Bài giảng Cơ học lượng tử - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Cơ học lượng tử được biên soạn với tinh thần chú trọng đến các ý nghĩa vật lý nhiều hơn các tính toán phức tạp, nhằm cung cấp cho người đọc các kiến thức nền tảng về cơ học của thế giới vi mô cùng với một bức tranh toàn cảnh về sự phát triển của lý thuyết lượng tử.

TRƯỜNG ĐH PHẠM VĂN ĐỒNG ĐỖ MƯỜI BÀI GIẢNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Lưu hành nội Quảng Ngãi, tháng 7/2019 Lời nói đầu Cuốn giảng học lượng tử biên soạn cho sinh viên sư phạm môn Vật lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng biên soạn với tinh thần trọng đến ý nghĩa vật lý nhiều tính tốn phức tạp, nhằm cung cấp cho người đọc kiến thức tảng học giới vi mơ với tranh tồn cảnh phát triển lý thuyết lượng tử Tài liệu biên soạn giảng sách học lượng tử tác giả (GS.TSKH Lê Văn Hoàng [1], David J Griffiths [2]) Người biên soạn chân thành cảm ơn ghi nhận ý kiến quý báu đồng nghiệp để tài liệu hồn thiện Mọi góp ý xin gửi địa chỉ: dmuoi@pdu.edu.vn, phone: 0985949460 Tp Quảng Ngãi, tháng 07 năm 2019 Người biên soạn Đỗ Mười MỤC LỤC LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ 1.1 Bức xạ vật đen lý thuyết Planck 1.1.1 Khái niệm xạ vật đen 1.1.2 Lý thuyết cổ điển giải thích xạ vật đen 1.1.3 Lý thuyết lượng tử lượng Max Planck 1.1.4 Ý nghĩa lý thuyết Planck 10 1.2 Hiệu ứng quang điện lý thuyết Einstein 11 1.2.1 Hiệu ứng quang điện 11 1.2.2 Lý thuyết cổ điển 12 1.2.3 Lý thuyết Einstein 12 1.2.4 Ý nghĩa lý thuyết Einstein 13 1.3 Quang phổ vạch nguyên tử lý thuyết Bohr 13 1.3.1 Quang phổ vạch 13 1.3.2 Sự bất lực vật lý cổ điển 15 1.3.3 Lý thuyết Bohr 15 1.3.4 Ý nghĩa lý thuyết Bohr 17 1.4 Hiệu ứng Compton 17 1.4.1 Hạt photon hay sóng điện từ 17 1.4.2 Thí nghiệm tán xạ Compton 18 1.4.3 Giải thích hiệu ứng Compton 19 1.4.4 Ý nghĩa hiệu ứng Compton 20 1.5 Kết luận 20 LƯỠNG TÍNH SĨNG – HẠT 23 2.1 Giả thuyết de Broglie 23 2.1.1 Lịch sử phát triển ý tưởng 23 2.1.2 Lưỡng tính sóng – hạt 24 2.1.3 Ý nghĩa lịch sử giả thuyết de Broglie 25 2.2 Thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng electron 26 2.2.1 Các mốc lịch sử 26 2.2.2 Thí nghiệm Davisson – Germer 26 2.2.3 Kết thí nghiệm giải thích sóng electron 27 HÀM SĨNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH SHRӦDINGER 29 3.1 Khái niệm hàm sóng 29 3.2 Phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian 30 3.2.1 Phương trình Schrӧdinger cho hạt tự 30 3.2.2 Phương trình Schrӧdinger cho hạt vi mơ 32 3.3 Phương trình Schrӧdinger dừng 33 3.4 Ý nghĩa thống kê hàm sóng 34 NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI 36 4.1 Giao thoa electron 36 4.2 Phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái vi mô 38 4.3 So sánh nguyên lý chồng chất lượng tử với cổ điển 39 CÁC CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU 41 5.1 Hạt chuyển động hố 41 5.1.1 Hố vng góc thành cao vơ hạn 41 5.1.2 Hạt chuyển động qua rào dạng bậc thang 44 5.1.3 Dao động tử