Bài giảng Vật lí thống kê - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Vật lí thống kê gồm có 6 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Đối tượng và phương pháp của vật lí thống kê – các cơ sở của lý thuyết xác suất; Luận đề cơ bản của vật lí thống kê; Hàm phân bố Gibbs; Áp dụng phân bố Gibbs vào các hệ thực; Các thống kê lượng tử; Áp dụng các thống kê lượng tử.

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG - BÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊ NGUYỄN THỊ KIỀU THU Quảng Ngãi, 06/2018 Bài giảng Vật lí thống kê MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ – CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Đối tượng phương pháp vật lý thống kê 1.2 Các biến cố ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên 1.3 Khái niệm xác suất 1.4 Các tính chất xác suất Cơng thức cộng nhân xác suất 1.5 Trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên 12 1.6 Các ví dụ định luật phân bố đại lượng ngẫu nhiên 15 1.7 Hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên 19 BÀI TẬP CHƯƠNG 22 CHƯƠNG LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ 24 2.1 Quy luật tính động lực quy luật tính thống kê 24 2.2 Phương pháp vật lý thống kê 26 2.3 Việc biễu diễn hệ không gian pha 28 2.4 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái 31 2.5 Định lí Liouville bảo tồn thể tích pha Cân thống kê 32 BÀI TẬP CHƯƠNG 38 CHƯƠNG III HÀM PHÂN BỐ GIBBS 39 3.1 Phân bố vi tắc Gibbs 39 3.2 Phân bố tắc Gibbs 40 3.3 Ý nghĩa vật lí thơng số phân bố tắc, thiết lập phương trình nhiệt động lực học 46 3.4 Entrơpi mối liên hệ với xác suất trạng thái 51 3.5 Phân bố Maxwell – Boltzmann 53 3.6 Phân bố tắc lớn Gibbs 56 BÀI TẬP CHƯƠNG 60 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS VÀO CÁC HỆ THỰC 61 4.1 Biểu thức hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái 61 4.2 Tích phân trạng thái hàm nhiệt động khí lí tưởng 62 4.3 Áp dụng phân bố tắc vào khí thực 65 4.4 Định lí phân bố động theo bậc tự 71 BÀI TẬP CHƯƠNG 74 CHƯƠNG CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 75 Bài giảng Vật lí thống kê 5.1 Các hệ lượng tử tính chất chúng 75 5.2 Cách mô tả hệ lượng tử 77 5.3 Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 79 5.4 Áp dụng phương pháp Gibbs vào hệ lượng tử 80 BÀI TẬP CHƯƠNG 86 CHƯƠNG ÁP DỤNG CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 87 6.1 Dao động lượng tử rôtato lượng tử 87 6.2 Áp dụng thống kê Bose – Enstein để nghiên cứu hệ lượng tử 90 6.3 Áp dụng thống kê Fecmi – Dirrac để nghiên cứu hệ lượng tử 93 BÀI TẬP CHƯƠNG 95 PHỤ LỤC 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 Bài giảng Vật lí thống kê LỜI NĨI ĐẦU Bài giảng Vật lí thống kê biên soạn dành cho sinh viên sư phạm Vật lí, nội dung giảng dựa theo giáo trình Nhiệt động lực học Vật lí thống kê Vũ Thanh Khiết Bài giảng gồm có chương: Chương 1: trình bày sơ lược đối tượng phương pháp Vật lí thống kê Chương 2: trình bày nội dung vật lí khái