Cac ham dac biet trong Vat ly.doc

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/08/2012, 10:13

Các hàm đặc biệt trong Vật lý. Các hàm đặc biệt trong Vật LýI.Các công thức mở rộng.Qui tắc tính đạo hàm bậc n của một tích- tổng…a. ( )( ) ( )n(n)i n jnjnj 0ndf g (f.g) C f .gdx−== =∑o(1.1)b. ( )nnj j j n jnj 0(a b) ( 1) C a b−=± = ±∑ ( Nhị thức Newton) (1.2)c. n n 1n(n 1)(n) j j (n j) 0 1(x) n (x) n n(x)n n 1j 0d d(x.f ) C x f C .x C x 'f x. f n. fdx dx−−−−== = + = +∑(1.3)d. ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )nnn j n jx k x k j x knnj 0njj x (k n j)nj okjj x jnj 0de .x e .x C . e . xdxk!1 . C e .x where k nk n j !k!1 . .C e .x where k nj!−− − −=− − +=−−= =− ≠− +=− =∑∑∑(1.4)ở đây chú ý: k (n) k (n 1) k 1 (n 1) (k n)(k n)(x ) ((x )') k.(x ) . k(k 1) .(k n 1)xk!x(k n)!− − − −−= = = = − − +=−(1.4a)tương tự:( )nx n x(e ) . ( 1) .e− −= = −(1.4b)e. Nếu đặt ( )kx x k (k) x x kkkde .(e .x ) L (x) e . e xdx− −= =(1.5a)và: ( )( )j j k( j)x x kkkj j kd d dL (x) L (x) e . e .xdx dx dx− = =   (1.5b)từ (1.4) ta có: ( ) ( ) ( )( )( )jk k ki j i jji i i i i i in n jkji 0 i 0 i 0i jki jji inki jk ji ji j iki 0d k! k! k!L (x) ( 1) . C x ( 1) C (x ) ( 1) x .Ci! i! (i j)!dxvi : x 0 i j,cho nen :k!L (x) ( 1) C .x(i j)!k!( 1) C .xi!−= = =−−=−++== − = − = −−= ⇔ ≤ −= −−= −∑ ∑ ∑∑∑(1.5)kL và jkL là các đa thức của xII. Đa thức Hermit.Xét hàm số: y = 2xA.e−Có nghiệm dạng: y’ + 2xy = 0 (2.1)Đạo hàm (n+1) lần hai vế của phương trình này chú ý đến (1.3) và đặt ( )n2nxndv(x) y A. (e )dx−= =, ta có: v" 2xv' 2(n 1)v 0+ + + =(2.2)Đặt: 2xv(x) e .u(x)−= thay vào (2.2), ta được: u" 2xu' 2xu 0− + =(2.3)Tương tự, ta có: n2 2 2x x xndu e .v e .A. (e )dx−= = , trong đó A là hằng số tùy ý.Đặt nA ( 1)= − ta có: n2 2n x xnndu ( 1) e . (e ) H (x)dx−= − =nH (x) là đa thưc Hermite bậc n, là nghiệm của phương trình (2.3):" 'n n nH (x) 2xH (x) 2xH (x) 0− + =, và chẵn lẻ cùng với n. Các dạng đặc biệt: 0H (x) 1=1H (x) 2n=22H (x) 4x 2= −33H (x) 8x 12x= −Một số công thức suy biến:1. n n 1 n 11x.H (x) n.H (x) .H (x)2− += +4 24H (x) 16x 48x 12= − + 2. n n 1dH (x) 2x.H (x)dx−=3. n 1 n 2 n1x.H (x) (n 1)H H2− −= − +4. n 1 n n 21x.H (n 1).H H2+ += + +5. n 1 n 2dH 2(n 1)Hdx− −= −6. n 1 ndH 2(n 1)Hdx+= +7. 