Một số hàm đặc biệt trong vật lý hàm delta hàm gamma hàm bessel

Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Phần một: mở đầu Như biết, kỉ XIX chuyên ngành vật lí đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc vật lý học toán học, Vật lý lí thuyết Chuyên ngành vật lý lí thuyết đời nâng cao khái quát định luật Vật lý thành quy luật, học thuyết tổng quát có ý nghĩa to lớn khoa học, đời sống kỹ thuật Bằng phương pháp toán học đại, phát triển cao, Vật lý lí thuyết tìm quy luật chưa tìm thực nghiệm tiên đoán trứơc mối quan hệ tượng vật lý Trong suốt trình phát triển, Vật lý lí thuyết khẳng định rõ chức năng, nhiệm vụ Đó là: Thứ nhất, diễn tả quy luật Vật lý dạng hình thức định lượng thành lập mối quan hệ nội kiện quan sát thực nghiệm; xây dựng thuyết bao gồm giải thích phạm vi rộng rãi nhiều tượng vật lý Thứ hai, dùng phương pháp tổng hợp để tìm quy luật mới, qui luật có tính khái quát Như đề cập, vật lý lí thuyết, dùng dụng cụ toán học để nghiên cứu khái quát tượng, qui luật Những phương pháp toán học dùng vật lý lí thuyết nói chung, vật lý học đại nói riêng phong phú, đa dạng; bao gồm khối lượng lớn kiến thức thuộc lĩnh vực khác như: hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phận, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong trình tìm nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng phương pháp tách biến, gặp phương trình vi phân thông thường mà nghiệm chúng hàm đặc biệt hàm Delta, hàm Gamma, hàm Bessel, hàm cầu, Tuy nhiên, trình học tập nghiên cứu thân nhiều bạn sinh viên khóa, để hiểu cách đầy đủ SV Thực Phạm Thị Hương Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp sâu sắc hàm đặc biệt việc làm đơn giản, dễ dàng Hơn nữa, hàm đặc biệt có tầm quan trọng đặc biệt nghiên cứu số môn học khác như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, lí thuyết trường, vật lí thống kê, vật lí chất rắn, Do đó, để rèn luyện kĩ giải tập, hiểu nắm công thức phức tạp phần lí thuyết trình bày giáo trình Cơ học lượng tử, điện động lực học, lí thuyết trường, cách kĩ chắn trước hết phải hiểu sâu sắc nắm hàm đặc biệt Từ mà vấn đề đặt phải tìm hiểu nắm vững nội dung hàm đặc biệt Để giải vấn đề cách triệt để, không đơn nắm khái niệm, tính chất hàm mà phải kết hợp cách phù hợp nhuần nhuyễn với công cụ toán học, biết vận dụng chúng vào tập liên quan cách linh hoạt Từ suy nghĩ trên, em đặt mục đích phải nghiên cứu số hàm đặc biệt vật lí để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp Luận văn tổng hợp nhiều kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau, đồng thời tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn sinh viên học tập nghiên cứu Sau thực đề tài nghiên cứu Một số hàm đặc biệt vật lí, thân em hiểu sâu sắc chi tiết hàm đặc biệt thường dùng vật lí cách vận dụng chúng để giải biểu diễn kết tập vật lí thống kê, điện động lực học, học lượng tử, lí thuyết trường, vật lí chất rắn, Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Hàm Delta Chương 2: Hàm Gamma Chương3: Hàm Bessel SV Thực Phạm Thị Hương Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Phần