CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM CAO

Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kế toán Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 0 PHỤ LỤC Nội dung Trang Chương 1: GIỚI THIỆU 1.1. Lý do chọn đề tài 1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu 1.2.1. Mục tiêu 1.2.2. Phạm vi nghiên cứu 1.3. Ý nghĩa thực tiễn 1.4. Cấu trúc của chuyên đề Chương 2: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở lý luận 2. Mô hình nghiên cứu 2.1.Các bước tiến hành 2.2. Kiến thức cơ bản để giải một số dạng toán về căn thức 2.3 Các dạng bài tập Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chương 4: KẾT LUẬN 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 53 53 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 1 CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chương 1: GIỚI THIỆU 1.1. Lý do chọn đề tài Các bài toán về rút gọn căn thức bậc hai là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán của trường THCS. Việc biến đổi được những biểu thức đại số có chứa căn thức bậc hai không đơn giản chỉ là biến đổi thông thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lôgic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo, nó có ý nghĩa trong việc rèn luyện khả năng tư duy phân tích, kỹ năng tính toán. Đi kèm với rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai còn có một số dạng toán tính giá trị của biểu thức, chứng minh các biểu thức ...Trong phân môn đại số - chương trình toán lớp 9 THCS số tiết về dạy học các dạng toán này đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán học. Khi giảng dạy cho các em HS ở bậc THCS môn Toán tôi nhận thấy các em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai mà dạng toán này gặp rất nhiều trong các đề thi vào THPT, thi vào trường chuyên , lớp chọn. Vậy cách trình bày một bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn thức như thế nào? phương pháp giải bài toán ra sao? Trước tình hình trên, chúng tôi đưa ra một số phương pháp pháp và cách giải dạng toán “Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan''''''''. 1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu 1.2.1. Mục tiêu + Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc giải bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan, ứng dụng của toán học trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích , tìm hiểu môn toán Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 2 cũng như các môn khoa học khác. Làm tài liệu tham khảo học tập cho các em học sinh khối 9 ôn thi vào THPT. + Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh thi vào THPT, thi vào trường chuyên, lớp chọn, thi HSG 1.2.2. Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Chương I môn Toán lớp 9 - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 1.3. Ý nghĩa thực tiễn Chuyên đề này chúng tôi đã phân loại một số dạng toán cho học sinh và chỉ ra các phương pháp giải. 1.4. Cấu trúc của chuyên đề Chương 1: Giới thiệu đề tài Chương 2: Cơ sở lý luận và mô hình nghiên cứu Chương 3: Phương pháp nghiên cứu Chương 4: Kết luận Chương 2: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở lý luận Dạy toán là dạy cho học sinh biết phương pháp học toán và giải các bài toán từ đó biết vận dụng toán vào trong thực tiễn. Thông qua việc giải bài tập giúp các em rèn luyện tư duy, kĩ năng trình bày từ đó nâng cao khả năng sáng tạo và óc phán đoán của các em. 2.Mô hình nghiên cứu 2.1.Các bước tiến hành - Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết chuyên đề. Trao đổi thảo luận trong tổ. Xây dựng đề cương. Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 3 - Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết chuyên đề. Qua các tài liệu, qua khảo sát các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập, các buổi học chuyên đề, buổi bồi dưỡng HSG. - Lựa chọn hệ thống bài tập. 2.2. Kiến thức cơ bản để giải một số dạng toán về căn thức Các em cần nắm vững một số kiến thức sau: I. Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3) A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) 7) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) II. Các cụng thức biến đổi về căn thức 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0,a = x  x2 = a 2) ĐểA có nghĩa thì A ≥ 0 3)AA 2 4)BAAB . ( với A 0 và B 0) 5) B A B A  ( với A 0 và B > 0) 6)BABA 2 (với B 0) 7)BABA 2  ( với A 0 và B 0 ) 8)BABA 2  ( với A < 0 và B 0) 9) B AB B A  ( với AB 0 và B 0) Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 4 10) B B A B A  ( với B > 0) 11)2 ( )C C A B A BA B   ( Với A 0 và A B2) 12)( )C C A B A BA B   ( với A 0, B 0 và A B) 13)3 33      ;3 3 3      ;  3 23 1 0       3 32 2 3 3 3 1 ( )              III. Kiến thức bổ sung - Điều kiện của biến để biểu thức xác định. - Phân tích đa thức thành nhân tử - Nhân đa thức với đơn thức,đa thức với đa thức - Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức - Biến đổi căn bậc hai dạng phức tạp:xyyxyx 2)( 2  Đặt x + y = A; x .y = B ( x, y, A, B )2 2 ( )A B x y   2.3 Các dạng bài tập a - Rút gọn biểu thức số. b - Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn để: + Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức P khi cho x = k ( k là hằng số) + Dạng 2: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k (k là một hằng số) + Dạng 3: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = A (A là một biểu thức có chứa ẩn) + Dạng 4: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức P > k ( k ( B ( 02 C C  Xét :2 (4 7) 2 (4 7).(4 7) 4 7C       2 8 2 16 7 8 2.3 2C       Vậy C =2 Cách 3: Hướng dẫn: Nhân cả hai vế của C với2 ta có:2. 8 2 7 8 2 7C     4) D =5210452104  Vì D > 0 D =2 D Xét2 D 8 2 (4 10 2 5 ).(4 10 2 5 )     2 2 2 2 D 8 2 ( 5 1) D 6 2 5 ( 5 1) D 5 1            Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 9 5) E =532154154  Đặt154154  sau đó thực hiện như phần C ta được kết quả2 3 5 2. 2.(3 5) 2. 6 2 5 2( 5 1)E         6)3 3 7 5 2 7 5 2F     Cách 1: Đưa biểu thức trong căn về lập phương của một tổng21)21(226231257 3 333  Tương tự:212573  . Do đó E =2)21()21(  7) G =44 6204962049  Ta có: 49 +  4 222 )23(23)625(2462025620        Tương tự:4 )23(62049  Vậy G =322323  MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1 Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán: + Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo. + Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng hoặc đưa về hằng đẳng thức + Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu… II: Dạng toán tổng hợp Một số bước khi làm dạng toán tổng hợp Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)2 A A Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 10 Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung. + Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không. Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận. Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán. + Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình. + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức P khi cho x = k ( k là hằng số) a) Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức P và rút gọn k nếu cũng là một biểu thức chứa căn phức tạp Bước 3: Thay giá trị x = k vào biểu thức đã rút gọn rồi tính ra kết quả b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biểu thức:1 : 1 x x P x x x x         a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x = 4 Bài giải: a) ĐKXĐ: x > 0 Ta có:    11 1 1 : . 1 x 1 x xx x x x x x P x x x x x xx                      b) Thay x = 4 vào biểu thức P ta được:4 4 1 4 2 1 7 2 24 P        Vậy: Giá trị của biểu thức 7 2 P  khi x = 4 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 11 Ví dụ 2: Cho biÓu thøcx 2 1 A ( ) : x 1 x x x 1      a) T×m iÒu kiÖn x¸c Þnh, Rót gän A b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=3-22 Bμi gi¶i a) KX x > 0; x 1.x 2 1 A ( ) : x 1 x x x 1 x 2 1 ( ) : x 1 x 1x( x 1)         2 ( x ) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2 A . 1x ( x 1) x ( x 1) x           b) Khi x = 3-22 =2 ( 2 1) Vậy: Giá trị của biểu thức1 3 2A   khi x=3-22 Ví dụ 3: Cho biểu thức:x 2x x B x 1 x x      a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị của B khix 3 8  Bμi gi¶i a) KX x > 0; x 1.   