Bài giảng vật lí thống kê đh phạm văn đồng

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG - BÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊ NGUYỄN THỊ KIỀU THU Quảng Ngãi, 06/2018 Bài giảng Vật lí thống kê MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ – CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Đối tượng phương pháp vật lý thống kê 1.2 Các biến cố ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên 1.3 Khái niệm xác suất 1.4 Các tính chất xác suất Cơng thức cộng nhân xác suất 1.5 Trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên 12 1.6 Các ví dụ định luật phân bố đại lượng ngẫu nhiên 15 1.7 Hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên 19 BÀI TẬP CHƯƠNG 22 CHƯƠNG LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ 24 2.1 Quy luật tính động lực quy luật tính thống kê 24 2.2 Phương pháp vật lý thống kê 26 2.3 Việc biễu diễn hệ không gian pha 28 2.4 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái 31 2.5 Định lí Liouville bảo tồn thể tích pha Cân thống kê 32 BÀI TẬP CHƯƠNG 38 CHƯƠNG III HÀM PHÂN BỐ GIBBS 39 3.1 Phân bố vi tắc Gibbs 39 3.2 Phân bố tắc Gibbs 40 3.3 Ý nghĩa vật lí thơng số phân bố tắc, thiết lập phương trình nhiệt động lực học 46 3.4 Entrơpi mối liên hệ với xác suất trạng thái 51 3.5 Phân bố Maxwell – Boltzmann 53 3.6 Phân bố tắc lớn Gibbs 56 BÀI TẬP CHƯƠNG 60 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS VÀO CÁC HỆ THỰC 61 4.1 Biểu thức hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái 61 4.2 Tích phân trạng thái hàm nhiệt động khí lí tưởng 62 4.3 Áp dụng phân bố tắc vào khí thực 65 4.4 Định lí phân bố động theo bậc tự 71 BÀI TẬP CHƯƠNG 74 CHƯƠNG CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 75 Bài giảng Vật lí thống kê 5.1 Các hệ lượng tử tính chất chúng 75 5.2 Cách mô tả hệ lượng tử 77 5.3 Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 79 5.4 Áp dụng phương pháp Gibbs vào hệ lượng tử 80 BÀI TẬP CHƯƠNG 86 CHƯƠNG ÁP DỤNG CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 87 6.1 Dao động lượng tử rôtato lượng tử 87 6.2 Áp dụng thống kê Bose – Enstein để nghiên cứu hệ lượng tử 90 6.3 Áp dụng thống kê Fecmi – Dirrac để nghiên cứu hệ lượng tử 93 BÀI TẬP CHƯƠNG 95 PHỤ LỤC 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 Bài giảng Vật lí thống kê LỜI NĨI ĐẦU Bài giảng Vật lí thống kê biên soạn dành cho sinh viên sư phạm Vật lí, nội dung giảng dựa theo giáo trình Nhiệt động lực học Vật lí thống kê Vũ Thanh Khiết Bài giảng gồm có chương: Chương 1: trình bày sơ lược đối tượng phương pháp Vật lí thống kê Chương 2: trình bày nội dung vật lí khái niệm luận đề Vật lí thống kê, trạng thái vi mô, vĩ mô, không gian pha… Chương 3: giới thiệu hàm phân bố dừng, thiết lập phương trình nhiệt động lực học, qua nêu lên mối quan hệ chặt chẽ khái niệm nhiệt động lực học nhiệt độ, lượng tự do, entropi…với hàm phân bố thống kê, thấy rõ ý nghĩa vật lí sâu sắc khái niệm Chương 4: giới thiệu áp dụng phân bố tắc vào việc nghiên cứu tính chất hệ thực: khảo sát phương trình trạng thái khí lí tưởng khí thực, chứng minh định lí phân bố động theo bậc tự áp dụng định lí… Chương 5: nêu lên sở thống kê lượng tử, tìm cơng thức thống kê