Các hàm đặc biệt trong Vật lý.
Trang 1Các hàm đặc biệt trong Vật Lý
I.Các công thức mở rộng.
Qui tắc tính đạo hàm bậc n của một tích- tổng…
n
n
j 0 n
d
dx
b (a b) n nj 0( 1) C a bj j j n jn
c
n
(n 1)
j 0
d
n n
j 0
j x (k n j) n
j o
k
n
j 0
d
dx k!
k n j ! k!
1 C e x where k n
j!
(1.4)
ở đây chú ý:
(k n)
(x ) ((x )') k.(x ) k(k 1) (k n 1)x k!
x (k n)!
(1.4a)
tương tự:(e )x n ( 1) e n x (1.4b)
e Nếu đặt x x k (k) x k x k
e (e x ) L (x) e e x
dx
và: ( j) j j x k x k
k
(1.5b)
từ (1.4) ta có:
Trang 2
i j
k
i j
n k
i j
k j
i j
k
i 0
dx
vi : x 0 i j,cho nen :
k!
(i j)!
k!
i!
(1.5)
k
L và L là các đa thức của xjk
II Đa thức Hermit.
Xét hàm số: y = A.e 2
Đạo hàm (n+1) lần hai vế của phương trình này chú ý đến (1.3) và đặt
n n x2
n
d
dx
, ta có: v" 2xv ' 2(n 1)v 0 (2.2) Đặt: v(x) e 2.u(x) thay vào (2.2), ta được: u" 2xu ' 2xu 0 (2.3)
Tương tự, ta có: u e v e A.x2 x2 dnn (e x2)
dx
, trong đó A là hằng số tùy ý
Đặt A ( 1) n ta có: n x2 n x2 n
n
d
u ( 1) e (e ) H (x)
dx
n
H (x) là đa thưc Hermite bậc n, là nghiệm của phương trình (2.3):
H (x) 2xH (x) 2xH (x) 0 , và chẵn lẻ cùng với n
Các dạng đặc biệt: H (x) 10
1
H (x) 2n
2 2
H (x) 4x 2
3
3
H (x) 8x 12x
Một số công thức suy biến:
1 x.H (x) n.Hn n 1(x) 1.Hn 1(x)
2
4
H (x) 16x 48x 12
Trang 32 d H (x) 2x.Hn n 1(x)
3 x.Hn 1(x) (n 1)Hn 2 1Hn
2
4 x.Hn 1 (n 1).Hn 1Hn 2
2
5 d Hn 1 2(n 1)Hn 2
6 d Hn 1 2(n 1)Hn
7 d22 Hn 2n d Hn 1 4n(n 1)Hn 2
dx
Công thức chuẩn hóa:
2
n
H e H (x)dx
n
H (x) ( 1) e e
dx
n d n
dx
Tính tích phân:
dx
Tích phân từng phần ta có:
dx
, số hạng đứng trước tích phân bằng 0 vì tỉ lệ với e 2 Tiếp tục tính tích phân phân đoạn (n-1) lần nữa và chú ý là các số hạng đứng trước tích phân đều bằng 0 vì e 2
n
2
n n
d
dx
n
1!
H 1 I 2 n! e dx 2 n!
( I0 e 2dx
là tích phân Poisson)
Trang 4Chú ý: Nếu : e x2H H dx 0n m
( A = const, l nguyên dương)
Là nghiệm tổng quát của phương trình: (1 x ).y ' 2lxy 0 2 ( l N \ 0 ) (3.1)
Đạo hàm (l+1) lần hai vế của (3.1), chú ý rằng:
j
l 1
l 1
j 0
d
dx
, để ý đến (1.3) và nếu đặt v y l ta sẽ có:
1 x v" 2xv ' l(l 1)v 0 2 (3.2)
Nếu chọn: A 1l
2 l!
