Một số hàm đặc biệt trong vật lý hàm delta hàm gamma hàm bessel

Chuyên ngành vật lý lí thuyết ra đời đã nâng cao và khái quát những định luật Vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa học, đời sốn

Phần một: mở đầuNhư chúng ta đã biết, cho đến thế kỉ XIX thì một chuyên ngành vật lí mới đã ra đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học, đó chính là “ Vật lý lí thuyết” Chuyên ngành vật lý lí thuyết ra đời đã nâng cao

và khái quát những định luật Vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa học, đời sống và kỹ thuật Bằng những phương pháp toán học hiện đại, phát triển cao, Vật lý lí thuyết còn tìm ra những quy luật mới chưa hề được tìm ra bằng thực nghiệm và tiên

đoán trứơc được mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý

Trong suốt quá trình phát triển, Vật lý lí thuyết đã khẳng định rõ được chức năng, nhiệm vụ của mình Đó là:

Thứ nhất, diễn tả các quy luật Vật lý dưới dạng các hình thức định lượng và thành lập mối quan hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm; xây dựng những thuyết bao gồm và giải thích được một phạm vi rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý

Thứ hai, dùng phương pháp tổng hợp để tìm ra những quy luật mới, những qui luật có tính khái quát hơn

Như đã đề cập, vật lý lí thuyết, dùng các dụng cụ toán học để nghiên cứu và khái quát các hiện tượng, qui luật Những phương pháp toán học dùng trong vật lý lí thuyết nói chung, trong vật lý học hiện đại nói riêng rất phong phú, đa dạng; bao gồm một khối lượng lớn các kiến thức thuộc các lĩnh vực khác như: hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phận, các phép biến

đổi tích phân, đại số tuyến tính… Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, sẽ gặp các phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của chúng là các hàm đặc biệt như hàm Delta, hàm Gamma, hàm Bessel, hàm cầu,…

Tuy nhiên, trong quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân cũng như của rất nhiều các bạn sinh viên cùng khóa, để hiểu được một cách đầy đủ và

sâu sắc về các hàm đặc biệt không phải là việc làm đơn giản, dễ dàng Hơn nữa, các hàm đặc biệt còn có tầm quan trọng đặc biệt khi nghiên cứu một số các môn học khác như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, lí thuyết trường, vật lí thống kê, vật lí chất rắn,… Do đó, để rèn luyện kĩ năng giải các bài tập, hiểu và nắm được các công thức phức tạp cũng như phần lí thuyết trình bày trong giáo trình Cơ học lượng tử, điện động lực học, lí thuyết trường,… một cách kĩ càng và chắc chắn hơn thì trước hết phải hiểu sâu sắc và nắm chắc

được các hàm đặc biệt Từ đó mà vấn đề đặt ra là phải tìm hiểu và nắm vững nội dung các hàm đặc biệt Để giải quyết được vấn đề này một cách triệt để, chúng ta không chỉ đơn thuần là nắm được những khái niệm, những tính chất cơ bản của các hàm này mà phải kết hợp một cách phù hợp và nhuần nhuyễn với các công cụ toán học, biết vận dụng chúng vào các bài tập liên quan một cách linh hoạt

Từ những suy nghĩ trên, em đặt ra mục đích là phải nghiên cứu về một

số hàm đặc biệt trong vật lí để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình Luận văn này sẽ tổng hợp được nhiều kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau, đồng thời nó cũng sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn sinh viên khi học tập và nghiên cứu

Sau khi thực hiện đề tài nghiên cứu “ Một số hàm đặc biệt trong vật lí”, bản thân em đã hiểu sâu sắc và chi tiết hơn về các hàm đặc biệt thường dùng trong vật lí và cách vận dụng chúng để giải quyết và biểu diễn kết quả của các bài tập về vật lí thống kê, điện động lực học, cơ học lượng tử, lí thuyết trường, vật lí chất rắn,…