lượng tử: thống kê Bose – Einstein Fecmi – Dirrac, nêu lên điều kiện áp dụng thống kê Maxwell – Boltzmann Chương 6: trình bày áp dụng thống kê lượng tử để nghiên cứu hệ thực tượng ngưng tụ khí Bose suy biến khí Fecmi Mặc dù cố gắng chắn giảng khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cơ, bạn đồng nghiệp em sinh viên Xin chân thành cảm ơn NGUYỄN THỊ KIỀU THU Bài giảng Vật lí thống kê CHƯƠNG ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ – CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Đối tượng phương pháp vật lý thống kê Cũng Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê nghiên cứu hệ bao gồm số lớn hạt nguyên tử, phân tử, ion hạt khác mà người ta gọi hệ nhiều hạt hay hệ vi mô, phương pháp khác Nhiệt động lực học nghiên cứu qui luật tính chuyển động nhiệt hệ cân hệ chuyển trạng thái cân bằng, sau khái qt hóa qui luật tính cho hệ khơng cân Cơ sở Nhiệt động lực học nguyên lí Các nguyên lí tổng qt hóa kinh nghiệm lâu đời nhân loại xác nhận thực nghiệm Với cơng cụ giải tích tốn học, Nhiệt động lực học rút hệ thức liên hệ đại lượng đặc trưng cho tính chất khác vật chất Còn Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mô hệ mà ta khảo sát với đặc tính định luật chuyển động hạt vi mơ cấu thành hệ Tóm lại, Vật lý thống kê có hai nhiệm vụ bản: + Tìm đặc tính vĩ mơ hệ dựa tính chất biết hạt tạo thành hệ; + Và ngược lại tìm đặc tính hạt cấu thành hệ dựa vào tính chất vĩ mô hệ Hầu hết vật thể vật lý gồm số lớn hạt, điều đặt điều kiện đặc biệt cho phương pháp nghiên cứu vật thể vật lý Chúng ta không theo dõi chuyển động hạt riêng lẻ, mà ta nghiên cứu hạt theo qui luật thống kê Như vậy, lý thuyết phân tử vật chất lý thuyết thống kê Các qui luật thống kê cho phép ta xác định trị trung bình đại lượng xác suất trị số tùy ý Do đó, phương pháp Vật lý thống kê phương pháp thống kê dựa lý thuyết xác suất Bài giảng Vật lí thống kê Như vậy, Vật lý thống kê ngành vật lý nghiên cứu hệ nhiều hạt dùng phương pháp thống kê, hay nói khác đi, Vật lý thống kê đại lý thuyết thống kê hệ nhiều hạt Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ với Nhiệt động lực học Khi hệ vĩ mơ nằm trạng thái cân định luật mà ta thu Vật lý thống kê đại lượng trung bình trùng với định luật nhiệt động lực học Vì người ta gọi Vật lý thống kê hệ cân Nhiệt động lực học thống kê 1.2 Các biến cố ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1 Các tượng ngẫu nhiên Hiện tượng ngẫu nhiên tượng xảy không xảy ra, xảy cách bất ngờ trước kết chúng Ví dụ: + Sự phân rã hạt nhân nguyên tử; + Sự xạ photon từ nguyên tử; + Sự bùng nổ Mặt trời, vụ nổ sao, va chạm phân tử… Mỗi tượng ngẫu nhiên gây hay nhiều nguyên nhân Tuy nhiên luôn theo dõi nguyên nhân đưa đến tượng Vì tượng ngẫu nhiên, thực chúng nguyên nhân gây 1.1.2 Các biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên khái niệm rộng tượng ngẫu nhiên hiểu theo cách thông thường Theo nghĩa thông thường, biến cố ngẫu nhiên biểu dấu hiệu hay dấu hiệu khác, bao gồm tính chất (hoặc đặc tính) hay tính chất khác trình, hay tượng ngẫu nhiên Ví dụ: Hiện tượng ngẫu nhiên va chạm phân tử biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên việc phân tử có vận tốc xác định Bài