Đang tải... (xem toàn văn)
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, Thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành bản khoá luận này Trong quá trình làm khóa luận, thầy luôn động viên, qu[.]
LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, Thầy tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khố luận Trong q trình làm khóa luận, thầy động viên, quan tâm bảo gặp vấn đề khó cung cấp tài liệu, gợi ý quý báu để hiểu vấn đề sâu sắc Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Khoa Sư Phạm, Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln cổ vũ, động viên tơi suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Mục lục Lời nói đầu Phép biến đổi Mellin 1.1 Định nghĩa 1.2 Mối quan hệ phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace 1.3 Công thức ngược Mellin 1.4 Tầm quan trọng dải chỉnh hình 1.5 Tính chất 13 1.6 Một số hàm số đặc biệt thường xuất biến đổi Mellin 16 1.6.1 Hàm Gamma 16 1.6.2 Hàm Beta 18 1.6.3 Hàm Psi (Đạo hàm logarit hàm Gamma) 18 1.6.4 Hàm Riemann’s Zeta 18 Biến đổi Mellin số hàm thông thường 20 2.1 Biến đổi Mellin số hàm thông thường 20 2.2 Bảng biến đổi Mellin hàm số quen thuộc 24 2.3 Mối liên hệ phép biến đổi Mellin phép biến đổi Fourier 26 2.3.1 Nhắc lại phép biến đổi Fourier 26 2.3.2 Mối liên hệ phép biến đổi Mellin phép biến đổi Fourier 26 2.3.3 2.3.4 Biến đổi Mellin xn e−x2 /2 , n ∈ N Phương trình tích chập 27 30 KẾT LUẬN 32 Tài liệu tham khảo 33 LỜI NÓI ĐẦU Ngược lại với phép biến đổi Fourier Laplace mà biết, đời nhằm giải tốn vật lí, phép biến đổi Mellin lại nảy sinh bối cảnh toán học Trên thực tế, xuất lần phép biến đổi tìm thấy ghi chép Riemann ơng sử dụng để nghiên cứu hàm Zeta Tuy vậy, nhà toán học Phần Lan, R.H.Mellin (1854 - 1933) thực người đưa cách hệ thống phép biển đổi cơng thức ngược Khi nghiên cứu lí thuyết hàm đặc biệt, ông ứng dụng phép biến đổi để giải phương trình vi phân siêu hình tính đạo hàm số hàm đặc biệt Những đóng góp Mellin thực gây ý có ý nghĩa lý thuyết giải tích hàm, cơng trình ơng chủ yếu dựa định lý Cauchy phương pháp tính thặng dư Theo cách tiếp cận khóa luận này, biến đổi Mellin xem phép biến đổi Fourier nhóm nhân số thực dương (ví dụ, nhóm co giãn) phát triển song song với phát triển phép biểu diễn theo lý thuyết nhóm biểu diễn Fourier thơng thường Một ưu điểm phép biểu diễn thay để nhấn mạnh thực tế phép biến đổi Mellin tương ứng với phép đẳng cự không gian Hilbert hàm Bên cạnh ứng dụng tốn học, phép biến đổi Mellin sử dụng nhiều lĩnh vực khác vật lý kỹ thuật Một lĩnh vực khác mà phép biến đổi Mellin ứng dụng nhiều việc giải phương trình vi phân tuyến tính chứa x(d/dx) thường gặp q trình nghiên cứu thiết bị điện kĩ thuật phương pháp tương tự biến đổi Laplace Gần đây, ứng dụng truyền thống mở rộng số ứng dụng tìm Một phương pháp để tính tốn số loại tích phân định đưa O.I.Marichev, người mở rộng phương pháp Mellin tìm phương pháp có tính hệ thống để làm có tính ứng dụng cao Như biết, phép biến đổi Mellin Fourier