Vấn đề 20 vị trí tương đối, khoảng cách, góc trả lời ngắn

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Nam đửng ở vị trí N câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa

Trang 1

TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Điện thoại: 0946798489

PHẦN E CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

CÂU HỎI

Câu 1 Cho đường thẳng : 3x4y 6 0 và ΄:xy1 Tìm tọa độ điểm M thuộc ΄ sao cho khoảng cách từ M đến  bằng 4

5

Trả lời: ………

Câu 2 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng :y 3 0 một khoảng cách

5

Trả lời: ………

Câu 3 Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB AC BC lần lượt là: , ,

x y x y x y Tính diện tích tam giác ABC

Trả lời: ………

Câu 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm ( 2; 4) I  Tính bán kính của đường tròn tâm I tiếp xúc

với đường thẳng 2 3

:

2

 



 

  



y t (Làm tròn kết quả đến hàng phân mười)

Trả lời: ………

Câu 5 Tìm m để hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: 1:x my  1 0 ;2: 2x3y m 0

Trả lời: ………

Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm ( 2;5) A  Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho đường thẳng : 3x2y 3 0 cách đều hai điểm ,A M

Trả lời: ………

Câu 7 Cho các đường thẳng d1:x y 3 0,d2:x  y 4 0 và d3:x2y0 Tìm tọa độ điểm M

trên d sao cho khoảng cách từ 3 M đến d bằng hai lần khoảng cách từ 1 M đến d 2

Trả lời: ………

Câu 8 Nhà Nam có một ao cá dạng hình chữ nhật MNPQ với chiều dài MQ30 m , chiều rộng

24



MN m Phần tam giác QST là nơi nuôi ếch, MS 10 ,m PT 12 m (với S, T lần lượt là các điểm nằm trên cạnh MQ PQ ) (xem hình bên dưới) ,

VẤN ĐỀ 20 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI, KHOẢNG CÁCH, GÓC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Nam đửng ở vị trí N câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 21,4 m Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi ếch hay không?

Trả lời: ………

Câu 9 Tìm tham số m để các đường thẳng sau đây song song:

 x m  y  và 2:xmy1000

Trả lời: ………

1

8 ( 1)

:

10



 



y t và 2:mx2y140

Trả lời: ………

Câu 11 Định m để hai đường thẳng 1: 2x3y 4 0 và 2: 2 3

1 4

 



 

 



y mt vuông góc với nhau

Trả lời: ………

1: 3x 4y 1 0 và 2: (2m 1)x m y 1 0

trùng nhau?

Trả lời: ………

Câu 13 Cho hai đường thẳng 1:x y 100 và 1: 2x my 9990 Tìm m để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng 45

Trả lời: ………

Câu 14 Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cách đều các điểm , P Q với

(2;5), ( 1; 2), (5; 4)

Trả lời: ………

Câu 15 Có hai con tàu ,A B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng

ki-lô-mét), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức 3 33

4 25

 





  



y t; vị trí tàu

B có tọa độ là (4 30 ;3 40 ) t  t

Tính gần đúng côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu ,A B

Trả lời: ………

Trang 3

ki-lô-Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN

mét), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức 3 33

4 25

 





  



B có tọa độ là (4 30 ;3 40 ) t  t

Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất?

Trả lời: ………

4 25

 





  



B có tọa độ là (4 30 ;3 40 ) t  t

Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………

Câu 18 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 1: 2x3my100 và 2:mx4y 1 0 cắt nhau?

Trả lời: ………

Câu 19 Với giá trị nào của m hai đường thẳng 1:mxy190 và 2: (m1)x(m1)y200 vuông góc nhau?

Trả lời: ………

Câu 20 Tìm m để hai đường thẳng 1: 8 ( 1)

10



 



y t và 2:mx6y760 song song với nhau

Trả lời: ………

Câu 21 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 1: 2x3ym0 và 2: 2 2

1

 



 

 



y mt trùng nhau?

