Một số hàm đặc biệt ứng dụng trong kỹ thuật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO- UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN TẤT ĐẢM MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO- UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN TẤT ĐẢM MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn học Mã số: 8460102 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn THANH HÓA, NĂM 2019 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1896/QĐ-ĐHHĐ ngày 21/11/2019 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị Cơ quan công tác Họ tên Chức danh Hội đồng GS.TS Đặng Quang Á Viện hàn lâm KH&CN Việt Nam Chủ tịch GS.TSKH Đinh Dũng Viện CNTT-ĐHQG Hà Nội Phản biện TS Hoàng Văn Thi Sở GD&ĐT Thanh Hóa Phản biện TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức Uỷ viên Trường ĐH Hồng Đức Thư ký TS Mai Xuân Thảo Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội Đồng Ngày 22 tháng 12 năm 2019 Xác nhận Ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn *Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Bộ môn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khoá luận, luận văn, luận án cơng bố Các nội dung trích dẫn rõ ràng từ tài liệu tham khảo Cách trình bày hành văn không trùng lặp với tài liệu biết Ngƣời cam đoan Nguyễn Tất Đảm ii LỜI CẢM ƠN Để hồn thành luận văn này, tơi nhận giảng dạy nhiệt tình giảng viên lớp cao học tốn giải tích K -10, Đại học Hồng Đức, giúp đỡ trường THPT Đặng Thai Mai, gia đình bạn khóa Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn giảng viên trường Đại học Quốc Gia Hà Nội, người thầy trực tiếp hướng dẫn tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo sau Đại học, khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt q trình học tập trường Tơi xin trân trọng cám ơn BGH đồng nghiệp thuộc tổ Tốn trường THPT Đặng Thai, xã Quảng Bình, huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa tạo điều kiện thuận lợi để giúp tơi tham gia khóa học thạc sỹ Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thanh Hóa, tháng 11năm 2019 Kí tên Nguyễn Tất Đảm iii MỤC LỤC Cam đoan ………………………………………………… Lời cảm ơn ………………………………………………… Mục lục ……………………………………………………… MỞ ĐẦU………………………………………………………… Chương I HÀM SỐ VÀ KHÔNG GIAN HÀM 1.1 Không gian hàm………………………………………… 1.1.1 Các ký hiệu……………………………………………… 1.1.2 Các không gian hàm…………………………………… 1.2 Các hàm đặc biệt bản……………………………… 1.2.1 Hàm delta Dirac ……………………………………… 1.2.2 Hàm Heaviside ……………………………………… 1.2.3 Hàm gamma ………………………………………… 1.3 Hàm Gauss ……………………………………………… 1.3.1 Định nghĩa …………………………………………… 1.3.2 Tính chất …………………………………………… 1.3.3 Hàm Gauss hai biến ………………………………… 1.3.4 Hàm Gauss rời rạc …………………………………… 1.3.5 Ứng dụng ……………………………………………… 1.4 Hàm Hermite …………………………………………… 1.4.1 Đa thức Hermite ……………………………………… 1.4.2 Tính chất ……………………………………………… 1.4.3 Hàm Hermite ………………………………………… 1.4.4 Trường hợp nhiều biến …………………………… 1.5 Hàm sai số ……………………………………………… 1.5.1 Định nghĩa ……………………………………………… 1.5.2 Tính chất ……………………………………………… 1.5.4 Ứng dụng ……………………………………………… 1.5.5 Những hàm khác liên quan ………………………… Chương II ỨNG DỤNG MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT TRONG KỸ THUẬT 2.1 Ứng dụng hàm heaviside …………………………… 2.1.1 Bài toán tín hiệu cho phương trình sóng …………… 2.1.2 Bài tốn truyền nhiệt nửa hữu hạn……… 2.2 Ứng dụng hàm Gauss ……………………………… 2.2.1 