CHỦ ĐỀ 1 RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN CHỨA CĂN BẬC 2 DẠNG 1 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ Loại 1 Đa Thức Đơn Giản ChứaTrong bài viết ngày hôm nay, Kiến Guru sẽ tổng hợp các phương pháp giải bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 đơn giản và dễ hiểu nhất. Mời bạn đọc cùng tham khảo phần hướng dẫn dưới đây để có thể nắm rõ và áp dụng trong các dạng bài tập sau này. Các dạng rút gọn biểu thức lớp 9 Trước hết, ta cần hiểu rõ khái niệm về rút gọn biểu thức lớp 9 – một quá trình thực hiện các phép tính toán để đưa biểu thức về dưới dạng đơn giản nhất. Đây là một dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán và thường xuyên xuất hiện trong các bài 1 thuộc đề thi của các Sở Giáo dục. Bên cạnh đó, nắm rõ cách giải các bài tập rút gọn biểu thức cũng là nền tảng, là cơ sở để giải những yêu cầu khác của đề bài sau này. Để tránh được những lỗi sai không đáng có, sau đây mời các bạn cùng tìm hiểu một số dạng rút gọn biểu thức lớp 9 cơ bản: Dạng 1: Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Rút gọn biểu thức là dạng toán mà bạn đọc đã được tiếp xúc nhiều trong môn Toán học và được gia tăng cấp độ theo thời gian. Yêu cầu của dạng bài tập rút gọn biểu thức này thường là đơn giản hóa các đa thức, phân thức, các biểu thức chứa căn đối với chương trình học lớp 9. Trong quá trình giải các bài tập rút gọn biểu thức lớp 9, chưa xác định đúng điều kiện xác định và quên tìm tập xác định là những lỗi sai phổ biến và chính điều này đã khiến bạn đọc không thể dành được điểm số tối đa trong phần bài làm tự luận của mình. Một số nguyên nhân lý giải cho việc này là do không nắm vững cách tìm tập xác định của 1 biểu thức. Vì vậy, hãy cùng điểm lại một biểu thức sẽ được xác định khi nào trước khi ôn tập về cách giải bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 nhé Hướng dẫn giải bài tập tìm điều kiện xác định trước khi giải rút gọn biểu thức lớp 9 Để xác định được tập xác định của biểu thức, cần nắm được các nội dung kiến thức bổ sung sau đây: Nếu biểu thức ấy chỉ là phép cộng, trừ các đa thức thì x luôn xác định (có nghĩa là ta không đi cần đi tìm điều kiện xác định). Đối với phân thức: Biểu thức dưới mẫu khác 0. Đối với biểu thức chứa căn bậc 2: Các đa thức trong căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. Đối với phân thức mà căn bậc 2 nằm ở dưới mẫu: Đa thức trong căn phải lớn hơn 0. Lưu ý Trong trường hợp biểu thức ấy cần có nhiều điều kiện xác định khác nhau, ta lấy giao các tập xác định để tìm ra điều kiện xác định của biểu thức. Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc 2 Phương pháp giải Để giải các bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định để biểu thức chứa căn thức bậc hai có nghĩa, chú ý đến các nội dung lý thuyết sau: word image 23093 2 Bước 2: Vận dụng các phép toán biến đổi để thu gọn biểu thức. Dạng 3: Rút gọn biểu thức và tính giá trị khi đề cho giá trị của ẩn Phương pháp giải Đối với dạng bài tập này, ta tuân thủ quy trình với các bước làm bài như sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, đánh giá xem các giá trị của ẩn có thỏa mãn điều kiện xác định đó không. Bước 2: Rút gọn biểu thức (nếu cần