Trả lời: ………

Câu 22 Tìm tham số m để góc giữa hai đường thẳng 1: 1

9

  



 

 



y t , 2:xmy 4 0 bằng 60

Trả lời: ………

Câu 23 Viết phương trình đường thẳng d song song với :x4y20 và cách điểm ( 2;3)A  một khoảng bằng 3

Trả lời: ………

Câu 24 Viết phương trình đường thẳng  đi qua (5;1)A và cách điểm (2; 3)B  một khoảng bằng 5

Trả lời: ………

Câu 25 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm ( 1; 2) A  đến đường thẳng

:mx y m 4 0

     bằng 2 5

Trả lời: ………

Câu 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC, biết (1;1), (3; 2), (1;3)A B C Tính góc giữa hai đường thẳng AB AC ,

Trả lời: ………

Trang 4

LỜI GIẢI

Câu 1 Cho đường thẳng : 3x4y 6 0 và ΄:xy1 Tìm tọa độ điểm M thuộc ΄ sao cho khoảng cách từ M đến  bằng 4

5

Trả lời: (2; 1), ( 6; 7) 

Lời giải

Viết phương trình tham số :

1

x t





 

 



΄ ; gọi M t( ;1t) ΄

Ta có:

2 2

| 3 4(1 ) 6 | | 2 | 4

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: (2; 1), ( 6; 7) 

Câu 2 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng :y 3 0 một khoảng cách

5

Trả lời: y20;y 8 0

Lời giải

Ta có: d/ / : y 3 0 Phương trình d có dạng: y c 0

Ta có: M(0;3)   Vì d cách  một khoảng bằng 5 nên ( , )d d  5

2

| 3 |

8

0 1

c c

d M d

c







Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn là y20;y 8 0

Câu 3 Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB AC BC lần lượt là: , ,

x y x y x y Tính diện tích tam giác ABC

Trả lời: 18

Lời giải

Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 2 1 0 5



Suy ra điểm A có tọa độ là 5;3

Gọi AH là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC H( BC) Ta có:

2 2

| 2 ( 5) 3 3 5 | 6 13

13

AH d A BC       



Từ các phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC ta tính đuợc

toạ độ của điểm B và điểm C lần lượt là (7; 3), ( 11;9) 

Do đó, độ dài đoạn thẳng BC là 6 13

Diện tích tam giác bằng 1 6 13 .6 13 18

Câu 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm ( 2; 4) I  Tính bán kính của đường tròn tâm I tiếp xúc

với đường thẳng 2 3

:

2

 



 

  



y t (Làm tròn kết quả đến hàng phân mười)

Trả lời: 4, 4

Lời giải

Trang 5

Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN

Đường thẳng : 2 3

2

 



 

  



có vectơ chỉ phương là (3; 1)u 

nên nhận (1;3)n

làm vectơ pháp tuyến Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng  là: (x2) 3( y2)0 x3y40

Vì đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng  tâm I bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng  tâm I bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng 

2 2

| ( 2) 3 4 4 |

1 3

Rd I       



Câu 5 Tìm m để hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: 1:x my  1 0 ;2: 2x3y m 0

Trả lời: 2

3

m 

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 1:x my   và đường thẳng 1 0 2: 2x3ym lần lượt là 0

1(1; ), 2(2;3)

n m n

Để đường thẳng  và 1  vuông góc với nhau thì 2

2

3

n n n n    m  m

   

Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm ( 2;5) A  Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho đường thẳng : 3x2y 3 0 cách đều hai điểm ,A M

Trả lời: 4; 0

3

M 

hoặc 2; 0

3

M 

Lời giải

Gọi M a( ;0) là điểm thuộc trục hoành Khoảng cách từ ,A M đến đường thẳng : 3x2y  lần lượt là 3 0

1 | 3 3 |

,

a 

Vì đường thẳng : 3x2y  3 0

cách đều hai điểm ,A M nên 1 | 3 3 | | 3 3 | 1 4

3

a



3

a 

Vậy 4; 0

3

M 

  hoặc

2

; 0 3

M 

 

Câu 7 Cho các đường thẳng d1:x y 3 0,d2:x  y 4 0 và d3:x2y0 Tìm tọa độ điểm M

trên d sao cho khoảng cách từ 3 M đến d bằng hai lần khoảng cách từ 1 M đến d 2

Trả lời: M(2;1) hoặc M ( 22; 11)

Lời giải

Ta có điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi 3 M(2 ; )t t với t là tham số

Khoảng cách từ M tới d bằng hai lần khoảng cách từ M tới 1 d nên 2

hoặc t  11 Vậy M(2;1) hoặc M ( 22; 11)

Câu 8 Nhà Nam có một ao cá dạng hình chữ nhật MNPQ với chiều dài MQ30 m , chiều rộng

24



MN m Phần tam giác QST là nơi nuôi ếch, MS 10 ,m PT 12 m (với S, T lần lượt là các điểm nằm trên cạnh MQ PQ ) (xem hình bên dưới) ,

Trang 6

Nam đửng ở vị trí N câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 21,4 m Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi ếch hay không?