niệm luận đề Vật lí thống kê, trạng thái vi mô, vĩ mô, không gian pha… Chương 3: giới thiệu hàm phân bố dừng, thiết lập phương trình nhiệt động lực học, qua nêu lên mối quan hệ chặt chẽ khái niệm nhiệt động lực học nhiệt độ, lượng tự do, entropi…với hàm phân bố thống kê, thấy rõ ý nghĩa vật lí sâu sắc khái niệm Chương 4: giới thiệu áp dụng phân bố tắc vào việc nghiên cứu tính chất hệ thực: khảo sát phương trình trạng thái khí lí tưởng khí thực, chứng minh định lí phân bố động theo bậc tự áp dụng định lí… Chương 5: nêu lên sở thống kê lượng tử, tìm cơng thức thống kê lượng tử: thống kê Bose – Einstein Fecmi – Dirrac, nêu lên điều kiện áp dụng thống kê Maxwell – Boltzmann Chương 6: trình bày áp dụng thống kê lượng tử để nghiên cứu hệ thực tượng ngưng tụ khí Bose suy biến khí Fecmi Mặc dù cố gắng chắn giảng khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cơ, bạn đồng nghiệp em sinh viên Xin chân thành cảm ơn NGUYỄN THỊ KIỀU THU Bài giảng Vật lí thống kê CHƯƠNG ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ – CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Đối tượng phương pháp vật lý thống kê Cũng Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê nghiên cứu hệ bao gồm số lớn hạt nguyên tử, phân tử, ion hạt khác mà người ta gọi hệ nhiều hạt hay hệ vi mô, phương pháp khác Nhiệt động lực học nghiên cứu qui luật tính chuyển động nhiệt hệ cân hệ chuyển trạng thái cân bằng, sau khái qt hóa qui luật tính cho hệ khơng cân Cơ sở Nhiệt động lực học nguyên lí Các nguyên lí tổng qt hóa kinh nghiệm lâu đời nhân loại xác nhận thực nghiệm Với cơng cụ giải tích tốn học, Nhiệt động lực học rút hệ thức liên hệ đại lượng đặc trưng cho tính chất khác vật chất Còn Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mô hệ mà ta khảo sát với đặc tính định luật chuyển động hạt vi mơ cấu thành hệ Tóm lại, Vật lý thống kê có hai nhiệm vụ bản: + Tìm đặc tính vĩ mơ hệ dựa tính chất biết hạt tạo thành hệ; + Và ngược lại tìm đặc tính hạt cấu thành hệ dựa vào tính chất vĩ mô hệ Hầu hết vật thể vật lý gồm số lớn hạt, điều đặt điều kiện đặc biệt cho phương pháp nghiên cứu vật thể vật lý Chúng ta không theo dõi chuyển động hạt riêng lẻ, mà ta nghiên cứu hạt theo qui luật thống kê Như vậy, lý thuyết phân tử vật chất lý thuyết thống kê Các qui luật thống kê cho phép ta xác định trị trung bình đại lượng xác suất trị số tùy ý Do đó, phương pháp Vật lý thống kê phương pháp thống kê dựa lý thuyết xác suất Bài giảng Vật lí thống kê Như vậy, Vật lý thống kê ngành vật lý nghiên cứu hệ nhiều hạt dùng phương pháp thống kê, hay nói khác đi, Vật lý thống kê đại lý thuyết thống kê hệ nhiều hạt Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ với Nhiệt động lực học Khi hệ vĩ mơ nằm trạng thái cân định luật mà ta thu Vật lý thống kê đại lượng trung bình trùng với định luật nhiệt động lực học Vì người ta gọi Vật lý thống kê hệ cân Nhiệt động lực học thống kê 1.2 Các biến cố ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1 