>> http://tuyensinh247.com/ 1 CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA PHÂN HÀM VÔ TỶ I... DẠNG 2: HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ THƯƠNG CỦA HÀM CHẴN VÀ HÀM MŨ
Trang 1>> http://tuyensinh247.com/ 1
CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA PHÂN HÀM VÔ TỶ
I CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC GHÉP ĐÔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG
f x a x dx
[- ; ]
2 2
t
f x x a dx
cos
a t
3 [0,- ) [ , )
t
f x x a dx
2
t
( , a x)
a x
2
f x x a b a dx
[0,- ] 2
t
II BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
1 Dạng 1:
f x a x dx
2 2
t
I1 =
3 1/ 2
(1 x )
dx x
2 2
t
Suy ra
t
6
2
Trang 2>> http://tuyensinh247.com/ 2
I1 =
3 / 2 0
u
3
2
I2 =
3 /2
0
(3 x ) 3 x dx
2 2
t
2
6
Khi đó: I2 =
6
0 (3 3sin ) 3 3sint t( 3 cos )t dt
=
/6
0
3cos t 3cos t( 3 cos )t dt
t
(1 2 cos 2 t ) (3 4 cos 2 t cos 4 t)
0
[3t+2sin2t+ sin 4 ]
Trang 3>> http://tuyensinh247.com/ 3
2 Dạng 2:
f x x a dx
cos
a
t; [0,- ) [ ,3 )
I1 =
2
2
dx
x x
cos
a
t ; [0,- ) [ ,3 )
t
Suy ra
t
4
3
dx sintdt/cos2t
I1 =
2
2
1 cos cos
t tgt
t tg t
I3 =
4
16
x
dx x
t
Suy ra:
3
dx 4sintdt/cos2t
Suy ra I3 =
2
4 cos
tdt
t
0
3
tg t dt d tgt dt tgt t
3 Dạng 3
f x x a dx
2
t
Trang 4>> http://tuyensinh247.com/ 4
I1 =
8 1/ 3
(1 x )
dx x
2
t
Suy ra:
t
6
4
dx dt/cos2t
Suy ra I1 =
1
tg t
tdt d t
=
/ 4
/6
/6
d t
I3 =
1/ 2
0
1 1
x dx x
1
x x
suy ra x =
2
2
1 1
u u
; dx = 2 2
4 (u 1)
udu
Suy ra I3 =
1
4 (u 1)
u du
Đặt u = tg t ; (0;
2
t
)
Suy ra
t
4
3
du dt/cos2t
Suy ra I3 =
/ 4
4sin 2 (1 cos 2 u) du 2(u sin 2 ) 1
I8 =
1
0
1
x x
Đặt x = tg t, t [0;
2
Suy ra
4
Trang 5>> http://tuyensinh247.com/ 5
dx dt/cos2t
I8 =
=
/ 4 0
4 Dạng 4:
( , a x)
a x
2
xa t t
I1 =
5/ 2
0
5 5
x dx x
Đặt x = 5cos2t [0; ]
2
t
t
4
6
dx -10sin2t dt
Suy ra I1 =
2
( 10sin 2 ) 10 (2sin cost) dt
= 10
/ 4
2 cos tdt 10 (1 cos 2 ) dt 10( sin 2 )
I2 =
3/ 2
2
0
3 3
x
x
2
t
4
6
dx -6sin2t dt
Suy ra I2 =
2
(9 cos 2 t) ( 6sin 2 ) 54 cos 2 (2sintcost)
Trang 6>> http://tuyensinh247.com/ 6
54 cos 2 (2 cos t)t dt 54 cos 2 (1 cos 2 t) dtt 54 (cos 2t cos 2 )t dt
5 Dạng 5:
f x x a b x dx
t, [0; ]
2
t
I1 =
2
3
4
a b
a b
dx
a b
x a b x
2
( ) sin
[0; ] 2
x a b a t
4
a b
2
a b
t
6
4
dx (b-a) sin2t dt
I1 =
( ) sin (1 sin ) sin cos
dt
III CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
I1 =
2
1
4
; I2 =
3
0
2
Một số dạng tích phân trong 7 dạng tích phân ở mục này khó tính và không thể tính được nguyên hàm nhưng nếu thể cận hợp lý thì tính được giá trị tích phân
I DẠNG 1: HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ HÀM CHẴN, HÀM
LẺ
1 - MỆNH ĐỀ 1
Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên đoạn [-a;a] thì:
f x dx f x dx
- MỆNH ĐỀ 2:
Trang 7>> http://tuyensinh247.com/ 7
Nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-a;a] thì I = ( ) 0
a
a
f x dx
Chứng minh
1 I =
