1 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG LỊCH SỬ TOÁN HỌC Người thực hiện ThS Phan Bá Trình Quảng Ngãi, tháng 7 năm 2019 2 MỤC LỤC MỤC LỤC 2 MỞ ĐẦU 3 Chương 1 BỘ MÔN LỊ[.]
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG LỊCH SỬ TOÁN HỌC Người thực hiện: ThS Phan Bá Trình Quảng Ngãi, tháng năm 2019 MỤC LỤC MỤC LỤC …………………………………… … ………………………………….2 MỞ ĐẦU …………………………………… … …………………….… …………3 Chương BỘ MÔN LỊCH SỬ TOÁN …… ……………………………….……… 1.1 Đối tượng nhiệm vụ lịch sử toán……………… …………………………….4 1.2 Lịch sử toán với việc dạy học toán trường THC ….………………………………7 Chương SỰ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC ………………………………………10 2.1 Số tự nhiên hệ thống phi số ………………………………………………….… 10 2.2 Toán học cổ Ai cập………………………………………………………………….12 2.3 Toán học Babilon……………………………………………………………………13 Chương TỐN HỌC SƠ CẤP………………………………………………….…15 3.1 Tốn học cổ Hy Lạ…………………………………………………….……………15 3.2 Toán học cổ Trung Quốc ………………………………………………… ……19 3.3 Toán học cổ Ấn Độ …………………………………………………………………21 3.4 Toán học Trung Á Cận đơng.………………………………………….………24 3.5 Tốn học Châu Âu.………………………………………………………… ……26 Chương TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN………………………………………30 4.1 Toán học đại lượng biến thiên………………………………….……… 30 4.2 Hình học giải tích ………………………………………………………….…….…36 4.3 Phép tính vi tích phân ………………………………………………………………42 Chương TỐN HỌC HIỆN ĐẠI……………………………………… …………57 5.1 Sự mở rộng đối tượng toán học …………………………………… …………57 5.2 Hình học phi Ơclit ……………………………………………………… …………60 5.3 Đại số đại cấu trúc toán học…………………………………………………63 5.4 Lý thuyết tập hợp ………………………………………………………….………66 5.5 Lơgic tốn phương pháp tiên đề …………………………………………………70 5.6 Hai xu phát triển toán học đại……………………………………74 Chương VÀI NÉT VỀ TOÁN HỌC Ở VIỆT NAM…………………….…………78 6.1 Giới thiệu vài nét phát triển toán học Việt Nam ………… ……………78 6.2 Vài nét Giáo sư -Tiến sĩ khoa học Lê Văn Thiêm …………………….…… …79 6.3 Vài nét Giáo sư Hoàng Tụy ………………………………….…… …81 6.4 Vài nét Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn ………………………………….…… …83 6.5 Vài nét Giáo sư Ngô Bảo Châu …………………………………….……………87 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………….88 MỞ ĐẦU Lịch sử toán học khoa học quy luật khách quan phát triển tốn học Nó giải nhiều nhiệm vụ khác nhau, chẳng hạn: Xác định phương pháp, khái niệm tư tưởng toán học phát sinh lịch sử Nghiên cứu phát mối liên hệ toán học với nhu cầu hoạt động thực tiễn người Nghiên cứu phát nguyên nhân lịch sử cấu trúc logic tốn học đại, tính biện chứng phát triển Lịch sử tốn học có nội dung nghiên cứu phong phú Vì thời gian chương trình ngành sư phạm tốn dành cho mơn học 02 tín (30 tiết) nên giảng trình bày số vấn đề mang tính chất tổng quan lịch sử phát triển toán học tiêu biểu Nội dung giảng gồm chương: Chương Bộ môn lịch sử toán Chương Sự phát sinh toán học Chương Toán học sơ cấp Chương Toán học cao cấp cổ điển Chương Toán học đại Chương Vài nét toán học Việt Nam Chúng tơi hy vọng giảng đóng góp phần nhỏ vào việc giảng dạy học môn lịch sử tốn học Bài giảng hẳn cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp, thầy giáo, em sinh viên độc giả gần xa CHƯƠNG BỘ MƠN LỊCH SỬ TỐN 1.1 Đối tượng nhiệm vụ lịch sử toán 1.1.1 Đối tượng Lịch sử Toán học (hay lịch sử toán) ngành toán học Mọi ngành toán học, dù khác có chung đối tượng Theo định nghĩa Ăngghen đối tượng toán học túy quan hệ số lượng hình dạng khơng gian giới khách quan Các ngành khác toán học nghiên cứu dạng đặc biệt, riêng biệt quan hệ số lượng hình dạng khơng gian Việc hiểu rõ đối tượng lịch sử tốn khơng thể đầy đủ qua số định nghĩa ngắn gọn, mà hồn chỉnh dần q trình nghiên cứu toàn giảng 1.1.2 Nhiệm vụ Cũng khoa học khác, toán học bao gồm yếu tố sau đây: a Các kiện, tích lũy q trình phát triển b Các giả thuyết, tức mệnh đề khoa học, dựa kiện mà đề ra, sau phải thực nghiệm kiểm tra lại c Các lí thuyết quy luật toán học kết khái quát hóa tài liệu cụ thể d Phương pháp luận toán học tức giải thích lí luận tổng quát quy luật lí thuyết toán học Các yếu tố liên hệ chặt chẽ với không ngừng phát triển Giải thích tìm quy luật vận động phát triển toán học, giai đoạn lịch sử định nhiệm vụ mơn lịch sử tốn Lịch sử tốn khoa học quy luật khách quan phát triển tốn học Lịch sử tốn liên quan đến tồn toán học nhiều ngành khoa học