thiết). Bước 3: Nếu giá trị x = x0 thỏa mãn điều kiện xác định, ta thay giá trị đó vào biểu thức để thực hiện phép tính giá trị của biểu thức. Bước 4: Kết luận. Dạng 4: Rút gọn biểu thức, tìm x để giá trị biểu thức sau khi rút gọn đạt giá trị nguyên Phương pháp giải Đây là dạng bài tập vận dụng mức độ thấp của bài toán rút gọn biểu thức lớp 9, phương pháp giải bài này như sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức về dưới dạng đơn giản nhất. Bước 2: Lấy tử số chia cho mẫu số và đưa về dạng biểu thức là tổng của 1 số nguyên và phân thức có tử số là 1 số nguyên. Bước 3: Đối với biểu thức vừa được biến đổi, ta giả sử mẫu số là ước của tử số, từ đó tìm được giá trị của x để biểu thức đó là số nguyên. Hướng dẫn cách rút gọn biểu thức lớp 9 bằng máy tính Vừa rồi, Kiến Guru đã giới thiệu đến bạn đọc cách rút gọn biểu thức lớp 9 nhanh và dễ vận dụng nhất. Ngoài ra, các tính năng của máy tính Casio fx 570 cũng được tích hợp, hỗ trợ trong quá trình giải bài tập dạng này. Mời các bạn cùng tham khảo phần tổng hợp hướng dẫn dưới đây của chúng mình nhé Đối với trường hợp hệ số là số nguyên dương Phương pháp giải: word image 23093 3 word image 23093 4 Vừa rồi là một số ví dụ và bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 bằng máy tính chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng chúng sẽ hỗ trợ các em trong quá trình giải bài tập ở chủ đề này nhanh và chính xác hơn. Một số bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 có đáp án Rút gọn biểu thức lớp 9 là kỹ năng quan trọng cần có trong quá trình học tập, ôn luyện phục vụ cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông. Bên cạnh việc nắm được các phương pháp làm bài thì luyện tập với thật nhiều ví dụ cũng là cách để bạn đọc giải nhanh, giải đúng bài tập dạng này. Thấu hiểu được nhu cầu đó, Kiến Guru đã chọn lọc và biên soạn một số bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 có đáp án. Các bạn cùng theo dõi nhé Bài tập và đáp án minh họa 1 Hãy rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau: word image 23093 5 Hướng dẫn giải: Đây là bài tập rút gọn biểu thức dạng đơn giản, có chứa căn thức. Vì vậy trong quá trình giải bài tập này ta áp dụng các lý thuyết về biến đổi căn thức để đơn giản hóa biểu thức. Lời giải chi tiết bài tập minh họa 1 word image 23093 6 2. Bài tập và đáp án minh họa 2 Tìm điều kiện để biểu thức dưới đây có nghĩa: word image 23093 7 Hướng dẫn giải: Đây là dạng bài tập xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa – một bước quan trọng trong quá trình rút gọn, biến đổi căn thức. Vì vậy trong quá trình giải bài tập dạng này ta áp dụng các lý thuyết sau: Nếu biểu thức ấy chỉ là phép cộng, trừ các đa thức thì x luôn xác định (có nghĩa là ta không đi cần đi tìm điều kiện xác định). Đối với phân thức: Biểu thức dưới mẫu khác 0. Đối với biểu thức chứa căn bậc 2: Các đa thức trong căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. Đối với phân thức mà căn bậc 2 nằm ở dưới mẫu: Đa thức trong căn phải lớn hơn 0. Lời giải chi tiết bài tập minh họa 2: Để biểu thức có nghĩa thì – 5x – 10 ≥ 0 khi và chỉ khi x ≤ 2. Điều kiện xác định của phân thức là mẫu số phải khác 0, hay 4 – x ≠ 0 tương đương với x ≠ 4. Biểu thức ở câu c là phân thức có căn ở mẫu, thì điều kiện xác định sẽ là đa thức trong căn phải dương, hay 9 – x > 0, điều này chỉ xảy ra khi x < 9. Đối với câu d, để phân thức xác định thì mẫu thức cần khác 0 và căn thức ở phần tử số phải có nghĩa, tương đương với: x ≠ – 5 và x ≥ 4. 