có mối quan hệ mật thiết với Rất nhiều cơng trình nghiên cứu nhà toán học giới đề cập đến vấn đề vấn đề quan tâm nghiên cứu Vì vậy, tơi nhận thấy việc xây dựng cách có hệ thống phép biến đổi Melin mối quan hệ biến đổi Mellin Fourier cần thiết, thơng qua đó, có nhìn tổng quan, sâu sắc phép biến đổi Mellin, làm sở cho nghiên cứu thực tiễn sâu sắc sau Từ đó, tơi định chọn đề tài khóa luận: “ Phép biến đổi Mellin số hàm đặc biệt mối liên hệ với phép biến đổi Fourier” Trong khóa luận, tơi trọng tập trung vào việc phân tích kĩ dải chỉnh hình phép biến đổi Mellin thơng qua ví dụ hàm số quen thuộc, từ xem xét dải chỉnh hình góc độ trực quan Sau đó, tơi tập trung nghiên cứu mối quan hệ phép biến đổi Mellin Fourier, biến đổi Mellin dãy hàm xn e−x2 /2 (n ∈ N) phân tích kĩ dải chỉnh hình hàm ảnh, thực minh họa có ý nghĩa phép biến đổi Nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Giới thiệu phép biến đổi Mellin, bao gồm: định nghĩa, tính chất, cơng thức ngược Mellin, mối quan hệ phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace, số hàm đặc biệt thường xuất phép biến đổi Mellin Đặc biệt, chương gồm ví dụ minh họa cụ thể cách tính tốn dải chỉnh hình hàm ảnh dải chỉnh hình tích phân Mellin số hàm thông thường Chương 2: Phần đầu chương, tơi tập trung tính tốn biến đổi Mellin số hàm số thông thường giới thiệu bảng biến đổi Mellin số hàm số thường gặp Tiếp phần nhắc lại phép biến đổi Fourier, từ mối quan hệ phép biến đổi Fourier Mellin Ở cuối chương, kết thúc việc tính tốn biến đổi Mellin dải chỉnh hình hàm ảnh dãy hàm xn e−x2 /2 (n ∈ N) Mặc dù cố gắng lượng kiến thức chưa nhiều thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi cịn thiếu sót, mong nhận góp ý thầy bạn bè để khóa luận tơi hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Trần Thị Minh Nguyệt Chương Phép biến đổi Mellin 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho f (t) hàm số xác định với t ∈ (0; +∞) Một phép biến đổi Mellin M ánh xạ từ hàm số f vào hàm số F xác định mặt phẳng phức mối liên hệ sau +∞ f (t)ts−1 dt M[f, s] ≡ F (s) = Z0 Hàm số F (s) gọi biến đổi Mellin f Nhìn chung, tích phân tồn với giá trị phức s = a + jb cho a1 < a < a2 , với a1 a2 phụ thuộc vào hàm số f (t) Ta gọi dải phép biến đổi Mellin kí hiệu S(a1 ; a2 ) Trong số trường hợp, dải mở rộng nửa mặt phẳng (khi a1 = −∞ a2 = +∞) mở rộng toàn mặt phẳng phức (khi a1 = −∞ a2 = +∞) Ví dụ 1.1.1 Biến đổi Mellin hàm số f (t) = e−pt, p > +∞ ts−1 e−ptdt Mf [s] = Z Theo định nghĩa hàm Gamma, ta thấy M f ; s = p−s Γ(s) Cần nhớ rằng, hàm Gamma khả tích miền Re(s) > 0, từ cóhthể ikết luận dải chỉnh hình trường hợp miền Re(s) > 1.2 Mối quan hệ phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace Bằng phép đổi biến, đặt t = e−x , dt = −e−x dx, ta thu +∞ f (e−x )e−sxdx F (s) = Z −∞ Khi đó, đặt g(x) ≡ f (e−x ), ta thu biểu thức biến đổi Laplace hai chiều hàm g sau +∞ g(x)e−sxdx L g; s = h i Z−∞ Nói cách khác, ta viết lại thành −x M f (t); s = L f (e ); s h i h i Như vậy, ta thấy xuất