Tiểu luận phương trình toán lý các hàm đặc biệt

Hầu hết các hàm gặp phải trong phân tích mở đầu thuộc loại hàm cơ bản. Các loại đó bao gồm: hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm siêu việt (lượng giác, hàm mũ, logarit...) và hàm được xây dựng bằng cách kết hợp hai hoặc nhiều hơn các hàm này thông qua cộng, trừ, nhân, chia hoặc pha trộn. Ngoài ra, những hàm này ở trong cùng một loại với hàm đặc biệt, đó là những hàm quan trọng trong một trạng thái khác của Kỹ thuật và Vật lý ứng dụng. Việc sử dụng các phép biến đổi tích phân nặng nề xen kẽ với các hàm đặc biệt như hàm Gamma, hàm Error, hàm Bessel.... Tương tự, các hàm như: hàm đơn vị Heaviside và hàm xung, những hàm được sử dụng nhiều trong kỹ thuật ứng dụng. Do đó, một đánh giá ngắn gọn về một số hàm đặc biệt có thể hoàn toàn hữu ích trước khi thảo luận về phép biến đổi tích phân của chúng.

TIỂU LUẬN PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ Nhóm thực hiện: LÊ THỊ KIM CHI- M0814002 HUỲNH LONG – M0814007 VÕ MINH LỰC – M0814009 ĐẶNG PHÚC TOÀN – M0814017 THÁI MINH TƠ – M0814018 CÁC HÀM ĐẶC BIỆT Lời mở đầu: Hầu hết hàm gặp phải phân tích mở đầu thuộc loại hàm Các loại bao gồm: hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm siêu việt (lượng giác, hàm mũ, logarit ) hàm xây dựng cách kết hợp hai nhiều hàm thông qua cộng, trừ, nhân, chia pha trộn Ngoài ra, hàm loại với hàm đặc biệt, hàm quan trọng trạng thái khác Kỹ thuật Vật lý ứng dụng Việc sử dụng phép biến đổi tích phân nặng nề xen kẽ với hàm đặc biệt hàm Gamma, hàm Error, hàm Bessel Tương tự, hàm như: hàm đơn vị Heaviside hàm xung, hàm sử dụng nhiều kỹ thuật ứng dụng Do đó, đánh giá ngắn gọn số hàm đặc biệt hồn tồn hữu ích trước thảo luận phép biến đổi tích phân chúng Hàm Gamma: Một hàm đơn giản quan trọng hàm Gamma Mặc dù, có ứng dụng trực tiếp số hàm đặc biệt khác, hiểu biết tính chất hàm điều kiện cho việc nghiên cứu hàm Bessel hàm khác, hàm ứng dụng trực tiếp Về mặt lịch sử, hàm Gamma tìm L Euler (1707 – 1783) vào năm 1729, Người quan tâm đến vấn đề nội suy số:  n = 0, 1, 2, … n!   e  t t n dt Với giá trị không nguyên n, nghiên cứu ông cuối dẫn ông đến hàm Gamma:   ( z )   e t t z 1dt , Re(z) > * (1.1) Sau gọi tích phân Euler loại hai A.M.Legendre (1752 – 1833) Legrendre chịu trách nhiệm cho kí hiệu  , biểu tượng thường xuyên sử dụng cho hàm Gamma Biến số z phương trình (1.1) số thực số phức Mặc dù, tích phân khơng đúng, chứng minh hội tụ cho tất giá trị z mà Re(z) > với phần thực x phần ảo y Hàm (z) giới hạn phân biệt, thực tế hàm giải tích tồn miền Thay z + cho z phương trình (1.1) thực tích phân phần, ta được:   0  ( z  1)   e t t z dt  e t t z   z  e t t z 1dt Từ suy biểu thức đơn giản quan trọng là: ( z  1)  z( z) (1.2) Giá trị z = phương trình (1.1) đơn giản hóa tích phân dẫn đến kết quả:  (1)   e t dt  Do