2n n 1 n 22d dH 2n H 4n(n 1)Hdxdx− −= = −Công thức chuẩn hóa:2x 2nH e .H (x)dx+∞−−∞=∫ với n2 2n x xnndH (x) ( 1) e edx−= −n2n xnndH ( 1) . H e dxdx+∞−−∞⇒ = −∫ =…= n2 .n!. πTính tích phân: n2xnndI H (x) e dxdx∞−−∞=∫Tích phân từng phần ta có: n 1 n 12 2x xn nn 1 n 1d d dI H (x). e H . e dxdxdx dx∞− −∞− −− −−∞−∞= −∫, số hạng đứng trước tích phân bằng 0 vì tỉ lệ với 2xe−. Tiếp tục tính tích phân phân đoạn (n-1) lần nữa và chú ý là các số hạng đứng trước tích phân đều bằng 0 vì 2xe−≈n2n xnndI ( 1) e H (x)dxdx∞−−∞= −∫, chú ý đến (2.4):( ) ( ) ( )( )( )n n nnn n 1 nn n nnn n nd d n(n 1) dH (x) 2x 2x . 2x 2 x 2 .n!1!dx dx dx−− = − + = = =  ( )2nn x nH 1 I 2 n! e dx 2 .n!.∞−−∞= − = = π∫( 2x0I e dx∞−−∞= = π∫ là tích phân Poisson) Chú ý: Nếu : 2xn me H H dx 0+∞−−∞=∫ thì Hn và Hm trực giao.III. Đa thức Legendre. Hàm điều hòa cầuxét hàm số: 2 l(x)y A.(x 1)= − ( A = const, l nguyên dương)Là nghiệm tổng quát của phương trình: 2(1 x ).y' 2lxy 0− + =( l N \ 0∈) (3.1)Đạo hàm (l+1) lần hai vế của (3.1), chú ý rằng:( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )l 1l 1jl 2 j l 2 l 1 lj2 2 2l 1l 1j 0d1 x .y' C 1 x .y (1 x )y l 1 2x .y l l 1 ydx+++ − + +++= − = − = − + + − − + ∑, để ý đến (1.3) và nếu đặt ( )lv y= ta sẽ có:( )21 x v" 2xv ' l(l 1)v 0− − + + = (3.2)Nếu chọn: l1A2 l!= thì: ( )ll2ll l1 dv(x) x 1 P (x)2 l! dx= − =lP (x)Hay: gọi là đa thức Legendre thỏa mãn phương trình (3.2):( )2 " 'l l l1 x P (x) 2xP (x) l(l 1)P (x) 0− − + + =(3.2a)Đạo hàm phương trình (3.2a) m lần, chú ý đến (1.1) và (1.3)( )( )( )( )( )( )2m mm2ll l2d d1 x P (x) 2 m 1 x P (x) l m (l m 1)P (x) 0dxdx− − + + − + + =(3.3)Kí hiệu: ( )( )mmm22llmdP (x) P (x) u(x). 1 xdx−= = −(3.4)Thay (3.4) vào (3.3) ( )( )222m1 x u" 2xu ' l l 1 u 01 x − − + + − = −  (3.5)( )mm2 m2l lmdu(x) 1 x . P (x) P (x)dx= − = gọi là đa thức Legendre biến đổi, thỏa mãn phương trình (3.5):( ) ( ) ( )( )22 m m ml l l2m1 x P (x) " 2x P (x) ' l l 1 P (x) 01 x − − + + − = −  , trong khoảng 1 x 1− ≤ ≤ Chứng minh tính trực chuẩn của mlP (x):Vì ( ) ( )'" '2 m 2 m ml l ld1 x P (x) 1 x P (x) 2x. P (x)dx    − = − −      cho nên từ (3.5) ta suy ra:( )( )22 m ml l2d d m1 x P (x) l l 1 P 0dx dx1 x  − + + − =   −  (3.6)( )( )22 m ml' l'2d d m1 x P (x) l' l' 1 P 0dx dx1 x  − + + − =   −  (3.7)Nhân (3.6) với ml'P và (3.7) với mlP, lấy kết quả trừ đi nhau:( )( )2 m m m m m ml l' l' l l l'd1 x (P' P P' P ) l l 1 l'(l' 1) P P 0dx − − + + − + =   Tính tích phân vế trái ta sẽ có: ( )( )12 m m m m 1 m ml l' l ' l 1 l l'11 x (P' P P' P ) l l 1 l'(l ' 1) P P dx++−− − − + + − + =   ∫( )1m ml l'1l l 1 l'(l' 1) P P dx 0+−= + − + =  ∫ , nếu l l'≠ thì suy ra tính trực giao.Bài toán: hãy chuẩn hóa hàm mlP bằng tích phân: 1m m ml l l'1I P P dx+−=∫(3.8)( )( )( )( ) ( )( )( )'1 1'm mm 1 m m 1 mm 2 m m 2 1 2l l l' 1l l l l1 1I 1 x P P dx P 1 x P P 1 x P (x) dx+ +− −+−− −  = − = − − −    ∫ ∫ (3.9)Số hạng đứng trước tích phân trong (3.9) tỉ lệ với ( )21 x− do đó bằng 0 ( )m 1≥. Nếu m=0 thì số hạng đó lại tỉ lệ ( )2l 1 l1 x P P−− với ( )l 1≥ do đó cũng bằng 0.Hơn nữa từ phương trình (3.3) chuyển m m 1→ +, ta có thể viết lại:( )( )( )m 1 m m 1m2l llm 1 m m 1d d d1 x P (x) 2mx P (x) l m (l m 1) P (x) 0dx dx dx+ −+ −− − + + − + = (3.3’), nhân 2 vế kết quả này với ( )m 121 x−− và chú ý rằng ( ) ( )( )mm mm 12 2 m 1 ml l lmd d1 x P (x) 1 x P (x) 2mx 1 x . P (x)dxdx−+    − = − − −      Ta có: ( )( ) ( )( )( )m m 1m 12 m 2lld1 x P (x) l m l m 1 1 x P (x)dx−− − = − + − + −  (3.10)Thay (3.10) vào (3.9) ta có: ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )1m 1m 1 m 1m 2 m 1l ll l'1I l m l m 1 1 x P (x)P (x)dx l 1 l m 1 I+−− −−−= + − + − = + − +∫(3.11)(3.11) là công thức truy chứng. Có thể dễ dàng thấy rằng: ( )( )m 0l ll m !I Il m !+=−( )( ) ( )1l ll0 2 l 2l2 l ll11 d dI . (x 1) x 1 dxdx dx2 .l!+−= − −∫Tích phân phân đoạn l lần, chú ý số hạng đứng trước tích phân bằng 0 và mỗi lần tích phân lại có (-1) đứng làm nhân trước tích phân ( )( )( ) ( )l12ll0 2 l 2l2 2l2l11dI . (x 1) x 1 dxdx2 l!+−−= − −∫Chú ý đến (1.2) và (1.4a): ( )( )2ll22ldx 1 2l !dx− =Tích phân ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )l1 1 1ll l l 1 l l 1 l 121 1 11d lx 1 dx x 1 x 1 dx 1 x 1 x dx 1 x 1 x dxl 1 dx l 1+ + ++ − +− − −−− = + − = − + = − ++ +∫ ∫ ∫ ∫Tích phân l-1 lần nữa: ( )( )( )( ) ( )( )1 1ll 2l21 1l l 1 .1x 1 dx 1 1 x dxl 1 l 2 .2l+ +− −−− = − ++ +∫ ∫ ( )( )( )22l 1ll!21 .2l ! 2l 1+= −+ Vậy: ol2I2l 1=+ và ( )( )mll m !2I .l m ! 2l 1+=− +(3.12)Trong toán học, định lý cộng hàm cầu điều hòa, còn gọi là định lý cộng Legendre, được phát biểu như sau:Nếu góc γ được định nghĩa thông qua {θ1,φ1} và {θ2,φ2} bằng: cos(γ) = cos(θ1)cos(θ2) + sin(θ1) sin(θ2) cos(φ1 - φ2)Thì đa thức Legendre với biến γ sẽ thỏa mãn:Ở đây, và là đa thức Legendre và đa thức Legendre liên quan.