hai: Chương 1: Nội dung Hàm DELTA Hàm Delta: 1.1 Định nghĩa: Trong vật lý học cổ điển lượng tử đại, ta thường gặp chất điểm có khối lượng điện tích, lưỡng cực Vì để giữ nguyên khái niệm mật độ chúng, năm 1926 P Đirac đưa hàm Delta , sau S.L Xobolev L Schwartz xây dựng mặt toán học Hàm Delta Đirac đưa để miêu tả khái niệm vật lý trừu tượng như: mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm Các giá trị hàm Delta xác định theo giá trị đối số hàm thông thường mà biểu thức định nghĩa ( cho hàm Delta biến) sau: 0, x (x) , x Với xdx (I.1) Hàm Delta (x x ) tất điểm trừ điểm x= x0, tiến đến vô cho tích phân hàm theo toàn miền hữu hạn đơn vị: (x x )dx (I.2) Khi hàm Delta liên hệ chẳng hạn với mật độ điện tích nguồn điểm đặt gốc tọa độ hệ thức đơn giản: (x) e (x) Đối với đoạn [a, b], thay cho (I.2) ta có 1;a x b b (x x )dx a 0; x a, x b (I.3) Đối với hàm f(x) liên tục miền xét, ta có hệ thức: SV Thực Phạm Thị Hương Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp f (x );a x b b 0 f (x) (x x )dx 0;x a, x b a 0 (I.4) Thật vậy, áp dụng định lí trung bình tích phân ta có: x b f (x) (x x )dx f (x ) (x x )dx 1, 0 a x Sử dụng (I.3) cho , ta ( I.4) Từ định nghĩa ta thấy: đồ thị hàm Delta không xác định, biểu diễn đường cong có chiều cao vô lớn chiều rộng vô hẹp, cho diện tích giới hạn đường cong trục hoành đơn vị 1.2 Tính chất bản: Từ định nghĩa, ta dễ dàng rút tính chất sau hàm Delta: (2.1) (x) ( x) (2.2) x (x) (2.3) ( x) (2.4) f (x) (x a)dx f (a) (2.5) ' ( x) ' (x) ( Đạo hàm hàm Delta hàm lẻ) (2.6) (x) ( Hàm Delta hàm chẵn) (x) (x x ) i d i dx x x i Với xi nghiệm phương trình (x) (2.7) (x) exp(iqx)dq ( Khai triển Furie hàm Delta) (Đây nhiều cách biểu diễn tường minh hàm Delta) SV Thực Phạm Thị Hương Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Các toán liên quan: 2.1 Dùng hàm Delta để biểu diễn ý nghĩa vật lí nghiệm phương trình truyền nhiệt chiều dài vô hạn Bằng phương pháp Fourier ta tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt chiều dài vô hạn ( x) u(x, t) f ( )U(x, t, )d f ( )e 4a t d 2a t Với U(x, t, ) 2a t ( x) e 4a t d (I.5) (I.6) Để tìm ý nghĩa nghiệm bản, ta giả sử nhiệt độ lúc t = ta truyền cho nhiệt lượng Q, làm cho nhiệt độ khoảng (x h , x h ) tăng lên đến u0, nhiệt độ khaỏng 0 Vậy nhiệt độ lúc t=0 cho : u ; x (x h, x h) 0 u f (x) t 0; x(x h, x h) mô tả hình H.1 f(x) u0 O x0 -h x0 +h x Hình 1: SV Thực Phạm Thị Hương Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Ta có: Q 2hc u , c nhiệt dung , mật độ Theo công thức (I.5), nhiệt độ lúc t > cho : x h x h ( x)2 ( x) Q 2 u(x, t) u e 4a t d e 4a t d c 2a t 2h x h x h 2a t 0 áp dụng định lí giá trị trung bình vào tích phân vế phải, ta được: u(x, t) Q c 2a t ( x) e 4a t Trong x h x h Bây Q không đổi, cho h dần tới 0, tức 0 ta truyền nhiệt lượng không đổi Q vào khoảng (x0 -h, x0+h) ngày thu hẹp đến điểm x0 Ta nói có nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ Q đặt điểm x = x0 thời điểm t = Dưới tác dụng nguồn nhiệt điểm tức thời đó, phân bố nhiệt độ lúc t > cho bởi: ( x) Q Q u(x, t) exp 4a t V(x, t; x ) c 2a t c Vì lúc h x Vậy nghiệm (I.6) cho ta thấy phân bố nhiệt lúc t > lúc t = có nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ Q c đặt điểm x Người ta gọi hàm biểu diễn phân bố nhiệt độ nhiệt độ lúc đầu t = lúc có nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ Q c đặt điểm x = x0 hàm Delta Đirac kí hiệu (x x ) Có thể định nghĩa cách hình thức sau: 0; x x 1) (x x ) ; x x ( Điều u h ) SV Thực Phạm Thị Hương Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp (x x0 )dx ( điều f (x)dx 2hu ) 2) Thực hàm Delta hàm theo nghĩa thông thường giải tích mà hàm đặc biệt vật lý Đồ thị nghiệm (I.6) với cố định thời điểm khác vẽ hình H.2 Các đồ thị nhận đường x = làm trục đỗi xứng đạt cực đại x = cực đại Diện tích giới hạn 2a t trục Ox đồ thị nghiệm y v(x, t, ) bằng: (x ) x S2 S e 4a t d dS với e 2a t 2a t v (1) (2) (3) (4) x O Hình SV Thực Phạm Thị Hương Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Điều có nghĩa nhiệt lượng Q c truyền cho nguồn nhiệt điểm tức thời lúc t = không đổi theo thời gian Trên Hình.2 , đường cong (1) , (2) , (3) , (4) tương ứng với thời điểm < t1 < t2 < t3 tác dụng nguồn nhiệt điểm tức thời cho bởi: dQ v(x, t, ) f ( )d c 2a t ( x) e 4a t Do nhiệt độ lúc t = cho hàm f ( ) nhiệt độ lúc t > cho hàm: ( x) u(x, t) f ( )e 4a t d 2a t 2.2 Vận dụng lí thuyết trường để nghiên cứu trường vô hướng tự Bài toán: Chứng minh biểu thức xung lượng qua ảnh Fourie ur ur a(k) a*(k) là: ur ur ur dk P dxT k a*(k)a(k) ur Lời giải SV Thực Phạm Thị Hương 10 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp ur ur dk ikx ur dk ikx * ur Ta có: (x) e a(k) e a (k) (2 ) (2 ) Để tìm biểu thức P trước hết ta tính T mà 00 m2 T p 00 2 Ta tính: ur ur ur ur dk dk (ik )eikx a(k) (ik )eikx a*(k) 2 (2 ) uur uur uur uur ' dk dk ' ' ikx * ' ' ikx ' (ik )e a(k ) (ik )e a (k ) ' ' (2 ) uur uur ur u r dk ikx dk ' ikx * ' e a(k) e a (k ) ' (2 ) uur uur uur uur ' dk ikx ' dk ' ikx * ' e a(k ) e a (k ) ' ' (2 ) Vậy: + ur uur uur ')x ur dkdk ' i(k k ' T (k k )e a(k)a(k' ) + 00 2(2 )3 ' ur uur ur uur uur ' u r ' dkdk dkdk' i(k k )x i(k k')x ' (k k ' )e ur uur a(k)a*(k' ) + ' (k k' )e uur ur a*(k)a(k ' ) uur ur ' dkdk' + (k k ' )ei(k k )x a*(k)a*(k' ) + ' SV Thực Phạm Thị Hương 11 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp ur uur ur uur uur uur ' u r dkdk ' i(k k')x ur * ' m dkdk i(kk')x ' + e a(k)a (k ) e a(k)a(k ) + ' 2(2 )3 ' ur uur ur uur uur uur ' u r ' dkdk i(k k )x * dkdk' i(k k')x * ur * ' ' + e a (k)a(k ) + e a (k)a (k ) ' ' 4 uur ur uur ur dk dk ' ' ' )ei(k k')x + = (m k k )a(k)a(k 2(2 )3 2 ' uur ur ' + ( m2 k k ' )a(k)a*(k ' )ei(kk )x + uur ur ' + ( m2 k k ' )a*(k)a(k' )ei(k k )x + uur ur ' + ( m2 k k ' )a*(k)a*(k ' )ei(k k )x Thay vào biểu thức P0 ta có: ur uur dk dk' P0 = T dx = 00 2(2 )3 2 ' ur uur ur ' ' ) ei(k k')x dxur + (m k k )a(k)a(k uur ur ' ur ' * + (m k k )a(k)a (k ' ) ei(k k )x dx + uur ur ' ur ' * + (m k k )a (k)a(k' ) ei(k k )x dx + uur ur ' ur ' * * + (m k k )a (k)a (k ' ) ei(k k )x dx ur uur Mặt khác có: k k ' k k ' kk ' nên ta có: 0 ' ' i(k k')x dxur ei(k0 k0 )x ei(k