đó, cách sử dụng lại cơng thức (1.2), thấy rằng: (2)  1, (3)  1 , (4)  1  Vậy ta có cơng thức chung là:  (n  1)  n! = 0,1,2, … (1.3) Như vậy, thấy hàm Gamma hàm Euler’s mở rộng hàm giai thừa đến giá trị n không nguyên Hàm Gamma phần mở rộng hàm giai thừa để tất số phức với phần thực dương Trong phần tiếp theo, mở rộng lĩnh vực a)Tiếp tục phân tích cho Re(z) -1, z  biểu xác định (z) miền Thay z z + (1.4): ( z  1)  ( z  2) /(z  1) , z  1 Và thay vào (1.4), ta được: ( z)  ( z  2) / z ( z  1) , z  0,1 (1.5)  (z ) z  ,  Định nghiã cho tất Re(z) > -2, Tiếp tục trình này, suy rằng: ( z )  ( z  k ) z  0,1  k  z ( z  1)( z  2) ( z  k  1) , (1.6) Với k số nguyên dương Phương trình (1.6) sử dụng để định nghĩa cho hàm Gamma z với phần thực âm, ngoại trừ số nguyên âm Các giá trị z = 0,-1,-2,…, bậc hàm vậy: (n)   n = 0, 1, 2,… (1.7) Đồ thị hàm Gamma cho z = x, biến thực, phác họa hình 1.1 Hình 1.1: Đồ thị hàm gamma b) Những thuộc tính khác: Một ứng dụng phổ biến hàm Gamma việc ước lượng tích phân xác Đó là, xuất ứng dụng, thường có dạng gợi ý phương trình (1.1) số biến thể Ví dụ, đặt t = u (1.1), tìm thấy:   ( z )   e u u z 1du , Re (z) >0 Thay t = log (1/u) vào (1.1), ta được: 1   ( z )    log  u  Ví dụ 1: Tính tích phân I    z 1 du , Re (z)>0 e  x x dx điều kiện hàm Gamma 3 - Đặt t  x  dx  dt 3t vào tích phân: I  t e t dt 0 - Theo biểu thức 1.1 thì:  5 I   e  x x dx    3 Một mối quan hệ khác liên quan đến hai hàm gamma tìm thấy thông qua công thức biểu diễn 1.8 Trước tiên ta viết:      x  y   e u u x1du.2 e v v y 1dv  e  u v u x1v y 1dudv   0 Ở đây, x y biến thực Đổi biến: u  r cos ,  Suy ra:  x  y   40     2 v  r sin  e r r x1 cos x1  r y 1 sin y 1  rddr      x  y   4 e r r 2( x y )1dr  cos x1  sin y 1 d 0    x  y   2x  y  cos x 1  sin y 1 d    cos2 x1  sin y 1 d  x  y  , 2 x  y  x > 0, y > (1.10) (1.11)  Ví dụ 2: Tính tích phân 0 sin  cos d So sánh tích phân với thành phần tương ứng biểu thức 1.11, ta thấy: 2x – = 5, 2y – = hay x = 3, y = 5/2 Ta được: 5  3  2 02 sin  cos d   11  2   2  9 5 11 3  2;   1       2   sin  cos d   315    Cuối cùng, ta mong có liên hệ hàm gamma hàm lượng giác Ta đặt x = – z; y = z vào biểu thức 1.10:  z 1  z   2 tan z 1d z số thực phức Tiếp tục thực đổi biến: 1/ 2 Đặt u  tan   tan  u du  tan  1  tan  d ; d  2u / 1  u  du z 1  u      z   z  0  u du với < Re(z) < ta : ta giới hạn phần thực x biểu thức 1.13 Việc tính tích phân sau xác thơng qua tích phân đường nằm mặt phẳng phức Ta xét hàm dấu tích phân dạng phức (  plane): f     z 1 1  có cực điểm đơn   1 điểm nút   , chạy dọc theo đường bao quanh thể hình 1.2   R   Nếu ta viết   u dọc theo đường bao phía việc cắt i dọc theo truc thực dương ta viết   ue dọc theo đường bao bên hình cắt Hình 1.2 Đường tích tích phân Tích phân hàm f tồn miền kín dẫn đến kết quả:  c f  d   C f  d   f u du   R  