Các tượng ngẫu nhiên Hiện tượng ngẫu nhiên tượng xảy không xảy ra, xảy cách bất ngờ trước kết chúng Ví dụ: + Sự phân rã hạt nhân nguyên tử; + Sự xạ photon từ nguyên tử; + Sự bùng nổ Mặt trời, vụ nổ sao, va chạm phân tử… Mỗi tượng ngẫu nhiên gây hay nhiều nguyên nhân Tuy nhiên luôn theo dõi nguyên nhân đưa đến tượng Vì tượng ngẫu nhiên, thực chúng nguyên nhân gây 1.1.2 Các biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên khái niệm rộng tượng ngẫu nhiên hiểu theo cách thông thường Theo nghĩa thông thường, biến cố ngẫu nhiên biểu dấu hiệu hay dấu hiệu khác, bao gồm tính chất (hoặc đặc tính) hay tính chất khác trình, hay tượng ngẫu nhiên Ví dụ: Hiện tượng ngẫu nhiên va chạm phân tử biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên việc phân tử có vận tốc xác định Bài giảng Vật lí thống kê có phương chuyển động xác định; số phân tử đơn vị thể tích lượng chúng… Khi nói đến biến cố ngẫu nhiên khơng nên cho chúng không nguyên nhân gây khơng phụ thuộc vào Biến cố ngẫu nhiên xuất kết tác dụng số lớn nguyên nhân tồn thực tế Tính chất ngẫu nhiên biến cố phạm trù khách quan, không phụ thuộc vào hiểu biết hay không hiểu biết nguyên nhân gây chúng Ta phân loại biến cố ngẫu nhiên thành hai loại biến cố xảy lần biến cố lặp lại Biến cố xảy lần (biến cố riêng lẻ) biến cố, là, nguyên tắc chúng xảy lần, là, biến cố mà ta chúng xảy lần ta khảo sát chúng phạm vi khơng gian nhỏ thời gian nhỏ Thí dụ: * Sau khoảng thời gian ngắn (thời gian khảo sát), nguyên tử phát photon * Việc hạt sơ cấp qua buồng Uyn – sơn (Wilson) tượng thể tích buồng nhỏ thời gian phát sáng ngắn Đối với biến cố riêng lẻ ta khó đốn trước vị trí thời gian xảy Biến cố lặp lại biến cố xảy nhiều lần xảy với đối tượng tương tự ta quan sát chúng phạm vi không gian lớn thời gian dài Ví dụ: * Sự cháy sáng thiên hà, phân rã hạt nhân nguyên tử urani, phát quang chất khí… * Cùng phân tử khí khoảng thời gian dài va chạm nhiều lần với thành bình…Những biến cố gọi biến cố đồng loạt hay biến cố đồng Thí nghiệm chứng tỏ biến cố đồng đặc trưng qui tắc qui luật riêng chúng Những qui luật tính biểu số lớn biến cố đồng gọi qui luật thống kê Việc nghiên cứu qui luật đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất lý thuyết thống Bài giảng Vật lí thống kê kê Đối với biến cố đồng loạt, đồng lặp lại, người ta đưa vào khái niệm xác suất xuất chúng 1.1.3 Các đại lượng ngẫu nhiên Việc thơng số có giá trị xác định, coi biến cố ngẫu nhiên Những đại lượng, mà trị số chúng phụ thuộc vào trường hợp ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên Thí dụ: Xét đại lượng vận tốc phân tử chất khí * Biến cố ngẫu nhiên thể chỗ: phân tử định có vận tốc cho Thực vậy, giá trị vận tốc phân tử chất khí phụ thuộc vào va chạm phân tử với phân tử khác với thành bình * Đối với phân tử, va chạm ngẫu nhiên Và va chạm ngẫu nhiên đó, vận tốc biến đổi cách ngẫu nhiên, vận tốc đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị gián đoạn hay liên tục Một số đại