Trả lời: không thể

Lời giải

-MN 24 m và N(0; 0) nên M(0; 24).NPMQ30 m nên (30; 0)P

Q và M có cùng tung độ, Q và P có cùng hoành độ nên (30; 24) Q

S và M có cùng tung độ, MS 10 m nên (10; 24)S

T và P có cùng hoành độ, PT 12 m nên (30;12)T

Đường thẳng ST có vectơ chỉ phương ST  (20; 12)

nên nhận n  (3;5)

làm

vectơ pháp tuyến Do đó, phương trình đường thẳng ST là: 3( x10) 5( y24)03x5y1500

- Khoảng cách từ điểm N(0; 0) đến đường thẳng ST là:

2 2

| 3 0 5 0 150 |

25, 72 21, 4

3 5

   



Vì Nam quăng lưỡi câu xa 21, 4 m nên lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi ếch

 x m  y  và 2:xmy1000

Trả lời: m1

Lời giải

1, 2

  lần lượt có vectơ pháp tuyến  2 

1 2; 1 , 2 (1; )

Điều kiện cần : 1/ / 2 1

n cùng phương với  2 

2 2  1 1  1



Điều kiện đủ : Với m1 thì 1: 2x2y 3 0,2:xy1000 (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau) Vì 0;3 1, 2

2

   

A A nên 1/ / Do vậy 2 m1 thỏa mãn đề bài

1

8 ( 1)

:

10



 



y t và 2:mx2y140

Trang 7

Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Trả lời: m1;m 2

Lời giải

1, 2

  lần lượt có vectơ pháp tuyến 1(1; 1),2 ( ; 2)

Điều kiện cần : 1/ / 2 1

n cùng phương với 2

n

2

m





 Thử lại (điều kiện đủ):

- Với m1 thì 1: 8 2 , 2: 2 14 0

10

 





y t (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng

phương nhau) Vì A(8;10) 1,A 2 nên 1/ / Do vậy 2 m1 thỏa mãn đề bài

- Với m 2 thì 1: 8 , 2: 2 2 14 0

10

 





y t (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến

cùng phương nhau) Vì A(8;10) 1,A 2 nên 1/ / Do vậy 2 m 2 thỏa mãn đề bài

Vậy ta tìm được hai giá trị m thỏa mãn là m1;m 2

Câu 11 Định m để hai đường thẳng 1: 2x3y 4 0 và 2: 2 3

1 4

 



 

 



y mt vuông góc với nhau

Trả lời: 9

8

m  

Lời giải

1, 2

  có hai vectơ pháp tuyến là 1(2; 3), 2(4 ; 3)

8

               

1: 3x 4y 1 0 và 2: (2m 1)x m y 1 0

trùng nhau?

Trả lời: không có giá trị

Lời giải

1, 2

  có hai vectơ pháp tuyến là  2

1(3; 4), 2  2 1;

Điều kiện cần:   trùng nhau suy ra hai vectơ 1, 2  1, 2

n n cùng phương, suy ra

2

3

m







 

 Thử lại:

- Với m2 thì 2: 3x4y 1 0 Ta thấy A( 1;1)  1 mà A 2 nên   không trùng nhau (loại 1, 2 2



m )

- Với 2

3



m thì 2:1 4 1 0

 x y  Ta thấy A( 1;1)  1 mà A 2 nên   không trùng nhau (loại 1, 2 2

3



m )

Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn đề bài

Câu 13 Cho hai đường thẳng 1:x y 100 và 1: 2x my 9990 Tìm m để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng 45

Trả lời: m0

Lời giải:

Hai đường thẳng   có cặp vectơ pháp tuyến 1, 2 1(1;1),2(2; )

Trang 8

1 2

2

 

 m   mm m Vậy m0 thỏa mãn đề bài

Câu 14 Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cách đều các điểm , P Q với

(2;5), ( 1; 2), (5; 4)

Trả lời: d x: 3y130 hay d x: 2

Lời giải:

Gọi ( ; )

n a b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  cần tìm

 qua M(2;5) : (a x2)b y( 5)0 :axby2a5b0

Ta có:

d P d d Q d

 Với 3  a b; chọn a 1 b  3 d x: 3y130

Với b0; chọn a 1 d x: 2

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:

: 3 130

d x y hay d x: 2

4 25

 





  



B có tọa độ là (4 30 ;3 40 ) t  t

Tính gần đúng côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu ,A B

Trả lời: 0, 00483

Lời giải

Hai đường đi (giả sử là hai đường thẳng d d ) của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương 1, 2

1 ( 33; 25), 2  ( 30; 40)

u u ; côsin góc tạo bởi hai đường thẳng là:

1 2

| 33 ( 30) 25( 40) |

( 33) 25 ( 30) ( 40)

 

u u

d d

4 25

 





  



B có tọa độ là (4 30 ;3 40 ) t  t

Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất?