2 5 2 2 2 13 2 2 2 5 2 2 A 1 3 2 12 1( 2 1)            Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 12      2 x 2x x B x 1 x x x 2 x 1 x x 1 x x 1 x 1x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1                        b) Thayx 3 8  vào biểu thức B ta được:  2 B 3 8 1 3 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2                Vậy giá trị của B =2 khix 3 8  Dạng 2: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k (k là một hằng số) a) Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức P Bước 3: Giải phương trình P – k = 0 Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biểu thức3 1 1 P : x 1 x 1 x 1         a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 5 4 Bài giải: a) Điều kiện: x0;x 1  P =     3 1 3 x 1 x 1 . 1x 1x 1 x 1 ( x 1) x 1               =      x 2 x 1 x 2 x 1x 1 x 1       Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 13 b)    5 x 2 5 P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5. 4 4x 1             x 13 x 168    (TM điều kiện) Vậy : Với x = 168 thì biểu thức P = 5 4 Ví dụ 2: Cho biểu thức A =  2 1 1 : 1 11              x x xxx a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A = 3 1 . Bài giải: a). Điều kiện0 1x  Với điều kiện đó, ta có:    2 1 1 1 : 1 1 x x x A xx x x        b) Để A = 3 1 thì1 1 3 9 3 2 4 x x x x       (thỏa mãn điều kiện) Vậy : Với 9 4 x  thì A = 3 1 Ví dụ 3: Cho biểu thứcx 1 x 2x 2 1 2x 2 1 C       a) Rút gọn biểu thức C. b) Tính giá trị của x để . 3 1 C  Bài giải: a) Điều kiện x0;x 1 x 1 x 2x 2 1 2x 2 1 C             1 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x        Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 14           1 1 2 2 1 1 2 12 2 1 12 1 1 2 1 1 x x x x x x x xx x x x                   b) Với x0;x 1  thì1 0 1x    nên1 1 1 1 1 3 2 4 3 3 31 C C hay x x x x                (TM điều kiện) Vậy với x = 4 thì . 3 1 C  Dạng 3: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = A (A là một biểu thức có chứa ẩn) a) Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức P Bước 3: Giải phương trình P – A = 0 Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận b) Ví dụ minh họa: Cho biểu thức:2 1 1 . 2 2 1 x x P x x x x           a) Rút gọn P b) Tìm x biết 2P = 2x + 5 Bài giải: a). Điều kiện0 1x   2 1 1 2 1 1 . . 2 2 1 2 12 x x x x P x x x x x xx x                             2 12 1 1 1 . . 1 12 2 x xx x x x x x x xx x x x             b) Để 2P = 2x + 5 1 2. 2 5 x x x     Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 15       2 1 2 5 2 2 2 5 2 3 2 0 2 1 2 0 x x x x x x x x x x x x                    2 1 0 0, 1 0 2 2 0 1 1 2 1 2 4 x vìx x x x x x x TM                  Vậy: Với 1 4 x  thì 2P = 2x + 5 Dạng 4: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức P > k ( 0 Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biểu thứca 3 3 a B 2 a 6 2 a 6       a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B b) Với giá trị nào của a thì B < 1? Bài giải: a) Điều kiện: a ≥ 0; a ≠ 9 Ta có:    a 3 3 a a 3 3 a B 2 a 6 2 a 6 2 a 3 2 a 3                           2 2 a 3 a 3 2 a 3 a 3 2 a 9a 6 a 9 a 6 a 9 2a 18 a 9 2 a 9 2 a 9 2 a 9 a 9                      Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 16 b) Để B < 1a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9 1 1 0 0 0 a 9 a 9 a 9 a 9 a 9                      18 0 a 9    Vì 18 > 0 nên a – 9 < 0 a < 9 mà a ≥ 0; a ≠ 9 nên0 9a  Vậy: Với0 9a  thì B < 1 Ví dụ 2: Cho biểu thức:  .1;0 ; 1 1 1 1 3          x x x x x x x M a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M ≥ 2. Bài giải: a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1 Ta có:        3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x M x x x x x x                   1 1 1 1 2 x x x x x          b) Để M ≥ 22 x ≥ 2x ≥ 1 x ≥ 1 mà x ≥ 0; x ≠ 1 nên x > 1 Vậy: Với x > 1 thì M ≥ 2. Ví dụ 3: Xét biểu thức . 1aaa a a 2 1 a 1 : 1 a a 1A                       a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1. Bài giải: a) Điều kiện: a ≥ 0; a ≠ 1 Ta có: . 1aaa a a 2 1 a 1 : 1 a a 1A                          1 1 2 : 1 1 1 1 a a a a a a a               Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 17          2 1 1 2 : 1 1 1 1 11 . 1 1 1 1 a a a a a a a a aa a a a a a a                   b) Để A > 11 1 1 a a a     1 1 0 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a                          Với a ≥ 0; a ≠ 1 => a + 2 ≥ 2 > 0 nêna - 1 > 0a > 1 a > 1 Mà a ≥ 0; a ≠ 1 nên a > 1 Vậy: Với a > 1 thì biểu thức A > 1 Ví dụ 4: Cho biểu thức: A =1 1 3 1 a 3 a 3 a            a) Rút gọn biểu thức A b) Xác định a để biểu thức A > 2 1 . Bài giải: a) Điều kiện: a > 0 ; a 9. Ta có: A =1 1 3 1 a 3 a 3 a                        a 3 a 3 a 3 2 a 1 2 . . a a 3 a a 3a 3 a 3 b) Để A >    1 2 1 2 1 4 3 1 0 0 0 2 2 23 3 2 3 2 3 a a a a a a                 Vì a > 0 ; a 9 =>a > 0 =>a + 3 > 3 => 2(a +3) > 6 > 0 nên 1 -a > 0 -a > -1a < 1 a < 1 Mà a > 0 ; a 9 nên 0 < a < 1 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 18 Vậy: Với 0 < a < 1 thì biểu thức A > 2 1 . Ví dụ 5: Cho biểu thức: A=3 9 3 2 1 : 9 6 2 3 x x x x x x x x x x                        a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của x sao cho A > 1. Bài giải: a) Điều kiện: x 0 , x 9, x 4 Ta có: A=3 9 3 2 1 : 9 6 2 3 x x x x x x x x x x                                                 2 2 2 3 9 3 2 1 : 2 33 3 2 3 9 3 3 23 : 3 3 2 3 9 9 23 : 3 2 3 2 33 3 . 3 22 x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x xx                                                            b) Để A > 13 3 3 2 5 1 1 0 0 0 2 2 2 2 x x x x x x                5 0 2 0 5 0 2 0 5 2 5 2 x x x x x x x x                                Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 19 25 4 4 25 25 4 x x x x x              Mà x 0 , x 9, x 4 nên 4< x< 25 và x 9 Vậy: Với 4< x< 25 và x 9 thì biểu thức A > 1 Ví dụ 6: Cho biểu thức:  2 1 1 x 1 P : x x 1 x 1 x          a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P > 0 Bài giải a) ĐKXĐ: x>0; x1        2 2 1 x1 1 x 1 1 x 1 x P : . 1 x x 1 xx 1 x x 1 x1 x               b) Để P > 01 x 0 1 x 0 x       ( Vì x > 0 =>x 0)x 1 x 1.    mà x>0; x1 nên0 x 1  Vậy: Với0 x 1  thì P > 0 Dạng 5: So sánh biều thức A với k ( hằng số) hoặc với biểu thức B (chứa ẩn) a) Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức A Bước 3: Xét dấu của hiệu A – k hoặc A – B và đưa ra kết luận b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biểu thức:1 1 x 1 A : x x x 1 x 2 x 1            Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 20 a) Rút gọn biểu thức A. b) So sánh A với 1 Bài giải: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:1 1 x 1 A : x x x 1 x 2 x 1               2 1 1 x 1 A : x 1x x 1 x 1         2 1 x ( x 1) x 1 A . x ( x 1) x 1 x        b) Cách 1: Xét hiệu: A – 1 =x 1 x 1 x 1 1 x x x        . Vì x > 0 và x ≠ 1 nênx > 0 mà -1 < 01 0 x    hay A – 1 < 0 => A < 1 Vậy: A < 1 Cách 2: Dễ thấy: A = 1 1 1 x   vì:1 0 x  Ví dụ 2: Cho biểu thức: . 3 x 3x 2 x 1 2x 3 3x2 x 11x 15 P           a) Rút gọn P. b) So sánh P với 3 2 . Bài giải: a) Điều kiện: x 0 , x 1 Ta có: . 3 x 3x 2 x 1 2x 3 3x2 x 11x 15 P           Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 21               15 11 3 2 2 3 1 31 3 15 11 3 2 3 2 3 1 1 3 15 11 3 9 2 6 2 2 3 3 1 3 x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x                                        5 2 15 7 2 5 2 31 3 1 3 x xx x x xx x x x               b) Xét hiệu:          3 5 2 2 32 5 2 2 15 6 2 6 17 3 33 3 3 3 3 3 3 x xx x x x P x x x x                     Vì x 0 , x 1  0 3 3 3 3 9 0x x x         và17 0x  Nên  17 0 3 3 x x    hay2 2 0 3 3 P P    Vậy: 2 3 P  Ví dụ 3: Cho biểu thức P= . 1 1 1 1 1 2 :1                  x x x x x x x x a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với 3 Bài giải: a) Điều kiện: x > 0 , x 1 Ta có: P= . 1 1 1 1 1 2 :1                  x x x x x x x x      2 1 1 1: 11 1 1 1 x x x x xx x x x x                  Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 22                   2 1 1 1: 11 1 1 2 1 1 1 1: 1 1 2 1 1 1: 1 1 1: 1 1 x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                   1 1 1 1: 1. 1 1 x x x x x x x xx x x            b) Xét hiệu: P – 3  2 11 1 3 2 1 3 xx x x x x x x x x x x             Vì x > 0 , x 10x  và  2 1 0x   nên  2 1 0 x x   Hay P – 3 > 0 => P > 3 Vậy: P > 3 Ví dụ 4: Cho biểu thức:2 1 1 1 . 