Nội dung của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Hàm Delta Chương 2: Hàm Gamma Chương3: Hàm Bessel

Phần hai: Nội dung Chương 1: Hàm DELTA

1 Hàm Delta:

1.1 Định nghĩa:

Trong vật lý học cổ điển và lượng tử hiện đại, ta thường gặp các chất

điểm có khối lượng các điện tích, các lưỡng cực…

Vì vậy để vẫn giữ nguyên các khái niệm về mật độ của chúng, năm

1926 P Đirac đã đưa ra hàm Delta  , sau đó S.L Xobolev và L Schwartz xây dựng về mặt toán học Hàm Delta  được Đirac đưa ra để miêu tả khái niệm vật lý trừu tượng như: mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm…

Các giá trị của hàm Delta không phải được xác định theo các giá trị của

đối số như các hàm thông thường mà bằng biểu thức định nghĩa ( cho hàm Delta một biến) như sau:

0

  bằng 0 ở tất cả các điểm trừ điểm x= x0, tại đó nó tiến đến vô cùng sao cho tích phân hàm này theo toàn miền là hữu hạn và bằng đơn vị:

Đối với đoạn [a, b], thay cho (I.2) ta có

Sử dụng (I.3) và cho   , ta được ( I.4) 0

Từ định nghĩa trên ta thấy: đồ thị của hàm Delta không được xác định, tuy vậy có thể biểu diễn nó bằng một đường cong bất kỳ có chiều cao vô cùng lớn và chiều rộng vô cùng hẹp, sao cho diện tích giới hạn bởi đường cong và trục hoành bằng đơn vị

2 Các bài toán liên quan:

2.1 Dùng hàm Delta để biểu diễn ý nghĩa vật lí của nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn

Bằng phương pháp Fourier ta đã tìm được nghiệm của phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn

2( x)

0h 0h tăng lên đến u0, còn nhiệt độ ở ngoài khaỏng

đó vẫn bằng 0 Vậy nhiệt độ trong thanh lúc t=0 được cho bởi :

xHình 1:

0   0 Bây giờ Q không đổi, cho h dần tới 0, tức

là ta truyền nhiệt lượng không đổi Q vào khoảng (x0 -h, x0+h) ngày càng thu hẹp đến điểm x0 Ta nói rằng có một nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ Q

đặt tại điểm x = x0 ở thời điểm t = 0 Dưới tác dụng của nguồn nhiệt điểm tức thời đó, phân bố nhiệt độ trong thanh lúc t > 0 được cho bởi:

2( x)

Người ta gọi hàm biểu diễn phân bố nhiệt độ nhiệt độ lúc đầu t = 0 trong thanh nếu lúc đó có một nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ Qc đặt tại điểm x = x0 là hàm Delta của Đirac và kí hiệu nó là (x x )

0

  Có thể định nghĩa nó một cách hình thức như sau:

1)

0; x x

0(x x )

Đồ thị của nghiệm cơ bản (I.6) với  cố định ở các thời điểm khác nhau

được vẽ ở hình H.2 Các đồ thị này đều nhận đường x =  làm trục đỗi xứng

x

v

O

Điều đó có nghĩa là nhiệt lượng Qc truyền cho thanh do nguồn nhiệt điểm tức thời lúc t = 0 là không đổi theo thời gian Trên Hình.2 , các

đường cong (1) , (2) , (3) , (4) tương ứng với các thời điểm 0 < t1 < t2 < t3 <t4

Trong phương trình truyền nhiệt, hệ số a chính là vận tốc truyền nhiệt k

a

c

 , nhiệt độ trong thanh cân bằng càng nhanh nếu hệ số truyền nhiệt trong thanh càng lớn và nhiệt dung c càng nhỏ