l
1 d
2 l! dx
l
P (x)
Hay: gọi là đa thức Legendre thỏa mãn phương trình (3.2):
2 " '
1 x P (x) 2xP (x) l(l 1)P (x) 0 (3.2a)
Đạo hàm phương trình (3.2a) m lần, chú ý đến (1.1) và (1.3)
2
2
l
2
dx dx
l
d
P (x) P (x) u(x) 1 x
dx
Thay (3.4) vào (3.3)
2 2
2
m
1 x u" 2xu ' l l 1 u 0
1 x
(3.5)
2m2 m m
m
d u(x) 1 x P (x) P (x)
dx
gọi là đa thức Legendre biến đổi, thỏa mãn phương trình (3.5):
2
1 x P (x) " 2x P (x) ' l l 1 P (x) 0
1 x
, trong khoảng 1 x 1
Trang 5Chứng minh tính trực chuẩn của P (x) :lm
d
dx
2
2
Nhân (3.6) với P và (3.7) với l 'm P , lấy kết quả trừ đi nhau:lm
2 m ml l ' m ml ' l lm ml '
d
1 x (P' P P' P ) l l 1 l'(l' 1) P P 0
Tính tích phân vế trái ta sẽ có:
1
1
1 x (P' P P' P ) l l 1 l'(l' 1) P P dx
1
m m
l l ' 1
l l 1 l'(l' 1) P P dx 0
, nếu l l' thì suy ra tính trực giao
Bài toán: hãy chuẩn hóa hàm P bằng tích phân: lm
1
1
'
(3.9)
Số hạng đứng trước tích phân trong (3.9) tỉ lệ với 1 x 2 do đó bằng 0 m 1 Nếu m=0 thì
số hạng đó lại tỉ lệ 2
l 1 l
1 x P P với l 1 do đó cũng bằng 0
Hơn nữa từ phương trình (3.3) chuyển m m 1 , ta có thể viết lại:
m 2
l
, nhân 2 vế kết quả này với 1 x 2m 1 và chú ý rằng
m
m
Ta có:
Trang 6 2m m 2m 1 m 1
d
dx
Thay (3.10) vào (3.9) ta có:
1
I l m l m 1 1 x P (x)P (x)dx l 1 l m 1 I
(3.11) là công thức truy chứng Có thể dễ dàng thấy rằng:
l m !
l m !
2 l!
Tích phân phân đoạn l lần, chú ý số hạng đứng trước tích phân bằng 0 và mỗi lần tích phân lại
có (-1) đứng làm nhân trước tích phân
l 1 2l l
1
dx
2 l!
Chú ý đến (1.2) và (1.4a):
2 2l
d
Tích phân
l
2
Tích phân l-1 lần nữa:
2
l l 1 1
l 1 l 2 2l
2 2l 1
l l! 2
2l ! 2l 1
Vậy: Iol 2
2l 1
m l
l m ! 2
l m ! 2l 1
Trong toán học, định lý cộng hàm cầu điều hòa, còn gọi là định lý cộng Legendre, được phát biểu như sau:
Nếu góc γ được định nghĩa thông qua {θ1,φ1} và {θ2,φ2} bằng:
Trang 7cos(γ) = cos(θ1)cos(θ2) + sin(θ1) sin(θ2) cos(φ1 - φ2)
Thì đa thức Legendre với biến γ sẽ thỏa mãn:
Ở đây, và là đa thức Legendre và đa thức Legendre liên quan
Định lý này được chứng minh bằng việc dùng hàm Green cho tổng các hàm điều hòa cầu và cân bằng tổng này với hàm sinh của đa thức Legendre
VI Đa thức Laguerre.
Đa thức Laguerre bậc k là biểu thức: k x k k x
k
d
L (x) e (x e )
dx
Ví dụ: L (x) 10 L (x) 2 4x x2 2
1
L (x) 1 x L (x) 6 18x 9x3 2 x3
Kí hiệu hàm: y x e k x Lúc đó L (x) e k x dkk y(x)
dx
Từ định nghĩa, dễ thấy rằng: xy ' (x k)y 0 (4.1)
Lấy đạo hàm (k+1) lần 2 vế (4.1) theo quy tắc (1.3) ta được phương trình:
k 2 k 1 k
k x
k
y e L (x) cho nên:
Trang 8(4.3) được gọi là phương trình vi phân Laguerre
Đạo hàm j lần phương trình (4.3), đặt:
k
(1.5b)
Ta có:
Bây giờ ta sẽ đi chuẩn hóa tích phân:
k k '
0
I L (x)L (x)e x dx
Tính hai tích phân phụ A& B sau:
k
d
dx
0
B e x L (x)dx
Tích phân phân đoạn m lần và chú ý rằng các số hạng trước tích phân đều bằng 0, hơn nữa nhân trước tích phân là (-1) với số mũ của x cộng thêm 1
m k xk m
0
Nếu k>m thì: k xk m k xk m 1 x kk m 1
0
Nếu để ý đến (1.4) và k=m thì:
I x e dx x e k x e dx kI k!I k!