k')x dxur ei(k0 k0 )x (2 )3 (k k ' ) e Vì theo cách biểu diễn tường minh hàm Delta: ikx (k) e dx Do ta có: SV Thực Phạm Thị Hương 12 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp (n ) (n ) m r m r R R )J ( )rdr cos n cos n d V V rdrd J ( n n m n R 0 n1m1 2 R 0;n n 0;n n ,m m 2 (n) R J ;n n n 0,m m m 2 n m R (n) J m ;n1 n 0, m1 m2 m Cũng có kết tương tự với hàm Vnm Vậy viết: 2 R R R2 (n) Vnm rdrd Vnm rdrd n J n m 0 0 (3.40) Trong đó: 2, n với n 0 Người ta chứng minh hàm f (r, ) có đạo hàm liên tục đến cấp 2, thoả mãn điều kiện f (R, ) , khai triển thành chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối đều: f (r, ) Anm Vnm (r, ) Bnm Vnm (r, ) n 0m0 (3.41) Từ (3.41) dễ dàng suy : SV Thực Phạm Thị Hương 38 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp (n) R m r f (r, )Jn R cos n drd 0 A nm R J (n) m n n (n) R m r f (r, )J n R sin n drd 0 B nm R (n) J m n n Bây ta tìm nghiệm toán (3.28) - (3.30) có dạng u(r, t) u nm (r, , t) n m0 (3.42) (3.43) Trong u nm cho công thức (3.38) Ta xác định số A nm ,Bnm ,Cnm , Dnm cho chuỗi hàm (1.46) thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.29): u(r, ,0) Anm Vnm Cnm Vnm f (r, ) n 0m0 u(r, ,0) Bnm Vnm Dnm Vnm F(r, ) t n 0m0 Từ suy ra: (n) R m r f (r, )J n R cos n drd 0 A nm R J (n) m n n (n) R m r f (r, )J n R sin n drd 0 Cnm R J (n) m n n ta có công thức tương tự đối với: SV Thực Phạm Thị Hương 39 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp (n) B am nm R (n) D am nm R ; Tóm lại chuỗi hàm (3.43), hệ số A nm ,Bnm ,Cnm , Dnm xác định trên, nghiệm toán (3.28) -(3.30), chuỗi hàm hội tụ lấy đạo hàm số hạng hai lần Có thể viết lại chuỗi hàm (3.43) sau: (n)r (n)at u(r, , t) M nm J n ( m )sin(n nm ) sin( m nm ) R R n m0 Trong hệ số M nm , nm ,nm có liên hệ với hệ số A nm ,Bnm ,Cnm ,Dnm Mỗi số hạng u nm (r, , t) mô tả dao động điều hòa, điểm màng tròn dao động với tần số (n)a m R với pha (n) r m nm ,biên độ J n ( )sin(n nm ) Đó sóng đứng Đường R nút sóng dừng xác định p n Jn ( trình: (n) r m R )0 (n 1) nm n n phương Sin(n nm ) ; Phương trình đầu xác định m đường tròn đồng tâm với chu vi màng có phương trình (n 1) nm nm , nm ,, n n n n n n Hàm Bessel hạng bán nguyên: Ta xét dao động cầu có biên gắn chặt ,nghĩa tìm nghiệm phương trình: u,,tt a 2u SV Thực Phạm Thị Hương 40 (3.44) Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Bên cầu bán kính q có tâm gốc tọa độ Nghiệm phương trình tiến đến không cầu Trong tọa độ cầu u u(r, , ) điều kiện biên có dạng: (3.45) U r q Một nghiệm (3.44),thỏa mãn điều kiện biên (3.45) mô tả dao động riêng cầu(chẳng hạn dao đọng âm thể tích cầu).trong hệ tọa độ cầu, phương trình (3.44) có dạng 2u u u 2u =0 a (r ) (sin ) r r sin r sin r r t Nếu đặt u T(t)R(r)Ym ( , ) ta có: ' a ' T RYm r R TYm TR Ym , r '' (3.46) Trong đó: Ym 2Ym Ym (sin ) , sin sin Ta có hàm cầu r m Ym ( , ) với m = , , 2, nghiệm phương trình Laplaxơ r m Ym , m r r Ym r Ym , r r r Từ ta rút Ym m r r m Ym m(m 1)Ym r r r , Do phương trình (3.46)có dạng T''RYm a ' ' r R TYm m(m 1)TRYm r2 SV Thực Phạm Thị Hương 41 