lượng ngẫu nhiên có giá trị liên tục gián đoạn Thí dụ: + Mơmen động lượng nhận giá trị gián đoạn; + Vận tốc phân tử khí nhận vơ số giá trị từ không đến vô cực (liên tục) + Năng lượng electron nguyên tử có trị số gián đoạn, cịn lượng electron trạng thái tự có trị số bất kì, có nghĩa biến đổi liên tục Nếu x đại lượng ngẫu nhiên hàm  (x) đại lượng ngẫu nhiên Thí dụ: Nếu vận tốc v phân tử đại lượng ngẫu nhiên động Wđ đại lượng ngẫu nhiên động hàm vận tốc: Wđ  mv 2 Lý thuyết xác suất, nghiên cứu biến cố ngẫu nhiên, mà lại nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên tương ứng với chúng Bài giảng Vật lí thống kê Để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên cần phải biết giá trị biết xác suất giá trị đó, có nghĩa cần phải nghiên cứu định luật phân bố, hoăc đơn giản nghiên cứu phân bố đại lượng ngẫu nhiên 1.3 Khái niệm xác suất 1.3.1 Xác suất biến cố 1.3.1.1 Định nghĩa toán học Xác suất biến cố giới hạn tỉ số số lần ni biến cố xảy tổng cộng N lần thử (biến cố thuận lợi) chia cho số biến cố tổng cộng ni N  N Wi  lim (1.1) 1.3.1.2 Định nghĩa vật lí Trong vật lí, đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên theo thời gian nên xác suất trạng thái hệ xác định theo công thức: t ; T  T Wi  lim (1.2) t thời gian lưu lại hệ trạng thái cho, T thời gian quan sát tổng cộng 1.3.2 Hàm phân bố 1.3.2.1 Định nghĩa Đối với đại lượng ngẫu nhiên có trị số khác (trị số biến đổi cách gián đoạn) biến cố ngẫu nhiên trường hợp đại lượng ngẫu nhiên có trị số đó, xác suất biến cố trường hợp xác suất xác định Đối với đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục xác suất riêng biệt đại lượng ngẫu nhiên có trị số xác định khơng Vì vây, có nghĩa ta nói xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên có trị số phân bố khoảng từ x đến x  dx Gọi xác suất tìm thấy đại lượng x khoảng x W (x) , xét khoảng vô nhỏ dx dW(x) Bài giảng Vật lí thống kê Xác suất dW(x) cho đại lượng ngẫu nhiên có trị số nằm khoảng từ x đến x  dx sẽ: - phụ thuộc vào số x đó, nghĩa hàm f(x); - tỉ lệ với chiều rộng khoảng dx  dW(x) = f(x)dx; (1.3) f(x) gọi hàm phân bố xác suất, cho biết xác suất khoảng dx phân bố phụ thuộc vào đại lượng x Ứng với đơn vị chiều rộng khoảng biến thiên dW(x) = f(x)dx, f(x) cịn gọi mật độ xác suất f(x)  hay dW(x) dx (1.4) 1.3.2.2 Đồ thị biễu diễn hàm phân bố Theo công thức (1.3), xác suất f(x) dW(x) xác định diện tích phân kẻ gạch có đáy dx Trị số đại lượng ngẫu nhiên x dW(x) tương ứng với cực đại hàm gọi trị số có xác suất lớn hay trị số x nhiên dx Hình 1.1.