ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ TRẦN THỊ THU THỦY 1 Quảng Ngãi, 06/2018 LỜI NÓI ĐẦU Để giúp sinh viên ngành Sư phạm Vật lý thuận tiện t[.]
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG - BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ TRẦN THỊ THU THỦY Quảng Ngãi, 06/2018 LỜI NÓI ĐẦU Để giúp sinh viên ngành Sư phạm Vật lý thuận tiện học Phương pháp Tốn Lý, tơi tiến hành biên soạn giảng Phương pháp Toán Lý Nội dung giảng gồm chương Trong chương giảng có tập ví dụ mẫu cuối chương có tập (có đáp số) để sinh viên rèn luyện thêm Học phần cung cấp cho sinh viên phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng xuất mơ tả q trình vật lý khác nhau, tượng dao động, truyền sóng, truyền nhiệt, khuếch tán hay trường vật lý Bên cạnh đó, sinh viên cung cấp kiến thức hàm đặc biệt đa thức trực giao, hàm gamma, hàm cầu…mà cần thiết tìm nghiệm phương trình tốn lý Qua đó, sinh viên có kiến thức cần thiết để học môn vật lý lý thuyết Mặc dù người biên soạn cố gắng để giảng hoàn chỉnh, đáp ứng tốt cho việc dạy học, chắn không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong nhận ý kiến đóng góp để giảng hoàn chỉnh Quảng Ngãi, tháng 06 – 2018 Người biên soạn MỤC LỤC CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI 1.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai phân loại 1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai 1.1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai với hai biến số độc lập 1.1.3 Chuyển phương trình đạo hàm riêng dạng tắc 1.2 Phương trình vật lý tốn điều kiện 1.3 Một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng 1.3.1 Phương pháp chuyển dạng tắc 1.3.2 Phương pháp tách biến CHƯƠNG CÁC HÀM ĐẶC BIỆT 12 2.1 Đa thức Legendre 12 2.1.1 Đa thức Legendre 12 2.1.2 Công thức Rodrigues Pn ( x ) 15 2.1.3 Hàm sin đa thức Pn ( x ) 16 2.1.4 Các công thức truy hồi 17 2.1.5 Tính trực giao đa thức Legendre 19 2.2 Hàm Legendre liên kết 21 2.2.1 Phương trình Legendre liên kết 21 2.2.2 Tính trực giao đa thức Legendre liên kết 22 2.3 Hàm đa thức Hermite 24 2.3.1 Phương trình Hermite 24 2.3.2 Công thức Rodrigues cho đa thức Hermite 25 2.3.3 Các công thức truy hồi 26 2.3.4 Hàm sin H n ( x) 27 2.3.5 Tính trực giao đa thức Hermite 27 2.4 Hàm đa thức Laguerre 29 2.4.1 Phương trình Laguerre 29 2.4.2 Hàm sinh đa thức Laguerre Ln(x) 31 2.4.3 Công thức Rodrigue cho đa thức Laguerre 31 2.4.4 Tính trực giao đa thức Laguerre 32 2.4.5 Đa thức Laguerre liên kết 33 2.5 Hàm gamma 34 2.6 Phương trình Bessel 35 2.6.1 Định nghĩa nghiệm phương trình Bessel 35 2.6.2 Hàm Bessel loại 39 2.6.3 Các công thức truy hồi 39 2.6.4 Hàm sinh Jn(x) 41 2.6.5 Tính trực giao hàm Bessel 42 CHƯƠNG DAO