điều hòa 48 5.2 Phương pháp đại số giải phương trình Schrӧdinger 54 HÀM SĨNG, TỐN TỬ VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 58 6.1 Hàm sóng 58 6.2 Toán tử 60 6.2.1 Khái niệm 60 6.2.2 Các phép tính tốn tử 60 6.2.3 Toán tử Hermite 61 6.2.4 Bài toán hàm riêng trị riêng toán tử Hermite 61 6.3 Mô tả đại lượng vật lý học lượng tử 62 6.3.1 Tiên đề đại lượng vật lý 62 6.3.2 Tiên đề tương ứng 63 6.4 Sự phụ thuộc đại lượng vật lý vào thời gian đại lượng bảo tồn 64 6.4.1 Tốn tử đạo hàm đại lượng vật lý theo thời gian 64 6.4.2 Các đại lượng bảo toàn học lượng tử 65 ĐO ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ VI MÔ 66 7.1 Đo đại lượng vật lý 66 7.2 Giá trị trung bình đại lượng vật lý 66 7.3 Hai đại lượng vật lý đồng thời xác định 67 7.4 Hệ thức bất định Heisenberg 67 7.5 Ví dụ ứng dụng hệ thức bất định 68 7.5.1 Động tối thiểu hạt hố 68 7.5.2 Phát khối lượng hạt pion 69 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM – NGUYÊN TỬ HYDRO 71 8.1 Moment động lượng quỹ đạo 71 8.1.1 Toán tử moment động lượng quỹ đạo 71 8.1.2 Tọa độ cầu 72 8.2 Hàm riêng, trị riêng toán tử moment động lượng quỹ đạo 73 8.3 Chuyển động trường xuyên tâm 78 8.4 Nguyên tử Hydro 79 8.4.1 Phương trình Schrӧdinger 79 8.4.2 Hàm bán kính 82 8.4.3 Năng lượng gián đoạn 86 8.4.4 Hàm sóng 87 8.4.5 Mẫu Bohr qua lý thuyết lượng tử 89 SPIN 92 9.1 Spin 1/2 93 9.2 Electron từ trường 97 9.3 Phép cộng momen động lượng: 102 LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ Vào nửa cuối kỷ XIX, tiến kỹ thuật đo đạc cho phép tiến hành nhiều thí nghiệm hệ vi mơ (ngun tử, phân tử) Từ đó, loạt hiệu ứng vật lý phát khơng thể giải thích lý thuyết cổ điển Điều đòi hỏi đời lý thuyết cho học giới vi mô, sau gọi Cơ học lượng tử Tuy nhiên, trước đời lý thuyết lượng tử hoàn chỉnh, số ý tưởng đưa để giải thích hiệu ứng Các ý tưởng mang tính đột phá chưa vào chất vật lý giới vi mơ, giải thích trọn vẹn kết thực nghiệm Chính vậy, người ta gọi chúng lý thuyết tiền lượng tử Bài trình bày hiệu ứng vật lý với lý thuyết tiền lượng tử để giải thích chúng, bao gồm: Bức xạ vật đen lý thuyết lượng tử lượng Max Planck; Hiệu ứng quang điện lý thuyết hạt ánh sáng (photon) Albert Einstein; Quang phổ vạch mơ hình ngun tử Niels Bohr với lý thuyết lượng tử quỹ đạo Ngồi ra, trình bày hiệu ứng tán xạ Compton, phát năm 1923 tái khẳng định lý thuyết photon Một kết thực nghiệm quan trọng khác nhiệt dung riêng chất rắn nhiệt độ thấp cần lý thuyết lượng tử để giải thích 1.1 Bức xạ vật đen lý thuyết Planck 1.1.1 Khái niệm xạ vật đen Do dao động nhiệt hạt mang điện cấu tạo nên vật chất, vật thể có khuynh hướng hấp thụ xạ sóng điện từ Sự phụ thuộc cường độ xạ vào bước sóng (tần số) tạo nên phổ xạ Phổ xạ nhiệt vật thể có dạng liên tục với cấu trúc phổ phụ thuộc vào nhiệt độ vật Một vật thể vừa xạ vừa hấp thụ, đồng thời phản xạ xạ tới bề mặt Các vật thể hấp thụ hoàn toàn xạ tới gọi vật đen đơi cịn gọi vật đen tuyệt đối để nhấn mạnh hấp thụ hoàn toàn Vật đen vật hấp