạo điều kiện thuận lợi cho thao tác phân tích phát triển hệ thức hàm đặc biệt khác Thứ tư, quan trọng nhất, phép biểu diễn tích phân vơ hữu ích để phát triển khai triển tiệm cận Các hàm Hankel giới thiệu lý sau: • Tương tự hàm Bessel e±ix , chúng hữu ích để mơ tả sóng lan truyền • Chúng thường định nghĩa thay (tích phân đường) hàm Bessel Như cách tiếp cận trực tiếp, xét phép biểu diễn tích phân (tính phân Schlaefli) Jν (z) = 2πi ˆ e(z/2)(t−1/t) t−ν−1 , (2.94) C với đường cong C quanh điểm gốc theo chiều dương toán học biểu diễn Hình2.8 Cơng thức tn theo định lý Cauchy, áp dụng để xác định PT (2.9) hàm sinh cho PT (2.16) dạng hàm mũ tích phân Điều chứng minh PT (2.94) cho −π < arg z < 2π , 88 Hình 2.8 Đường biên hàm Bessel với số ν ngun Nếu ν số khơng ngun hàm lấy tích phân khơng đơn trị cần có đường cắt mặt phẳng phức t Chọn trục thực âm làm đường cắt sử dụng đường hiển thị Hình2.8, ta mở rộng PT (2.94) đến ν không nguyên Đối với trường hợp này, ta cần kiểm tra PTVP Bessel thường cách thay phép biểu diễn tích phân (PT (2.94)), z J 00 (z)ν + zJν0 (z) + (z − ν )Jν (z) "  # 2   ˆ z z 1 = e(z/2)(t−1/t) t−ν−1 t+ + t− − ν dt, (2.95) 2πi C t t đó, hàm lấy tích phân kiểm tra theo đạo hàm xác triệt tiêu t → ∞e±iπ :        d z z −ν exp t− t ν+ t+ dt t t (2.96) Do đó, tích phân PT (2.95) triệt tiêu PTVP Bessel thường thỏa mãn Bây giờ, ta làm biến dạng đường biên để tiếp cận điểm gốc dọc theo trục thực dương, thể Hình2.9 Cách tiếp cận cụ thể 89 Hình 2.9 Các đường biên hàm Hankel cho thấy đạo hàm xác PT (2.96) triệt tiêu t → thừa số e−z/2t Do đó, phần riêng biệt tương ứng với ∞e−iπ đến đến ∞eiπ nghiệm PTVP Bessel thường Ta xác định ˆ iπ ∞e (z/2)(t−1/t) dt = e πi tν+1 ˆ dt Hν(2) (z) = e(z/2)(t−1/t) ν+1 πi ∞e−iπ t Hν(1) (z) (2.97) (2.98) nên Jν (z) = [Hν(1) (z) + Hν(2) (z)] (2.99) Các biểu thức đặc biệt thuận tiện chúng xử lý (1) phương pháp xuống đồi dốc Hν (z) có điểm yên ngựa t = +i, (2) Hν (z) có điểm yên ngựa t = −i Thu r Hν(1) (z) ∼      π exp i z − ν + πz 2 (2.100) |z| lớn vùng −π < arg z < 2π Hàm Hankel thứ hai liên 90