Đồ thị hàm phân bố 1.4 Các tính chất xác suất Cơng thức cộng nhân xác suất 1.4.1 Các tính chất xác suất Theo định nghĩa (1.1), ta suy  W   n i  N Vậy xác suất đại lượng không thứ nguyên, số không âm lớn 1, biểu thị phân số, không, Nếu W =  phép thử phép thử thuận lợi với biến cố cho biến cố chắn Thí dụ ta gieo xúc xắc việc gieo trúng số 1, 2, 3, 4, biến cố chắn Nếu W =  biến cố gọi biến cố khơng thể có Bài giảng Vật lí thống kê Mặt khác ̅ = ∑ 𝑛𝑖 N 𝑖 Suy ni = (μ − εi ) + exp θ b Thống kê Bose – Eintstein Đối với hạt Bozon, ni nhận giá trị nguyên dương exp { ni (μ−εi ) (μ−εi ) θ θ } cấp số nhân vô hạn với công bội q = exp Để cấp số nhân hội tụ |q| < Áp dụng cơng thức tính tổng phần tử cấp số nhân, ta ∑ exp { ni ni (μ − εi ) }= θ (μ − εi ) − exp θ Suy Z=∏ 𝑖 (μ − εi ) − exp θ (5.25) Thế nhiệt động Ω Ω = −kTlnZ = −kTln ∏ [1 − exp 𝑖 (μ − εi ) ] θ = kT ∑ ln [1 − exp 𝑖 ( μ − εi ) ] θ (5.26) Số hạt trung bình: ̅ = −( N ∂Ω )=∑ ∂μ 𝑖 ( μ − εi ) exp −1 θ (5.27) Mặt khác ̅ = ∑ ni N i Suy 84 Bài giảng Vật lí thống kê ni = (μ − εi ) exp −1 θ (5.28) Đây cơng thức thống kê Bose – Eintstein 85 Bài giảng Vật lí thống kê BÀI TẬP CHƯƠNG Từ phân bố tắc lượng tử suy phân bố Maxwell – Bonltzman cho hệ hạt không tương tác Giả sử chất khí lí tưởng lượng tử (gồm N hạt đựng thể tích V) tuân theo thống kê Maxwell – Bonltzman: n̅(ε) = exp {−α − ε μ−ε } = exp { } kT kT a Tìm số hạt có lượng khoảng dε b Tìm lượng tồn phần (trung bình) chat khí, va từ suy lượng trung bình phân tử Giả sử chất khí lượng tử tuân theo thống kê Bose – Eintstein Fecmi – Dirrac, độ suy biến không đổi g Đặt: B = exp(α) , F(B) = √π ∞ ∫ x1/2 dx ; Bex ± ∞ x1/2 dx G(B)= ∫ √𝑛 Bex ± Chứng minh rằng, ta có (2mkT)2 N= gVF(B) h3 ̅= E G(B) NkT F(B) 86 Bài giảng Vật lí thống kê CHƯƠNG ÁP DỤNG CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 6.1 Dao động lượng tử rôtato lượng tử Để thuận tiện cho việc áp dụng thống kê Maxwell – Bonltzman, ta nghiên cứu hai mơ hình lượng tử dao động tử rơtato Hai mơ hình áp dụng rộng rãi vật lí đại coi mơ hình gần phân tử thực, nguyên tử thực hạt thực khác Các mơ hình áp dụng cho hạt tự hạt cấu thành hệ vật lí 6.1.1 Phổ lượng dao động tử rôtato a Dao động tử Dao động tử nằm trạng thái En = hν (n + ) , n = 0, 1, 2, … (6.1) Như vậy, lượng dao động tử lấy trị số gián đoạn xác định Hiệu mức lượng: ΔE = hν Mức “không” lượng: En = hν Mức lượng “không” tương ứng với dao động “không” mà ta loại trừ (bằng cách hạ nhiệt độ chẳng hạn) Nói cách khác có xuất lượng “khơng” nên dao động tử học lượng tử trạng thái nghỉ Năng lượng “không” dao động quan sát cho ánh sáng tán xạ tinh thể nằm nhiệt độ gần độ không tuyệt đối Ở nhiệt độ không tuyệt đối, phàn lớn hệ nằm mức lượng thấp (mức bản) nguyên tử lại thực dao động b Rôtato Rôtato chất điểm quay theo đường tròn Trong học cổ điển, lượng chất điểm có dạng: Eq = mv mr ω2 Iω2 M2 = = = 2 2I với M mômen động lượng, I mơmen qn tính Trong học lượng tử: M2 = h2 𝑙 (𝑙 + 1), 4π2 87 Bài giảng Vật lí thống kê l số lượng tử quỹ đạo có trị số số nguyên 0,1,2… Các trị số gián đoạn bình phương moomen động lượng xác định phổ lượng rời rạc rôtato h2 E𝑙 = 𝑙 (𝑙 + 1) 8π I (6.2) Như học lượng tử, mơt rootato nằm trạng thái có lượng xác định (6.2) Khác với dao động tử trạng thái trạng thái có lượng En tương ứng với hàm sóng ψn , trạng thái rootato lượng tử có lượng En tương ứng với 2l + hàm sóng Khoảng cách mức lượng rootato tăng lên số l tăng