thụ hoàn toàn tất xạ điện từ đến bề mặt vật Các vật thể phát xạ trở lại môi trường xung quanh xạ điện từ, tạo nên quang phổ đặc trưng cho nhiệt độ vật gọi xạ vật đen Do vậy, ta phải hiểu vật đen khơng có nghĩa có màu đen Khi nhiệt độ cao, vật đen có khuynh hướng xạ điện từ vùng bước sóng khả kiến, tạo nên màu sáng cho vật đen Mặt trời ví dụ vật đen tự nhiên Trong phịng thí nghiệm, người ta thường sử dụng hốc với lỗ nhỏ làm mơ hình vật đen Các tia xạ vào hốc có xác suất nhỏ để quay trở lại lỗ ngồi sau phản xạ thành hốc tất tia xạ vào hốc bị hấp thụ Mơ hình thuận tiện để nghiên cứu phổ xạ vật đen Việc nghiên cứu xạ vật thể quan trọng tiến hành thực nghiệm lẫn lý thuyết vào nửa sau kỷ XIX Vào thời gian này, kiến thức cấu trúc nguyên tử, phân tử vật chất hạn hẹp với mơ hình Thompson nghiên cứu sâu cần thiết Bức xạ vật đen công cụ tốt để tìm hiểu chất cấu tạo vật chất Khi nghiên cứu thực nghiệm phát xạ vật đen, người ta thu đường cong thực nghiệm biểu diễn phụ thuộc mật độ lượng xạ vào bước sóng Hình 1.1 biểu diễn phổ xạ vật đen ứng với nhiệt độ khác Dựa vào định luật vật lý cổ điển, nhà khoa học nổ lực tìm kiếm cơng thức mô tả dúng phân bố lượng xạ thu từ thực nghiệm, nhiên không thành cơng hồn tồn Hình 1.1: Phổ xạ nhiệt vật đen ứng với nhiệt độ khác 1.1.2 Lý thuyết cổ điển giải thích xạ vật đen Phần điểm qua lý thuyết cổ điển đưa cuối kỷ XIX, nhiều thành tựu xạ vật đen có ý nghĩa định luật StefanBoltzmann mật độ xạ nhiệt phụ thuộc bậc bốn vào nhiệt độ vật đen tồn miền thay đổi bước sóng; định luật Wien dịch chuyển nhiệt độ cực đại theo bước sóng Tuy nhiên, để giải thích phân bố xạ nhiệt theo bước sóng nhiệt độ cố định, lý thuyết cổ điển định luật Rayleigh-Jeans, định luật Wien phân bố xạ nhiệt không thành công Trước tiên ta xét công thức Wien   , T   c1  c  exp      T  1.1 đưa vào năm 1896 để mô tả mối quan hệ mật độ lượng xạ vật đen bước sóng xạ hệ trạng thái cân nhiệt động lực với nhiệt độ T Ở đây,   , T  d lượng xạ đơn vị thể tích hốc (vật đen) với bước sóng nằm khoảng ,   d  Hệ số c1 ,c2 số Wien chọn cho phù hợp với số liệu thực nghiệm Paschen cơng bố trước đó, năm 1896 Định luật phân bố xạ theo bước sóng Wien xây dựng dựa lập luận theo lý thuyết cổ điển số phép gần đúng, cơng thức cịn gọi công thức xấp xỉ Wien Công thức phù hợp với thực nghiệm miền bước sóng ngắn, nhiên khơng cịn phù hợp với thực nghiệm cho vùng bước sóng dài tiến hành sau Điều minh họa Hình 1.2 Hình 1.2: Cường độ xạ vật đen theo định luật Wien, so sánh với số liệu thực nghiệm cho thấy có phù hợp tốt vùng bước sóng ngắn Sau số thí nghiệm đo phân bố cường độ xạ cho vùng bước sóng dài khơng phù hợp công thức Wien, Rayleigh sử dụng lý thuyết xạ điện từ cổ điển phân bố Boltzmann để thu công thức phân bố xạ vùng bước sóng dài Sau Jeans phát triển lý thuyết Rayleigh thu công thức   , T   8 k BT 4 1.2  với k B số Boltzmann Định luật Rayleigh-Jeans cho kết phù hợp với thực nghiệm vùng bước sóng dài hồn tồn thất bại miền bước sóng ngắn, điều