khác 1.1.3 Bản chất tốn học Phân tích đối tượng tốn học (cũng đối tượng lịch sử toán học) ta thấy toán học khoa học thực tiễn tốn học nghiên cứu quan hệ số lượng hình dạng khơng gian giới khách quan Toán học khoa học vào loại cổ Lồi người có kiến thức tốn học từ giai đoạn phát triển sớm nhất, ảnh hưởng hoạt động sản xuất sơ khai Tuy nhiên, đối tượng tốn học khơng phải thực cho ta cách trực tiếp, mà kết trừu tượng hóa Muốn nghiên cứu đối tượng hay tượng cơng cụ tốn học phải gạt bỏ tất đặc điểm chất đối tượng tượng, mà giữ lại đặc trưng cho số lượng hình dạng chúng mà thơi Làm vậy, chẳng hạn ta “điểm” khơng có kích thước, “đường” khơng bề dày, bề rộng, x y, a b, đại lượng không đổi đại lượng biến thiên Trong trình phát triển, tốn học khảo sát đối tượng mà quan hệ số lượng hình dạng khơng gian ngày trừu tượng Trong lí thuyết tốn học đại, quan hệ số hình thường trừu tượng: người ta nói đến tập hợp phần tử mà tính chất chúng quy tắc thực phép tính chúng cho tiên đề Tính chất trừu tượng đối tượng toán học số người hiểu yếu tố xuất phát, tiên thiên Chẳng hạn, họ cho phần tử tập hợp, nguyên tắc, tách khỏi vật giới thực hệ tiên đề, định nghĩa, phép toán đưa vào cách tùy ý Nhận thức đưa đến quan điểm tâm sai lầm, ảnh hưởng không tốt đến phát triển tốn học Tính chất trừu tượng đối tượng toán học che đậy nguồn gốc thực tế khách quan (thường phức tạp, nhiều mức độ, gián tiếp) khái niệm tốn học, khơng xóa bỏ nguồn gốc Lịch sử chứng tỏ nhu cầu hoạt động thực tiễn người điều định chủ yếu phát triển toán học Phạm vi quan hệ số lượng hình dạng khơng gian mà tốn học nghiên cứu khơng ngừng mở rộng, mối liên hệ chặt chẽ với nhu cầu kĩ thuật khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát toán học ngày thêm phong phú Tất nhiên, tốn học khơng phải bịa đặt trống rỗng nhà thông thái Ngược lại, thực tiễn, đặc biệt kĩ thuật, lại phương tiện hỗ trợ thay việc nghiên cứu tốn học có tác dụng làm thay đổi nhiều mặt toán học (chẳng hạn, tác dụng máy tính điện tử phát triển toán học) Bắt nguồn từ thực, quan hệ số lượng hình dạng khơng gian trí óc người trừu tượng hóa nghiên cứu mối liên hệ nhiều hình, nhiều vẻ chúng với đường túy lơgíc Khi lí tính sáng tạo tốn học đường lơgíc khơng phải xa rời thực mà lại sát gần thực có tác dụng thực Tính trừu tượng tốn học cao phạm vi ứng dụng toán học mở rộng Về nguyên tắc, nêu giới hạn mở rộng “Tốn học người đầy tớ hoàng hậu khoa học.” Lịch sử cho hay nhiều phát minh toán học trước khoa học kĩ thuật lâu, có đến hàng kỉ Chẳng hạn, lí thuyết hàm số biến số phức đời từ cuối kỉ thứ XVIII, đến cuối kỉ thứ XIX áp dụng vào thủy động học khí động học từ vào cơng nghiệp hàng khơng đại Hình học Phi Ơclít đời từ kỉ thứ XIX đến kỉ thứ XX áp dụng vào lí thuyết tương đối Vật lí Lơgíc tốn học đời từ cuối kỉ thứ XIX đến kỉ thứ XX sử dụng để tạo nên máy tính điện tử Nói chung, máy toán học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật lần thứ chuẩn bị trước kỉ Bộ máy tốn học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật lần thứ hai chuẩn bị trước nửa kỉ (Rõ ràng khơng có lí thuyết tập hợp, đại số đại, lơgíc tốn,… khơng thể có điều khiển học (xibécnêtic) máy tính điện tử) Với phát triển máy tính điện tử, sống văn minh tin học, theo dự báo, sau văn minh sáng tạo Các nhà tốn học có cơng đầu việc xây dựng “khoa học sáng tạo” (creatology), tiếp nhà tâm lí học, giáo dục học,v.v… Vì vậy, vai trị tốn học thực tiễn, cần có nhận thức rộng rãi, khơng thể thấy tác dụng trước mắt mà cịn phải nhìn tác dụng lâu dài Theo quan điểm điều khiển học, toán học xâm nhập vào nhiều ngành khoa học tự nhiên khoa học xã hội, ngày phát triển hiệu lực phương pháp toán học ngành xã hội sáng tạo tương lai 1.1.4 Các giai đoạn phát triển toán học Để nghiên cứu lịch sử tốn cách thuận lợi cần chia giai đoạn Có nhiều cách chia giai đoạn theo số đặc điểm đó, chẳng hạn chia theo quốc gia, theo chế độ kinh tế xã hội, theo phát minh lớn có tác dụng định tính chất phát triển, vv… Cuộc tranh luận phân chia giai đoạn phát triển toán học chưa kết thúc Trong giảng này, giai đoạn phân chia theo Kơnmơgơrốp (Kolmogorop Andrei Nikolaievich, người Nga) tương đối hợp lí, dựa sở đánh giá nội dung toán học: Các phương pháp, quan điểm kết quan trọng Theo ơng, q trình hình thành phát triển tốn học gồm bốn giai đoạn sau