3. Bài tập và đáp án minh họa 3 Cho 2 phân thức A và B, hãy rút gọn biểu thức S = A – B. word image 23093 8 Hướng dẫn giải: Đây là dạng bài tập nâng cao rút gọn biểu thức với sự tham gia của 2 phân thức khác biệt. Thông qua bài tập minh họa này, bạn đọc sẽ được rèn luyện kỹ năng rút gọn biểu thức 1 cách chính xác nhất. Đối với phương pháp giải, ta tuân thủ các bước như sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức (nếu có). Bước 2: Xác định và rút gọn từng biểu thức về dưới dạng đơn giản nhất. Bước 3: Tính giá trị của biểu thức thông qua mối liên hệ giữa từng phân thức, sau đó rút ra kết luận. Lời giải chi tiết bài tập minh họa 3: word image 23093 9 Điều kiện xác định của tổng S = A – B là: x ≠ 1 và x ≥ 0. Rút gọn từng phân thức đã cho, ta có: word image 23093 10 Sau đó, ta tính giá trị của tổng S = A – B, cụ thể như sau: word image 23093 11 4. Bài tập và đáp án minh họa 4 Cho biểu thức A, với x ≠ 1. Hãy tính giá trị của A khi biết x = 27. word image 23093 12 Hướng dẫn giải: Đây là dạng bài tập nâng cao rút gọn biểu thức và tính giá trị khi biết được ẩn. Thông qua bài tập minh họa này, bạn đọc sẽ được rèn luyện kỹ năng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính. Đối với dạng bài tập này, ta tuân thủ quy trình với các bước làm bài như sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, đánh giá xem các giá trị của ẩn có thỏa mãn điều kiện xác định đó không. Bước 2: Rút gọn biểu thức (nếu cần thiết). Bước 3: Nếu giá trị x = x0 thỏa mãn điều kiện xác định, ta thay giá trị đó vào biểu thức để thực hiện phép tính giá trị của biểu thức. Bước 4: Kết luận về giá trị của biểu thức. Lời giải chi tiết bài tập minh họa 4: Biểu thức này đã được rút gọn, với điều kiện xác định x ≠ 1, thì giá trị của x là 27 (Thỏa mãn điều kiện). Thay vào A, ta có: word image 23093 13 Kết luận Vừa rồi, Kiến Guru đã giới thiệu đến các bạn tất tần tật lý thuyết và phương pháp giải rút gọn biểu thức lớp 9 cùng với một số bài tập vận dụng có lời giải chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ hữu ích với bạn đọc trong quá trình tự học, ôn luyện cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Ngoài ra, các bạn cũng có thể tham khảo một số bài viết bổ trợ học tập môn toán lớp 9 tại Kiến Guru. Chúc bạn đạt được thành tích cao trong học tập tintuctuyendung tintuckhuyenmai 99 lượt thích chi tiet bai viet Tin tức có thể bạn quan tâm: NHẸ NHÀNG CHẠM MỐC 8+ MÔN TOÁN + Dành cho lớp 12 – 2K5 + Giáo viên NGUYỄN VĂN THẾ – 9 năm kinh nghiệm luyện thi ĐH – Giảng viên dạy Toán trên đài VTV – 25.000+ học sinh chinh phục điểm 8+ 35.943 HỌC SINH ĐÃ ĐĂNG KÝ Kiến Guru Về chúng tôi Kiến Guru App Kiến Guru Live Kiến Robo Giáo viên Kiến Tuyển dụng Facebookf Tiktok Trợ giúp Câu hỏi thường gặp Điều khoản sử dụng Chính sách bảo mật Liên Hệ Liên hệ chúng tôi CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC LỚP HỌC NHỎ Mã Số Thuế: 0315578309 TPHCM: 35158 Lê Văn Sỹ, Phường 13, Quận 3, TP.HCM Hà Nội: Toà nhà BB, Ngõ 850 Đường Láng, Đống Đa, Hà Nội Cần Thơ: Số 41, Cách Mạng Tháng 8, An Hoà, Ninh Kiều, Cần Thơ. Hotline: 0283 620 0214 Email: infokienguru.vn Tải ứng dụng Chat với nhà Kiến Căn, Dễ Dàng Đặt Thừa Số Chung CÂU 1 Rút gọn Gỉai Câu 2 Không sử dụng máy tính Tính giá trị c.