Cuối cùng ta xét ý nghĩa vật lí của nghiệm (I.5) Muốn cho điểm

x của thanh có nhiệt độ f ( )  lúc t = 0 ta phải phân bố trên đoạn nhỏ dquanh điểm  một nhiệt lượng dQc f ( )d   , hay đặt tại điểm x =  một nguồn nhiệt điểm tức thời có cường độ dQ Phân bố nhiệt độ lúc t > 0 trong thanh dưới tác dụng của nguồn nhiệt điểm tức thời ấy được cho bởi:

2( x)

Lời giải

Ta cã: (x) 1 dke ikxa(k) 1 dkeikx *a (k)

+ + (m2k k ' )a (k)a(k )e* ' i(k k )x '

uur ur

+ + (m2 k k ' )a (k)a (k )e* * ' i(k k )x'

Thay vµo biÓu thøc cña P0 ta cã:

'i(k k )x

+

+

'i(k k )x

(m k k )a(k)a (k )e  (k k )

uur ur

+

+

'i(k k )x

(m k k )a (k)a(k )e  (k k )

uur ur

+

+

'i(k k )x

BiÓu thøc nµy chØ h÷u h¹n khi k k ' 0 k  vµ k' k k ' 0 kk' Khi k k' k k' k k' kk' k 2 k2

'i(k k )

'i(k k )

a (k)a (k )e  (k k )

uur uur

+ +

'i(k k )

uur

Biểu thức của pi chỉ có nghĩa khi k = - 'k , k = 'k vì theo tính chất của

2.3 Bài toán trong cơ học lượng tử:

3.1 Bài toán chuẩn hóa các hàm số ( dùng cho các hàm ứng với phổ liên tục)

* Bài toán : Chuẩn hóa hàm số sau:

'p

Xét tích phân :

exp Pxp

ChuÈn hãa hµm A exp i pr , p ( , )

'p

'p

2 3 '

A (2 ) (p p )

ur ur

h = (p p ) '

ur ur

3(2 )

Vì PP' nên (P P ) '  hay (0 , ) 0

P'P

Vậy hệ các hàm p = A expi Px

h  là hệ các hàm trực giao

3.3 Tìm hàm sóng của hạt

* Bài toán: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với hạt ở

trạng thái trong tọa độ biểu diễn dạng

Tóan tử xung lượng trong tọa độ biểu diễn là: P  ih

Hệ hàm riêng của toán tử P : à

Vậy hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn là:

2.1 Dễ thấy rằng tích phân (II.1) hội tụ với mọi   0

2.2 Vì tích phân (II.1) hội tụ đều đối với a, A , a0, A  nên hàm



T( ) liên tục với mọi 0  

2.3 Cũng có thể chứng minh được rằng hàm ( ) có đạo hàm mọi cấp 

2.4 Công thức truy hồi toàn đối với hàm Gamma ( công thức cơ bản thứ

nhất): ( ) (  1)! (II.2)

Thật vậy, bằng tích phân từng phần ta có:

2.5 Công thức truy hồi toàn cơ bản thứ hai của hàm Gamma:

Đối với các  bản nguyên: (n1)(2n 1)!!n 

2.6 Hàm Gamma ( ) đã được định nghĩa bởi tích phân (II.1) với    0

Nếu   0 , ta định nghĩa nó bởi công thức (II.3), cụ thể là ( ) =  



( 1)

Chẳng hạn:

   

( 2,2) 1 ( 1,2)( 3, 2)

2.7 Khi  dần tới 0 hoặc tới một số nguyên âm thì ( ) dần tới vô cùng 

Thật vậy, với mọi  ta có:



( ) = 



( 1)

Khi 0, ( 1) (1) 1 Vậy  ( )   , ta viết (0) 

Ta lại có với n nguyên dương

2 Các bài toán liên quan:

ứng dụng hàm Gamma vào việc giải bài tóan của vật lý thống kê

Bài tóan:

Tính lượng hiệu chỉnh vào phương trình trạng thái của chất khí loãng

mà các phân tử của nó tương tác với nhau theo đinh luật

luật

(r) an

r với a > 0 nên biểu thứuc của áp suất khí lúc nâng có dạng chính

xác là:

r 1 e kTrn

3 0 sẽ bị triệt tiêu và khi đó biểu thức của Ptt sẽ chỉ còn lại là:

Chương 3: Hàm Bessel

1 Phương trình Bessel:

Giả sử có một đĩa tròn bán kính R khá mạnh, truyền nhiệt, có mặt xung quanh cách nhiệt Giả sử nhiệt độ u tại mỗi điểm của đĩa ở thời điểm t chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đó tới tâm và vào t : u = u ( r, t) Phương trình truyền nhiệt trong đĩa là:

Chọn tâm của đĩa làm gốc tọa độ, chuyển từ hệ tọa độ Đêcac (x, y) sang

hệ tọa độ cực (r, ) với chú ý u không thuộc  , tức là







u = 0, có thể viết phương trình trên thành:





t 0 (3.2) 

Từ điều kiện biên (3.3) suy ra: V(R) 0 (3.6)  Ngoài ra ta đặt một điều kiện hiển nhiên là: V(0)   (3.7)

Như vậy ta đi đến bài tóan giá trị riêng của phương trình (3.5) thỏa mãn

các điều kiện (3.6) và (3.7) Ta đã biết rằng phải dương, nếu không T(t) sẽ

hợp riêng của phương trình sau: S2d V2 SdV(S22)V0

dS

(3.9) trong đó  là một số dương nào đó Phương trình (3.9) gọi là phương trình

Bessel cấp  Điểm kỳ dị ( điểm tại đó hệ số có đạo hàm cấp cao nhất có mặt

trong một phương trình vi phân bằng không) của nó là S = 0

2 Giải phương trình Bessel Hàm Bessel

Ta hãy tìm một nghiệm riêng của phương trình Bessel



x y xy (x )y 0 (3.10) dưới dạng   

k 2

(3.11)

Ta luôn có thể giả thiết rằng a 0

0 , vì vậy từ phương trình đầu của (3.11) ta suy ra 22 0 hay   

Nếu ta lấy   thì từ các phương trình sau của (3.11) ta có:

Nếu ta lấy   , ta được một nghiệm riêng thứ hai của phương trình (3.10), nó suy ra từ nghiệm (3.12) bằng cách thay  bởi - , vì phương trình (3.10) không đổi khi ta thay  bởi - Đó là nghiệm:

là N (x)n   khi x 0

3 Vài công thức truy hồi:

Từ công thức (3.12) có thể dễ dàng chứng minh các công thức sau:

k 0NÕu trong (3.15) cho   0 ta ®­îc 

Từ công thức (3.12) ta thấy rằng nếu  là không điểm của hàm J (x) thì - cũng là không điểm của J (x) 

Ngoài ra người ta cũng chứng minh được rằng nếu   1 thì mọi không điểm của hàm J (x) đều thực 

5 Các hàm Bessel cấp không và cấp một:

Đó là các hàm Bessel thường gặp trong vật lí tóan Từ (3.12) ta suy ra rằng các hàm J (x),J (x)

0 1 có khai triển sau:

Dưới đây là bảng các nghiệm của phương trình J (x) 0

6 Tính trực giao của các hàm Bessel:

Giả sử  1, 2, , n là các nghiệm dương của phương trình J (x) 0

Nhưng vì:

Muốn chứng minh hệ thức sau của (3.19), trong

(3.25) ta đặt 

 ip

c Ta có:

7 Giải bài toán hỗn hợp (3.1) - (3.3)

Hai nghiệm độc ập tuyến tính của phương trình (3.8) là J (s)

0 và N (s)0

Do đó hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (3.10) là J ( r)

V bJ ( r)

0 



Từ điều kiện (3.6) suy ra J ( R)