đây: a Giai đoạn phát sinh toán học Giai đoạn thời xa xưa loài người nguyên thủy, kéo dài khoảng kỉ thứ VI, thứ V (TCN), lúc mà toán học trở thành khoa học độc lập, có đối tượng phương pháp nghiên cứu riêng Đặc điểm giai đoạn việc tích lũy kiện tốn học cụ thể khn khổ khoa học chung (khoa học tự nhiên) b Giai đoạn toán học sơ cấp (từ khoảng kỉ thứ VI, thứ V (TCN) đến hết kỉ thứ XVI) Đặc điểm giai đoạn việc nghiên cứu đại lượng khơng đổi Những nội dung tốn học dạy trường phổ thông Việt Nam nhiều nước giới cho ta khái niệm thành tựu giai đoạn c Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển (từ kỉ thứ XVII đến kỉ XIX) Đặc điểm giai đoạn việc sáng tạo tốn học đại lượng khơng đổi Trong giai đoạn này, đối tượng chủ yếu tốn học q trình, chuyển động Giai đoạn mở đầu việc đưa đại lượng biến thiên vào hình học giải tích Đềcác, với phép tính vi tích phân mà Niutơn Lépnít hồn thành tồn Phần lớn kiến thức tốn học giai đoạn dạy trường Cao đẳng năm đầu trường đại học nước ta d Giai đoạn toán học đại (từ kỉ thứ XIX đến nay) Người ta thường xem mở đầu giai đoạn phát minh to lớn Lơbasépski Bơlyai hình học Phi Ơclit, đời đại số đại Đặc điểm giai đoạn đối tượng toán học mở rộng, nhiều lí thuyết tốn học xuất hiện, vấn đề xây dựng sở tốn học có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Toán học trở thành khối thống với tảng phương pháp chung Trong tốn học có tượng phân ngành sâu sắc toán học với khoa học khác có tượng liên ngành chặt chẽ Phạm vi ứng dụng toán học mở rộng chưa thấy 1.2 Lịch sử toán với việc dạy học toán trường Trung học sở Nếu người, hiểu biết lịch sử khoa học có ích, người giáo viên, việc hiểu rõ kiện lịch sử khoa học giảng dạy, hiểu rõ quy luật phát triển khoa học điều cần thiết Nghiên cứu lịch sử toán thấy trình phát triển tốn học q trình khơng ngừng tiến lên đường khái quát hóa trừu tượng hóa Về phương diện khoa học tốn học phát triển theo quy luật khách quan Tốn học hình thái ý thức xã hội lồi người, quy luật chi phối phát triển toán học chủ yếu quy luật chung hình thái ý thức xã hội Nghiên cứu phát triển toán học, thấy chừng mực định, phương pháp, khái niệm tư tưởng toán học phát sinh nào, lí thuyết tốn học khác hình thành lịch sử, mối quan hệ phận toán học, thấy việc xảy ra, bước đường tới toán học Nghiên cứu giai đoạn phát triển tốn học, cịn nắm mối liên hệ phong phú toán học, liên hệ toán học với nhu cầu hoạt động thực tiễn người, với phát triển khoa học khác, ảnh hưởng cấu kinh tế xã hội, đấu tranh giai cấp (đặc biệt lĩnh vực tư tưởng), đấu tranh gay gắt cũ đến nội dung tính chất phát triển tốn học, vai trị nhân dân, tập thể cá nhân nhà toán học, v.v… Nghiên cứu lịch sử toán ta thấy phát triển tốn học khơng phải q trình phẳng, đặn liên tục chân lí tốn học Có thể nói, lịch sử tốn học lịch sử đấu tranh gay gắt cũ, định chiến thắng, trải qua thất bại tạm thời hi sinh nhiều nhà khoa học tiến Chẳng hạn, kỉ thứ XVII, phép tính vi phân vừa xuất cơng trình Lépnít, Niutơn bị giáo chủ Becơli cơng kích kịch liệt Cuộc đấu tranh xung quanh khái niệm giải tích, đặc biệt khái niệm giới hạn, kéo dài suốt trình lịch sử ngành Sự xây dựng sở mơn giải tích dựa lí thuyết giới hạn đến cuối kỉ thứ XIX thừa nhận Cơ sở hình học Phi Ơclít biết từ năm 1826 với Lôbasepski, nhiên phải đấu tranh lâu dài, đến cuối kỉ thứ XIX thừa nhận tiếp tục phát triển Về thực chất, hình học Phi Ơclít phát triển sau lí thuyết tương đối Anhstanh xuất Như thế, lịch sử toán học cho biết thân toán học khơng có tính chất giai cấp, có tác động chế độ xã hội phát triển nó, có thái độ giai cấp nó, có quan điểm tâm vật có tính chất giai cấp việc xây dụng, giảng dạy sử dụng Nghiên cứu hình thành khoa học tốn học, ta thấy rõ tốn học có hai hình thái: khoa học chặt chẽ Ơclit nghệ thuật vô hạn, không cứng nhắc Khi trình bày theo kiểu Ơclit, tốn học khoa học suy diễn có hệ thống, tốn học q trình tìm tịi, sáng tạo khoa học thực nghiệm quy nạp Cả hai hình thái có từ lâu, thân toán học Hệ thống suy diễn chặt chẽ từ tiên đề hình học Ơclít chi phối toán học thời gian dài quyến rũ Tuy nhiên, nhấn mạnh đáng chệch khỏi đường đắn coi yếu tố kiến thiết, phương pháp quy nạp, trực quan, tưởng tượng, q trình tư tiền lơgic,… đóng vai trò thứ yếu Phương pháp suy diễn, nhìn giáo điều lại cho phép chiếm lĩnh cách nhanh chóng nhiều