lên: ΔE𝑙,𝑙−1 h2 𝑙 = 4π I (6.3) 6.1.2 Tổng trạng thái nội hệ dao động tử rôtato a Tổng trạng thái dao động tử Tổng trạng thái dao động tử ∞ Zdđ ∞ En hυ hυ } × ∑ exp {− n} = ∑ exp {− } = exp {− kT 2kT kT n=0 (6.4) n=0 Chú ý vế phải (6.4) có chứa cấp số nhân vơ hạn giảm dần mẫu số 𝑒𝑥𝑝 {− ℎ𝜐 𝑘𝑇 } số hạng a = Áp dụng cơng thức tính tổng số hạng cấp số nhân vô hạn giảm dần: S = 𝑎 1−𝑞 ta được: hυ } 2kT Z= hυ − exp {− } kT (6.5) hυ } 2kT Z= hυ − exp {− } kT (6.6) exp {− hay exp {− Năng lượng trung bình dao động tử 88 Bài giảng Vật lí thống kê ∂Z E n ∑∞ ∂( ) kT ∂Z n=1 En exp {− kT} ̅= E = kT = E Z Z ∂T n ∞ ∑n=1 exp {− } kT ̅= E hυ hν + exp {hυ} − kT (6.7) Ở nhiệt độ thấp (T0) lượng trung bình dần tới nhiệt độ cao (T>>Tđ = hυ ;ở hυ k ) lượng trung bình dao động tử có “trị số cổ điển” kT Nhiệt dung CV ứng với dao động tử xác định theo cơng thức: ∂E CV = ( ) ∂T V Trong trường hợp T 0 nhiệt dung dần tới không, cịn nhiệt độ cao “trị số cổ điển” Đối với dao động tử ba chiều, lượng hàm cộng tính gồm lượng dao động tử độc lập theo bậc tự do: 1 E = hυ1 (n1 + ) + hυ2 (n2 + ) + hυ3 (n3 + ) 2 (6.8) Nếu hệ gồm N dao động tử tuyến tính độc lập dao động với tần số 𝜐 lượng trung bình nhiệt dung hệ lớn N lần lượng trung bình nhiệt dung ứng với dao động tử Biết tổng trạng thái dao động tử, ta tìm hàm nhiệt động hệ N dao động tử khơng tương tác Năng lượng trung bình ̅N nội U hệ hệ N dao động tử, E b Tổng trạng thái rôtato Năng lượng ứng với trạng thái l rô ta to h2 E𝑙 = 𝑙 (𝑙 + 1) 8π I Vì trạng thái bất rơ ta to bị suy biến (2l+1) lần tổng trạng thái 89 Bài giảng Vật lí thống kê ∞ ∞ E𝑙 h2 Zq = ∑(2𝑙 + 1)exp {− } = ∑(2𝑙 + 1)exp {− 𝑙 (𝑙 + 1)} kT 8π IkT 𝑙=0 (6.9) 𝑙=0 Việc tính giá trị Zq trường hợp tổng quát phức tạp, đòi hỏi phải dùng hàm đặc biệt Ta xét cách đánh giá gần Zq hai trường hợp giới hạn Ở nhiệt độ thấp mơmen qn tính I nhỏ, tổng thu hai số hạng h2 lim Zq = 3exp {− } + T→0 4π IkT Ở nhiệt độ cao (T>>Tđ = h2 8π2 Ik (6.10) ) phân bố lượng rơ ta to theo mức xem liên tục theo trị số l Khi thay tổng (6.9) tích phân: ∞ ∞ h2 Tđ Zq = ∫ ( 2𝑙 + 1)exp {− 𝑙 (𝑙 + 1)} dl = ∫ ( 2𝑙 + 1)exp {− 𝑙(𝑙 + 1)} d𝑙 8π IkT T 0 ∞ Tđ Tđ 8π2 IkT ∫ exp{−x}dx = = = T T h2 (6.11) Ở nhiệt độ trung gian, tổng trạng thái có biểu thức phức tạp Biết tổng trạng thái rơ ta to, ta xác định lượng trung bình ̅ E = kT ∂lnZq ∂T (6.12) 6.2 Áp dụng thống kê Bose – Enstein để nghiên cứu hệ lượng tử Trong mục ta nghiên cứu áp dụng thống kê Bose – Enstein vào hệ hạt có spin nguyên hay khơng Đó hạt phơ tơn, mezon, ngun tử số electron nucleon chẵn, …, tất hạt gọi chung hạt Bozon chúng tuân theo thống kê Bose – Enstein Hệ hạt xem khí Bozon hay khí Bose Đối với khí Bose lí tưởng, theo công thức thống kê Bose – Enstein, số hạt trung bình có lượng khoảng từ ε đến ε + dε 90 Bài giảng Vật lí thống kê dn(ε) = dN(ε) , ε−μ }−1 exp { θ (6.12) dN(ε) số mức lượng khoảng từ ε đến ε + dε Theo quan điểm lượng tử, hạt Bozon chứa thể tích V xem sóng dừng De Broglie) Vì vậy, để xác định