Sử dụng hàm Gauss xác định bề rộng trung bình đường nhiễu xạ mẫu thép cao tần………………… 2.2.1.1 Cơ sở lý thuyết ……………………………………… 2.2.1.2 Trình tự thí nghiệm ………………………………… 2.2.1.3 Kết khảo sát …………………………………… 2.2.1.4 Kết luận ……………………………………………… 2.2.2 Ứng dụng phân phối chuẩn thực tế kinh i ii iii 3 6 14 14 17 18 20 21 22 22 24 27 29 30 30 31 32 32 35 35 35 36 38 38 38 38 39 44 44 iv tế …………………………………………………………… … 2.2.2.1 Ứng dụng phân phối chuẩn thực tế …… 2.3 Ứng dụng hàm delta Dirac ………………………… 2.3.1 Ứng dụng ……………………………………………… 2.3.1 Ứng dụng ……………………………………………… 2.3.1 Ứng dụng ……………………………………………… 2.3.1 Ứng dụng ……………………………………………… KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………… Tài liệu tham khảo ……………………………………………… 47 51 51 52 54 56 59 60 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong sống ta bắt gặp nhiều thiết bị khoa học công nghệ, nhiều sản phẩm công nghệ cao với quy trình điều khiển tinh vi Nhưng thực tế người biết điều khiển có liên quan đến mơn tốn hay không Trong đề tài đề cập tới số hàm đặc biệt có nhiều ứng dụng khoa học, kỹ thuật cụ thể xác suất thống kê, việc xử lý lọc truyền tín hiệu, phương trình điều khiển Vì khn khổ luận văn thạc sĩ, nghiên cứu đề tài “Một số hàm đặc biệt ứng dụng kỹ thuật” với mục tiêu cung cấp thêm cho độc giả biết thêm nhiều ứng dụng có giá trị hàm số sống Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu, trình bày cách có hệ thống số hàm đặc biệt tính chất, ứng dụng khoc học, kỹ thuật, sống Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hàm gồm: Hàm Gauss, hàm Hermite, hàm gamma, hàm Heaviside, hàmdelta Dirac Phạm vi nghiên cứu tính chất hàm hàm Gauss, hàm Hermite, hàm sai số Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, tổng hợp từ việc nghiên cứu định nghĩa, định lí, tính chất để rút ứng dụng khoa học ký thuật sống Phương pháp đọc sách, tài liệu…nhằm tổng hợp cách rút tính chất, cách chứng minh tính chất, tìm mối liên hệ hàm số với mối liên hệ chúng với nghành khoa học khác Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, luận văn gồm chương Chƣơng Hàm số không gian hàm Chương trình bày số hàm số đặc biệt như: hàm delta Dirac, hàm Heaviside, hàm gamma, hàm Gauss, hàm Hermite, hàm sai số ứng dụng chúng Chƣơng Ứng dụng hàm đặc biệt kỹ thuật thực tế Chương trình bày ứng dụng hàm delta Dirac, hàm Heaviside, hàm Gauss CHƢƠNG HÀM SỐ VÀ KHƠNG GIAN HÀM 1.1 Khơng gian hàm Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [3] 1.1.1 Các ký hiệu : 0;1;2;3;  Tập hợp số tự nhiên : 0; 1; 2; 3;  Tập hợp số nguyên Trường số thực ký hiệu vị ảo ký hiệu i với i  1 , trường số phức ký hiệu Ký hiệu không gian Euclid thực hữu hạn chiều vector x, y  chúng, x  d d Đơn Với hai cặp , ký hiệu: xy : x, y tích vơ hướng thơng thường x, x bán kính vector x (đơi khi, x cịn gọi chuẩn euclid x ) Do sau ta viết cos xy : cos x, y , sin xy : sin x, y , eixy : e i x, y  x, y   , d hàm mũ biến eit  cos t  i sin t Giải sử p   p1; p2 ; ; pd   pk  , k  1,2,3, , d  có thứ tự gồm d số ngun khơng âm Khi đó, p gọi d -bó, gọi đa số Ký hiệu p : p1   pd Giả sử hai đa số p, q thỏa mãn tính chất: p j  q j với j  1,2,3, d Ta nói đa số p thấp da số q , ký hiệu p  q Như tồn thứ tự phận tập hợp tất d -bó, khơng có thứ tự tồn Với vector x  d ta ký hiệu x p : x1p xdp , 47 Phân phối chuẩn đặc trưng hai tham số giá trị kỳ vọng  (Muy) cịn hiểu giá trị trung bình, độ lệch chuẩn  (sigma) Trong giá trị  mức trung bình tất liệu nghiên cứu  phản ánh mức độ đồng liệu Chỉ số IQ- dùng để đánh giá mức độ thông minh người, tuân theo phân phối chuẩn Phân phối có giá trị kỳ vọng   100,  15 , hay hiểu nơm na số IQ trung bình dân số giới 100 , độ lệch tiêu chuẩn 15 Theo tính chất phân phối chuẩn % diện tích hình giới hạn đường cong Bell Curve sau: Bảng 13: Diện tích phân phối chuẩn Tỉ lệ diện tích Giới hạn (   ) 68,2% 1 95,4% 2 99,7% 3 99,99% 4 99,9999% 5 99,999999% 6 Như có 68,2% dân số giới có mức IQ từ 85 tới 115 (từ 100  15 tới 100  15 ) tức khoảng     ;     Khoảng coi khoảng mặt chung tập hợp hay khoảng đa số Nói cách khác, gặp ngẫu nhiên 100 người hành tinh này, thường bạn gặp 68 người có IQ “bình thường” Vậy hội để gặp “thiên tài” có mức IQ lớn 160 nhà bác học Alber Einstein hay Stephen Hawking bao nhiêu? Rõ ràng với mức IQ 160 nằm   4 hội 1  99,99% /  0,005% Phân phối chuẩn nhìn từ góc độ kiểm định giả thiết cho ta mức tin cậy định trước ta tới kết luận Trong mơ hình nghiên cứu vật, tượng cách thu thập nhiều số liệu chúng, xuất điểm số liệu cách mơ hình kiểm tra vài độ lệch chuẩn, chứng mạnh mẽ cho thấy điểm số 48 liệu khơng khớp với mơ hình Như đọ lệch chuẩn  sử dụng thước đo Tuy nhiên, làm sử dụng thước đo tùy thuộc vào tình cụ thể Giáo sư John Tsitsklis MIT, người giảng dạy sở Xác suất phát biểu, “Thống kê nghệ thuật, với nhiều chỗ cho sáng tạo sai lầm” Một phần nghệ thuật xác định xem số đo có nghĩa tình cho [5] Ví dụ, xét nghiệm ADN để xác định huyết thống cha con, người ta thường lấy mức 4 , tức trùng khớp 99,99% kết luận có huyết thống cha 2.2.2.1 Một số kết phân phối chuẩn Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [7] e - Hàm mật độ f  x    2  x    2 2 ; - Trung bình  ; - Phương sai  ; - Độ lệch chuẩn  ; - Đồ thị hàm mật độ xác suất phân phối chuẩn có dạng hình chng, đối xứng qua đường thẳng x   49 Hình 2.15: Hình ảnh số phân phối chuẩn - Ngồi cịn có phân phối chuẩn tắc U  0,1 với hàm mật độ   x  e 2  x  2 ; Ф x  2 t e  x2 dx  -Một số kết phân phối chuẩn biểu diễn qua phân phối chuẩn tắc: u *) P   U  u   Ф0  u      x  dx  Ф0  u   Ф0  u  ; Ф0  u   Ф  u   0,5 ; Ф0     0,5 b  a *) P  a  X  b   Ф0   Ф 0          *) P  X       2Ф0      *) Suy quy tắc 2 : P  X    2   0,9544 *) Quy tắc 3 : P  X    3   0,9973 50 *) Giá trị tới hạn chuẩn +) P U  u     Ф0  u   0,5   ; Ф  u     +) u  u1 +) u0,05  1,645; u0,025  1,96; u0,1  1,28 Ứng dụng 1: Xác định kỳ vọng lớn Giả thiết số lượng báo tuần bán biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N 100000,25000 G lợi nhuận thu Xác định số lượng phát hành n cho lợi nhuận kỳ vọng lớn Biết bán tờ lãi 170 đồng, không bán lỗ 90 đồng Lời giải Ký hiệu f  x  hàm mật độ phân phối xác suất X +) Nếu X  n ta có G  260 X  90n +) Nếu X  n ta có G  170n Do E G   n  n   n   260 x  90n  f  x  dx   170nf  x  dx n n n    n  260 xf  x  dx   90nf  x  dx   170nf  x  dx   170nf  x  dx   170nf  x  dx   n n    260  xf  x  dx  260n  f  x  dx  170n    n Ta phải tìm giá trị n cho hàm   n  đạt giá trị lớn Ta có n    n   170  260  f  x  dx  170  260 P  X  n   51  n    P  X  n   170  0,65384 260 n   n  100000  Mặt khác P  X  n   Ф0    Ф0     Ф0     0,5     25000   n  100000  Suy Ф0    0,15384  Ф0  0,4   25000   n  100000  0,4  n  110000 25000 Vậy cần phát hành 110000 tờ báo tuần để đạt lợi nhuận kỳ vọng lớn Ứng dụng 2: Đánh giá rủi ro Có hai thị