giảng Vật lí thống kê có phương chuyển động xác định; số phân tử đơn vị thể tích lượng chúng… Khi nói đến biến cố ngẫu nhiên khơng nên cho chúng không nguyên nhân gây khơng phụ thuộc vào Biến cố ngẫu nhiên xuất kết tác dụng số lớn nguyên nhân tồn thực tế Tính chất ngẫu nhiên biến cố phạm trù khách quan, không phụ thuộc vào hiểu biết hay không hiểu biết nguyên nhân gây chúng Ta phân loại biến cố ngẫu nhiên thành hai loại biến cố xảy lần biến cố lặp lại Biến cố xảy lần (biến cố riêng lẻ) biến cố, là, nguyên tắc chúng xảy lần, là, biến cố mà ta chúng xảy lần ta khảo sát chúng phạm vi khơng gian nhỏ thời gian nhỏ Thí dụ: * Sau khoảng thời gian ngắn (thời gian khảo sát), nguyên tử phát photon * Việc hạt sơ cấp qua buồng Uyn – sơn (Wilson) tượng thể tích buồng nhỏ thời gian phát sáng ngắn Đối với biến cố riêng lẻ ta khó đốn trước vị trí thời gian xảy Biến cố lặp lại biến cố xảy nhiều lần xảy với đối tượng tương tự ta quan sát chúng phạm vi không gian lớn thời gian dài Ví dụ: * Sự cháy sáng thiên hà, phân rã hạt nhân nguyên tử urani, phát quang chất khí… * Cùng phân tử khí khoảng thời gian dài va chạm nhiều lần với thành bình…Những biến cố gọi biến cố đồng loạt hay biến cố đồng Thí nghiệm chứng tỏ biến cố đồng đặc trưng qui tắc qui luật riêng chúng Những qui luật tính biểu số lớn biến cố đồng gọi qui luật thống kê Việc nghiên cứu qui luật đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất lý thuyết thống Bài giảng Vật lí thống kê kê Đối với biến cố đồng loạt, đồng lặp lại, người ta đưa vào khái niệm xác suất xuất chúng 1.1.3 Các đại lượng ngẫu nhiên Việc thơng số có giá trị xác định, coi biến cố ngẫu nhiên Những đại lượng, mà trị số chúng phụ thuộc vào trường hợp ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên Thí dụ: Xét đại lượng vận tốc phân tử chất khí * Biến cố ngẫu nhiên thể chỗ: phân tử định có vận tốc cho Thực vậy, giá trị vận tốc phân tử chất khí phụ thuộc vào va chạm phân tử với phân tử khác với thành bình * Đối với phân tử, va chạm ngẫu nhiên Và va chạm ngẫu nhiên đó, vận tốc biến đổi cách ngẫu nhiên, vận tốc đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị gián đoạn hay liên tục Một số đại lượng ngẫu nhiên có giá trị liên tục gián đoạn Thí dụ: + Mơmen động lượng nhận giá trị gián đoạn; + Vận tốc phân tử khí nhận vơ số giá trị từ không đến vô cực (liên tục) + Năng lượng electron nguyên tử có trị số gián đoạn, cịn lượng electron trạng thái tự có trị số bất kì, có nghĩa biến đổi liên tục Nếu x đại lượng ngẫu nhiên hàm  (x) đại lượng ngẫu nhiên Thí dụ: Nếu vận tốc v phân tử đại lượng ngẫu nhiên động Wđ đại lượng ngẫu nhiên động hàm vận tốc: Wđ  mv 2 Lý thuyết xác suất, nghiên cứu biến cố ngẫu nhiên, mà lại nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên tương ứng với chúng Bài giảng Vật lí thống kê Để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên cần phải biết giá trị biết xác suất giá trị đó, có nghĩa cần phải nghiên cứu định luật phân bố, hoăc đơn giản nghiên cứu phân bố đại lượng ngẫu nhiên 1.3 Khái niệm xác suất 1.3.1 Xác suất biến cố 1.3.1.1 Định nghĩa toán học Xác suất biến cố giới hạn tỉ số số lần ni biến cố xảy tổng cộng N lần thử (biến cố thuận lợi) chia cho số biến cố tổng