C 'R    f  d   f ue 2i du R (1.4) Theo công thức điều kiện Cauchy – Riemann va cơng thức tính thặng dư, ta kết luận: lim  f  d  R CR lim   0 CR f  d  f   có cực điểm đơn   1 , ta thấy giới hạn   R   1.14 quy về: z 1 2i z 1  u ue  0 u  1du    u du  2i Re s 1 (1.15) u z 1 z 1 du  2i Re s 1  2i lim  z 1   1 2i u 1   1 z 1 i  z 1  eiz Khi 1.15 trở thành Tuy nhiên  1  e hoặc: 1  e  iz  u z 1  2ieiz  2ieiz  du   0 u  1  e2iz eiz eiz  eiz  sin z với < Re(z) < Khi kết hợp kết hai biểu thức 1.13 1.16 ta được:    (1.16)  sin z áp dụng cho giá trị z khơng ngun Nếu ta đặt z = ½ ta có: 1 / 21 /    hay 1 /    z 1  z   Ví dụ 1.3: Tính giá trị tích phân   cot x dx  Vậy:   cot x dx    cot x dx   cos 1/ x sin 1 /     3  4  xdx   1 sin  /   Một số đặc tính có liên quan đến hàm gamma, ta xem bên dưới:   t z 1 a)  z   0 e t dt , Re(z) >  t z 1 b) z   20 e t dt , Re(z) >  c) z  1  zz  d) n  1  n! , n = 0, 1, 2, … e) 1 /     z  k  f)  z   z ( z  1)( z  2) ( z  k  1) với k = 1, 2, … z 1 g)  2 z   z z  /  2n !     n  /  h) , n = 0, 1, 2, … 2 n n!  i) z 1  z   sin z , z không nguyên n n * j) n  1 ~ 2n n e , n   Hàm Bessel: Hàm Bessel có liên quan chặt chẽ với vấn đề đối xứng tròn đối xứng trụ, việc nghiên cứu dao động tự màng trịn tìm phân bố nhiệt độ trụ tròn Các hàm có trạng thái khác nhau, xuất nhiều lĩnh vực khác kỹ thuật ứng dụng khoa học vật lý chúng coi hàm quan trọng ngoại trừ nghiên cứu tính tốn Hàm Bessel loại I định nghĩa:  (1) k ( z / 2) k  J ( z )   (1.32) k 0 k!( k    1) Trong công thức trên, tham số  biểu thị cho bậc hàm Bessel Khi   n, (n  0,1,2, ) phương trình (1.32) xác định bậc nguyên hàm Bessel  (1) k ( z / 2) 2k n J n ( z)   n = 0,1,2,… (1.33) k!(k  n)! k 0 mà dạng đơn giản là:  (1) k ( z / 2) 2k J ( z)   (1.34) (k!) k 0 Các đồ thị J n ( x ) , n = 0,1,2,… biểu diễn hình 1.5, x thực Các tham số  (1.32) nhận giá trị âm Ví dụ,   n, (n  0,1,2, ) được:  (1) k ( z / 2) 2k n  (1) k ( z / 2) 2k n J n ( z )    k!(k  n)! k!(k  n)! k 0 k n Với /(k  n)! 0(k  0,1,2, ,n  1) hệ phương trình (1.7) Cuối thay đổi số mũ k = m + n Hình 1.5: Đồ thị (1) mn ( z / 2) 2mn (m  n)!m! m0  J n ( z )   Từ suy ra: J n ( z )  (1) n J n ( z ) , n = 0,1,2,… (1.35) Tuy nhiên, mối liên hệ áp dụng cho tích phân bậc nguyên hàm Bessel Viết lại phương trình (1.32) dạng:   z J ( z )    2 ( 1) k ( z / 2) k  k 0 k !  ( k    1) Trong công thức trên, chuỗi bên phải hội tụ tồn mặt phẳng z Vì thế, hàm (2 / z ) J ( z ) hàm nguyên z Tuy nhiên, điều nghĩa J  ( z ) nguyên Nếu   khơng ngun, rõ ràng J  ( z ) có điểm gián đoạn không xác định z = 0, đó, khơng thể miêu tả tồn hàm Nhưng,   n , n = 0,1,2,…, biểu diễn J  ( x ) hoàn chỉnh – hệ phụ thuộc vào mối liên quan theo (1.35) Hàm Bessel đặt tên F.W.Bessel (1784 – 1846), Người vào năm 1824 thực nghiên cứu hệ thống thuộc tính hàm có nguồn gốc từ phương trình vi phân