21 1 2 x x x P x x x                   a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P và - 2x Bài giải: a) Điều kiện: x > 0 , x 1 Ta có:2 1 1 1 . 21 1 2 x x x P x x x                           2 2 2 2 1 1 1 . 21 1 12 1 2 1 4 1 1 . . 1 4 1 4 x x x xx x xx x x x x x x x x x x                          Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 23 b) Xét hiệu: P – (- 2x ) = P + 2x =1 1 2 1 2 x x x x x x x x          Vì x > 0 , x 10x  và x + 1 > 1> 0 nên1 0 x x   Hay P – (- 2x ) > 0 => P > (- 2x ) Dạng 6: So sánh biều thức rút gọn A vớiA hoặc A2 với A a) Phương pháp: Bước 1: Xác định điều kiện của x để A > 0 ( nếu A chưa phải là biểu thức dương) Bước 2: So sánh A với 1 bằng cách xét hiệu A – 1 theo điều kiện x đã có Bước 3: Nếu 0 < A< 1 thìA > A Bước 4: Nếu A > 1 thìA < A Chú ý: Dạng này còn có biến thể là so sánh biểu thức rút gọn A và A2 (Chỉ xét với biểu thức A dương) b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biểu thức:1 1 2x 1 2x : 11 1 x x x x A xx x x x                  a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh A vàA Bài giải: a) Điều kiện: x > 0 ; x ≠ 1; 1 4 x  Ta có:1 1 2x 1 2x : 11 1 x x x x A xx x x x                  Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 24                                  2 1 1 2 1 11 : 1 1 1 1 1 2 12 1 2 1 : 1 1 1 2 1 1 2 12 1 : 1 1 1 1 12 1 . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 . 2 1 x x x x xx x x x x x x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x                                                                 b) Ta có:1 1 1 1 1 x x A x x x x x          Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:1 2x x   với x > 0 ; x ≠ 1; 1 4 x  Xét hiệu:( 1)A A A A   Vì1 1 2 1 1 1 1 0x A A A x            nên( 1) 0A A   Hay0A A A A    Vậy:A A Ví dụ 2: Cho biểu thức:1 2 : 4 2 2 x A x x x          a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh A và A2 Bài giải: a) Điều kiện: x ≥ 0 ; x ≠ 4 Ta có:1 2 : 4 2 2 x A x x x          Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 25            1 2 : 2 22 2 2 12 2 2 2 1 . 2 22 2 2 2 2 2 x x xx x xx x x x x xx x x x                         b) Ta có:  2 11 1 1 1 2 2 2 x x A x x x            hay A < 1 (1) với mọi x ≥ 0 ; x ≠ 4 Vì x ≥ 0 ; x ≠ 4 nên1 0 2 x A x     hay A > 0 (2) Từ (1) và (2) 0 < A < 1 => A2 < A với mọi x ≥ 0 ; x ≠ 4 Vậy: A2 < A với mọi x ≥ 0 ; x ≠ 4 Dạng 7: Chứng minh với mọi giá trị của x thì A > k ( 0 với mọi x b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biểu thức:2 1 1 11 1 x x x T xx x x x          . a) Rút gọn biểu thức T. b) Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T 0 và x≠1 Ta có :2 1 1 11 1 x x x T xx x x x               2 1 1 11 1 1 1 x x x x xx x x x x             Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 26                        2 1 1 11 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x                                                      b) Xét hiệu :          2 2 1 11 1 3 1 3 31 3 1 3 1 3 1 x x xx x x x T x x x x x x x x                      Vì x > 0 và x≠10 0 1 1 0x x x x x          và  2 1 0x   với mọi x > 0 và x≠1 nên    2 1 1 1 0 0 3 33 1 x T T x x           Vậy : Với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T 0 ; x ≠ 1. Ta có: A =x 2 x 1 x 1 : 2x x 1 x x 1 1 x            Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 27                        2 2 2 1 1 : 211 1 1 2 1 1 1 : 21 1 2 1 2 . 11 1 2 1 2 . 11 1 2 1 2 11 1 x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x                                                      b) Ta xét hai trường hợp : +) A > 0 1 2  xx > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1) +) A < 2 1 2  xx < 2 2(1 xx ) > 2xx  > 0 đúng và theo GT thì x > 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2 ( đpcm). Ví dụ 3: Cho biểu thức: A =1 1 8 3 1 : 1 11 1 1 x x x x x x xx x x                       a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng: A1 Bài giải: a) Điều kiện: x 0 , x 1. Ta có: A =1 1 8 3 1 : 1 11 1 1 x x x x x x xx x x                       Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan N.M.P 28                  2 2 1 1 8 3 1 : 1 1 11 1 ...