ĐỘNG CỦA DÂY ĐÀN HỒI 45 3.1 Thiết lập phương trình dao động dây đàn hồi 45 3.2 Dao động tự dây đàn hồi dài vơ hạn – Bài tốn Cơsi 47 3.3 Dao động tự dây đàn hồi hữu hạn 51 3.4 Dao động cưỡng dây đàn hồi hữu hạn 57 CHƯƠNG 4: DAO ĐỘNG CỦA MÀNG ĐÀN HỒI 63 4.1 Thiết lập phương trình dao động màng 63 4.2 Dao động tự màng chữ nhật gắn chặt biên 65 4.3 Dao động tự màng tròn 73 CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 79 5.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt 79 5.2 Sự truyền nhiệt mảnh dài vơ hạn - Bài tốn Côsi 81 5.3 Sự truyền nhiệt mảnh hữu hạn 86 5.3.1 Các điều kiện biên 86 5.3.2 Sự truyền nhiệt mảnh hữu hạn với điều kiện biên đồng (điều kiện biên Dirichlet) 87 5.3.3 Sự truyền nhiệt mảnh hữu hạn với điều kiện biên Neuman 89 5.4 Sự truyền nhiệt mảnh hữu hạn có điều kiện biên khơng đồng 91 CHƯƠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE 98 6.1 Sơ lược phương trình Laplace 98 6.1.1 Dạng phương trình 98 6.1.2 Công thức Green 98 6.1.3 Hàm điều hòa tính chất 100 6.2 Phương pháp hàm Green giải toán Dirichlet (Đirichlê) 101 6.2.1 Bài toán Dirichlet 101 6.2.2 Phương pháp hàm Green 102 6.3 Bài toán Dirichlet miền cầu 105 6.4 Bài tốn Dirichlet miền nửa khơng gian 109 6.5 Hàm cầu 111 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI 1.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai phân loại 1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai Phương trình đạo hàm riêng phương trình chứa hàm chưa biết, đạo hàm riêng biến số độc lập Cấp phương trình cấp cao đạo hàm riêng phải tìm có mặt Ví dụ: u u x xuy phương trình đạo hàm riêng cấp một, x y 4w w 3w 3w w c os(xu) xyzu 0 phương trình đạo x zu u uxz x hàm riêng cấp bốn, 2h 2h 2h phương trình đạo hàm riêng cấp hai x y z Để đơn giản ta quy ước cách bỏ dấu đạo hàm riêng, dùng biến phía dưới, 2h 2h 2h '' chẳng hạn phương trình hz''z viết hay hx''x hyy x y z hxx hyy hzz Trong phần sau ta khảo sát phương trình đạo hàm riêng cấp hai 1.1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai với hai biến số độc lập Gọi u( x, y) hàm số hai biến số độc lập x, y Dạng tổng quát phương trình đạo hàm riêng cấp hai có dạng: F ( x, y, ux , u y , uxx , uxy , u yy ) (1.2) Phương trình (1.2) gọi phương trình tuyến tính tuyến tính với hàm phải tìm tất đạo hàm riêng dạng tổng quát Auxx 2Buxy Cu yy Dux Eu y Fu G 0, (1.3) A, B, C, D, E, F, G hàm x y Chú ý số phương trình (1.3) đưa vào để thuận tiện cho việc tính tốn sau Nếu G(x,y) = phương trình (1.3) gọi phương trình nhất, G(x,y) ≠ gọi phương trình khơng Nếu phương trình (1.2) có dạng Auxx 2Buxy Cu yy F (ux , u y , u, x, y) 0, (1.4) gọi phương trình tuyến tính với đạo hàm cấp cao Để giải phương trình trước hết cần phải