CHỦ ĐỀ RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN CHỨA CĂN BẬC DẠNG 1.RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ Loại 1:Đa Thức Đơn Giản Chứa Căn, Dễ Dàng Đặt Thừa Số Chung M 45 245 80 CÂU 1.Rút gọn Gỉai M 45 245 80 32.5 2.5 2.5 3 57 54 6 Câu Không sử dụng máy tính Tính giá trị biểu thức: A 2015 36 25 Gỉai Có A 2015 36 25 = 2015 + – = 2016 Câu Rút gọn biểu thức : A 50 18 Gỉai A 50 18 = 5.2 2.3 10 (10 6) Câu 4Rút gọn biểu thức : A 27 12 75 Gỉai A 27 27 75 3 6 Câu 5.Rút gọn biểu thức: A= 12 27 48 Giải A 12 27 48 3 B 27 300 Câu6.Rút gọn biểu thức: Gỉai B 27 300 32.3 102.3 3.3 10 A 18 Câu 7.Rút gọn biểu thức: Gỉai A 9.2 A 12 A 15 Câu 8.Rút gọn biểu thức sau: A 27 48 Giải A 27 48 12 20 10 Câu 9.Rút gọn biểu thức sau : M (3 50 18 8) Gỉai M (3 50 18 8) (15 15 2) 2 12 Câu 10.Rút gọn biểu thức sau: A (2 27 12) : Giải A (2 27 12) : (2 5.3 4.2 3) : 5 : 5 Câu 11.Rút gọn biểu thức sau: A 125 45 20 80 Giải A 5 12 5 Câu 12 Rút gọn biểu thức sau 25 Gỉai 25 =5+6-10 =1 32 27 75 Câu 13 Gỉai 32 27 75 42.2 32.3 2.2 52.3 15 15 =0 2 Câu 14.Rút gọn biểu thức: A 3.5 3.2 3.3 Giải a ) A 3.52 3.22 3.32 2.5 3.2 3 10 3 Câu 15 Tính: A 45 500 Giải A 45 500 3.3 10 M (3 50 18 8) Câu 16.Rút gọn biểu thức sau : Gỉai M (3 50 18 8) (15 15 2) 2 12 Câu 17 Rút gọn biểu thức sau: A (2 27 12) : Giải A (2 27 12) : (2 5.3 4.2 3) : 5 : 5 Câu 18.Rút gọn biểu thức sau: A (2 27 12) : A (2 27 12) : (2 5.3 4.2 3) : 5 : 5 Câu 19.Rút gọn biểu thức sau: A 12 27 Gỉai A 22.3 32.3 3 B 20 45 Câu20 Rút gọn: Gỉai B 22.5 32.5 A 3( 27 3) Câu21.Rút gọn biểu thức Gỉai A 3( 27 3) 81 4.3 21 LOẠI 2:ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG B (2 3) Câu 1.Tính Gỉai Có B= | | 2(Do 2> 3) N 62 62 Câu2 Rút gọn biểu thức sau Gỉai N 62 62 1 1 ( 1)2 ( 1)2 | 1| | 1| A 10 20 Câu 3.Rút gọn biểu thức: Giải A 10 20 ( 2) 2 | | 2 2( Do 0) 3 B (3 6) 3 Câu Rút gọn biểu thức sau : Gỉai B (3 6) 3 (3 3) 12 (3 3) | | (3 3)(3 3) Câu Rút gọn biểu thức sau B ( 1) Gỉai b) B ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) | 1| ( 1)( 1) 1 A 10 20 Câu Rút gọn biểu thức: Gỉai A 10 20 ( 2) 2 | | 2 2( Do 0) 3 B (3 6) 3 Câu Rút gọn biểu thức : Gỉai B (3 6) 3 (3 3) 12 (3 3) | | (3 3)(3 3) P Câu Tính giá trị biểu thức: Gỉai 42 P 1 1 1 1 1 Câu 9.Rút gọn biểu thức: Gỉai b) A A 1 2 2 2 2 2 42 42 2 4 ( ( 1) ( 1) ) 1 (| 1| | 1|) ( 1) 2 42 1 Câu10 Rút gọn biểu thức : Gỉai 21 B 21 15 42 62 1 1 3 B 21 3 2 62 42 62 6 2 3 15 15 15 15 15 15 60 LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC CĂN THỨC, QUY ĐỒNG PP QUY ĐỒNG A 1 2 1 1 Câu Rút gọn biểu thức GIẢI 1 1 2(2 3) A 2 32 1 ( 1)( 1) 1 b) B 3 3 Câu Rút gọn biểu thức : Gỉai 1 6 3 97 32 P 2 5 2 Câu Rút gọn biểu thức : Gỉai P 2 5 2 5( 2) 10 52 2 B 5 10 5( 2) 5 52 52 Câu Rút gọn biểu thức : Gỉai P 2 2 P Câu Rút gọn biểu thức sau 1 2 52 B 1 3 3 Gỉai B 1 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 