PHỤ LỤC

Chương 1: GIỚI THIỆU

1.4 Cấu trúc của chuyên đề

Chương 2: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU

CHUYÊN ĐỀ:

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chương 1: GIỚI THIỆU1.1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán về rút gọn căn thức bậc hai là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán của trường THCS Việc biến đổi được những biểu thức đại số có chứa căn thức bậc hai không đơn giản chỉ là biến đổi thông thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lôgic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo, nó có ý nghĩa trong việc rèn luyện khả năng tư duy phân tích, kỹ năng tính toán Đi kèm với rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai còn có một số dạng toán tính giá trị của biểu thức, chứng minh các biểu thức .Trong phân môn đại số - chương trình toán lớp 9 THCS số tiết về dạy học các dạng toán này đã chiếm

một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán học

Khi giảng dạy cho các em HS ở bậc THCS môn Toán tôi nhận thấy các em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai mà dạng toán này gặp rất nhiều trong các đề thi vào THPT, thi vào trường chuyên , lớp chọn Vậy cách trình bày một bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn thức như thế nào? phương pháp giải bài toán ra sao? Trước tình hình trên, chúng tôi đưa ra một số phương pháp pháp và

cách giải dạng toán “Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài

toán liên quan''

1.2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu 1.2.1 Mục tiêu

+ Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc giải bài

toán rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan, ứng dụng của toán học trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích , tìm hiểu môn toán

cũng như các môn khoa học khác Làm tài liệu tham khảo học tập cho các em học sinh khối 9 ôn thi vào THPT

+ Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh thi vào THPT, thi vào trường chuyên, lớp chọn, thi HSG

1.2.2 Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Chương I môn Toán lớp 9 - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9

1.3 Ý nghĩa thực tiễn

Chuyên đề này chúng tôi đã phân loại một số dạng toán cho học sinh và chỉ ra các phương pháp giải