thực số biến đổi đưa chúng dạng đơn giản Ta thực phép đổi biến: x, y , cách đặt: x x( , ); y y( , ) (1.5) Chú ý ta biểu diễn ngược lại: ( x, y); ( x, y) (1.6) Để chuyển phương trình (1.4) qua biến , ta thực phép tính uxx, uxy, uyy,ux, uy sau: ux u x ux ; uxx (u x ux ) x (u x ) x (ux ) x (u )x x u xx (u ) x x uxx (u x ux ). x u xx (u x ux ).x uxx u ( x )2 u x x u xx u x x u ( x ) u xx u ( x )2 2u x x u ( x ) u xx u xx Việc tính u y , uxy , u yy tương tự Thay tất vào (1.4), ta Au 2Bu Cu F 0, với A A x2 2B x y C y2 , B A xx B( x y yx ) C y y , C Ax2 2Bx y C y2 F không chứa đạo hàm riêng bậc hai theo , Nếu phương trình xuất phát tuyến tính, tức F (ux , u y , u, x, y) Dux Eu y Fu G, F có dạng: F u u u , (1.7) , , , hàm So sánh (1.4) (1.7) ta thấy chúng có dạng giống Tuy nhiên đổi biến thích hợp ta làm cho hai A, B, C khơng Khi đó, (1.7) trở nên đơn giản việc giải dễ dàng Để tìm phép đổi biến thỏa mãn điều nói ta có bổ đề sau: Xét phương trình vi phân: A(Z x )2 2BZ x Z y C (Z y )2 0, (1.8) với A, B, C phụ thuộc vào x, y; Z hàm x, y Bổ đề: Điều kiện cần đủ để hàm Z ( x, y) nghiệm phương trình(1.8) ( x, y) ( số bất kì) nghiệm tổng quát phương trình vi phân thường: A(dy)2 2Bdxdy C (d x)2 (1.9) Thật vậy, Z ( x, y) nghiệm phương trình (1.8) nghiệm (1.9) A(x )2 2Bx y C( y )2 0, A x y B x y dy dy C A B C dx dx A(dy)2 2Bdydx C (dx)2 Như vậy, qua bổ đề ta thấy để xác định hàm Z, ta cần giải phương trình vi phân thường (1.9) mà ta biết cách giải Cụ thể, từ (1.9) ta có: dy B B AC dx A (1.10) dy B B AC dx A (1.11) Có khả xảy ra: - Nếu B2 - AC > phương trình (1.9) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (1.7) thuộc loại hypecbơlic - Nếu B2 - AC = phương trình (1.9) có nghiệm kép, phương trình (1.7) thuộc loại parabơlic - Nếu B2 - AC < phương trình (1.9) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (1.7) thuộc loại eliptic 1.1.3 Chuyển phương trình đạo hàm riêng dạng tắc 1.1.3.1 Phương trình loại hypecbơlic Khi B2 - AC > (1.10) (1.11) thực độc lập Giả sử nghiệm phương trình (1.10) (1.11) ( x, y ) C1 , ( x, y ) C2 Ta chọn ( x, y) , ( x, y) Khi A 0, C 0, phương trình (1.7) trở thành Bu F u F F1 (u , u , u , , ), 2B (1.12) (1.12) gọi dạng tắc thứ phương trình hypecbơlic 1.1.3.2 Phương trình loại parabơlic Khi B2 - AC = 0, phương trình (1.9) có tích phân tổng quát ( x, y) const Ta chọn ( x, y) , ( x, y), đó, ( x, y) hàm tùy ý Khi A 0, B 0, phương trình (1.7) trở thành Cu F u F F3 C (1.13) (1.13) gọi dạng tắc thứ phương trình parabơlic 1.1.3.3 Phương trình loại eliptic Khi B2 - AC < 0, phương trình (1.9) có hai nghiệm phức liên hợp ( x, y); ( x, y) hay ( x, y) ( x, y) i ( x, y); ( x, y) ( x, y) i ( x, y) Khi đó, A C B u u F F4 A (1.14) Phương