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý T'' hay T Khóa luận tốt nghiệp ' a2 r R r ' R m(m 1) Cả hai vế phương trình phải số, ta kí hiệu a 2 đó: T A cos a t Bsin a t a R '' R' r 2r m(m 1) a 2 R r2 R nghĩa R '' Đặt r Ta có: (3.47) R' ' m(m 1) R R R r2 x ,R(r) (3.48) y(x) x y' (x) y(x) d y(x) dx dx x dr 2x x x y'' (x) R '' x y' (x) y(x) x x x x Thay vào phương trình (3.48) ta có: m(m 1) y y'' (x) y' (x) x x hay d y dy (m ) y0 dx x dx x2 Đó phương trình Bessel dạng m , tức hạng bán nguyên Nghiệm là: SV Thực Phạm Thị Hương 42 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp yC J (x) C N (x) m m 2 Thay trở lại x r, y rR(r) , ta có: rR(r) C1J m ( r) C N ( r) m ( r) N ( r) m m 2 R(r) C C r r J hay Bởi R(r) phải hữu hạn tâm cầu r = mà hàm Bessel hạng hai N (x) lại không hữu hạn lân cận x = , phải đặt C2 =0 Đặt C C , với C số bất kì, cuối ta có: ( r) m R(r) C r J (3.49) Để hàm thảo mãn điều kiện (3.45), ta phải đặt: J m ( q) (3.50) Từ ta tìm giá trị riêng Hàm Bessel hạng bán nguyên J sơ cấp, có dạng: J m (x) m (x) với m = 0, 1, 2, hàm M(x)cos x N(x)sin x x Trong M(x) N(x) đa thức x Chẳng hạn m=0, sử dụng khai triển x (1)m x 2mk J (x) (1)m k m0 22mk m!(m k)! m0 SV Thực Phạm Thị Hương 43 2mk m!(m k)! Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp x J (x) (1)m ta có: 2m m!(m )! m0 với (m ) (m )! 2 Nhưng theo tính chất hàm Gama , ta có: (t+1) = t (t) 1 1 3 Nên (m ) (m )(m ) (m )(m ) ( ) 2 2 2 1 (m )(m ) 2 2 (2m 1)(2m 1) 3.1 (2m 1)! m m!2m1 với ( ) 2 Do đó: x J (x) (1)m 2m1 22m1 (2m 1)! m0 x 2m1 sin x x m0 (2m 1)! x Tương tự, ta tính được: J (x) x x sin x cos x Ta dễ thấy: d 2 J (x) x x J (x) dx 2 Tổng quát, ta chứng minh rằng: m d 2 J (x) x x J (x) 1 dx m m 2 m Kí hiệu n nghiệm hàm Beesel J SV Thực Phạm Thị Hương 44 m với m = 1, 2, 3, (x) từ điều kiện (3.50) Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý m ta có: q Khóa luận tốt nghiệp k = 1, 2, (m ) k Nghĩa là: k m q giá trị riêng toán xét Hàm riêng là: (m ) k RR J k,m r m q Bởi x r , R r ( bỏ thừa số C) y(x) Nhờ đẳng thức (3.47) ta có: x (m ) (m ) 2 t a t a k k TT A cos B sin k,m k,m k,m q q dao động riêng biểu diễn nghiệm sau phương trình dao động (3.44) u = k,m T R Y ( , ) k,m k,m m (m ) (m ) (m ) 2 2r a t a t k k k B sin Ym ( , ) A k,mcos J k,m q q q m Trong hàm cầu Ym ( , ) xác định theo công thức (0) ( , ) P (cos ) Ym m (n) ( , ) P(n) (cos )cos n Ym m (n) (n) Ym ( , ) Pm (cos )sin n Đối với m = 0, 1, 2, tồn 2m+1 dao động riêng SV Thực Phạm Thị Hương 45 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp (m ) (m ) 2 t a t a k k x U A cos B sin J k,m,n k,m k,m q q m (m ) r k (n) x Ym ( , ) q , ( n 0, 1, 2, , m) (m ) a k W k,m q Có tần số: Đặc biệt m =0 ta có dao động riêng k = 1, 2, (1 ) a ak W k k,0 q q có tần số : Bởi (1) k nghiệm hàm J (x) sin x k x Và u A k,0,0 k,0 cos ak t ak t ak r B sin sin k,0 q q q (3.51) ( k = 1, 2,) mô tả dao động xuyên tâm cầu 10: Bài toán liên quan: Bài toán hiệu ứng mặt Bài toán: Theo dây dẫn hình trụ bán kính R có dòng điện hình sin tần số r ur Cần đưa công thức xác định mật độ dòng điện J cường độ từ trường H điểm thiết