Dù sao, hàm Bessel phát Euler người khác, họ người có quan tâm với vấn đề khác ngành học, chuỗi vô hạn (1.34) thu D.Bernoulli 1703 – 120 năm trước nghiên cứu tiếng Bessel – kết hợp với nghiên cứu ông trạng thái dao động chuỗi treo a) Các tính chất bản: Hàm Bessel thỏa số lượng lớn đặc tính như: d   z J ( z)  z J 1 ( z) (1.36) dz d Và z  J ( z)   z  J 1 ( z) (1.37) dz Cả hai theo phép lấy vi phân theo biến z chuỗi giới hạn z J (z ) z  J  (z ) Nếu thực phép tính vi phân (1.36) (1.37) đơn giản hóa kết quả, ta được:  J' ( z)  J ( z)  J 1 ( z ) (1.38) z  Và J' ( z )  J ( z)   J 1 ( z ) (1.39) z Thay   (1.39) dẫn đến kết đặc biệt: J 0' ( z )   J1 ( z ) (1.40) Lấy tích phân trực tiếp (1.36) (1.37) đưa đến mối quan hệ tích phân:   (1.41)  z J 1 ( z)dz  z J ( z)  C Và  z  J 1 ( z )dz   z  J ( z )  C (1.42) C số tích phân Như nguyên tắc tổng qt, bất lỳ tích phân có dạng: m  z J n ( z)dz , m + n > m n số nguyên, tính việc sử dụng (1.41) (1.42), với kỹ thuật tính tích phân tiêu chuẩn tích phân phần Khi m + n lẻ, tích phân đánh giá khép kín hình thức, cịn sót lại tích phân  J ( z )dz m+n chẵn Ví dụ: Biến đổi  z J z dz thành biểu thức tích phân liên quan đến J  z  - Sử dụng biểu thức 1.42, ta có:  z J z dz   z z 1  J  z  dz - Dùng tích phân phần, ta được:  z J z dz   z J z   3 zJ z dz 2 1 - Tích phân phần lần phần tích phân sau cùng, kết quả:  z J z dz   z J z   3zJ z   3 J z dz 2 0 * Những tính chất cho J z  :  1k z  (J1): J  z    k 0 k! k    1 (J2): J 0   1; J  0   ,   k 1  (J3): J n  z    1 J n  z  , n = 0, 1, 2, … d  ( z J z   z J 1 z  (J4): dz d  ( z J  z    z  J 1  z  (J5): dz  (J6): J '  z   J  z   J 1 z  z  (J7): J ' z   J z    J 1  z  z (J8): J  1  z   J  1 z   J  '  z   (J9): J 1  z   J 1  z   J  z  z   (J10):  z J  z dz  z J  z   C n  1 (J11):  z J z dz   z  J z   C  1  (J12): J z   2  2 eiz cos d z   (J13): J   z  ~    1 ,   1,2,3, , z  (J14): J z  ~   1  cos  z      , z 2 2   z  , arg(z)   Chú ý: Trong ứng dụng định, thật quan trọng để nhận hàm Bessel Y (x ) khác, gọi hàm Bessel thuộc loại hai bậc  Hàm định nghĩa bởi: J ( x) cos  J  ( x) Y ( x)   sin  kết lợp tuyến tính J  ( x ) J  ( x ) thỏa mãn quan hệ giống J  ( x ) b) Hàm Bessel sửa đổi: Trong số ứng dụng hàm Bessel J  ( z ) xuất đối số ảo Qua z = iy (1.32), thu được:  ( y / 2) k   J (iy)  i  (1.43) k 0 k!( k    1) Ngoại trừ yếu tố i , phía bên phải (1.43) định nghĩa hàm thực, mà gọi hàm Bessel sửa đổi hàm Bessel loại 1” biểu thị biểu tượng I ( y ) Vậy: I ( y )  i  J (iy ) (1.44) Phân tích chi tiết, khái quát hóa cho lập luận phức tạp cách viết:  ( z / 2) k  I ( z )   (1.45) k 0 k!