Định lý này được chứng minh bằng việc dùng hàm Green cho tổng các hàm điều hòa cầu và cân bằng tổng này với hàm sinh của đa thức Legendre.VI. Đa thức Laguerre.Đa thức Laguerre bậc k là biểu thức: kx k xkkdL (x) e . (x .e )dx−= = xe y' (1.5a)Ví dụ: 0L (x) 1=22L (x) 2 4x x= − +1L (x) 1 x= −2 33L (x) 6 18x 9x x= − + −Kí hiệu hàm: k xy x .e−=. Lúc đó kxkkdL (x) e . y(x)dx=Từ định nghĩa, dễ thấy rằng: xy' (x k)y 0+ − = (4.1)Lấy đạo hàm (k+1) lần 2 vế (4.1) theo quy tắc (1.3) ta được phương trình:( ) ( )( )( )k 2 k 1 kxy (x 1)y k 1 y 0+ ++ + + + =(4.2)( )kxky e .L (x)−= cho nên:( )" 'k k kxL (x) 1 x L (x) kL (x) 0+ − + =(4.3) (4.3) được gọi là phương trình vi phân Laguerre Đạo hàm j lần phương trình (4.3), đặt:{ }j j kjx x kkkj j kd d dL (x) L (x) e e xdx dx dx−  = =   (1.5b)Ta có: ( )j j j" 'k k kj j jd d dx L (x) j 1 x L (x) (k j) L (x) 0dx dx dx+ + − + − =(4.4)Bây giờ ta sẽ đi chuẩn hóa tích phân:j jx j 1k k '0I L (x)L (x)e x dx∞− +=∫(4.5)Tính hai tích phân phụ A& B sau:kx m m k xkko odA e .x L dx x (x e )dxdx∞ ∞− −= =∫ ∫ và jx mk0B e x L (x)dx∞−=∫Tích phân phân đoạn m lần và chú ý rằng các số hạng trước tích phân đều bằng 0, hơn nữa nhân trước tích phân là (-1) với số mũ của x cộng thêm 1.( )( )( )k mmk x0A 1 .m! x .e dx∞−−= −∫(4.6a)Nếu k>m thì: ( )( )( )( )( )( )k m k m 1 k m 1k x k x x k00 0x .e dx d x .e e .x 0∞ ∞− − − − −− − − ∞ = = =  ∫ ∫ Nếu để ý đến (1.4) và k=m thì:k x k x k 1 xk 0 k 1 00 0I x .e dx x .e k x e dx kI k!I k!∞ ∞− − ∞ − −−= = − + = = =∫ ∫(4.6b) Vậy ( ) ( )k 2o.if.k mA1 . k! .if.k m=− =f (4.6)jx mkj0dB e .x L dxdx∞−=∫(4.7)Tích phân phân đoạn k lần, chú ý số hạng đứng trước tích phân triệt tiêu: ( )( )jjx mkj0dB 1 L (x) e x dxdx∞−= −∫(4.7a)Chú ý đến (1.4) và (4.6):( )( )( )( ) ( ) ( )jmaxi ji x m j ij kk 2i 00max0.if.k m j i k mm!B 1 . C e .x L (x)dxm j i !1 . k! .if.k m j i . i j∞+− − +=− + ⇒ = − = − +− = − + ⇒ =  ∑∫f f(4.8)Chú ý đến (1.5a), (1.4) và (4.6) ta dễ dàng chứng minh được tính trực chuẩn của kL (x) xác định bởi:( )2xk' k kk'0e L (x)L (x)dx k!∞−= δ∫(4.9)Chú ý đến (1.5) và (4.8) ta dễ dàng chứng minh được:x jk' k0e x L (x)L (x)dx 0∞−=∫ nếu k' k≠, còn nếu k’=k thì:( )( )( )( )3kj j jx j x kk k ' k0 0k!k!e x L .L dx 1 . .e x L dxk j ! k j !∞ ∞− −= − =− −∫ ∫ nghĩa là:( )( )3j jx jkk'k' k0k!e x L (x)L (x)dxk j !