1.4 Cấu trúc của chuyên đề

Chương 1: Giới thiệu đề tài

Chương 2: Cơ sở lý luận và mô hình nghiên cứu Chương 3: Phương pháp nghiên cứu

Chương 4: Kết luận

Chương 2: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU 1 Cơ sở lý luận

Dạy toán là dạy cho học sinh biết phương pháp học toán và giải các bài toán từ đó biết vận dụng toán vào trong thực tiễn Thông qua việc giải bài tập giúp các em rèn luyện tư duy, kĩ năng trình bày từ đó nâng cao khả năng sáng tạo và óc phán đoán của các em

2.Mô hình nghiên cứu 2.1.Các bước tiến hành

- Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết chuyên đề Trao đổi thảo luận trong tổ Xây dựng đề cương

- Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết chuyên đề Qua các tài liệu, qua khảo sát các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập, các buổi học chuyên đề, buổi bồi dưỡng HSG

III Kiến thức bổ sung

- Điều kiện của biến để biểu thức xác định - Phân tích đa thức thành nhân tử

- Nhân đa thức với đơn thức,đa thức với đa thức - Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

- Biến đổi căn bậc hai dạng phức tạp:

b - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết quả rút gọn để:

+ Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức P khi cho x = k ( k là hằng số) + Dạng 2: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k (k là một hằng số) + Dạng 3: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = A (A là một biểu thức có chứa ẩn)

+ Dạng 4: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức P > k (<; ≥ ; ≤ k) với k là một hằng số

+ Dạng 5: So sánh biều thức A với k ( hằng số) hoặc với biểu thức B ( chứa ẩn)

+ Dạng 6: So sánh biều thức rút gọn A với A hoặc A2 với A

+ Dạng 7: Chứng minh với mọi giá trị của x thì A > k (<; ≥ ; ≤ k) với k là một hằng số

+ Dạng 8: Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức A > B (<; ≥ ; ≤ B) với B là một biểu thức chứa ẩn

+ Dạng 9: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên + Dạng 10: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đạt GTLN hoặc GTNN + Dạng 11: Chứng minh biểu thức luôn âm hoặc luôn dương

+ Dạng 12: Tìm x biết biểu thức A thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Vì thời gian có hạn nên trong bài giảng minh hoạ chúng tôi chỉ đề cập đến phần rút gọn biểu thức căn thức chứa các số và chứa chữ trong phần này chúng tôi lại phân loại ra một số dạng bài tập Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:

Phương pháp giải : Đưa biểu thức trong căn về dạng bình phương của một tổng

hoặc bình phương của một hiệu

- Sử dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức - Vận dụng thành thạo A2  A

1) Nhận thấy 15 = 3.5 = 15.1 ta chọn được cặp số 3 và 5 thoả mãn 3 + 5 = 8 do

5 2 5 3 3 ( 53)5353

2) B = (53)2 (53)2 535323

Gợi ý: Nhân biểu thức trong căn với 2

2 để đưa về cách giải của phần 1

Cách 2: Nhận thấy (4- 7)(4 + 7) là một số chính phương nên ta có thể bình phương hai vế của biểu thức cần tính

Nhận xét biểu thức trong căn Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán:

+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo

+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng hoặc đưa về hằng đẳng thức

+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích

+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu…

II: Dạng toán tổng hợp Một số bước khi làm dạng toán tổng hợp

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)

A  A

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)

+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận

Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán

+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức P khi cho x = k ( k là hằng số) a) Phương pháp:

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức P và rút gọn k nếu cũng là một biểu thức chứa căn

Vậy giá trị của B = 2 khi x 38

Dạng 2: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k (k là một hằng số) a) Phương pháp:

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức P

Bước 3: Giải phương trình P – k = 0

Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận

a) Điều kiện 0 x 1 Với điều kiện đó, ta có:

Bước 3: Giải phương trình P – A = 0

Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận

Bước 3: Giải phương trình P – k > 0

Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận

a) Tìm điều kiện của a để B xác định Rút gọn B b) Với giá trị nào của a thì B < 1?