( k    1) So sánh chuỗi đại diện với phương trình (1.32) với J  ( z ) , xuất I  ( z ) J  ( z ) có nhiều tính chất chung Thực hàm Bessel sửa đổi thỏa mối quan hệ tương tự cho tất hàm Bessel chuẩn Đặc biệt, hàm Bessel sửa đổi thỏa đặc tính giống J  ( z ) cho (1.36) – (1.42) Sự khác biệt lớn hàm có lẽ biểu thị đồ thị cho biến thực x Đó là, đồ thị J  ( z ) có đồ thị dao động hình sin hoặc, cosin ngoại trừ biên độ giảm, đồ thị I  ( z ) cho thấy khơng có dao động Trong ứng dụng định, đặc biệt lý thuyết xác suất, thấy xuất hàm Bessel sửa đổi khác, viết dạng:  I  ( z )  I ( z) K ( z )  (1.46) sin Hàm gọi hàm Bessel sửa đổi hàm Bessel loại đồ thị cho giá trị  nguyên xác định cho hình 1.7 Hình 1.6: đồ thị Hình 1.7: đồ thị Một số tập áp dụng hàm Gamma hàm Bessel 4.1 Các tập hàm Gamma Bài 1: Sử dụng 1 /    cần để tính: a) 6  c) 7 / 2 b) 3 / 2 d) 8 / 3 / 2 / 3 Bài 2: Dùng biểu thức 1.11 để tính giá trị tích phân:  /2   b)  a) /2 sin5 xdx c)   dx  x4 sin x cos2 xdx Bài 3: Hàm Beta định nghĩa tích phân: Bx, y    t x 1 1  t  dt, x  0, y  y 1 Chứng minh rằng: a) Bx, y    x  y  x  y  b) B x, y     u x 1 1  u x  y du Bài 4: Sử dụng cơng thức để tính: a) B (2,3) b) B(1/2,1) c) B(2/3, 1/3) d) B(3/4,1/4) 4.2 Bài tập hàm Bessel Bài 1: Dựa biểu thức 1.38 1.39, suy rằng: a) J ' ( z )  J 1 ( z )  J 1 ( z ) 2 b) J ( z )  J 1 ( z )  J 1 ( z ) z Bài 2: Dùng chuỗi biểu diễn 1.32, chứng minh rằng: a)   d  z J ( z )  z J 1 ( z ) dz b)   d  z J ( z )   z  J 1 ( z ) dz Bài 3: Bằng cách so sánh chuỗi, suy rằng: sin z z J / z   Bài 4: Sử dụng biểu thức Jacobi – Anger: eix sin     J xe n   in n Chứng minh rằng: cosx sin    J x   2 J n x  cos2n  Giải tập 4.1 Các tập dùng hàm Gamma Bài 1: Sử dụng 1 /    cần để tính: a) 6   5! 1.2.3.4.5  120 1  2         15  c) 7 / 2  1      1    1      2 2  2 2  2 2 5  2       3   10 d) 8 / 3 / 2 / 3    2 2     3       1 2 b) 3 / 2  1       Bài 2: Dùng biểu thức 1.11 để tính giá trị tích phân: a)   /2 sin xdx    /2   sin x  cos x dx    /2 sin x cos xdx    /2 sin x cos xdx 1 1  3 1 2  2  1.  .   /2 2 2  2   2   2    sin xdx     1   15 15 5 7 2.  2.  .  .  2  2 2 2 2 2 1 3 1  .   /2 2 2   b) 0 sin x cos2 xdx  1 5 2.  .  2 2 2 c)   dx  x4   1 Đặt x  tan   x  tan   dx   tan  tan d 2 x     0; x       /   dx   1 x  /2 1  tan  tan    tan  d  sin 0  /2  1 3      1 4  cos d       1 Bài 3: Hàm Beta định nghĩa tích phân: Bx, y    t x 1 1  t  y 1 dt , x  0, y  Chứng minh rằng: a) Bx, y    x  y  x  y  Đặt t  cos2   dt  2 cos sind  t     ;t  1     B  x, y    2 cos  sin  cos  x 1   cos    B  x, y    2 cos x 1  sin y 1  d  b) B x, y     Đặt t  u x 1 1  u x  y  y 1 d  x  y  (điều phải chứng minh)  x  y  du u du  dt  1 u 1  u 2 t   u  0; t   u   Bx, y    t x 1 1  t  y 1 dt , x  0, y  x 1  u   B  x, y      1 u    u x 1  B  x, y    1  u x  y      1 u  y 1 du , x  0, y  1  u 2 du , x  0, y  (điều phải chứng minh) Bài 4: Sử dụng công thức để tính:  2  3 1!2! 1.1.2     5  4! 