dải chỉnh hình phép biến đổi Mellin suy cách trực tiếp từ công thức liên hệ Biến đổi Laplace thông thường theo chiều bên phải khả tích nửa mặt phẳng Re(s) > σ1 Tương tự vậy, thấy biến đổi Laplace chiều bên trái khả tích nửa mặt phẳng Re(s) < σ2 Nếu ta phủ hai nửa mặt phẳng lên miền chỉnh hình phép biến đổi Laplace hai chiều dải σ1 < Re(s) < σ2 , phần giao hai nửa mặt phẳng 1.3 Công thức ngược Mellin Công thức ngược Mellin biểu diễn dạng sau f (t) = a+i∞ −s 2πii Z a−i∞ F (s)t ds (1.3.1) với tích phân lấy đường thẳng đứng qua điểm Re(s) = a Đến nhiều câu hỏi đặt Những giá trị a thay vào cơng thức? Điều xảy giá trị a bị thay đổi? Và trường hợp hàm f xác định với giá trị t? Định lý 1.3.1 Nếu F (x) chỉnh hình dải S(a1 ; a2 ) thỏa mãn bất đẳng thức −2 |F (s)| K |s| (1.3.2) với giá trị K định, hàm số f (t) đạt theo công thức (1.3.2) hàm số liên tục với giá trị t ∈ (0; +∞) biến đổi Mellin F (s) Lưu ý kết đưa điều kiện đủ cho cơng thức ngược Mellin để hàm số liên tục Hơn nữa, điểm quan trọng cần lưu ý là, công thức ngược áp dụng cho hàm F , chỉnh hình dải cho trước, kết thu dải Thật vậy, phép biến đổi Mellin bao gồm hai yếu tố: hàm số F (s) dải chỉnh hình S(a1 ; a2 ) Nhìn chung hàm số F (s) định với vài dải chỉnh hình dời có hàm ngược khác nhau, ứng với dải chỉnh hình khác Sau xem xét số ví dụ minh họa cho điểm Ví dụ 1.3.1 Tính liên tục hàm Gamma Theo kết Ví dụ 1.1.1, thay p = 1, ta f (t) = e−t , t > 0, biết, biến đổi Mellin ngược Γ(s), Re(s) > Hơn nữa, ta kiểm tra rằng, Γ(s) thỏa mãn giả thiết Định lí 1.3.1 cách sử dụng công thức Stirling cho xuất điều sau Γ(a + ib) ∼ √ a−1/2 e−|b|π/2 , b → +∞ 2πi b ꢀ ꢀ ꢀꢀ ꢀ ꢀ ꢀꢀ Từ đó, áp dụng cơng thức ngược Mellin, ta thu biểu diễn tích phân ꢀ ꢀ ꢀꢀ e−t sau e−t = a+i∞ Γ(s)t−s ds, 2πii Z a−i∞ a > Từ cho thấy, hàm Γ liên tục theo nghĩa giải tích nửa mặt phẳng trái ngoại trừ vô số cực điểm số nguyên âm Biến đổi Mellin ngược hàm Gamma dải chỉnh hình khác tính việc biến đổi đồng thức (1.3.3) Chu tuyến phép lấy tích phân chuyển sang bên trái tích phân nhận giá trị thặng dư cực (Hình 1.1) Rõ ràng, a > −N < a0 < −N, N ngun ta có N−1 a+i∞ n −s /2πii ꢂ Za−i∞ ꢁ (−1) n Γ(s)t ds = t + 1/2πiiꢂ n! n=0 ꢁ X Γ(s)t−s ds a0 +i∞ a0 −i∞ Z Suy ra, công thức ngược hàm Γ dải S(−N; −N + 1) a0 +i∞ N −1 −s /2πii ꢂ Za0 −i∞ ꢁ −t Γ(s)t ds = e n (−1) n t , − n! n=0 X − N < a < −N + Tích phân biểu diễn phần dư khai triển Taylor e−t ta dễ dàng rằng, phần dư triệt tiêu N → ∞ cách áp dụng cơng thức Stirling Hình 1.1: Các chu tuyến khác phép lấy tích phân biến đổi Mellin ngược hàm Gamma Tích lũy phần nằm ngang dần Im(s) dần vô Hệ 1.3.1 Cho M[f ; s] M[g; s] biểu diễn Mellin hàm f g với dải chỉnh hình theo thứ tự Sf Sg ;giả sử tồn số thực c cho c ∈ Sf − c ∈ Sg Khi cơng thức Parsevals viết thành +∞ c+i∞ f (t)g(t)dt = 1.4 Z0 2πii Zc−i∞ Mhf ; si Mh g; − si ds Tầm quan trọng dải chỉnh hình Ta khơng thể tính tốn ph ép biến đổi Mellin dải chỉnh hình nó, tính tốn dải chỉnh hình, biết hàm ảnh hội tụ đâu Đặc biệt công thức ngược Mellin, dải có