diện dây dẫn giả thiết dòng điện chạy ngược lại xa trường không ảnh hưởng tới dòng ta xét Lời giải: SV Thực Phạm Thị Hương 46 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp r Xét toán hệ tọa độ trụ, dòng điện J hướng theo trục Z, r ur r tức J kj ( k vectơ đơn vị hướng theo Z) Từ hệ phương trình Macxoen: rot H J B rot E t J E rot E i H (1) (2) (3) (4) Lấy rot hai vế (3) ta rot J rot E , thay (4) vào ta được: (5) rot J (i H ) lấy rot trai vế biểu thức ta có: rotrot J i rot H = i J ( theo (1)) Với : i: đơn vị ảo ; : độ dẫn điện , : số từ môi Vì div J nên J i J Viết tọa độ trụ với ý J không phụ thuộc vào Z Ta có d J d2 J d2 J d J ( r ) i J ) i J r dr dr dr r dr Đặt (1 i) ta có: J d2 J d J d d J ) k2 J )J dr r dr d(kr)2 kr d(kr) k i SV Thực Phạm Thị Hương k 47 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Đây phương trình Bessel với m =0 đối số kr Nghiệm tổng quát phương trình có dạng J A J (kr) B N (kr) ; 0 A,B số tích phân J (kr) : Hàm Bessel bậc loại N (kr) : Hàm Bessel bậc loại Hàm N (kr) có đặc điểm kr =0 ( tức trục dòng điện r = 0) tiến tới Vì từ ý nghĩa vật lý toán phải chọn B = tức J A J (kr) r dJ r Từ (5) ta có: H rot J e ( ) e H = 2 dr k k = Tức A A d J0 (kr) d(kr) A k J (kr) J (kr) k2 d(kr) kr k k2 A H J (kr) J (x) J (x) J (kr) àhm 1 k Bessel loại bậc Từ ta xác định A cách so sánh giá trị từ trường H bề mặt dây dẫn theo cách biểu diễn khác nhau: A H r R J (kR) A I kI k A J1(kR) k R RJ (kR) I Hr R R k I J (kr) I J (kr) H J Do : , RJ (kR) RJ (kr) 1 Với bán kính r nhận giá trị từ R SV Thực Phạm Thị Hương 48 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Vì J (0) nên mật độ dòng điện trục dây dẫn ( r = 0) là: kI J RJ (kR) Do J J J (kr) 0 Tức mật độ dòng điện điểm mật độ dòng trục hình trụ nhân với hàm Bessel bậc không biến số kr Mật độ dòng điện bề mặt dây dẫn J J J (kr) Để xét tính chất 0 phân bố mật độ dòng điện dây dẫn xét hàm Bessel đối số phức: ez J (iz) z (Z ? 1) (*) Nếu z = x (1+i) ta có: ex(1i) e Pr(1 i) J x(1 i) Pr (1 i)x đây: P (**) áp dụng công thức (**) cho trường hợp r = R r = R ta có: P J (kR) e 1 PR J(R ) P Mật độ dòng điện tuân theo định luật phân bố Sử dụng điều kiện z Pz(1 i) ? (*) ta được: J(R) e ; e PR J(R ) P SV Thực Phạm Thị Hương 49 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Công thức chứng tỏ rằng, tần số đủ cao, có ý nghĩa PR ? mật độ dòng điện mặt dây dẫn lớn mật độ dòng điện cách mặt khoảng e lần Khoảng d gọi độ dày lớp da P cos P dây dẫn Đối với kim loại 107 H s 107 S m Ta có: d Nếu 106 Hz ta có d = 0,16 mm Như tần số cao, dòng điện tập trung mặt dây dẫn Hiện tượng giải thích xuất điện trường xoáy cảm ứng điện từ SV Thực Phạm Thị Hương 50 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp PHầN BA: KếT LUậN Qua thời gian nghiên cứu tài liệu, tìm hiểu giúp đỡ, hướng dẫn, bảo tận tình cô giáo- TS Lưu Thị Kim Thanh, hoàn thành xong khóa luận tốt nghiệp Một số hàm đặc biệt vật lý mình.Qua việc nghiên cứu đọc tài liệu tham khảo trình hoàn thành khóa luận Bản thân thực hiểu kỹ nắm số hàm đặc biệt thường sử dụng vật lý mà đặc biệt chuyên nghành