0 = 0 Vậy R phải là không điểm của hàm J (x)

n R , n = 1, 2, 3, … Các hàm riêng ứng với chúng là :  

T (t) enVậy các hàm:

là nghiệm của phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện biên (3.3)

Ta sẽ xây dựng nghiệm của bài toán (3.1) - (3.3) dưới dạng

n 1

(3.27)

Chỉ cần xác định các hệ số bn sao cho hàm (3.27) thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.2) Trong (3.27) cho t = 0, ta được:

(3.28)

Tóm lại chuỗi hàm (3.27), trong đó hệ số bn được tính bởi công thứuc (3.28) là nghiệm của bài toán hỗn hợp (3.1) - (3.3), nếu chuỗi hàm ấy hội tụ

đều và có thể lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi hàm ấy một lần đối với t hai lần

đối với x Người ta chứng minh được rằng điều ấy xảy ra nếu hàm f(r) có thể khai triển được thành chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối và đều theo các hàm Bessel

độ cực (r, ) Phương trình dao động của màng viết thành:

Trong đó f và F là những hàm cho trước Ta sẽ giải bài toán đó bằng phương pháp tách biến Ta tìm nghiệm của (3.29)thỏa mãn (3.30) dưới dạng u(r, , t) v(r, )T(t)

Thế biểu thức này vào phương trình (3.29), ta có:

V(R)=0 (3.35) Ngoài ra ta có các điều kiện hiển nhiên sau:

V(0)   (3.36) (2 )  ( ) (3.37)

Từ (3.33) và (3.37) suy ra  n2 , còn nghiệm tổng quát của (3.33) là: ( ) K cos n K sin n

Với H1, H2 là các hằng số tùy ý Từ điều kiện (3.36) suy ra H2=0 Do đó trở lại biến r ta được: R (x)n H J (n r)

n 12

sè Anm, Bnm,Cnm, Dnm sao cho chuçi hµm (1.46) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu (3.29):

u(r, ,0) Anm nmV Cnm nmV f (r, )

n 0 m 0u(r, ,0) Bnm nmV Dnm nmV F(r, )

a m BnmR



;

(n)

a m DnmR



Tóm lại chuỗi hàm (3.43), trong đó các hệ số Anm, Bnm,Cnm, Dnm

được xác định như trên, là nghiệm của bài toán (3.28) -(3.30), nếu chuỗi hàm

ấy hội tụ đều và có thể lấy đạo hàm nó từng số hạng hai lần

Có thể viết lại chuỗi hàm (3.43) như sau:

(n)rm

Anm, Bnm,Cnm, Dnm Mỗi số hạng unm(r, , t) mô tả một dao động điều hòa, trong đó mỗi điểm của màng tròn dao động với tần số là

(n)amR

 với pha

là nm ,biên độ là

(n)rm

J (n )sin(n nm)R

R



 ; Sin(n  nm) 0Phương trình đầu xác định m đường tròn đồng tâm với chu vi của màng

Bên trong quả cầu bán kính q có tâm ở gốc tọa độ Nghiệm của phương trình

này tiến đến không trên quả cầu Trong tọa độ cầu uu(r, , )  và điều kiện

biên có dạng: U r q  0 (3.45)

Một nghiệm bất kỳ của (3.44),thỏa mãn điều kiện biên (3.45) mô tả dao

động riêng của quả cầu(chẳng hạn dao đọng âm trong thể tích cầu…).trong hệ

'2

,2

hay '' 2 r R2 ''

m(m 1)2

Bởi vì R(r) phải hữu hạn ở tâm quả cầu r = 0 mà hàm Bessel hạng hai

N (x) lại không hữu hạn ở lân cận của x = 0 , do đó phải đặt C2 =0

2m kx

ta cã:

12m

2m

2m

  lµ nghiÖm cña hµm Beesel J (x)

1m2

 th× tõ ®iÒu kiÖn (3.50)