trình (1.14) gọi dạng tắc phương trình eliptic Tóm lại, để chuyển phương trình đạo hàm riêng Auxx 2Buxy Cu yy Dux Eu y Fu G 0, dạng tắc ta thực bước sau: Bước 1: Thiết lập phương trình đặc trưng (PTĐT) A(dy)2 2Bdydx C (dx)2 Bước 2: Giải PTĐT Có khả xảy ra: - Nếu B2 - AC > PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt ( x, y ) C1 , ( x, y ) C2 Ta chọn biến ( x, y) , ( x, y) - Nếu B2 - AC = PTĐT có nghiệm thực: ( x, y) C Ta chọn biến ( x, y) , ( x, y) tùy ý - Nếu B2 - AC < PTĐT có hai nghiệm phức liên hợp ( x, y ) i ( x, y ) C1; ( x, y ) i ( x, y ) C Ta chọn biến ( x, y) , ( x, y) ( x, y) i ( x, y); ( x, y) i ( x, y) 1.1.3.4 Các ví dụ Ví dụ 1: chuyển phương trình đạo hàm riêng sau dạng tắc utt a 2u xx Giải: Theo trên, ta có A = 1, B = 0, C = -a2, B2 - AC = a2 > Do phương trình thuộc loại hypecbơlic Lập phương trình đặc trưng: (dx)2 a2 (dt )2 dx dx Giải phương trình đặc trưng: a a dt dt Nếu dx a dx adt x at C1 dt Nếu dx a dx adt x at C2 (C1, C2 hai số tùy ý) dt Theo ta chọn x at, x at Khi ux u x ux u u uxx (u x ux ) x (u u ) x (u ) x (u ) x u x u x u x u x uxx u u 2u ; ut u t ut au au a(u u ) utt (u t ut )t a(u u )t a(u )t a(u )t au t au t au t u t 2u Thay tất vào phương trình cho, ta 4a 2u Hay Ví dụ 2: Chuyển phương trình đạo hàm riêng sau dạng tắc 2 z 2 z 2 z x xy y Giải: Theo trên, ta có A = 1, B = -1, C = 2, B2 - AC = -1 < Do phương trình thuộc loại eliptic Lập phương trình đặc trưng: (dy)2 2dxdy 2(dx)2 y '' y ' ( y ' 1)2 y ' i Nếu dy 1 i dy (1 i)dx y (1 i) x C1 y x ix C1 dx Nếu dy 1 i dy (1 i)dx y (1 i) x C1 y x ix C2 dx Thực phép đổi biến đặt y x, x, ta z z z z z z z 2 z 2 z 2 z 2 z ; ; 2 2; xy x y x Thay giá trị đạo hàm riêng vào phương trình cho ta 2 z 2 z 1.2 Phương trình vật lý tốn điều kiện Phương trình vật lý tốn phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân hay phương trình vi tích phân mà ta nhận phân tíc tốn học tượng vật lý Nói cách khác, phương trình vật lý tốn biểu thức tốn học tượng vật lý mà ta xét Trong phương trình tất số hạng có ý nghĩa vật lý Trong phương trình vật lý tốn biến độc lập thường biến thời gian (t) biến tọa độ (x, y, z) Một số phương trình đạo hàm riêng cấp hai thường gặp vật lý là: - Phương trình Laplace 2u (1.15) - Phương trình Poisson 2u ( x, y, z ) (1.16) 2u - Phương trình sóng u a t (1.17) 2 2u u Trường hợp chiều phương trình có dạng a x t - Phương trình truyền nhiệt u 2u t Trường hợp chiều phương trình có dạng (1.18) u 2u a 2 t x Các phương trình có vơ số nghiệm Vì vậy, ta cần phải xác định thêm điều kiện phụ để xác định nghiệm xác - Nếu ta xác định nghiệm (hay đạo hàm nó) thời điểm t đó, chẳng hạn thời điểm t = ta nói tốn có điều kiện đầu Trong trường hợp chiều, điều