vật lý lý thuyết cảm thấy rõ vai trò tầm quan trọng hàm vật lý học, vật lý lý thuyết Biết cách vận dụng hàm để giải biểu diễn kết tập; hiểu nắm công thức, biểu thức toán học phức tập thuộc nhiều phân môn như: Vật lý thống kê, Lý thuyết trường, Điện động lực học, Cơ học lượng tử, Vật lý chất rắn, Trong khóa luận tốt nghiệp này, giải vấn đề sau: - Tìm hiểu số hàm thường dùng vật lý, hàm số Delta, Gamma, Bessel - Giải số tập vật lý thống kê, Lý thuyết trường, Điện động lực, Cơ học lượng tử, có liên quan đến hàm Tuy nhiên, thời gian khả thân có hạn nên khóa luận tốt nghiệp em chắn có hạn chế thiếu sót Chính em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy giáo, cô giáo, toàn thể bạn sinh viên Để khóa luân hoàn thiện hơn, trở thành tài liệu bổ ích cho bạn sinh viên Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình cô giáoTS Lưu Thị Kim Thanh thầy giáo, cô giáo tổ vật lý lý thuyết tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! SV Thực Phạm Thị Hương 51 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp tài liệu tham khảo Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp toán lí, Nxb Giáo dục Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Trọng Thái (1971), Phương Trình Vật Lí Toán, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội Lưu Thị Kim Thanh, Bài giảng lí thuyết trường Trần thái Hoa, Cơ học lượng tử, Nxb ĐH Sư phạm SV Thực Phạm Thị Hương 52 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh [...]... trình Bessel cấp không Nó là trường d 2V dV hợp riêng của phương trình sau: S 2 S (S 2 2 )V 0 dS dS 2 (3.9) trong đó là một số dương nào đó Phương trình (3.9) gọi là phương trình Bessel cấp Điểm kỳ dị ( điểm tại đó hệ số có đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong một phương trình vi phân bằng không) của nó là S = 0 2 Giải phương trình Bessel Hàm Bessel Ta hãy tìm một nghiệm riêng của phương trình Bessel. .. Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Chỉ cần xác định các hệ số bn sao cho hàm (3.27) thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.2) Trong (3.27) cho t = 0, ta được: f(r) bn J n r 0 R n1 Công thức đó chưúng tỏ rằng Bn chính là hệ số trong khai triển của f(r) thành chuỗi hàm theo các hàm Bessel J n r Từ (3.25) suy ra 0 R bn R rf(r)J n r dr 0 R 2 R2 J ( n ) 0 1 2 (3.28) Tóm lại chuỗi hàm (3.27), trong. .. J (x) có vô số không điểm Hơn nữa khi x các không điểm của J (x) xấp xỉ các không điểm của hàm cox(x (2 1) ) 4 Từ công thức (3.12) ta thấy rằng nếu là không điểm của hàm J (x) thì - cũng là không điểm của J (x) Ngoài ra người ta cũng chứng minh được rằng nếu 1 thì mọi không điểm của hàm J (x) đều thực 5 Các hàm Bessel cấp không và cấp một: Đó là các hàm Bessel thường gặp trong vật lí tóan... nếu tỉ số f(x) là một đại lượng bị g(x) J (x) chặn khi x ), tức là khi x hàm J (x) có dáng điệu tiệm cận với SV Thực hiện Phạm Thị Hương 28 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoa Vật Lý hàm Khóa luận tốt nghiệp 2 cox(x (2 1) ) Khi x , số hạng đầu trong dấu móc ở vế x 4 phải của (3.18) dao động vô số lần giữa -1 