f x dx f x dx f x dx f t d t f x dx
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
f t d t f x dx f t d t f x dx
f x dx f x dx f x dx
2 J =
f x dx f x dx f x dx f t d t f x dx
f t d t f x dx f t d t f x dx
f x dx f x dx
2 Các bài tập mẫu minh họa:
A 1 =
3
3 (cosx) dx Do [cos( x)] (cosx) , x (cosx)
1
3
2 (1 sin x) d(sin )x 2 (1 3sin x 3sin x sin x) d(s inx)
3
7
A 2 =
Do
( )
, [ 1;1]
x
Trang 8>> http://tuyensinh247.com/ 8
I =
1 0
x x
x
1
2 1
0 1
tgx
x
Vậy A2 = I + J = 26
1 [ ln(x x 1)] dx
[ ln(x x 1] [ ln( x 1 x)]
2007 2
1
[ ln(x x 1) ] ( 1) [ln(x x 1)]
[ ln(x x 1)]
[ln(x x 1)]
1
1
[ln(x x 1)] dx 0
II DẠNG 2: HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ THƯƠNG CỦA HÀM CHẴN VÀ HÀM MŨ
1 Mệnh đề:
Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-a;a]
Khi đó ta có I =
0
( )
( ) 1
x a
f x
dx f x dx m
Chứng minh
B =
0
0
Đặt x = - t I =
1
1
t
dx
m
=
m f x dx m f dx
Từ (1) và n(2) suy ra:
(x)
( ) 1
x
m f
m
Trang 9>> http://tuyensinh247.com/ 9
* B 1 =
1
2
dx x
F(x) = 21
1
x là hàm chẵn, liên tục trên [-1;1] nên theo mênh đề ta có:
B1 =
1 0
ar
ctgx
B 2 =
1/ 2
2 1/ 2 (ex 1) 1
dx x
f(x) =
2
1
1 x là hàm chẵn, liên tục trên [1
2;-1
2] nên theo mệnh đề
B2 =
1/2 0
arcsin
6
x
B8 =
x dx e
f(x) = x2 cos x là hàm chẵn, liên tục trên
[-2
; 2
] nên theo mệnh đề
ta có:
B8 =
1
x
x
dx x xdx x d e
0
/ 2
0
III DẠNG 3: TÍNH BẤT BIẾN CỦA TÍCH PHÂN KHI BIẾN SỐ THAY ĐỔI CẬN CHO NHAU
1 Mệnh đề: Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì ( ) ( )
f x dx f a b x dx
Chứng minh Đặt t = a + b – x , x [a;b]
f a b x dx f t dt f
Trang 10>> http://tuyensinh247.com/ 10
2 Bài tập mẫu minh họa
Tính C1 =
/ 4
0
ln(1 tgx dx)
1
2 0
ln(1 ) 1
x dx x
Giải Đặt f(x) = ln(1+tgx) f(0+
4
-x)=f(
4
-x)=ln[1+tg(
4
-x)]
tagx
tgx
1
4
/ 4 / 4
0
C2 =
1
2
ln(1 ) 1
o
x dx x
Đặt x = tg t khi đó:
x 0 1
t 0
4
dx Dt/cos2 t
C2 =
0
.
o
dx
=
1
8
tgt dt tgx dx C
IV DẠNG 5: HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ HÀM TUẦN HOÀN
1 Định nghĩa: Hàm y = f(x) được gọi là tuần hoàn nếu có một số T > 0 sao cho với mọi x thuộc miền xác định Df của hàm số, ta luôn có:
1.1 x T cũng thuộc miễn xác định Df của hàm số
Trang 11>> http://tuyensinh247.com/ 11
1.2 f(x+T) = f(x), với mọi x thuộc Df
Số T (T>0) được gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn y = f(x) Chu kỳ nhỏ nhất (nếu tồn tại) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số đã cho
2 Mệnh đề:
Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn chu kỳ T, xác định và liên tục trên R Khi
đó ta có:
0
a
f x dx f x dx a R
3 Các bài tập mẫu minh họa
D1 =
(sin 3 ) (cos 5 x) (sin 3 ) (cos 5 x) (sin 3 ) (cos 5 x)
Ta có: f(x) = (sin 3 ) (cos 5 x)7 10 8
1 (cos 7 x)
x
tuần hoàn chu kỳ 2 nên
(sin 3 ) (cos 5 x) (sin 3 ) (cos 5 x) (sin 3 ) (cos 5 x)
(sin 3 ) (cos 5 x) (sin 3 ) (cos 5 x) (sin 3 ) (cos 5 x)
Do f(x) là hàm lẻ trên đoạn [-;] nên f x dx( ) 0 D1 0