gọi khủng hoảng vùng tử ngoại 1.1.3 Lý thuyết lượng tử lượng Max Planck Planck đưa giả thuyết lượng vật đen phát xạ không liên tục mà gián đoạn theo lượng tử để tìm phân bố xạ vật đen theo bước sóng Ơng thu cơng thức 2hc2 I  , T     hc  exp   1  k B T  1.3 Trong h,c, k B số Planck, vận tốc ánh sáng chân không, số Boltzmann I  , T  cường độ xạ, lượng phát xạ đơn vị diện tích bề mặt vật đen đơn vị thời gian theo đơn vị góc khối tính đơn vị bước sóng lân cận bước sóng  Công thức liên hệ cường độ xạ với mật độ lượng điện từ   , T  hốc trạng thái cân nhiệt động lực sau I  , T   c   , T  4 1.4  Có thể hiểu cách định tính cơng thức rằng: đơn vị thời gian, xạ qua đơn vị diện tích bề mặt vật đen chứa khối trụ tích tốc độ ánh sáng c  đơn vị thời gian  đơn vị diện tích Do đó, tổng lượng c    Năng lượng phát xạ hướng để tính mật độ lượng, ta chia cho tổng góc khối 4 Cơng thức 1.3 hồn tồn phù hợp với thực nghiệm tồn miền thay đổi bước sóng Ngồi ra, trường hợp bước sóng ngắn:   hc  exp    k B T  hc / k BT , có xấp xỉ nên cơng thức Planck trở thành công thức Wien 1.1 Trường hợp ngược lại  hc / k BT , ta sử dụng khai triển Taylor giữ lấy số hạng  hc  hc exp    1 k B T  k B T  cơng thức Planck hồn tồn trùng khớp với công thức Rayleight-Jeans Điều minh hịa Hình 1.3 Planck sử dụng lý thuyết nhiệt động lực học, thơng qua tính tốn entropy để thu công thức phân bố xạ 1.3 Ở đây, ta chứng minh theo cách trình bày nhiều sách đại vật lý nguyên tử Ta có số sóng dừng đơn vị thể tích hốc với bước sóng từ  đến   d 8d /  mật độ lượng hốc tương ứng   , T   8  4 1.5 Trong  lượng trung bình sóng dừng với bước sóng  Ta tính lượng trung bình theo quan điểm: sóng điện từ ứng với bước sóng  cho trước, phát dao động nhiệt ion mang điện với biên độ khác nhau, tập hợp dao động điện từ trạng thái cân nhiệt động lực với lượng có giá trị thay đổi liên tục từ không đến vô cùng:     Sử dụng phân bố Boltzmann, ta tính      exp   k     d BT     0 exp   k BT  d  k BT 1.6  Câu hỏi tập 9.1 Trạng thái spin electron mô tả hàm sóng spin 1  i    i    A a Hãy chuẩn hóa hàm sóng tính xác suất để đo trạng thái spin hướng lên b Tính giá trị trung bình S x ,S y ,S z 9.2 Chứng minh ˆs1  1 1  , ˆs1   , ˆs2   i  , ˆs2    i   2 2 9.3 Chứng minh     lˆ  ilˆ  Y lˆYlm  lˆ1  ilˆ2 Ylm    l  m l  m  1Yl ,m1 ; lˆYlm  l  m  l  m  1Yl ,m1 lm  9.4 Một electron nằm từ trường điều hòa B  B0 cos t  kˆ ,với B0 , số a Hãy xây dựng ma trận Hamltonian cho hệ b Tìm xác suất để đo S x ta thu giá trị  / 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Văn Hoàng, Bài giảng Cơ học lượng tử, NXB Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, 2018 David J Griffiths, Introduction to quantum mechanics, Prentice Hall, 1995 Hồng Dũng, Nhập mơn Cơ học lượng tử, , NXB Giáo dục, 1999 Phan Đình Kiển, Giáo trình Cơ học lượng tử, NXB Đại học Sư phạm, 2005 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 A.C.Phillips, Introduction to Quantum Mechanics, John Wiley & Son, 2002 107 108