cộng ni N  N Wi  lim (1.1) 1.3.1.2 Định nghĩa vật lí Trong vật lí, đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên theo thời gian nên xác suất trạng thái hệ xác định theo công thức: t ; T  T Wi  lim (1.2) t thời gian lưu lại hệ trạng thái cho, T thời gian quan sát tổng cộng 1.3.2 Hàm phân bố 1.3.2.1 Định nghĩa Đối với đại lượng ngẫu nhiên có trị số khác (trị số biến đổi cách gián đoạn) biến cố ngẫu nhiên trường hợp đại lượng ngẫu nhiên có trị số đó, xác suất biến cố trường hợp xác suất xác định Đối với đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục xác suất riêng biệt đại lượng ngẫu nhiên có trị số xác định khơng Vì vây, có nghĩa ta nói xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên có trị số phân bố khoảng từ x đến x  dx Gọi xác suất tìm thấy đại lượng x khoảng x W (x) , xét khoảng vô nhỏ dx dW(x) Bài giảng Vật lí thống kê Xác suất dW(x) cho đại lượng ngẫu nhiên có trị số nằm khoảng từ x đến x  dx sẽ: - phụ thuộc vào số x đó, nghĩa hàm f(x); - tỉ lệ với chiều rộng khoảng dx  dW(x) = f(x)dx; (1.3) f(x) gọi hàm phân bố xác suất, cho biết xác suất khoảng dx phân bố phụ thuộc vào đại lượng x Ứng với đơn vị chiều rộng khoảng biến thiên dW(x) = f(x)dx, f(x) cịn gọi mật độ xác suất f(x)  hay dW(x) dx (1.4) 1.3.2.2 Đồ thị biễu diễn hàm phân bố Theo công thức (1.3), xác suất f(x) dW(x) xác định diện tích phân kẻ gạch có đáy dx Trị số đại lượng ngẫu nhiên x dW(x) tương ứng với cực đại hàm gọi trị số có xác suất lớn hay trị số x nhiên dx Hình 1.1.Đồ thị hàm phân bố 1.4 Các tính chất xác suất Cơng thức cộng nhân xác suất 1.4.1 Các tính chất xác suất Theo định nghĩa (1.1), ta suy  W   n i  N Vậy xác suất đại lượng không thứ nguyên, số không âm lớn 1, biểu thị phân số, không, Nếu W =  phép thử phép thử thuận lợi với biến cố cho biến cố chắn Thí dụ ta gieo xúc xắc việc gieo trúng số 1, 2, 3, 4, biến cố chắn Nếu W =  biến cố gọi biến cố khơng thể có Bài giảng Vật lí thống kê 1.4.2 Định lí cộng xác suất 1.4.2.1 Định lí Giả sử có hai biến cố A B khơng thể xảy đồng thời (hai biến cố xung khắc) Xác suất để biến cố A biến cố B xảy (biến cố phức tạp) là: nA  nB ; N N W(A hoăo B)  lim đó, N tổng cộng phép thử nA, nB số lần xảy biến cố A B tương ứng Theo định nghĩa xác suất (1.1): W (A)  lim N  nA n ; W (B)  lim B N   N N Nên W(A B) = W(A) + W(B) (1.5) Mở rộng: W(A B C,…hoặc K) = W (A) + W(B) + …+W(K) Trong trường hợp hàm phân bố liên tục (đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục) thì: dW(x1 x2) = dW(x1) + dW(x2) = f(x1)dx1 + f(x2)dx2; đó, dW(x1) xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nằm khoảng từ x đến x1+dx1, dW(x2) xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nằm khoảng từ x2 đến dx2 Lúc đó, theo định lí cộng xác suất xác suất biến cố cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục có trị số nằm khoảng từ x1 đến x2 là: x2 W (x1 đến x2)   ΔW(x i )   dW(x) i (1.6) x1 1.4.2.2 Hệ a Khái niệm hệ đủ biến cố Nếu biến cố A, B, C, …tạo thành hệ đủ W(A) + W(B) +…+… = (1.7) 10 Bài giảng Vật lí thống kê Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục hệ đủ biến cố có trị số toàn khoảng biến thiên đại lượng từ -  đến +  Và xác suất tìm đại lượng ngẫu nhiên tồn giá