PP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG Câu Rút gọn biểu thức : P ( 1) 3 3 Gỉai 3 3( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1 2 3 18 Câu Tính: Giải 2 9.2 2( 1) 18 1 22 1 P ( 1) 2 2 1 PP LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG Câu Rút gọn biểu thức : Giải B 28 54 7 B 28 54 7 2( 6) 7.4 9.6 ( 6)( 6) 2 2 3 76 2 2 3 5 CÂU 2: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: Gỉai 10 1 2(2 5) A 1 1 2 CÂU 3.Cho A 1; B Tính giá trị biểu thức rút gọn biến đổi thích hợp GIẢI Ta có: A A B; A.B; 10 1 A ; A B2 B cách A B ( 1) ( 1) AB ( 1)( 1) ( 3) 12 A 1 ( 1) 42 2 B ( 1)( 1) A2 B ( A B ) AB (2 3) 2.2 12 Câu 4.Rút gọn biểu thức: Gỉai P 1 1 1 P 3 Câu Rút gọn biểu thức : Giải B 28 54 7 B 27 1 2 1 1 1 1 28 54 7 2( 6) 7.4 9.6 ( 6)( 6) 2 2 3 76 2 2 3 5 Câu6 Rút gọn biểu thức sau: Giải 5 5 A 52 1 A 5 5 52 1 (5 5)( 2) 5( 1) 5(3 5) ( 2)( 2) ( 1)( 1) (3 5)(3 5) 15 4 15 5 552 5 LOẠI KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HĐT TRONG CĂN Câu 1.Cho biểu thức : Gỉai M | | 75 2 M (2 3) 75 2 Rút gọn M 6(2 3) 14 Câu Rút gọn biểu thức 74 2 A Gỉai 74 2 1 44 3 (2 3) 2 2 A 2 2 2 2 2 2 (2 3)(2 3) Câu Khơng dùng máy tính, rút gọn biểu thức: Giải Ta có A ( 5) 22 (2 3) 32 54 A 2 ( 1) 32 2 1 Câu 4.Thu gọn biểu thức Giải 2 2 a) A 1 1 2 2 2.1 1 2.1 2 ( 1) 2 ( 1) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 (4 3) (3 3) 1 14 14 A ( 2)( 2) 2 1 74 32 2 A 74 Câu 5.Rút gọn biểu thức : Giải 2 2 A 74 74 Rút gọn biểu thức 2 (2 3) 74 2 2 (2 3) 2 2 2 2 (2 3) (2 3) ( 3)(2 3) 8 A Câu 6: Rút gọn biểu thức sau: 34 34 1 52 A 34 34 1 52 3 3 1 1 3 4 52 52 22 11 26 13 11 13 2 2 42 42 2 2 1 1 2 1 1 ( 2) 2 B 85 62 85 62 Tính giá trị biểu thức: Câu GIẢI B 85 62 85 62 3 Đặt a 85 62 ; b 85 62 a b B Mặt khác: a b3 (85 62 7) (85 62 7) 170 ab 85 62 85 62 852 (62 7) 19683 27 Ta có: B ( a b)3 a b3 3ab(a b) 170 3.27.B B3 81B 170 (B 2)(B 22B4 85) 14 0 B Vậy B=2 RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ A ( a 2)( a 3) ( a 1) 9a với a Rút gọn biểu thức VÍ DỤ Gỉai ( a 2)( a 3) a a ( a 1)2 a a A a a ( a a 1) a A= -7 PP ÁP DỤNG HĐT M (a b) ( a b) ab với ab ≠ Câu 1.Rút gọn biểu thức Gỉai (a b) ( a b) (a b a b)(a b a b) 2a.2b M 4 ab ab ab 1 a a 1 a P( a ).( ) 1 a 1 a Câu 2.Rút gọn biểu thức: (với a 0;a 1) Gỉai Với a a ta có: 1 a a 1 a P( a ).( ) 1 a 1 a (1 a )(1 a a ) 1 a a (1 a )(1 a ) a (1 a ) 1 (1 a ) Câu 3.Rút gọn biểu thức B x x x với ≤ x < Gỉai B 10 x x x với ≤ x < x 7 x 3 A : x 10 x x 2 x x x 2 x 1 x 3 x x x 10 x x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 2 x 3 x x 1 CÂU 56 Rút gọn biểu thức: A 10 x x 3 x 1 (x 0; x 1) x3 x 4 x 1 x GIẢI 10 x x 3 x 1 A (x 0; x 1) x3 x 4 x 1 x 10 x x 3 x 1 (x 0; x 1) x3 x 4 x 1 x 10 x x 3 x 1 ( x 4)( x 1) x 4 x 1 A 10 x (2 x 3)( x 1) ( x 1)( x 4) ( x 4)( x 1) 10 x (2 x x 3) (x x 4) 3x 10 x ( x 4)( x 1) ( x 4)( x 1) ( x 1)(7 x ) x ( x 4)( x 1) x 4 CÂU 57 x 16 x x 1 x 3 P x2 x 3 x 3 x (Với x > 0) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức P GIẢI 38 1.1 P x 16 x x 1 x 3 x2 x 3 x 3 x 1 3x x x 1 x 3 ( x 3)( x 1) x 3 x 1 3x x ( x 1)( x 1) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 1) = 3x x x x ( x 3)( x 1) = x4 x 3 ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) (0, 25d ) (0,25d) (0,25d) x 1 x 1 (0,25d) x 2 ( 1) (thỏa mãn ĐKXĐ) x (0,5d ) P CÂU 58 x 1 11 x 2 1 1 2 1 2 (0,5d) a 3 a a 2 a 3 9a A 1 : a 3 2 a a a 6 (a 0; a 4; a 9) a 9 Cho biểu thức Rút gọn A GIẢI Với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9, ta có: a 3 a a 2 a 3 9a A 1 : a 9 a 3 2 a a a 6 a a a ( a 2) ( a 3)( a 3) a : a 9 ( a 3)( a 2) 9 a ( a 2) (a 9) (9 a) : ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 2) 3( a 3) ( a 2) : ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 2) a 2 : a 3 a 3 a 3 a 3 a 2 a 2 CÂU 59 Cho biểu thức GIẢI 39 A( x x x x 1 ) : (3 ) x 1 x x 8 x 2 x Rút gọn A A( x x x x 1 ) : (3 ) x 1 x x 8 x 2 x 1 3( x 2)( x 1) ( x 1) 2( x 2) x2 x 4 ( x 1) : ( x 2)( x x 4) ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 1) x 3( x x 2) x : x 1 ( x 2)( x 1) x 2 x ( x 1)( x 2) 3x : ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) x 3 ( x 2)( x 1) 3( x 3) ( x 2)( x 1) x 1 3( x 1) CÂU 60 x x 1 x 1 x 1 x (với x ≠ 1; x ≥ 0) Rút gọn A, sau tính giá trị A – Cho biểu thức x 2016 2015 GIẢI Với x ≥ 0, x ≠ ta có A x x 1 x 1 x x A x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có x 2016 2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ A 1 Có x 2015 2015 2015 x 2015 Thay vào biểu thức A – ta được: 2015 MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO ĐẶC BIỆT a b 1 ( 1)( )2 P b2 a a b a b a b ( ) b a b a với a > 0, b > 0, a ≠ b CÂU Cho biểu thức P ab Chứng minh A 1 Giả sử a, b thay đổi cho 4a b ab Tìm giá trị nhỏ P GIẢI 40 Ta có: a b 1 ( 1)( ) P b2 a a b a b a b ( ) b a b a 2 a b ab a b ( )( ) ab ab ab ab a b4 a 3b ab3 ( ) a b a b a b a 2b a b ab (a b)2 ( ) 2 ab ab 4 a b a b ab a 2b (a b3 )(a b) 3 a 3b (a b )(a b) a 2b ab P ab Vậy CÂU Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab 1, a +b Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 P ( 3) ( 2) ( ) ( a b) a b (a b) a b (a b) a b GIẢI Với ab , a + b 0, ta có: 41 P a b3 3( a b ) 6(a b) 3 (a b) (ab) (a b) (ab) (a b)5 (ab) a b3 3(a b2 ) 6( a b) ( a b) ( a b) ( a b )5 a b 3(a b ) ( a b) ( a b) ( a b) (a b 1)(a b) 3(a b ) ( a b) (a b 1)(a b 2) 3(a b ) ( a b) (a b ) 4(a b ) ( a b) (a b 2) ( a b) (a b 2ab) ( a b) (a b) ( a b) 1 Vậy P 1, với ab , a+b Câu Cho số thực dương a, b ; a b.Chứng minh ( a b )3 b b 2a a 3a ab ( a b )3 0 ba a a b b GIẢI ( a b)3 b b 2a a 3a ab ( a b )3 Q ba a a b b ( a b )3 ( a b )3 b b 2a a a( a b) ( a b )3 ( a b )(a ab b) ( a b )( a b ) a a 3a b 3b a b b 2a a a ( a b )(a ab b) a b 3a a 3a b 3b a 3a a 3a b 3b a ( a b )(a ab b) 0( DPCM ) CÂU 4.Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x2 + y2 + z2 = 42 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z: Px (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z x2 1 y2 1 z2 GIẢI (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) Px y z x2 1 y2 1 z2 (x y z ) ( x y z ) Xét 2 Thay x + y + z = x + y + z = ta có xy + yz + zx = Thay = xy + yz + zx ta có: ( x y z ) x y z 2( xy yz zx) xy yz zx (1 y )(1 z ) (xy yz zx y )(xy yz zx z ) ( y z )( y x)( z y )( z x) x x x( y z ) 2 1 x xy yz zx x ( x y )( x z ) Tương tự ta có: x (1 z )(1 x ) y y ( z x) 1 y2 (1 x )(1 y ) z z (x y ) 1 z2 Cộng vế ba đẳng thức ta có P xy xz yz yx zx zy 2( xy yz zx ) Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào x, y, z CÂU Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức GIẢI Ta có x yz 0 P x2 y2 z2 y z x2 z2 x2 y2 x2 y z ( y z ) ( x) y z x 2 yz Tương tự: z x y 2 zx x y z 2 yx P x2 y2 z2 x3 y z 2 yz 2 zx 2 yx 2 xyz Mà x y z ( x y )3 3x y 3xy z ( z )3 xy ( x y ) z xy P 43 xyz 3 2 xyz BT LAM THÊM Câu 1: Rút gọn biểu thức: 3 2 1 a) A = x+2 x x4 x + x x b) B = Câu 2: Rút gọn biểu thức sau: 3 3 1 a) A = b a a b - b a a ab ab b b) B = ( với x > 0, x ) ( với a > 0, b > 0, a b) a a a 1 : a - a a a Câu 3: Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < với a > 0, a 3 x 6 x x-9 : x-4 x 2 x 3 Câu 4: a) Rút gọn biểu thức: A = Câu 5: Rút gọn biểu thức: a) A = 50 1 với x 0, x 4, x 2 x - 2x + 4x b) B = x - , với < x < Câu 6: 1) Rút gọn biểu thức: 1 - a a A 1- a - a a - a với a ≥ a ≠ Câu 7: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 a + a a- a + 1 + a + 1 1- a 2) B = với a ≥ 0, a ≠ a a - a a + a +2 : a- a a+ a a - với a > 0, a 1, a Câu 8: Cho biểu thức: P = 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị ngun a để P có giá trị nguyên Câu 9: Cho biểu thức P= 44 x +1 + x -2 x 2+5 x + - x với x ≥ 0, x ≠ x +2 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P = x : + x - 1 x -1 x- x x 1 với x 0, x Câu 10: Cho M = a) Rút gọn M b) Tìm x cho M > Câu 11: Cho biểu thức: K = Rút gọn biểu thức K x 2x - x x -1 x - x với x >0 x Tìm giá trị biểu thức K x = + Câu 12: Rút gọn biểu thức: 1) 2) 45 20 x x x4 x x với x > 57 Câu 13: Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh: A - B = Câu 14: Rút gọn biểu thức : 2 +2 a) A = - 11 11 11 , B 5: 5 55 x -1 1- x + x : x x x+ x với x 0, x b) B = Câu 15: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 1) Rút gọn biểu thức P Tìm a để P > - Câu 16 Rút gọn: 5 (1 5) A= x x x x 1 1 1 x x B= với x x : x 1 x x x x 1 Câu 17 Cho biểu thức A = với a > 0, a 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x 2 x : x 1 x + x 1 Câu 18: Cho biểu thức P = x + x Tìm giá trị x để P > 45 với x > 0.Rút gọn biểu thức P Câu 19: Rút gọn biểu thức sau: 20 80 45 1) A = 5 5 1 2) B = a a a 1 a + a Câu 20: Cho biểu thức A = a 1 : a - với a > 0, a 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị a để A < Câu 21: Cho biểu thức P = với a > a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị a để P > a 25a 4a a 2a Câu 22 Rút gọn biểu thức P = với a Câu 23: Tính: a) A 20 18 45 72 b) B c) C x x x x với x > Câu 24: 1) Rút gọn biểu thức: P = ( 2)( 2) Câu 25: Cho biểu thức A =với a > 0, a Rút gọn biểu thức A Câu 26: Rút gọn biểu thức: P = với a > Câu 27: Cho biểu thức: Q = Tìm tất giá trị x để Q có nghĩa Rút gọn Q Câu 28: Rút gọn A = với x 3 2 Câu 29: a) Tính (1 5) (1 5) b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = Câu 30: Cho biểu thức: P = với a > 0, a a) Rút gọn b) Tìm a để P < Câu 31: Cho biểu thức: M = Rút gọn biểu thức M với x Câu 32: Cho biểu thức: P = với x > 0.Rút gọi biểu thức P Câu 33: Tính: 48 - 75 + 108 1 x với x x >0 Rút gọn biểu thức: P= - x + x ĐÁP ÁN a) A = Câu 1: 46 1 2 1 3 2 2 1 1 1 1 x+2 x = b) B = x x4 x + x 4 1 x 2 x 2 Câu 2: = x 2 x 2 x-4 x 2 x-4 2 3 1 3 3 a) A = 1 1 x ( x + 2) x x ( x 2) 1 1 b a b) a b - b a a ab - b a - ab b a b - b ab