Vậy: Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >

Bước 2: So sánh A với 1 bằng cách xét hiệu A – 1 theo điều kiện x đã có Bước 3: Nếu 0 < A< 1 thì A > A

Bước 4: Nếu A > 1 thì A < A

Chú ý: Dạng này còn có biến thể là so sánh biểu thức rút gọn A và A2 (Chỉ xét với biểu thức A dương)

Vậy: A2 < A với mọi x ≥ 0 ; x ≠ 4

Dạng 7: Chứng minh với mọi giá trị của x thì A > k (<; ≥ ; ≤ k) với k là một hằng

Vậy : Với mọi x ≥ 0 và x≠1 thì A ≤ 1

Dạng 8: Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức A > B (<; ≥ ; ≤ B) với B là một biểu thức chứa ẩn

a) Phương pháp:

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Giải phương trình A – B > 0

Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận

Dạng 9: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên

a) Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng chứa phân thức mà tử nguyên, tìm giá trị của ẩn để mẫu là ước của tử

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức A và đưa về dạng phân thức có tử là số nguyện Bước 3: Lý luận để biểu thức là số nguyên thì mẫu số phải là ước của tử, từ đó

     a =1 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện) Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0

Vậy: Với a16; 25;1; 49 thì A nhận giá trị nguyên

b) Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị

nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận

c) Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên của tham số giải ra tìm ẩn

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị

nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận

Vậy: Với x = 0 thì M nhận giá trị nguyên

Dạng 10: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đạt GTLN hoặc GTNN a) Phương pháp:

Phương pháp 1: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1.

Vậy GTNN của P = -1 khi x = 0

Dạng 11: Chứng minh biểu thức luôn âm hoặc luôn dương a) Phương pháp:

+ Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta chỉ ra A = A2 + k ( k > 0) + Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta chỉ ra A = -A2 - k ( k > 0)

Vậy: A không âm với mọi giá trị của x thuộc tập xác định

Dạng 12: Tìm x biết biểu thức A thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

*) Phương pháp: a) Tìm x để A = A

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 2: Cho biểu thức: A 1 1 1 1

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A A.

Bài 3: Cho biểu thức: A x 2 x 1

a) Rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A A

Bài 4: Cho biểu thức: P a 2 a 1 : a a 1

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a nguyên để P nhận giá trị nguyên

Bài 5: Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

Bài 6: Cho biểu thức A = x x 7 1 : x 2 x 2 2 x

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x=3+ 8

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên?

Bài 10: Cho biểu thức : P= a11 1a: aa21 aa12

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của a để P> 61

Bài 11: Cho biểu thức : P=aaa a1aaaa1 a 1a aa 11 aa 11

a) Rút gọn biểu thức P

b) Với giá trị nào của a thì P=7 c) Với giá trị nào của a thì P>6

a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định b) Rút gọn biểu thức A

c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?

b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1 c) Tính các giá trị của A nếu a 20072 2006

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x 7 4 3

c) Vói giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 21: Cho biểu thức

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P x nhận giá trị nguyên Bài 23: Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2

a) Rút go ̣n P b) Tìm giá tri ̣ của x để P = -1 c) Tìm m để với mo ̣i giá tri ̣ x > 9 ta có: (mx 3)P x 1

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Chương 4: KẾT LUẬN

Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan có ý nghĩa ứng dụng rất cao , nó rèn luyện tư duy lô gic, khả năng sáng tạo , nó giúp cho học sinh tự tin hơn khi làm các bài tập trong chuyên đề đặc biệt là khi tham gia kì thi vào THPT, thi vào trường chuyên , lớp

Chuyên đề: "Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài

toán liên quan'' có nhiều dạng bài tập được trình bày logic Tuy nhiên trong

nội dung chuyên đề này không tránh khỏi những thiếu sót, do kinh nghiệm của chúng tôi còn hạn chế xin được mạnh dạn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp Rất mong nhận được sự giúp đỡ của thầy giáo, cô giáo và sự góp

ý của các đồng nghiệp để chuyên đề càng được phong phú hơn