trị biến cố chắn Vì vậy:      dW(x)   f(x)dx 1 (1.8) Biểu thức (1.8) gọi điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố b Nếu hai biến cố xung khắc A B tạo thành hệ đủ biến cố biến cố A đối lập (xung đối) với biến cố B Xác suất biến cố xác định theo xác suất biến cố đối lập theo công thức: W(A)   W(B) (1.9) 1.4.3 Định lí nhân xác suất Trong trường hợp biến cố phức tạp xảy với điều kiện có biến cố khác xảy xác suất biến cố phức tạp gọi xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện xảy biến cố A với điều kiện có B xảy xác định theo công thức: W (A với điều kiện có B) = W(A).W(B) Tương tự vậy, xác suất biến cố phức tạp cho đồng thời xảy hai biến cố độc lập A B xác định tích xác suất W(A) W(B) biến cố độc lập: W (A B) = W(A).W(B) Mở rộng cho trường hợp có nhiều biến cố độc lập W (A B, C…, K) = W(A).W(B) W(C)…W(K) (1.10) Trong trường hợp đại lượng liên tục x y độc lập xác suất biến cố phức tạp cho đại lượng ngẫu nhiên x có trị số khoảng x đến x + dx đồng thời đại lượng ngẫu nhiên y có trị số khoảng y + dy xác định tích xác suất: dW(x, y) = dW(x).dW(y) = f(x)dxf(y)dy = f(x)f(y)dxdy (1.11) 11 Bài giảng Vật lí thống kê Tích hai hàm f(x)f(y) xem hàm phân bố hai đại lượng ngẫu nhiên 1.5 Trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên 1.5.1 Trị trung bình 1.5.1.1 Định nghĩa Xét đại lượng ngẫu nhiên x có: - Trị số x1 xuất n1 lần N lần thử, nghĩa x có trị số x1 với xác suất W1; - Trị số x2 xuất n2 lần N lần thử, nghĩa x có trị số x2 với xác suất W2;… - Trị số xk xuất nk lần N lần thử, nghĩa x có trị số xk với xác suất Wk Khi tổng trị số đại lượng ngẫu nhiên N lần thử là: x1n1 + x2n2 +…+ xknk Trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên x xác định: x x 1n  x n  x k n k N (1.12) Khi N tăng lên trị trung bình đại lượng x dần tiến tới giới hạn xác định a N lớn gần a: n1 n n  x lim   x k lim k N  N N  N N  N a  lim x  x lim N  k  x W1  x W2   x k Wk   x i Wi (1.13) i 1 Đẳng thức biểu thị số lớn hay định lí Chêbưxep nói rằng: trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên dần tới số không đổi số phép đo (thử) lớn Trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên x biến thiên liên tục thì:  x  xf(x)dx (1.14)  1.5.1.2 Tính chất 12 Bài giảng Vật lí thống kê ̅ = A = const; a Trị trung bình đại lượng khơng đổi nó: A b Trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên môt đại lượng không đổi: x̅ = const; c Trị trung bình tổng đại lượng ngẫu nhiên tổng trị trung bình đại lượng đó: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ x + y + z = x̅ + y̅ + z̅; (1.15) d Trị trung bình tích đại lượng ngẫu nhiên độc lập tích trị trung bình đại lượng đó: ̅̅̅̅̅̅̅̅ xyz t = x̅y̅z ̅ t̅; (1.16) e Trị tồn phương trung bình đại lượng ngẫu nhiên - Đối với đại lượng có trị số gián đoạn: k x   x i2 Wi (1.17) i 1 - Đối với đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục:   x f(x)dx x2  (1.18)  Trị tồn phương trung bình đại lượng ngẫu nhiên luôn dương f Trị trung bình hàm tùy ý F(x) đại lượng ngẫu nhiên x Gọi F(x) hàm đại lượng ngẫu nhiên x Trong trường hợp phân bố gián đoạn: k F   F(x i )Wi (1.19) i 1 Trong trường hợp phân bố liên tục: F      F(x)dW(x)   F(x)f(x)d(x) (1.20) 1.5.2 Độ lệch so với trị trung bình – Phương sai – Độ thăng giáng Độ lệch đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình cho biết phân bố đại lượng ngẫu nhiên gần trị trung bình trường hợp trị trung bình trị tồn phương trung bình chưa đủ để đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên Độ lệch so với trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên: 13 Bài giảng Vật lí thống kê Δx1  (x1  x), Δx  (x  x), , Δx k  (x k  x) Trị trung bình độ lệch đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình nó: x  Thật vậy: Δx  (x1  x)W1  ( x  x)W2   (x k  x)Wk  x1W1  x W2   x k Wk  x(W1  W2   Wk )  x  x.1  Δx   (x  x)f(x)dx   xf(x)dx  x  f(x)dx  x  x.1  Vì trị trung bình độ lệch đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình khơng nên để đặc trưng cho phân bố đại lượng ngẫu nhiên gần trị trung bình nó, người ta thường sử dụng độ lệch quân phương hay trị trung bình bình phương độ lệch, gọi phương sai Phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định theo công thức: k (x)   (x i - x ) Wi ; i 1 (x)   (x - x ) f(x)dx x  ( x  x )2  x  x Ta có: Độ thăng giáng độ lệch quân phương đại lượng ngẫu nhiên Δx  k  (x i 1 i  x ) Wi Δx   (x  x) f(x)dx Độ thăng giáng tương đối:  x x (1.21) Như biết định luật phân bố đại lượng ngẫu nhiên, ta xác định tất đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên: trị trung bình, trị tồn phương trung bình, trị trung bình hàm tùy ý đại lượng ngẫu nhiên, phương sai, độ thăng giáng 14 Bài giảng Vật lí thống kê Vì vậy, nhiệm vụ Vật lí thống kê tìm định luật hàm phân bố đại lượng ngẫu nhiên thông số hệ vật lí khác 1.6 Các ví dụ định luật phân bố đại lượng ngẫu nhiên 1.6.1 Phân bố đại lượng gián đoạn Nếu xác suất trị số đại lượng ngẫu nhiên có định luật phân bố Lúc này, xác suất trị số là: W ; N (1.22) với N số trị số khả hữu đại lượng ngẫu nhiên 1.6.2 Phân bố Poatxông (Poisson) Đại lượng ngẫu nhiên x nhận trị số gián đoạn số nguyên từ không đến vơ cực, tn theo định luật phân bố Poatxông viết dạng: W(x)  a x a e ; x! (1.23) a số có giá trị trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên đó: xa Ví dụ: số phân tử thể khí cho, lượng hạt bay sau khoảng thời gian… thỏa mãn định luật phân bố Poatxông 1.6.3 Phân bố đại lượng liên tục Hàm phân bố biểu diễn hình 1.2 có dạng giải tích sau: const  c; a  x  b f(x)   0; x  a, x  b f(x) a b x Hình 1.2 15 Bài giảng Vật lí thống kê Từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố: b b a a  f(x)dx  c dx  c(b  a)  suy c  (b  a) Vậy hàm phân bố chuẩn hóa viết sau:  ;a  x  b  f(x)   b - a 0; x  a, x  b (1.24) Xác suất tìm trị số đại lượng ngẫu nhiên x khoảng từ x đến x + dx: dW(x)  dx (chỉ phụ thuộc vào chiều rộng dx) b-a 1.6.4 Phân bố có dạng hàm mũ Ví dụ: Phân rã phóng xạ: khối lượng, số phân tử, độ phóng xạ… Sự thay đổi số phân tử theo độ cao… Phân bố có dạng biểu diễn hình 1.3 có biểu thức giải tích sau: f(x)  conste αx ;  x   (1.26) f(x ) x Hình 1.3   0 Theo điều kiện chuẩn hóa:  f(x)dx  const e -x dx 1 ;  với  e -x dx   Suy ra: const  α 16 Bài giảng Vật lí thống kê Vậy αe -x ;  x   f(x)   -  x  0; (1.27) Xác suất tìm đại lượng ngẫu nhiên x dx: dW(x)  αe -x dx (1.28) 1.6.5 Phân bố Gauss Ta thường gặp hàm phân