kiện viết dạng u( x, t ) t 0 ; ut ( x, t ) t 0 hay u ( x,0); ut ( x,0) - Nếu trình diễn khoảng không gian hữu hạn, chẳng hạn x nằm khoảng (0, L), điều kiện biên khơng gian cho trước ta nói tốn có điều kiện biên Trong trường hợp chiều điều kiện viết dạng u( x, t ) x0 ; u( x, t ) x L hay u(0, t ); u(L, t ) - Bài tốn có điều kiện đầu điều kiện biên cho trước gọi toán hỗn hợp - Bài toán biết điều kiện đầu q trình diễn khơng gian vơ hạn gọi tốn Cơsi Các điều kiện đầu điều kiện biên xác định từ thực nghiệm nên mang tính chất gần Tuy nhiên ta cần thiết lập tốn cho nghiệm tồn phụ thuộc liên tục vào điều kiện phụ Bài toán gọi toán thiết lập 1.3 Một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng 1.3.1 Phương pháp chuyển dạng tắc Để giải phương trình đạo hàm riêng ta chuyển phương trình dạng đơn giản (dạng tắc) giải Ví dụ 4: Giải phương trình utt a u xx (1.19) Giải: Như xét ví dụn cách đổi biến, đặt: x at, x at 2u Ta đưa phương trình dạng u u 0 1 ( ) với φ1 hàm tùy ý Từ phương trình ta có: u 1 ( ) u 1 ( ) u ( ) ( ) với φ hàm tùy ý Trở lại biến cũ, ta có u( x, t ) ( x at ) ( x at ) nghiệm tổng quát phương trình (1.19) Do φ hàm tùy ý nên phương trình (1.19) có vơ số nghiệm 1.3.2 Phương pháp tách biến Nội dung phương pháp ta biểu diễn hàm nhiều biến thành tích hàm biến, sau thay vào phương trình cho biến phương trình đạo hàm riêng cho thành phương trình vi phân thường hàm biến Ví dụ 5: Giải phương trình Laplace trường hợp ba chiều 2u 2u 2u 2u x y z (1.20) Giải: Biểu diễn hàm u(x, y, z ) dạng tích hàm biến u ( x, y, z ) X ( x) Y(y) Z(z) (1.21) Đạo hàm (1.21) theo biến x, y, z thay vào phương trình (1.20), ta X ''( x)Y ( y)Z ( z ) X ( x)Y ''( y) Z ( z) X ( x)Y ( y) Z ''( z) Chia hai vế phương trình cho X(x)Y(y)Z(z) , ta d X d 2Y d Z X dx Y dy Z dz d X d 2Y d 2Z X dx Y dy Z dz Hay (1.22) (1.23) Ta thấy vế trái (1.23) hàm x y, vế phải hàm z nên hai vế phương trình phải số đó, ta đặt số k3 Khi (1.23) trở thành d 2Z d 2Z k k32 Z 0, 2 Z dz dz (1.24) d2X d 2Y k32 2 X dx Y dy (1.25) Tương tự, vế trái (1.25) hàm x, vế phải hàm y, chúng số, ta có d2X d2X k1 k12 X 0, 2 X dx dx (1.26) d 2Y d 2Y k k3 k22Y dy dy với k22 k12 k32 (1.27) Nếu k1 ≠ nghiệm (1.26) X ( x) a(k1 )eik1x a '(k1 )eik1x , k1 , (1.28) với a(k1) a’(k1) số tùy ý, thay đổi theo k1 Tương tự nghiệm (1.27) (1.24) Y(y) b(k2 )ek2 y b '(k2 )e k2 y , k2 k2 , (1.29) Z(z) c(k3 )eik3 z c '(k3 )e ik3 z , k3 k3 (1.30) Vậy nghiệm phương trình u( x, y, z ) a(k1 )eik1x a '(k1 )eik1x b(k2 )ek2 y b '(k2 )e k2 y c(k3 )eik3 z c '(k3 )e ik3 z , (1.31) a(k1) a’(k1), b(k2) b’(k2), c(k3) c’(k3) số tùy ý Trong trường hợp ki = (i = 1, 2, 3) nhiệm phương trình tương ứng X(x) = a(k1) + a’(k1), k1 , (1.32) Y(y) = b(k2) + b’(k2), k2 , (1.33) Z(z) = c(k3) + c’(k3), k3 (1.34) BÀI TẬP Xác định cấp PTĐHR sau: a uxx + uyy = b uxxx + uxy + a(x)uy + logu = f(x,y) c uxxx + uyyy + a(x)uxxy + u2 = f(x,y) Phương trình PTĐHR sau PTĐHR tuyến tính không nhất? a uxx + uyy - 2u = x2 b uxx = u c uxx - 2uxy + uyy = cosx 10 d 2uxx - 4uxy + 2uyy + 3u = Chứng tỏ u(x,t) = cos(x - ct) nghiệm phương trình ut + cux = y Chứng tỏ u F ( xy ) xG nghiệm tổng quát phương trình x x u xx y 2u yy Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau u xy u x (Gợi ý: đặt v = uy) Chứng tỏ u ( x, y, z ) x y z 2 nghiệm phương trình u xx u yy u zz miền ( x, y, z ) (0,0,0) Phân loại phương trình đạo hàm riêng sau: a 4u xx 5u xy u yy u x u y b u xx u xy u yy u x c 3u xx 10u xy 3u yy d u xx 2u xy 3u yy 4u x 5u y u e x Phân loại phương trình đạo hàm riêng sau: a xu xx u yy x b x 2u xx 2xyu xy y 2u yy e x c e xu xx e y u xy u d u xx u xy xu yy Giải phương trình sau u xx a 2u yy a Bằng phương pháp chuyển dạng tắc b Bằng phương pháp tách biến 11 CHƯƠNG CÁC HÀM ĐẶC BIỆT Chương đề cập đến hàm đặc biệt nghiệm phương trình vi phân cấp hai tuyến tính xuất q trình giải tốn vật lý, đặc biệt vật lý lý thuyết 2.1 Đa thức Legendre 2.1.1 Đa thức Legendre Phương trình Legendre phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng: (1 x ) y '' 2xy ' ( 1) y 0, (2.1) số dương Phương trình xuất ta giải số toán học cổ điển, lý thuyết trường điện từ, truyền nhiệt học lượng tử có tính đối xứng cầu Với x2 0, chia (2.1) cho x ta thu dạng chuẩn y '' 2x ( 1) y ' y 1 x x2 Các hệ số phương trình giải tích x = Gốc x = điểm bình thường nên tìm nghiệm phương trình dạng chuỗi y ( x) am x m (2.2) m0 Thay (2.2) vào (2.1), ta m2 m 1 m2 (1 x ) m(m 1)am x m 2x mam x m 1 ( 1) am x m m2 m2 m 1 m2 m(m 1)am xm2 m(m 1)am x m 2 mam x m ( 1) am x m Viết rõ số hạng chuỗi theo thứ tự tăng dần bậc lũy thừa x 2.1.a2 + 3.2.a2x + 4.3.a4x2 + + (s + 2)(s+1) as+2xs + - 2.1.a2x2 - s(s - 1)asxs - - 2.1.a1x - 2.2.a2x2 - -2sasxs - v(v + 1)a0 + v(v + 1)a1x + v(v + 1)a2x2 + + v(v + 1)asxs + = Các hệ số chuỗi phải đồng khơng nên ta có: 2a ( 1)a0 12 (2.3) 6a 2 ( 1) a1 (2.4) ( s 2)( s 1)as s( s 1) 2s ( 1) as (2.5) Tổng quát, ta có Từ (2.3) ta thu as ( s)( s 1) as , (s 2)( s 1) (s = 0, 1, 2, ) (2.6) Biểu thức cho ta mối liên hệ hệ số, trừ hai hệ số a0 a1 Hai hệ số tùy ý xác định sau Ta có: a2 a3 a4 a5 ( 1) 2! a0 ; ( 1)( 2) a1 ; 3! ( 2)( 3) ( 2) ( 1)( 3) a2 a0 ; 4.3 4! ( 3)( 4) ( 3)( 1)( 2)( 4) a3 a1 ; 4.5 5! Từ kết ta biểu diễn chuỗi (2.2) dạng: y ( x) a0 y1 ( x) a1 y2 ( x), với y1 ( x) ( 1) ( 2) ( 1)( 3) x x 2! 4! y1 ( x) x ( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4) x x 3! 