∞−= δ−∫ Bây giờ ta đi tính I xác định bởi (4.5) từ (1.5) và (4.8) ta có: ( )( )( )( )k k 1j jk 1 x k xk k0 0k! kk!I 1 . x e L dx 1 x e L dxk j ! k j 1 !∞ ∞−+ − −= − + −− − −∫ ∫Tích phân thứ 2 bằng ( )( )3k k!k j 1 !−− − nếu để ý đến (4.8). Tính tích phân:( )( )jjjx k 1 x k 1kkj0 0dC e x L dx 1 L e x dxdx∞ ∞− + − += = −∫ ∫ ( theo (4.7a))( ) ( ) ( )k 2x k 1k0e x L dx 1 .j k 1 k!∞− += − − +∫ theo (1.4) và (4.6)Còn: ( )( ) ( )kkx k 1 k 1 x k x k 1kk0 0 0de x L (x)dx x e x 1 k 1 ! e x dxdx∞ ∞ ∞− + + − − += = − +∫ ∫ ∫ theo (4.6a) và tích phân k lần.( ) ( )2k1 k 1 != − +   theo (4.66)Vây: ( ) ( ) ( )kC 1 k 1 !k! k 1 j= − + + − và vì thế:( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )2 3 3k! k 1 ! k 1 j k k! k! 2k 1 jIk j ! k j 1 ! k j !+ + − + −= − =− − − −Từ đấy:( )( )( )3j jx j 1kk'k' k0k!L (x)L (x)e x dx 2k 1 jk j !∞− += + − δ−∫(4.10) [...]... (x) P (x) dx = − = gọi là đa thức Legendre biến đổi, thỏa mãn phương trình (3.5): ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 m m m l l l 2 m 1 x P (x) " 2x P (x) ' l l 1 P (x) 0 1 x   − − + + − =   −     , trong khoảng 1 x 1 − ≤ ≤ Chứng minh tính trực chuẩn của m l P (x) : Vì ( ) ( ) ' " ' 2 m 2 m m l l l d 1 x P (x) 1 x P (x) 2x. P (x) dx       − = − −         cho nên từ... ) ' 1 1 ' m m m 1 m m 1 m m 2 m m 2 1 2 l l l' 1 l l l l 1 1 I 1 x P P dx P 1 x P P 1 x P (x) dx + + − − + − − −     = − = − − −         ∫ ∫ (3.9) Số hạng đứng trước tích phân trong (3.9) tỉ lệ với ( ) 2 1 x− do đó bằng 0 ( ) m 1≥ . Nếu m=0 thì số hạng đó lại tỉ lệ ( ) 2 l 1 l 1 x P P − − với ( ) l 1≥ do đó cũng bằng 0. Hơn nữa từ phương trình (3.3) chuyển m m 1→ + ,... có: v" 2xv' 2(n 1)v 0+ + + = (2.2) Đặt: 2 x v(x) e .u(x) − = thay vào (2.2), ta được: u" 2xu' 2xu 0− + = (2.3) Tương tự, ta có: n 2 2 2 x x x n d u e .v e .A. (e ) dx − = = , trong đó A là hằng số tùy ý. Đặt n A ( 1)= − ta có: n 2 2 n x x n n d u ( 1) e . (e ) H (x) dx − = − = n H (x) là đa thưc Hermite bậc n, là nghiệm của phương trình (2.3): " ' n n n H (x) . Các hàm đặc biệt trong Vật LýI.Các công thức mở rộng.Qui tắc tính đạo hàm bậc n của một tích-. 2xu' 2xu 0− + =(2.3)Tương tự, ta có: n2 2 2x x xndu e .v e .A. (e )dx−= = , trong đó A là hằng số tùy ý.Đặt nA ( 1)= − ta có: n2 2n x xnndu ( 1) e . (e

Xem thêm: Cac ham dac biet trong Vat ly.doc

Cac ham dac biet trong Vat ly.doc

Thông tin tài liệu

Hình ảnh liên quan

Từ khóa liên quan

Tài liệu liên quan