lĩnh vực đáng kể Tuy nhiên phương pháp kiến thiết Xôcrát từ riêng đến chung, khỏi giáo điều nhờ có tư tưởng độc lập, sáng tạo đường nghiên cứu đầy hi vọng khơng so sánh Phép suy diễn cần bổ sung trực quan, khát vọng tổng quát hóa liên tiếp cần hạn chế cân nhờ trân trọng đến riêng Nhu cầu thực tiễn (hiểu theo nghĩa rộng, kể nhu cầu khoa học lân cận nhu cầu thân toán học) động lực toán học, phương pháp tiên đề tác phong toán học đại Nói đặc trưng phương pháp tốn học trừu tượng hóa, khái qt hóa ta không quên mặt khác phương pháp tốn học phương pháp quy nạp, dự đốn, mị mẫm Tóm lại, đặc trưng phương pháp tốn học kết hợp chặt chẽ cụ thể trừu tượng, phương pháp quy nạp phương pháp suy diễn Hiểu vậy, giáo viên dạy tốn có ý thức lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp, vừa phản ánh sắc mơn, vừa thể tư tốn học hồn chỉnh, vừa sát đối tượng, đạt yêu cầu giáo dục Giáo viên toán cần hiểu rõ vấn đề như: người lao động để sáng tạo khái niệm tốn học hình ảnh cụ thể cần thiết bước đầu hình thành khái niệm, tính chất, lí thuyết tốn học trừu tượng chứng minh chặt chẽ xây dựng tích lũy lịch sử kiện tốn học điển hình, tốn lí thú mà người xưa giải hàng trăm năm; khó khăn đặc biệt mà lồi người phải vượt qua q trình phát triển tốn học Lịch sử tốn giúp cho giáo viên cơng tác khó khăn biến tốn học thành mơn dạy hấp dẫn, thích thú học sinh, làm cho tốn khơng phải gánh nặng, hình phạt học sinh, mà nguồn vui, đẹp đẽ, giúp ích cho họ sống, cơng tác Hiểu rõ lịch sử tốn, giáo viên kết hợp vào giảng mà giới thiệu ngắn gọn, lúc nét lịch sử khái niệm, lịch sử vấn đề, lịch sử phát minh, tiểu sử nhà khoa học,… làm cho học thêm sinh động, có tác dụng khêu gợi khả sáng tạo học sinh, động viên họ, giúp họ củng cố lòng tin thân CÂU HỎI Phân tích lịch sử tốn khoa học quy luật khách quan phát triển toán học? Bản chất toán học gì? Nêu đặc điểm giai đoạn lịch sử tốn học theo cách chia Kơnmơgơrốp Vì chuyên đề lịch sử toán lại hỗ trợ đắc lực cho giáo trình phương pháp dạy học mơn Tốn THCS? Phân tích cần thiết phải hiểu biết mơn lịch sử tốn giáo viên tốn THCS CHƯƠNG SỰ PHÁT SINH TOÁN HỌC 2.1 Số tự nhiên hệ thống ghi số 2.1.1 Sự hình thành khái niệm số người nguyên thủy Rất lâu trước văn tự cổ nhất, có vẽ cho thấy kiến thức toán học đo thời gian dựa trời Ví dụ nhà cổ sinh vật học khám phá mảnh đất thổ hoàng hang động Nam Phi trang trí hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN Cũng di khảo tiền sử tìm thấy châu Phi Pháp, thời gian khoảng 35000 TCN 20000 TCN, cho thấy cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian Các chứng tồn cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu phụ nữ, người giữ vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, ba mươi vạch xương hịn đá, theo sau vạch cách biệt khác Hơn nữa, thợ săn có khái niệm một, hai nhiều không xem xét số bầy thú Xương Ishango tìm thấy thượng nguồn sơng Nil (phía bắc Cộng hịa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN Bản dịch thơng dụng hịn đá cho ta thấy chứng sớm thể dãy số nguyên tố phép nhân Ai Cập cổ đại Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ TCN vẽ tranh thiết kế hình học khơng gian Người ta khẳng định đá tế thần Anh Scotland từ thiên niên kỉ thứ TCN, bao gồm ý tưởng hình học hình trịn, hình elíp ba Pythagore thiết kế 2.1.2 Các hệ thống ghi số Nền tốn học sớm biết Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN 2600 TCN văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) Bắc Ấn Độ Pakistan, phát triển hệ thống đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ số 10, công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng tỉ lệ, đường đặt góc vng hồn hảo, số hình hình học thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ vẽ hình trịn hình tam giác cắt đồng qui Các dụng cụ toán học tìm bao gồm thước đo số 10 với độ chia nhỏ xác, dụng cụ vỏ sò hoạt động compa để đo góc mặt phẳng theo bội 10 40-360 độ, dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần đường chân trời bầu trời, dụng cụ để đo vị trí nhằm mục đích định hướng Bản viết tay Indus chưa giải nghĩa; ta biết dạng viết toán học Harappan Các chứng khảo cổ làm nhà sử học tin văn minh sử dụng hệ đếm số đạt kiến thức tỉ lệ chu vi đường tròn bán kính nó, tính số π a Hệ thống ghi số khơng theo vị trí, ghi chữ tượng