5! (2.7) Phương trình (2.7) chứa hai số tùy ý y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng qt phương trình (2.1) Xét trường hợp thường gặp toán vật lý, v số nguyên dương: v = n Khi phương trình (2.1) có dạng: (1 x ) y '' 2xy ' n(n 1) y 0, với y1 ( x) y2 ( x) x ( 1) 2! x2 ( 2)v( 1)( 3) x 4! ( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4) x x 3! 5! 13 Nhận xét: Phương trình (2.7) chứa hai số tùy ý y1 ( x), y2 ( x) độc lập tuyến tính nên ta có nghiệm tổng qt phương trình (2.1) Chuỗi hội tụ x Bây ta xét trường hợp thường gặp tốn vật lý, trường hợp số nguyên dương: n Khi PT (2.1) có dạng (1 x2 ) y '' xy ' n(n 1) y (2.8) Dựa vào kết ta tìm nghiệm (2.8) Từ (2.6) ta có as (n s)(n s 1) as (s 2)(s 1) (s 0,1, ) Như n an an Từ đó, n số chẵn y1 ( x) đa thức cấp n Nếu n số lẻ tương y2 ( x) Các đa thức nhân với vài số gọi đa thức Legendre Bây ta xác định biểu thức tổng quát để xác định hệ số đa thức Từ phương trình (2.6) ta có as (s 2)(s 1) as 2 (n s)(n s 1) (2.9) Chọn hệ số an hệ số tùy ý cho a0 Để thỏa mãn điều kiện ta chọn an (2n)! 1.3.5 (2n 1) 2n (n!)2 n! (n 1, 2, ) (2.10) Sau ta biểu diễn tất hệ số an 1 , an , theo an Từ (2.9) (2.10) ta có: an2 n(n 1) n(n 1) (2n)! an 2(2n 1) 2(2n 1) 2n (n!)2 n(n 1) (2n 2)!(2n 1)2n (2n 2)! n n 2(2n 1) (n 1)!n.(n 2)!(n 1)n (n 1)!(n 2)! Tương tự an4 (n 2)(n 3) (n 2)(n 3) (2n 2)! an2 n 4(2n 3) 4(2n 3) (n 1)!(n 2)! 14 (2n 4)! 2!(n 2)!(n 4)! n Tổng quát an2m (1)m (2n 2m)! m!(n m)!(n 2m)! (2.11) n Nghiệm dạng đa thức phương trình Lengendre gọi đa thức Lengendre ký hiệu Pn ( x ) Từ (2.11) ta thu M Pn ( x) (1) m m0 M (2n 2m)! x n2m m!(n m)!(n 2m)! n (2n)! n (2n 2)! x n x n2 n 2 (n!) (n 1)!(n 2)! (2.12) n (n 1) (với n chẵn) (với n lẻ) Một số đa thức Legendre cấp 2 thấp có dạng (đồ thị biểu diễn hình 2.1) P0 ( x) 1; P1 ( x) x; (3 x 1); P3 ( x) (5 x x); P4 ( x) (35 x 30 x 3); P5 ( x) (63 x 70 x 15 x); P2 ( x) x Hình 2.1 2.1.2 Cơng thức Rodrigues Pn ( x ) Đa thức Legendre xác định cơng thức Pn ( x) Thật vậy, xét hàm số: u dn ( x 1)n n n n! dx (2.13) ( x 1)n 2n n ! Đạo hàm hàm số ta có: ( x 1) du 2nxu dx Đạo hàm (2.14) n lần cách áp dụng công thức Leibnitz 15 (2.14) ... ĐẦU Để giúp sinh viên ngành Sư phạm Vật lý thuận tiện học Phương pháp Toán Lý, tiến hành biên soạn giảng Phương pháp Toán Lý Nội dung giảng gồm chương Trong chương giảng có tập ví dụ mẫu cuối chương... điều kiện phụ Bài toán gọi toán thiết lập 1.3 Một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng 1.3.1 Phương pháp chuyển dạng tắc Để giải phương trình đạo hàm riêng ta chuyển phương trình dạng... tốn học tượng vật lý Nói cách khác, phương trình vật lý tốn biểu thức toán học tượng vật lý mà ta xét Trong phương trình tất số hạng có ý nghĩa vật lý Trong phương trình vật lý tốn biến độc lập