trường A B , lãi suất cổ phiếu hai thị trường biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn X ,Y , độc lập với biết X  N 19;62  , Y  N  22;102  a Nếu mục đích đạt lãi suất tối thiểu 10% nên đầu tư vào loại cổ phiếu nào? b Để tránh rủi ro nên đầu tư vào cổ phiếu hai thị trường theo tỉ lệ nào? Lời giải a Ta có x P  X  10   Ф0     Ф0    0,5  Ф0 1,5  0,5  0,4332  0,9332     y P Y  10   Ф0     Ф0    0,5  Ф0 1,2   0,5  0,3849  0,8849    Vậy với mục đích đạt lãi suất tối thiếu 10% nên đầu tư cổ phiếu vào thị trường A b Nếu kí hiệu  tỉ lệ đầu tư vào cổ phiếu thị trường A tỉ lệ đầu tư cổ phiếu thị trường B   Vậy để tránh rủi ro ta phải tìm  cho V  X  1   Y  nhỏ 52 Vì X , Y hai biến ngẫu nhiên độc lập nên V  X  1   Y    2V  X   1    V Y   36  100 1     136  200  100  f   f     272  200; f        200  0,74 272 Vậy để tránh rủi ro nên đầu tư vào cổ phiếu hai thị trường A B theo tỉ lệ 0,74 : 0,26 2.3 Ứng dụng hàm delta Dirac 2.3.1 Ứng dụng 1: Bài toán hố học lượng tử Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [4] Xét hạt khối lượng m với hàm V  x   V0  x  Hãy V0 có giá trị âm tồn trạng thái liên kết lượng liên kết mV02 2 Lời giải Trong phương trình Schrodinger: d 2 2m  E  V  x     dx Nếu đặt E  trạng thái liên kết đặt k2  2m E , U0  2mV0 Ta thu d 2  k 2  U 0  x   dx 53 Tích phân hai vế theo x từ  đến  ,  số nhỏ tùy ý, ta có            k   dx  U 0     Với   0 , biểu thức trở thành    0     0   U 0   Đối với x  phương trình Schrodinger có nghiệm hình thức   x  exp  k x  với k  dẫn đến:   x  kx x  kx  ke , x  0, k e   kx x  ke , x  Và    0     0   U 0    2k   Như k   U0 , cần có V0  Năng lượng trạng thái liên kết là: k 2 mV02 E  2m 2 Và lượng liên kết mV02 Eb   E  2 Hàm sóng trạng thái liên kết mV0  mV0   mV0  x  exp   x  2       x   A exp  Ở số A thu từ điều kiện chuẩn hóa    dx    dx  2.3.2 Ứng dụng 2: Bài toán tán xạ hạt tự Xét hạt có khối lượng m chuyển động chiều tán xạ V  x  Chứng tỏ 54 GE  x   2   dk  eixk , 2 k E  i 2m với  số dương vô nhỏ GE  x  hàm Green hạt tự phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian với lượng E điều kiện sóng Lời giải Để phương trình Schrodinger chiều khơng phụ thuộc vào thời gian:  d2   E   V   2m dx  Ta định nghĩa hàm Green GE  x  thỏa mãn phương trình sau  d2   E  GE  x     x    2m dx  Biểu diễn GE  x    x  qua tích phân Fourier GE  x   2   x  2   f k e ixk dk ,   e ixk dk  Rồi thay vào phương trình GE  x  , ta thu   d2  E  f  k   1,   2m dx  hay f k   k2 E 2m Vì điểm kì dị f  k  nằm đường lấy tích phân tích phân Fourier xem tích phân lấy mặt k phức, ta thêm i , 55  số dương nhỏ, vào mẫu số f  k  Sau lấy tích phân ta lại cho    Xét GE  k   2  eixk 2  dk k  E  i 2m Tích phân có điểm kì dị  E  i   2 k  2m Nghĩa k  k1 , k1  2m  E  i  Khi x  , tích phân trở thành tích phân theo đường cong kín nửa mặt phẳng với điểm kì dị k1 với thặng dư 1   meik1z  k1 Cơng thức tích phân Cauchy cho ta GE  x   2 ia1  i Khi   , k1  2mE m ixk e k1  x   Đây giá trị k1 sử dụng biểu thức GE  x  Tương tự, x  , ta lấy tích phân theo đường cong kín nửa mặt phẳng thu GE  x   i Ở có k1  2mE m ixk e k1  x   Vì hàm Green hạt tự GE  x  biểu diễn sóng với x  x  2.3.3 Ứng dụng 3:.Bài toán phổ lượng 56 Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [8] Tìm hàm sóng mức lượng phổ dán đoạn hạt trong trường thế(Hình 2.16) U  x     x  ,   Hình 2.16: Hàm sóng mức lƣợng Tính