và cộng 1, còn số hàng sau là vô cùng bé vậy hàm J... giao của các hàm Bessel: Giả sử , , , n là các nghiệm dương của phương trình J (x) 0 , 1 2 0 trong đó n Ta sẽ chứng minh rằng 1 2 0;i j c x x 2 xJ0 ( i c )J0 ( j c )dx c2 J ( ) ,i j 0 2 1 1 (3.19) x Trong đó c là một hằng số dương nào đó, tức là hàm xJ ( ) , i= 1, 2, 0 i c x lập thành một họ trực giao trên đoạn [0, c] Ta cũng nói rằng hàm J ( ) lập 0 ic thành một họ trực... 1 J' (x) J (x) 0 1 ta được: (3.17) 4 Khai triển tiệm cận các hàm Bessel Không điểm của các hàm Bessel: Đặt u (x) xJ (x) , dễ thấy u (x) thỏa mãn phương trình: 1 1 u'' 1 ( 2 ) u 0 4 x2 Khi x , lượng trong dấu móc dần tới 1, vậy hàm u (x) dần tới một nghiệm nào đó của phương trình u'' u 0 tức là tới một hàm lượng giác nào đó Một cách chính xác, người ta chứng minh được rằng khi x 2 ... Tóm lại chuỗi hàm (3.27), trong đó hệ số bn được tính bởi công thứuc (3.28) là nghiệm của bài toán hỗn hợp (3.1) - (3.3), nếu chuỗi hàm ấy hội tụ đều và có thể lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi hàm ấy một lần đối với t hai lần đối với x Người ta chứng minh được rằng điều ấy xảy ra nếu hàm f(r) có thể khai triển được thành chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối và đều theo các hàm Bessel J n r 0 R 8 Dao động tự do... P' P i Vậy hệ các hàm p = A exp Px là hệ các hàm trực giao h 3.3 Tìm hàm sóng của hạt * Bài toán: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với hạt ở trạng thái trong tọa độ biểu diễn dạng SV Thực hiện Phạm Thị Hương 17 Giảng viên hướng dẫn TS Lưu Thị Kim Thanh Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp iP x 1 (x) e h 0 2 h Lời giải: Tóan tử xung lượng trong tọa độ biểu diễn... là: P ih Hệ hàm riêng của toán tử Pà: p 1 i p Px 2 h h Khi đó hám sóng trong xung lượng biểu diễn là: P * (x)dx P(x) Khi (x) 1 i exp Px ta có: 2 h h i 2 i (PP )x 1 1 1 h (PP0 )x 0 h p dx 2 e dx = e 2 h 2 2 h = PP 1 0 ) (P P ) 2 ( 0 h 2 h Vậy hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn là: P (P P ) 0 Chương 2: Hàm GAMAMA 1 Hàm gamma: 1.1 Định nghĩa: Hàm Gamma là tích... k a*(k)a(k) 2 ur 2.3 Bài toán trong cơ học lượng tử: 3.1 Bài toán chuẩn hóa các hàm số ( dùng cho các hàm ứng với phổ liên tục) * Bài toán : Chuẩn hóa hàm số sau: i h p A exp Px , ( p ) về - hàm , với p R và trong trường i ur r hợp tổng quát puur A exp Pr h * Lời giải: Do p là thực và p (, ) nên p ứng với phổ liên tục Và do đó ta chuẩn hóa về - hàm , tức là: * ' 'pdx (p p ... nghiệp Một số hàm đặc biệt vật lý mình.Qua việc nghiên cứu đọc tài liệu tham khảo trình hoàn thành khóa luận Bản thân thực hiểu kỹ nắm số hàm đặc biệt thường sử dụng vật lý mà đặc biệt chuyên... như: Vật lý thống kê, Lý thuyết trường, Điện động lực học, Cơ học lượng tử, Vật lý chất rắn, Trong khóa luận tốt nghiệp này, giải vấn đề sau: - Tìm hiểu số hàm thường dùng vật lý, hàm số Delta, Gamma, ...Trường ĐHSP Hà Nội Khoa Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp sâu sắc hàm đặc biệt việc làm đơn giản, dễ dàng Hơn nữa, hàm đặc biệt có tầm quan trọng đặc biệt nghiên cứu số môn học khác như: Cơ học