hình Khi trình độ đếm cịn sơ khai lồi người ghi số đơn giản, số số lượng ghi nhiêu lần kí hiệu (theo nguyên tắc cộng).Kí hiệu phổ biến chữ tượng hình, bao gồm chữ gạch đứng, gạch ngang, gạch chéo chấm Chẳng hạn: Chữ số Trung Quốc: -, =, , Chữ số La Mã: I, II,III, IV, V,VI, mà chữ là: I, V, X, L, C, D, M b Hệ thống ghi số chữ Người ta dùng chữ cái, lấy chín chữ để số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm Mỗi chữ kèm theo kí hiệu riêng để rõ dùng để ghi số (thêm dấu chấm gạch ngang).Nếu chữ chữ chưa đủ người ta dùng thêm chữ hay kí hiệu phụ Hệ thống ghi số Hi Lạp cổ ví dụ điển hình Cách ghi số cổ Hi Lạp (alfa): (bêta): (rô): 10 100 (iôta): (kapta): 20 200 (sigma): (gama): 300 (lămda): 30 (tô): (muy): 40 400 (delta): (uypsilon): (phi): 50 500 (nuy): (epsilon): (đigama): (ksi): (khi): 60 600 (psi): 700 (dzêta): (ômicrôn): 70 (êtha): 80 800 (ômêga): (pi): (xampi): q (kôpa): 90 900 (thêta): Chẳng hạn: số 857 viết là: Số 1.000 kí hiệu: , ; số 2.000 kí hiệu: , c Hệ thống ghi số theo vị trí Hệ thống số đếm người Babylon (thuộc Iraq ngày nay) đời từ khoảng năm 2000 trước công nguyên (tức cách khoảng 4000 năm) Thay sử dụng hệ thập phân - lấy sở 10 họ xây dựng hệ số có sở 60 (lục thập phân) 11 Hệ ghi số Babilon ví dụ hệ vị trí khơng thập phân Hình giống đinh có mũ đại diện cho hình giống boomerang đại diện cho 10 (ở khía cạnh này, số 10 coi mốc đặc biệt) Tuy nhiên, điều khơng có nghĩa muốn viết số người ta đặt hình đinh cạnh mà cho chúng chồng lên thành ba hàng, hàng có ba số viết Rõ ràng cách viết tỏ phức tạp với số lớn khó viết Đó lý mà qui ước tồn ngày Tuy nhiên ảnh hưởng đủ lớn để ngày thấy bóng ngày Hệ lục thập phân nguyên nhân dẫn tới phân chia thành 60 phút, phút thành 60 giây, việc chia cung trịn thành 360 độ mà bạn biết 2.2 Tốn học cổ Ai Cập Toán học Ai Cập ám toán học viết tiếng Ai Cập Toán học Ai Cập cổ đại đánh dấu nhân vật truyền thuyết Thoth, người coi đặt mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số, toán học thiên văn học, vị thần thời gian Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp thay tiếng Ai Cập ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập, từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp với toán học Hy Lạp Babylon để phát triển toán học Hy Lạp Nghiên cứu toán học Ai Cập sau tiếp tục Đế chế Arab phần toán học Hồi giáo, tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập Văn tự tốn học cổ tìm giấy cói Moskva, văn tự giấy cói Vương quốc Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày ta gọi "bài tốn chữ", rõ ràng để giải trí Một tốn coi quan trọng mức nói riêng đưa phương pháp tìm thể tích hình cụt: "Nếu bạn biết: hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ Bạn bình phương số này, 16 Bạn nhân đôi 4, Bạn bình phương 2, Bạn cộng 16, 8, 28 Bạn lấy phần ba 6, Bạn nhân 28 với 56 Và 56 số bạn cần tìm." 12 Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) văn toán học Ai Cập quan trọng khác, hướng dẫn số học hình học Cùng với việc đưa cơng thức diện tích phương pháp nhân, chia làm việc với phân số đơn vị, chứa chứng kiến thức toán học khác (xem Egyptian Unit Fractions) bao gồm hợp số số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân trung bình điều hịa; hiểu biết sơ sàng Eratosthenes số hồn hảo Nó cách giải phương trình tuyến tính bậc cấp số cộng cấp số nhân Cũng vậy, ba thành phần hình học có giấy cọ Rhind nói đến kiến thức đơn giản hình học giải tích: (1) Đầu tiên quan trọng nhất, làm để xấp xỉ số π xác tới phần trăm; (2) thứ hai, cố gắng cổ đại việc cầu phương hình tròn; (3) thứ ba, sử dụng sớm biết lượng giác Cuối cùng, giấy cọ Berlin cho thấy người Ai Cập cổ đại giải phương trình đại số bậc hai 2.3 Tốn học Babilon Tốn học Babylon ám toán học thuộc cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer đầu thời kì Hy Lạp hóa Nó đặt tên tốn học Babylon vai trò trung tâm Babylon nơi nghiên cứu, nơi khơng cịn tồn sau thời kì Hy Lạp hóa Các nhà tốn học Babylon trộn với nhà toán học Hy Lạp để phát triển tốn học Hy Lạp Sau Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt Baghdad, lần trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo Đối lập với thiếu thốn nguồn tài liệu toán học Hy Lạp, hiểu biết toán học Babylon từ 400 miếng đất sét khai quật từ năm 1850 Viết kí tự Cuneiform, miếng