dN(ε) ta áp dụng công ⃗ từ k đến k +dk: thức xác định số sóng dừng có chiều dài vec tơ sóng k dN(k) = k dk V 2π2 (6.13) ⃗ , ta viết lại (6.13) dạng Từ hệ thức De Broglie: p ⃗ = ℏk p2 dp dN(p) = V 2π ℏ (6.14) Đối với hạt phi tương đối tính (v 0, biểu thức dấu tích phân vế phải (6.20) luôn dương với giá trị ε ∂μ >kT đường cong phân bố Fecmi có dạng “gần bậc thang” Khi chất khí Fecmi diễn tả phân bố gọi chất khí suy biến Ở nhiệt độ T = 0, chất khí Fecmi hồn tồn suy biến (vì đường phân bố lúc có dạng bậc thang) Tiêu chuẩn để đánh giá suy biến nhiệt độ suy biến T0 xác định hệ thức kT0 = ε0 94 Bài giảng Vật lí thống kê hay T0 = ε0 μ = k k (6.29) Ở nhiệt độ T>> T0 khí Fecmi có tính chất khí Boltzmann thơng thường Cịn nhiệt độ hạ xuống, tính chất bị biến đổi T< T0 có chất khí suy biến BÀI TẬP CHƯƠNG Hãy tính entropi lượng tự hệ dao động tử tuyến tính lượng tử Hãy tìm lượng tự do, nội entropi hệ rôtato lượng tử T>> Tq Hãy tìm lại cơng thức (6.14) dựa vào việc tìm thể tích khơng gian pha hạt tự thể tích V biết thể tích ngun tố khơng gian pha (ứng với trạng thái hạt) (2πℏ)3 Hãy tìm thăng giáng tương đối số hạt trung bình khí Bose khí Fecmi 95 Bài giảng Vật lí thống kê PHỤ LỤC Công thức Stirling ln(n!) ≈ n(lnn − 1) ≈ nlnn Nếu đặt = lne, ta công thức Stirling dạng thông thường n ln(n!) ≈ n(lnn − lne) ≈ nln e Suy n n n! ≈ ( ) ≈ nn e Công thức ln ln với n > 1010 (tức với hệ nhiều hạt) Cịn n khơng phải bé n n n n+1/2 n! ≈ √2πn ( ) ≈ √2πn ( ) e e Các tích phân Poison a ∞ I2n+1 = ∫ exp{−ax }x 2n+1 dx = ∞ I1 = ∫ exp{−ax }xdx = ∞ I3 = ∫ exp{−ax }x dx = b ∞ I2n = ∫ exp{−ax }x 2n dx = 2a … 2a2 (2n − 1)!! π √ 2n+1 n+1 a ∞ I0 = ∫ exp{−ax }dx = ∞ I2 = ∫ exp{−ax }x dx = n! 2an+1 π √ a π √ a3 c 96 Bài giảng Vật lí thống kê ∞ J2n+1 = ∫ exp{−ax }x 2n+1 dx = −∞ d ∞ J2n = ∫ exp{−ax }x 2n dx = 2I2n = −∞ (2n − 1)!! 𝜋 √ 2n 𝑎2𝑛+1 97 Bài giảng Vật lí thống kê TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Thanh Khiết, Giáo trình nhiệt động lực học vật lí thống kê, NXBĐHQGHN, 2008 [2] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng, Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999 [3] Đặng Quang Phúc, Vật lý thống kê, ĐHSP TP.HCM, 1999 [4] Nguyễn Hữu Mình, Bài tập Vật lý lý thuyết, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998 [5] Đỗ Xuân Hội, Vật lý thống kê nhiệt động lực học thống kê, ĐHSP TP HCM, 2005 98 ... 98 Bài giảng Vật lí thống kê LỜI NĨI ĐẦU Bài giảng Vật lí thống kê biên soạn dành cho sinh viên sư phạm Vật lí, nội dung giảng dựa theo giáo trình Nhiệt động lực học Vật lí thống kê Vũ Thanh... phương pháp thống kê dựa lý thuyết xác suất Bài giảng Vật lí thống kê Như vậy, Vật lý thống kê ngành vật lý nghiên cứu hệ nhiều hạt dùng phương pháp thống kê, hay nói khác đi, Vật lý thống kê đại... dx 23 Bài giảng Vật lí thống kê CHƯƠNG LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ 2.1 Quy luật tính động lực quy luật tính thống kê 2.1.1 Quy luật tính động lực Trong giai đoạn đầu phát triển vật lý