bố Gauss phân bố hình chiếu vận tốc chất khí, lí thuyết thăng giáng, chuyển động Baonơ… Hàm phân bố Gauss có dạng: f(x)  const.e -x dx; (1.29) với    x   Dạng đồ thị hàm phân bố biểu diễn hình 1.4 f(x) x Hình 1.4 Theo điều kiện chuẩn hóa:  với  e-x dx  -   - -  f(x)dx  const  e -x dx 1 ;   Suy ra: const    f(x)   -x e dx; với    x    (1.30) 1.6.6 Hàm Denta 17 Bài giảng Vật lí thống kê Hàm Denta kí hiệu δ(x  x ) hàm suy rộng Dirăc nêu Nó xác định điều kiện sau:  0; δ(x  x )   1;    δ(x  x x  x0 x  x0 (1.31) )dx  (1.32) -   F(x)δ(x  x )dx  F(x ) (1.33) - Dạng hình học hàm δ(x  x ) khơng xác định, biểu diễn đường cong có chiều rộng vơ nhỏ chiều cao vơ lớn cho diện tích đơn vị (hình 1.5) f(x) δ(x-x0 ) x0 Hình 1.5 x Hàm δ(x  x ) cho phép biểu diễn mật độ xác suất trường hợp đại lượng x có trị số x0 Thật vậy, mật độ xác suất để x có trị số x0 xác định: f(x)  dW(x) dx - Đối với khoảng dx khơng chứa x0 dW(x) = 0, f(x) = - Đối với khoảng dx vơ nhỏ có chứa điểm x0 xác suất đơn vị hàm f(x) có trị số vơ lớn Như vậy, mật độ xác suất tức hàm phân bố đại lượng có trị số xác định x0 hàm Denta: f(x)  δ(x  x ) 18 Bài giảng Vật lí thống kê Các hàm phân bố hay gặp vật lí thống kê Chúng có thứ ngun nghịch đảo với thứ nguyên đại lượng ngẫu nhiên 1.7 Hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên Trong nhiều trường hợp, ta thường gặp biến cố bao gồm nhiều đại lượng ngẫu nhiên khảo sát đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều (là đại lượng ngẫu nhiên mà thành phần chúng phân bố không gian nhiều chiều) Để thuận tiện, ta gọi đại lượng ngẫu nhiên riêng lẻ biến cố chung thành phần đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều đại lượng ngẫu nhiên thành phần, hàm phân bố gọi hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên hàm phân bố cho đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều Xác xuất biến cố đại lượng ngẫu nhiên x có trị số khoảng x đến x + dx đại lượng ngẫu nhiên y có trị số khoảng từ y đến y + dy là: dW(x, y)  dW(x).dW(y)  f(x).f(y).dx.dy Ta thấy tích f(x).f(y) có ý nghĩa hàm phân bố hai đại lượng ngẫu nhiên f(x,y), tức mật độ xác suất hai chiều f(x, y)  f(x).f(y)  dW(x, y) dx.dy (1.34) Tương tự, n đại lượng ngẫu nhiên độc lập hàm phân bố nhiều chiều có dạng: f(x, y, ,t)  f(x).f(y) f(t)  dW(x, y, t) dx.dy dt (1.35) a Gọi F hàm đại lượng ngẫu nhiên F(x,y,…,t) thì: F     F(x, y, t)f(x, y, t)dxdy dt (1.36) Từ hàm phân bố ba đại lượng ngẫu nhiên ta suy hàm phân bố hai đại lương ngẫu nhiên hay hàm phân bố đại lượng ngẫu nhiên: f(x, y)   f(x, y, z)dz f(x)   f(x, y)dy f(x)   f(x, y).dy    f(x, y, z)dz.dy 19 ... 98 Bài giảng Vật lí thống kê LỜI NĨI ĐẦU Bài giảng Vật lí thống kê biên soạn dành cho sinh viên sư phạm Vật lí, nội dung giảng dựa theo giáo trình Nhiệt động lực học Vật lí thống kê Vũ Thanh... phương pháp thống kê dựa lý thuyết xác suất Bài giảng Vật lí thống kê Như vậy, Vật lý thống kê ngành vật lý nghiên cứu hệ nhiều hạt dùng phương pháp thống kê, hay nói khác đi, Vật lý thống kê đại... kê Vũ Thanh Khiết Bài giảng gồm có chương: Chương 1: trình bày sơ lược đối tượng phương pháp Vật lí thống kê Chương 2: trình bày nội dung vật lí khái niệm luận đề Vật lí thống kê, trạng thái vi