đất sét viết đất 13 sét ẩm, nung cứng lò nhiệt từ Mặt Trời Một số tập nhà Bằng chứng sớm văn tự toán học từ thời người Sumer cổ đại, người xây nên văn minh sớm Lưỡng Hà Họ phát triển hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN Khoảng 2500 TCN trở trước, người Sumer viết bảng nhân đất sét giải tập hình học tốn chia Dấu vết sớm hệ ghi số Babylon khoảng thời gian Một lượng lớn đất sét phục hồi vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, bao gồm chủ đề phân số, đại số, phương trình bậc ba bậc bốn, tính tốn ba Pythagore Các bao gồm bảng nhân, bảng lượng giác phương pháp giải phương trình tuyến tính phương trình bậc hai Tấm đất sét YBC 7289 đưa xấp xỉ số √2 xác tới năm chữ số thập phân Toán học Babylon viết hệ số 60 Do việc mà ngày ta sử dụng 60 giây phút, 60 phút 360 (60 × 6) độ vòng tròn Các tiến người Babylon toán học phát triển dễ dàng số 60 có nhiều ước số Cũng vậy, khơng giống người Ai Cập, Hy Lạp La Mã, người Babylon có hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, chữ số viết cột bên trái thể giá trị lớn hơn, giống hệ thập phân Thế họ lại thiếu kí hiệu tương đương dấu thập phân, hàng cách viết số thường suy từ ngữ cảnh CÂU HỎI Nêu đặc điểm toán học cổ Ai cập hệ thống ghi số Nêu đặc điểm toán học Babilon hệ thống ghi số Theo bạn thành tựu tốn học Babilon có ý nghĩa nhất.Vì sao? Người Ai Cập cổ tính thể tích hình chóp cụt biết chiều cao, diện tích đáy lớn, diện tích đáy nhỏ cách nào? 14 CHƯƠNG TỐN HỌC SƠ CẤP 3.1 Tốn học cổ Hy Lạp 3.1.1 Toán học Hy Lạp Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN – 300) Tốn học Hy Lạp ám toán học viết tiếng Hy Lạp khoảng 600 TCN 450 Các nhà toán học Hy Lạp sống thành phố rải rác toàn Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, lại thống văn hóa ngơn ngữ Tốn học Hy Lạp đơi gọi tốn học Hellenistic (Hy Lạp hóa) Tốn học Hy Lạp trở nên phức tạp nhiều so với văn hóa trước Tất ghi chép cịn tồn tốn học tiền Hy Lạp cho thấy việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, quan sát liên tục sử dụng để lập nên phép đo dựa kinh nghiệm Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt kết luận từ định nghĩa tiên đề Toán học Hy Lạp dường bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) Pythagoras (khoảng 582 - khoảng 507 TCN) Mặc dù tầm ảnh hưởng khơng cịn, họ phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, Ấn Độ Theo truyền thuyết, Pythagoras chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, thiên văn từ đạo sĩ Ai Cập Thales sử dụng hình học để giải tốn tính chiều cao hình chóp khoảng cách từ tàu tới bờ biển Pythagoras coi người đưa chứng minh cho định lý Pythagore, phát biểu định lý qua chặng đường lịch sử dài Trong lời bình luận Euclid, Proclus phát biểu Pythagoras diễn đạt định lý mang tên ông dựng nên ba Pythagore cách đại số hình học Trường học Plato có câu hiệu: "Khơng để thứ nơng cạn hình học vào đây." Học thuyết Pythagoras khám phá tồn số hữu tỉ Eudoxus (408 khoảng 355 TCN) phát minh phương pháp vét cạn, tiền thân khái niệm đại tích phân Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) lần đầu viết luật logic Euclid (khoảng 300 TCN) ví dụ sớm khn mẫu mà sử dụng ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh Ông nghiên cứu đường conic Cuốn sách ông, Cơ bản, tất người có học biết đến phương Tây kỉ 20 Thêm vào 15 định lý quen thuộc hình học, định lý Pythagore, Cơ cịn có chứng minh bậc hai hai số vô tỉ có vơ hạn số ngun tố Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) sử dụng để tìm số nguyên tố với người Hi lạp, toán học vượt lên việc ghi chép Những nhà tốn học có tên tuổi tới để lại định lí, tiên đề có giá trị khái quát cao sống đặc biệt lĩnh vực toán học Một số người nói người vĩ đại nhà tốn học Hy Lạp, khơng muốn nói thời đại, Archimedes xứ Syracuse (287—212 TCN) xứ Syracuse Theo Lucius Mestrius Plutarchus, tuổi 75, vẽ cơng thức tốn học cát, ơng bị tên lính La Mã dùng giáo đâm chết Roma cổ lại chứng quan tâm vào toán học lý thuyết Thales định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học tốn học mêtric: 3.1.2 Tốn học Hy Lạp cổ đại Thuật ngữ Mathématiques, Mathématiciens, hay ngôn từ tương đương ngôn ngữ Châu Âu bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp Chúng phát sinh từ động từ ”hiểu biết, học hỏi” Thời xa xưa