Trả lời: 0,107 (giây)

Lời giải

Tại thời điểm t , vị trí tàu A là M(3 33 ; 4 t  25 )t , vị trí của tàu B là N(4 30 ;3 40 ) t  t Ta có

(1 3 ) (7 65 ) 4234 904 50

MN nhỏ nhất khi hàm bậc hai f t( )4234t2904t50 đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó:

904 226

0,107

2 2.4234 2117



x

Trang 9

Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Câu 17 Có hai con tàu ,A B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng

4 25

 





  



B có tọa độ là (4 30 ;3 40 ) t  t

Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Trả lời: 3, 4( km )

Lời giải

Khi tàu A đứng yên, vị trí ban đầu của nó có tọa độ (3; 4) P  ; vị trí tàu B ứng với thời gian t là

(4 30 ;3 40 ) 

(1 30 ) (7 40 ) 2500 620 50

Đoạn PQ ngắn nhất ứng với 620 31 0,124

2 2.2500 250

t

min

17

2500 (0,124) 620 (0,124) 50 3, 4( )

5

Câu 18 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 1: 2x3my100 và 2:mx4y 1 0 cắt nhau?

Trả lời: m 

Lời giải

Hai đường thẳng   có cặp vectơ pháp tuyến 1, 2 1(2; 3 ), 2( ; 4)

Điều kiện để  cắt 1  là 2  1, 2

n n không cùng phương

2.4 3

3

   m mm   (đúng với mọi m )

Vậy với mọi số thực m thì   luôn cắt nhau tại một điểm 1, 2

Câu 19 Với giá trị nào của m hai đường thẳng 1:mxy190 và 2: (m1)x(m1)y200 vuông góc nhau?

Trả lời: không có giá trị m

Lời giải

Hai đường thẳng   có cặp vectơ pháp tuyến 1, 2 1( ;1),2 ( 1; 1)

2

Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn

Câu 20 Tìm m để hai đường thẳng 1: 8 ( 1)

10



 



y t và 2:mx6y760 song song với nhau

Trả lời: m 3

Lời giải

Hai đường thẳng   có cặp vectơ pháp tuyến 1, 2 1(1; 1),2( ; 6)

Điều kiện cần để   song song nhau là 1, 2  1, 2

n n cùng phương

3







m

Thử lại:

- Với m2 thì 2: 2x6y760x3y380

Ta có A(8;10) 1,A 2 nên loại m2

- Với m 3 thì 2: 3 x6y760 Ta có A(8;10) 1,A 2 nên loại m 3 thỏa mãn

Trang 10

Vậy với m 3 thì   song song nhau 1, 2

Câu 21 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 1: 2x3ym0 và 2: 2 2

1

 



 

 



y mt trùng nhau?

Trả lời: không có giá trị m

Lời giải

Hai đường thẳng trên có cặp vectơ pháp tuyến 1(2; 3), 2( ; 2)

Điều kiện cần để   trùng nhau là 1, 2  1, 2

n n cùng phương, suy ra 2( 2) 3 4

3

   mm Khi đó:

1

4

3

 x y 

Ta có: A(2;1)  2 mà A(2;1)  1 nên hai đường   không thể trùng nhau Vậy không có giá trị 1, 2 m nào thỏa mãn đề bài

Câu 22 Tìm tham số m để góc giữa hai đường thẳng 1: 1

9

  



 

 



y t , 2:xmy 4 0 bằng 60

3

    

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến 1(1; ),2 (1; )

1 2

n n



 

3



3

    

Câu 23 Viết phương trình đường thẳng d song song với :x4y20 và cách điểm ( 2;3)A  một khoảng bằng 3

Trả lời: x4y3 17 10 0;x4y3 17 10 0

Lời giải

Ta có: d/ / : x4y20 Phương trình d có dạng: x4y c 0

Mặt khác: ( , ) 3 | 2 4.3 | 3 |10 | 3 17

1 16



c

1

2

3 17 10

c





Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x4y3 17 10 0;x4y3 17 10 0

Câu 24 Viết phương trình đường thẳng  đi qua (5;1)A và cách điểm (2; 3)B  một khoảng bằng 5

Trả lời: : 3x4y190

Lời giải

Gọi ( ; )

n a b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ;  qua (5;1)A nên có phương trình

( 5) ( 1)0 :  5  0

Tiêu đề	Vấn Đề 20. Vị Trí Tương Đối, Khoảng Cách, Góc
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Đại Học Quốc Gia
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Bài Tập
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	532,71 KB