1.2.3.4 12 1 1  1   1  2    2 b) B ,1      1 2       2  2  2 1     2 2 1 3 1  1 c) B ,         1     1  3     sin  a) B 2,3    1 sin    4   2 3 1     2   4 1  1 d) B ,         1     1 4 4     sin  4.2 Bài tập hàm Bessel Bài 1: Dựa biểu thức 1.38 1.39, suy rằng: Các biểu thức:  (1.38): J' ( z)  J ( z)  J 1 ( z ) z  (1.39): J' ( z )  J ( z)   J 1 ( z ) z a) Cộng hai biểu thức vế theo vế ta được:  J ' ( z )  J  1 ( z )  J  1 ( z ) b) Lấy (1.38) trừ (1.39) vế theo vế ta được: 2 z J ( z )  J 1 ( z )  J 1 ( z ) Bài 2: Dùng chuỗi biểu diễn (1.32), chứng minh rằng: a)   d  z J ( z )  z J 1 ( z ) dz (1) k ( z / 2) k  k 0 k!( k    1)  với J ( z )   a)   d  z J ( z )  dz   1k z / 2 k  2 2 d  dz k  k !  k    1     1k ( k   ). z   d  z J  ( z )  z  dz k 0 b) d  z J ( z )   z  J 1 ( z ) dz     k 0 (1.32)  1k ( k  2 )  z  22 k !  k    1 2 k !  k     z  J  1  z  (điều phải chứng minh) (1) k ( z / 2) k  k 0 k!( k    1)  với J ( z )        d  z J ( z )  dz  k 0  1k z / 2 k   k ! k    1 k 0   1k k  z     (1.32)  1k k  z  k 0 k 1 22 k !  k    1  k 1  2 k !  k    1 2 k  1  d  d z J ( z )  dz dz k  2 1 z   1k ( z / ) k  1  k  ( k  1)!  k    1  Thực đổi biến k = m+1:  d   1 ( z / ) m  1   z  J z   z J  ( z )  z   1  1 dz m  m!  m     d   z J  ( z )   z  J v 1  z  (điều phải chứng minh) dz     m Bài 3: Bằng cách so sánh chuỗi, suy rằng: J / z    J1 / z    k 0  1k z / 2 k 1 /   k !   k   1   sin z z k k 1 / 2 k   k  1!  1  z /   k! 2 k  !  k 0   1k z / 22 k 1/ 2 k 2 k  1    1k z / 22 k 1 z /  2 k 1  J 1/  z     2k  1!  2k  2!  k 0 k 0   J 1/  z   k    1 z k 1 2 z3 z5     z    sin z   z k 0 (2k  1)! z  3! 5! z  Bài 4: Sử dụng biểu thức Jacobi – Anger:   J xe eix sin   n   in n  Chứng minh rằng: cosx sin    J x   2 J n x  cos2n  n 1 - Sử dụng công thức:  eix sin   cos x sin    i sin  x sin     J xe n    e ix sin   cos x sin    i sin  x sin    in n  J x e n   in n 1   cos x sin      J n  x ein   J n x e in   n n      1   cos x sin      J n  x cosn   i sin n    J n  x cosn   i sin n   n n       1    cos x sin      J n  x cosn   i sin n    J n  x cosn   i sin n   n n     cos x sin    J  x   1  n   n 1  J n x cosn    J n x cosn   n  n 1  cos x sin    J  x    J n x  cos n    J n  x  cosn    cos x sin    J  x     1 J n x  cosn    J n x  cosn  n   n n 1  cos x sin    J  x   2 J n  x  cosn  (điều phải chứng minh) n 1 ...CÁC HÀM ĐẶC BIỆT Lời mở đầu: Hầu hết hàm gặp phải phân tích mở đầu thuộc loại hàm Các loại bao gồm: hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm siêu việt (lượng giác, hàm mũ, logarit ) hàm xây dựng cách... xen kẽ với hàm đặc biệt hàm Gamma, hàm Error, hàm Bessel Tương tự, hàm như: hàm đơn vị Heaviside hàm xung, hàm sử dụng nhiều kỹ thuật ứng dụng Do đó, đánh giá ngắn gọn số hàm đặc biệt hồn tồn... luận phép biến đổi tích phân chúng Hàm Gamma: Một hàm đơn giản quan trọng hàm Gamma Mặc dù, có ứng dụng trực tiếp số hàm đặc biệt khác, hiểu biết tính chất hàm điều kiện cho việc nghiên cứu hàm