ý nghĩa quan trọng, thường áp dụng ứng dụng lý thuyết số phép biến đổi Mellin cơng trình nghiên cứu tổng điều hịa hay ngành khoa học máy tính Tích phân ngược Mellin tính tốn thơng qua đường thẳng song song với trục ảnh nằm dải chỉnh hình Quá trình tính tốn dải chỉnh hình nảy sinh từ việc xem xét tính hội tụ tích phân Mellin, cụ thể xét tích phân +∞ xs f (x) = Z0 Mhf ; si dx , x ta chia tích phân làm hai phần sau +∞ dx x Z0 Mhf ; si +∞ dx dx xs f (x) xs f (x) = x + Z1 x Z0 xs f (x) = Giả sử f (x) khả tích địa phương phần dương trục thực, tích phân bị chặn 0, tích phân thứ hai bị chặn +∞ Đặt s = σ + it, ta thu 1 σ ꢀ Z0 s ꢀ x f (x) dxꢀ ≤ Z ꢀ ꢀ ꢀ xꢀ ꢀ ꢀ ꢀ x0 |f (x)| +∞ +∞ dx , x dx x |f (x)| x σ ꢀ Z1 ꢀ xs f (x) dxꢀ ≤ Z ꢀ ꢀ xꢀ ꢀ u ꢀ Giả sử f (x) = O(x ꢀ ) x = Khi tích phân bị chặn thứ hội tụ σ + u − > −1 σ > −u Hơn nữa, giả sử f (x) = O(xv ) +∞ tích phân bị chặn thứ hai hội tụ σ + v − > −1 σ > −v Hai điều kiện hạn chế xác định cho ta hai nửa mặt phẳng, nửa mặt phẳng trái nửa mặt phẳng bên phải Khi đó, giao hai nửa mặt phẳng dải chỉnh hình, kí hiệu [−u; −v] Tóm lại Nếu f (x) khả tích địa phương phần dương trục thực, f (x)x→0+ = O(xu ), f (x)x→+∞ = O(xv ), biến đổi Mellin hội tụ dải chỉnh hình [−u; −v] tích phân ngược Mellin tương ứng lấy đường thẳng song song với trục ảnh dải Cách tính tốn dải chỉnh hình Ví dụ 1.4.1 Xét hàm số sau biến đổi Mellin f (x) = 1+x πi M f ; s = sinπis h i Ta chia tích phân làm hai phần sau +∞ = Mhf ; si = Z0 xs−1 + x dx +∞ xs−1 Z0 + x dx + Z1 xs−1 1+x dx = I + I xs−1 Xét I1 , x → + x dx ∼ xs−1 Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ − s < 1, hay Re(s) > xs−1 xs−1 Xét I2 , ta có f (x)x→+∞ = + x dx ∼ = xs−2 Khi đó, điều kiện để I2 hội tụ x − s > 0, hay Re(s) < Vậy điều kiện để tích phân Mellin f (x) hội tụ < Re(s) < 1, tức dải chỉnh hình trường hợp < Re(s) < Nó biểu diễn đồ thị sau +x i Hình 1.2: Dải chỉnh hình hàm ảnh Mh ;s Ví dụ 1.4.2 Xét hàm số sau biến đổi Mellin f (x) = e−px, p > M f ; s = p−s Γ(s) h i Ta chia tích phân làm hai phần sau +∞ e−pxxs−1 dx = Mhf ; si = Z0 +∞ Z0 e−pxxs−1 dx + Z 10 e−pxxs−1 dx = I 1+ I Hình 1.8: Đồ thị hàm ζ(1/2 + it) Phương trình πi−z/2 Γ z/2 ζ z Ước lượng gần ꢁ = πi 1/2(z−1) Γ −z ζ z − ! 12 ꢂ ꢁ ꢂ ζ z ꢁ 0 ꢀ ꢁ ꢂꢀ ꢀ ꢁ ꢂꢀ ꢀ ꢀ ꢀ ꢀ ꢀ với C(ꢀ) số µ(σ) ꢀmột hàm ꢀsốꢀ định nghĩa sau µ(σ) = −σ µ(σ) ≤ µ(σ) = 2−σ σ > 1, < σ < 1, σ < Với σ = 1/2 , ta đánh giá ζ 1/2 + it ꢁ ꢂ = O t ꢁꢀ ꢀ ꢀ ꢀ ꢀ ꢀ 19 9/56+ꢀ ꢂ , ꢀ > Chương Biến đổi Mellin số hàm thông thường 2.1 Biến đổi Mellin số hàm thông thường Trong phần này, tơi trình bày chi tiết tính tốn biến đổi Mellin số hàm quen thuộc sau 2.1.1 Hàm số f (t) = e−pt , p > Ta có +∞ ts−1 e−pt dt Mf [s] = Z0 Đặt x = pt, p > nên t : → +∞ x : → +∞ Do +∞ s−1 −x −1 Mf [s] = = = Z0 Z0 +∞ (xp−1) e p dx −x −1 xs−1 p1−s e p dx +∞ xs−1 p−s e−x dx = p−s Γ(s) Z0 Dải chỉnh hình phép biến đổi Mellin hàm số Re(s) > 2.1.2 Hàm số f (t) = (t + 1)−1 Ta có +∞ B(a, b) = t Z0 a−1 (1 + t)−a+b dt = 20 Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) (2.1.1)