động trung bình hạt trạng thái Lời giải Phương trình Schrodinger nghiệm có dạng sau  2m      x   x   E ,  k2  A exp  kx  , x  ,   x   với E  2m   B exp  kx  , x  k  Ta sử dụng hệ thức    x0      x0    2m    x0     x0  0     x0  0     x0  Áp dụng vào toán ta thu A  B, k  k0  Từ suy m 57 E0   m Nghĩa tồn trạng thái thuộc phổ gián đoạn Hàm sóng chuẩn hóa trạng thái có dạng   x0   k0 exp  k0 x  Và hàm chẵn:   x     x  Với hàm sóng ta thu  U      x  02  x  dx   m 2  E0   m T  p  x  dx    E0 2m  2.3.4 Ứng dụng Bài toán lượng cực tiểu Một hố có chiều sâu vơ hạn giam giữ hạt vùng  x  L Hãy vẽ hàm sóng mơ tả trạng thái riêng lượng cực tiểu hạt Nếu hố đẩy dạng hàm delta, H     x  L /      thêm vào tâm hố, vẽ dạng sóng cho biết lượng hệ tăng lên hay giảm Nếu lượng ban đầu E0 ,    ? Lời giải Đối với hố vng góc, hàm riêng tương ứng với trạng thái có lượng cực tiểu giá trị lượng tương ứng 2  nx    x  sin   , E0  L 2mL2  L Đồ thị biểu diễn hàm sóng vẽ Hình 2.17 58 Hình 2.17: Đồ thị hàm sóng Khi thêm hàm delta, phương trình Schrodinger trở thành    k    x  L /   0, k  2mE ,  2m Các điều kiện biên   0    L   0,   L     L     L    L   L                  ,                         L  Sự xuất phương trình lấy lim  0  dx hai vế phương trình L  Schrodinger tính liên tục   x  x  Các nghiệm với x  L thỏa mãn   A1 sin  kx  ,  A2 cos  k  x  L   ,    L  x  L / 2,  x  L / 59 Đặt k  k0 ứng với trạng thái Điều kiện: A1   A2  A , hàm sóng trạng thái trở thành   A1 sin  k0 x  , 0    A2 cos  k0  x  L   ,   x  L / 2,  x  L / k0 nghiệm nhỏ phương trình siêu việt m  kL  cot     k    kL  Do cot    nên,  /  k0 L /   , hay  / L  k0  2 / L Hàm   sóng trạng thái mơ tả Hình 2.18 Hình 2.18: Hàm sóng trạng thái Năng lượng tương ứng k  E  E0  , 2m 2mL2 2 k0   / L lượng trạng thái E  4E0 60 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trên sở kiến thức tiếp thu sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu với giúp đỡ tận tình PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, Giảng viên trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội, tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ theo kế hoạch đề Luận văn thu số kết sau: Trình bày số hàm số đặc biệt tính chất chúng như: hàm delta Dirac, hàm Heaviside, hàm gamma, hàm Gauss, hàm Hermite, hàm sai số Nêu số ứng dụng thực tế, kỹ thuật hàm như: hàm delta Dirac, hàm Heaviside, hàm Gauss như: Ứng dụng truyền tín hiệu phương trình sóng, truyền nhiệt nửa hữu hạn, xác định bề rộng trung bình đường nhiễu xạ mẫu thép cao tần, ứng dụng phân phối chuẩn thực tế, xác định kỳ vọng lớn nhất, đánh giá rủi ro, toán tán xạ tự do, toán phổ lượng 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Dũng, Bài tập Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2002 [2] Dương Minh Hùng, Khoa kỹ thuật công nghệ, Trường Đại học Trà Vinh, số 22, tháng 7/2016 [3] Nguyễn Minh Tuấn, Biến đổi tích phân dạng fourier phương trình tích phân dạng chập, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2014 [4] YungKuo Lim, Bài tập lời giải Cơ học lượng tử, Nhà xuất Giáo dục, 2010 Tài liệu Internet [5] http://360.thuvienvatly.com/bai-viet/vat-ly-thong-ke/2228-sigma-bao- nhieu-thi-dang-tin-cay [6] [7] https://en.wikipedia.org/wiki/normal_distribution#history http://pup.edu.vn Phân phối chuẩn thống kê ý nghĩa thực tế giáo dục [8] https://vi.wikipedia.org/wiki/Hàm_bước_Heaviside