a b a a- b b ab a ab b - a a > 0, b > 0, a b a b Câu 3: a a a a 1 a) A = : a a a a ( a - 1) ( a - 1)( a 1) a ( a - 1) a > 0, a 0a< a 1 b) A < 3 x 6 x x-9 : x x x Câu 4: a) A = x 3 x 3 3( x 2) x : x 2 x 2 x 3 x 2 3 x 1 x 2 x 2 x 3 , với x 0, x 4, x Câu 5: a) A = 50 b) 1 5 x - 2x + B= x-1 4x x-1 x - 1 2 x 2 x - x - 1 ; x x Vì < x < nên Câu 6: 1) Rút gọn 1 = 47 1 x-1 x-1 x B= - x - 1 2x x - 1 1- a 1+ a +a 1- a + a - a + a 1- a A= x 1 + a +a = 1+ a = 1+ a 1+ a = Câu 7: Rút gọn biểu thức 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 = - + + 36 = - + + = 15 - a + a a- a + 1 + a + 1 - a 2) B = với a ≥ 0, a ≠ a ( a + 1) a ( a - 1) 1 + a + a - = = (1 + a ) (1 - a ) = - a Câu 8: 1) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ a -1 a+ a +1 a +1 a- a +1 a+2 : P= a-2 a a -1 a a +1 Ta có: a + a + - a + a - a + 2 (a - 2) = : = a-2 a a+2 x +1 x 2+5 x + x-4 x -2 x +2 P= Câu 9: 1) Ta có : ( x +1) ( x +2) + x ( x - 2) - - x ( x - 2) ( x + 2) P= = x + x +2 + 2x - x - - x ( x +2) ( x - 2) = 3x - x x ( x 2) = = ( x + 2) ( x - 2) x = ( x + 2) ( x - 2) x : x -1 x- x x +1 Câu 10: a) M = x x -1 : x ( x - 1) x - x +1 x -1 = x-1 = x : x -1 x +1 x -1 x +1 = x-1 x + x-2 x +1 x x (2 x - 1) = x - x ( x - 1) = x -1 x -1 Câu 11: 48 + x - 1 x-1 = x 1)K = x +2 x -1 x - 1 x -1 x +1 x +1 x +1 2) Khi x = + , ta có: K = - = Câu 12: Rút gọn biểu thức: 2 1) 45 20 = +1 -1 = +1-1 = = 2 = x x x4 x ( x 1) ( x 2)( x 2) x x x x 2 2) = x x = x 1 ( 7) 11( 11 1) 11 11 Câu 13: a) A = ( 11) 11 b) B = = 11 11 = 7, đpcm 2( +2) - 2( - 2) +4 - + A= = = =8 2 5 -2 +2 -2 Vậy A - B = Câu 14: a) b) Ta có: B= x-1 : x x -1 x + +1 - x x - 1 x +1 = x x - 1 x x +1 x +1 = x x +1 x-1 x x-1+1- x x Câu 15 5(1 5) (1 5) (1 5) 2 2 1) A = x x x x 1 1 1 x x x 1 x 1 x 2) B = Câu 16 x 1 : x x 1 x 1 x 1 x x x x x x 1) Ta có A = = Câu 17: x x P= x x 1 : x x 1 x + x x x + x 1) (1 5) 49 1 x x x 1 1 x x 1 x 1-x x 1 x x x x 1 x 1-x - x x 3x > - x < 2) Với x > x 0x< P > Vậy với Câu 18: 4.5 16.5 9.5 1) A = = 4 52 = 5 5 B = 2 1 2) 5 1 5 1 1 2 2 1 1 Câu 19 a a a 1 a A = : a 1 a ( a + 1) ( a - 1)( a 1) a 1 a + 1 1) a > 0, a 0a< a 1 2) A < Câu 20: a) P = = Vậy P = b) Ta có: > + < < a Vậy P > < a < a 1 a 1 Câu 21 1) Ta có a 25a 4a a a 2a a a (a 2) a 2a a (a 2) a a 2 a a 2 a nên P = Câu 22: Tính a) A = 20 18 45 72 4.5 9.2 9.5 36.2 = = 3 b) B = c) C = với x > C= +) Nếu x > C = +) Nếu x < 2, C = Câu 23: 1) P = ( 2)( 2) [ ( 2)][ ( 2)] 2 = ( ) ( 2)) (3 4) a 1 a a : a 1 a 1 a (a 1) (a 1) Câu 24: a) A = 50 = ( a 1) a 1 ( a 1) 2 a ( a 1) : : a 1 ( a 1)(a 1) a (a 1)( a 1) ( a 1)2 (a 1)( a 1) a 1 ( a 1) = a 1 b) a = 2011 - Vậy A = Câu 25: P = Nếu a> => Nếu 1< a < =>< => P = Câu 26: ĐKXĐ: x > 0; x 1) Q = x 1 (loai) x x 16 2) Q = - => 4x + - = (thỏa mãn) x 3 x3 (x 3) x = 1 x 3 Câu 27: A = x a a 1 7 a a ( a 3)( a 3) Câu 28: a) P = a = = a Vậy P = a 3 a 1 a a 3 a a b) P < a Câu 29: M = + x + = = x - - x - + x + = x - + = ( - 1)2 Câu 30: a) Ta có x2 + x x ( x 1) x ( x 1)(x x 1) nên P = = x ( x 1) x x x Vậy P = x x b) P = x - = ( - 1) = Vậy x = P = Câu 31: 1) Tính: 48 - 75 + 108 = x = (loại) ; x = (t/m) 16 - 25 + 36 = - 10 + = 1 x 2)Rút gọn biểu thức: P = - x + x 51 1 + = 52 x x - + x x - 1 1- x x = 1- x x -1 -2 x = 1+ x