chưa mang ý nghĩa đặc thù ngày nay, từ Hy Lạp; mathema có nghĩa ”điều đem giảng dạy”, nói cách cụ thể hình thức tri thức Việc dạy tốn cổ xưa Hy Lạp Chúng ta biết việc dạy tốn Hy Lạp Cổ đại Hình số trường triết học đóng vai trị quan trọng việc đào tạo nhà Toán học, mà chun ngành hóa trí tuệ cịn ngoại lệ Ở thời kỳ cổ điển, người ta có nói đến tồn trường gọi “khoa học”, trường Chios trường Cizyque Tuy nhiên, trường đào tạo phổ thông hay 16 chuyên ngành, có phải khác cao khơng nhóm mơn đệ tập trung xung quanh ơng thầy có tiếng tăm Như y học có chứng sớm vững tồn trường y khoa – mơi trường gia đình có vai trị đào tạo nhà Bác học Chúng ta có chi tiết tiểu sử nhà toán học song biết rằng, Archimèdes nhà Thiên văn học, Hypsiclès nhà toán học, nhà hình học Ménechme Dinostrate hai anh em, cịn Hypatie, nhà toán học nữ Hy Lạp mà biết, gái nhà toán học Theon Alexandria Thực ra, Hy Lạp thời kỳ cổ điển đến Nhà nước tập quyền kiểu Cận Đông thời Cổ đại, nơi lên sớm nhu cầu đào tạo giai cấp thư lại “viên chức” Hy Lạp thời hợp nhiều thành bang nhỏ độc lập tuôn xung đột với nhau, tổ chức lỏng lẻo kiểu thị tộc nên khơng cần đến hệ thống giáo dục có tổ chức Ai Cập, Babylone Trung Quốc Tuy thương mại, đạc điền hàng hải đòi hỏi tri thức tối thiểu toán học phép tính sơ đẳng có dạy trường học, Thành bang Hy Lạp không quan tâm đến giáo dục trí tuệ kỹ thuật cho thiếu niên Nhà trường cá nhân khởi xướng, có số trường trở nên tiếng Hai nhà sư phạm vĩ đại người Athènes đầu Thế kỷ IV TCN Socrates Platon lập sở giáo dục riêng – Socrates lập trường hùng biện Platon lập trường triết học Cả hai ơng coi tốn học cơng cụ khơng thể thiếu cho phát triển trí tuệ thừa nhận mơn học địi hỏi ”thể dục” tập trung tinh thần Nhưng ơng có cách tiếp cận toán học khác Socrates cho rằng, tranh luận đối nghịch mà niên ưa thích, tốn học cần mở mang đầu óc ”minh mẫn” cho dù nội dung khơng có giá trị người công dân mà lý tưởng hiến cho đời sống trị Nhưng Platon, mặt thừa nhận toán học có vai trị giáo dục dự bị, song cịn coi mơn vỡ lịng cho nghiên cứu triết học – tức triết học tâm Platon – làm phương tiện chọn lọc mơn tốn học triết học mà ơng giảng dạy với tạo thành hình thức tu luyện khổ hạnh trí tuệ thiết yếu cho đề án cải cách trị ơng Thế kỷ III II TCN chứng kiến phát triển to lớn toán học Đa số tác phẩm thời kỳ đến ngày tác phẩm nhà tốn học nhiều gắn bó với Alexandria, Kinh triều Ptolémée Hy Lạp cai trị Ai 17 Cập từ 306 đến 31 TCN Được biết rằng, triều Vua Ptolémée áp dụng sách đỡ đầu rộng rãi – trước dành cho vài cá nhân, thường nhà thơ – bằng, cách lập số quan, tiếng Thư viện Bảo tàng Alexandria Những quan rõ ràng đem lại thúc đẩy cho nghiên cứu văn học Ảnh hưởng chúng phát triến khoa học khơng rõ rệt phải có bầu khơng khí thuận lợi mà quan tạo có lợi cho phát triển khoa học Tuy nhiên, học giả vĩ đại thời nhiều tài liệu chứng tỏ có mặt Alexandria – Hérophile de Chalcédoine, Euclides, Straton de Lampraque, Aristarque de Samos, Eratosthène de Cyrèrle, Apollonius de Perge – có đào tạo môn đệ, giảng dạy thuyết giảng hay không, khuôn khổ Bảo tàng Alexandria hay với tư cách cá nhân Vậy chưa phải chắn tồn trường học hẳn hoi Alexandria, thực đến thời đế chế La Mã, Bảo tàng Alexandria hoạt động trường đại học mô Ephèse, Athènes, Smyrne Egine Các văn toán học Bên cạnh toán học t theo truyền thống Hy Lạp, cịn có loạt văn tốn học gọi mang tính chất ”tính tốn”- giống văn tìm thấy tốn học Ai Cập, Babylone Trung Hoa; ví dụ, sách toán học muộn, coi Héron d’Alexandrie, soạn thảo sử dụng tận thời kỳ Byzance Có lẽ dùng để đào tạo kỹ thuật viên, văn Babylone Ai Cập Các toán đặt nói rõ ràng đến tình hình cụ thể, cho dù tình hình nhiều phương tiện giảng dạy Hồn tồn khơng có điều tương tự sách cổ điển Euclides, Archimèdes Apollonius, người quan tâm đến ứng dụng thực hành Cách trình bày lý thuyết số Euclides hồn tồn khơng cần viện dẫn ví dụ số Các tác phẩm cịn đến ngày cho thấy, có tách biệt rõ rệt nghiên cứu túy ứng dụng thực hành Tuy nhiên, cho dù hai chủ đề phân biệt rõ ràng vậy, tác giả quan tâm đến toán học ”thuần túy” lẫn ”ứng dụng” Bộ phận toán học Hy Lạp mà theo quy ước ta gọi “thuần túy” có đặc điểm sau đây: Trình bày suy diễn: chuyên luận cổ điển, nguyên lý Euclides trình bày theo cách suy diễn Kết xác lập chứng minh, kết 18 đạt chứng minh từ trước