Trang 9Vậy
k 2
o.if.k m A
1 k! if.k m
(4.6)
j
x m
k j 0
d
dx
Tích phân phân đoạn k lần, chú ý số hạng đứng trước tích phân triệt tiêu:
0
d
dx
Chú ý đến (1.4) và (4.6):
m!
(4.8)
Chú ý đến (1.5a), (1.4) và (4.6) ta dễ dàng chứng minh được tính trực chuẩn của L (x) xác k
định bởi:
2
x
0
e L (x)L (x)dx k!
Chú ý đến (1.5) và (4.8) ta dễ dàng chứng minh được:
x j
k ' k 0
e x L (x)L (x)dx 0
nếu k ' k , còn nếu k’=k thì:
3 k
k!
k!
3
x j
kk '
k ' k
0
k!
e x L (x)L (x)dx
k j !
Trang 10Bây giờ ta đi tính I xác định bởi (4.5) từ (1.5) và (4.8) ta có:
Tích phân thứ 2 bằng
3
k k!
k j 1 !
nếu để ý đến (4.8) Tính tích phân:
j
k
d
dx
k 2
x k 1
k 0
e x L dx 1 j k 1 k!
Còn:
k
k
d
dx
phân k lần
1k k 1 ! 2
theo (4.66)
Vây:
C 1 k 1 !k! k 1 j và vì thế:
I
Từ đấy:
3
kk '
k ' k
0
k!
k j !
Trang 11V Các hàm Gamma
x p 1 (p) 0 e x dx
( p>0)
Các hàm Gamma đặc biệt:
(1) 1
(p 1) (p)
(p 1)
p
p!
Mở rộng hàm Gamma cho mọi giá trị của p
Bằng các tính toán và chứng minh phức tạp: chúng ta thừa nhận điều sau (p)
nếu p nguyên âm
VI Các hàm Bessel.
Phương trình Bessel-Euler: x y" xy' (x2 2 p )y 02
Nghiệm tổng quát: y C y 1 1C y2 2
a Hàm Bessel loại 1 với chỉ số âm:
2 2
y" y' (1 )y 0
k 0
1
x
Nghiệm tổng quát trong trường hợp này:
b Hàm Bessel loại 2.
Trang 12Với p là phân số, hàm Bessel loại 2 có thể nhận được từ nghiệm tổng quát:
p(x) cot anP(x)J ()x) csc P(x).J (x)p p
Với csc P(x) 1 J (x)cos P( ) J (x)p p
sin P(x) sin P( )
- suy rộng cho trường hợp p nguyên, thì vế phải của (*) có dạng bất định: 0
0 Vì tử số có dạng:
p
( 1) J (x) J (x) 0
Bằng các phép biến đổi ta được:
n 2m
x ( 1) ( )
với c 0.577215664901532 hằng số Euler
+ với n=0, ta có:
m
2m
m 1
Đồ thị của 0(x)
c.Hệ thức liên hệ các hàm Bessel với các chỉ số khác nhau.
- đối với p bất kỳ, ta có:
x J (x) x J (x)
x J (x) x J (x)
x
Hệ quả:
'
x.J (x) p.J (x) x.J (x) xJ (x) p.J (x)'p p xJp 1 (x)
Trang 13J (x) J (x) J (x)
x
d Các hàm Bessel loại 1.
2n 1
P
2
là một số bán nguyên với n là số nguyên
Xét hàm 1
2
J (x)
, thay P 1
2
ta có:
1
2
J (x)
2
x
2
3 2
2.3 2.4.3.5 2.4.6.3.5.7 2x.
2
2
1
2
2
J (x) sin x
x
Tương tự: 1
2
2
J (x) cos x
x
e Các công thức tiệm cận đối với hàm Bessel:
1 phương thình 1.1: x y" xy' (s2 2 p ) 02
Thế: y z , y' , y"
x
2 2
1 p 4 z" (1 )z 0
x
Ta được: z" x (1 x )z(x) 0
Với x x , 0
Lúc này phương trinh trên có thể qui về: z”+z=0, nghiệm: z=Asin(x+ω))