nguyên lý đặt từ đầu Đây coi cách tiếp cận nửa theo tiên đề, nhấn mạnh đến khía cạnh lơgích tất yếu toán học Song, cần ghi nhận nhiều khó tách rời khía cạnh hùng biện với ưu điểm thu hút ý học sinh nhằm đạt tới hiệu tâm lý sư phạm, với khía cạnh lơgích tập trung vào cấu tất yếu khách quan biện luận Xu hướng hình học: cho dù nói đến lý thuyết số, hình học hay thiên văn học, xu hướng sách chứng minh hình học Tốn học cổ du nhập nhiều ký hiệu khác để ghi số phân số dùng cách viết tắt Nhưng, việc sử dụng hình hình học mà người Hy Lạp xa thử nghiệm dùng ký hiệu ”biểu diễn” Khả chia nhỏ hình thành phần tử, ấn định quay tắc dựng hình phép, tìm đặc tính ”có mặt” hình, tất khía cạnh hồn tồn thích hợp với cách trình bày suy diễn 3.2 Tốn học cổ Trung Quốc 3.2.1 Toán học Trung Quốc cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN) Bắt đầu từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), toán học Trung Quốc sớm tồn bao gồm số khắc mai rùa Các số sử dụng hệ số 10, số 123 viết (từ xuống dưới) kí hiệu cho số đến kí hiệu hàng trăm, sau kí hiệu cho số đến kí hiệu hàng chục, sau số Đây hệ số tiến giới vào thời điểm cho phép tính tốn thực bàn tính Thời điểm phát minh bàn tính khơng rõ, tài liệu cổ vào 190 Lưu ý the Art of Figures viết Xu Yue Bàn tính sử dụng trước thời điểm Ở Trung Quốc, vào 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng lệnh đốt tất sách nước Cho dù lệnh khơng tn thủ hồn tồn, ta biết tốn học Trung Hoa cổ đại Từ triều Tây Chu (từ 1046), cơng trình tốn học cổ cịn tồn sau đốt sách Kinh Dịch, sử dụng 64 quẻ hào cho mục đích triết học hay tâm linh Các hào hình vẽ gồm đường gạch đậm liền đứt nét, đại diện cho dương âm Sau đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 lập cơng trình tốn học phát triển dựa cơng trình mà Phần quan trọng số Cửu chương tốn thuật, tiêu đề xuất trước 179 CN, 19 nằm tiêu đề khác tồn trước Nó bao gồm 264 tốn chữ, chủ yếu nơng nghiệp, thương nghiệp, áp dụng hình học để đo chiều cao tỉ lệ chùa chiền, công trình, thăm dị, bao gồm kiến thức tam giác vng số π Nó áp dụng nguyên lí Cavalieri (Cavalieri's principle) thể tích nghìn năm trước Cavalieri đề xuất phương Tây Nó đặt chứng minh tốn học cho Định lý Pythagore, cơng thức tốn học cho phép khử Gauss Cơng trình thích Lưu Huy (Liu Hui) vào kỉ thứ trước Công nguyên Ngồi ra, cơng trình tốn học nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương Hành (Zhang Heng, 78-139) có cơng thức cho số pi, khác so với tính tốn Lưu Huy Trương Hành sử dụng cơng thức ơng cho số pi để tính thể tích hình cầu V theo đường kính D V= D3 + D3 = D3 Người Trung Quốc sử dụng biểu đồ tổ hợp phức cịn gọi 'hình vng thần kì', mơ tả thời kì cổ đại hồn chỉnh Dương Huy (12381398) 3.2.2 Tốn học Trung Quốc cổ điển (khoảng 400-1300) Tổ Xung Chi (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời Nam Bắc Triều tính giá trị số π xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết xác số π gần 1000 năm Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, nhà Đường kết thúc vào nhà Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều toán phát sinh giải trước xuất châu Âu Các phát triển trước hết nảy sinh Trung Quốc, lâu sau biết đến phương Tây, bao gồm số âm, định lý nhị thức, phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính Định lý số dư Trung Quốc nghiệm hệ phương trình đồng dư bậc Số âm đề cập đến bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN Định lý nhị thức tam giác Pascal Yang Hui nghiên cứu từ kỷ 13 Ma trận người Trung Quốc nghiên cứu thành lập bảng ma trận từ năm 650 TCN Người Trung Quốc phát triển tam giác Pascal luật ba lâu trước biết đến châu Âu Ngoài Tổ Xung Chi ra, số nhà toán học tiếng 20 ... phát triển toán học, giai đoạn lịch sử định nhiệm vụ môn lịch sử toán Lịch sử toán khoa học quy luật khách quan phát triển toán học Lịch sử tốn liên quan đến tồn tốn học nhiều ngành khoa học khác... toán học Chương Toán học sơ cấp Chương Toán học cao cấp cổ điển Chương Toán học đại Chương Vài nét tốn học Việt Nam Chúng tơi hy vọng giảng đóng góp phần nhỏ vào việc giảng dạy học mơn lịch sử. .. tốn học với khoa học khác có tượng liên ngành chặt chẽ Phạm vi ứng dụng toán học mở rộng chưa thấy 1.2 Lịch sử toán với việc dạy học toán trường Trung học sở Nếu người, hiểu biết lịch sử khoa học