Đs chuyên đề 20 vị trí tương giao giữa parabol và đường thẳng

Chương VỊ TRÍ TƯƠNG GIAOGIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề 20 A.Kiến thức cần Cho Parabol (P): y ax  a 0  đường thẳng y bx  c có đồ thị (d) Khi hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: ax bx  c (*)  (P) cắt (d) hai điểm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  (P) khơng cắt (d)  phương trình (*) vơ nghiệm  (P) tiếp xúc với (d)  phương trình (*) có nghiệm kép B Một số ví dụ Ví dụ 1:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Cho Parabol (P) có phương trình y x đường thẳng (d) có phương trình y  kx  (k tham số) Tìm k để đường thẳng d cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt M,N cho MN 2 10 (Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Bắc Ninh, năm học 2012-2013) Giải Tìm cách giải Để giải dạng tốn , cần thực qua bước sau:  Bước Tìm điều kiện để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt Tức phương trình x kx  có hai nghiệm phân biệt  Bước Vận dụng hệ thức Vi-ét Vì M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  thuộc (d), biểu diễn y1 , y2 theo x1 , x2 theo k  Bước Vận dụng công thức : M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  thì: MN   x2  x1  2   y2  y1  Sau tìm k Bước Nhận xét, so sánh k tìm với bước 1, trả lời Trình bày lời giải (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  x1 ; x2 nghiệm phương trình : x  kx  0 Xét  k   với k, nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Do (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt  x1  x2 k Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1.x2  Vì M, N thuộc (d) nên y1 kx1  1; y2 kx2   y2  y1 k  x2  x1  2  Ta có: MN  x2  x1    y2  y1   10  2  x2  x1   k  x2  x1  2 40   k   x2  x1     k    x2  x1   x2 x1  40      k   k   40  k  5k  36 0  k 2 Vậy với k 2 đường thẳng d cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt M, N cho MN 2 10 Ví dụ 2:Cho Parabol (P) : y 2x Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ 1, điểm B có hồnh độ Tìm m n để đường thẳng  d  : y mx  n tiếp xúc với Parabol (P) song song với đường thẳng AB (Thi học sinh giỏi Toán 9,Tỉnh Vĩnh Long ,năm học 2011-2012) Giải Tìm cách giải Qua kiện yêu cầu toán Chúng ta giải tốn theo bước sau :  Bước Biết hoành độ điểm A B , đồng thời A B thuộc (P) nên tính tung độ điểm A B Từ viết phương trình đường thẳng AB  Bước Vì (d) song song với AB nên a a  Tìm m  Bước Vì (d) tiếp xúc với Parabol (P) nên vận dụng phương trình : ax bx  c có nghiệm kép Từ tìm n Trình bày lời giải Tung độ điểm A y 2.1 2  A  1;  Tung độ điểm B y 2.2 8  A  2;8  Gọi phương trình đường thẳng AB y ax  b a  b 2  Suy :  2a  b   a   b  Vậy phương trình đường thẳng AB y 6x  (d) song song với AB nên m 6 (d) tiếp xúc với Parabol  P   2x 6x  n có nghiệm kép  2x  6x  n 0 có nghiệm kép   ' 9  2n 0  n  Vậy với m 6, n  đường thẳng AB 9 đường thẳng  d  : y mx  n tiếp xúc với Parabol (P) song song với Ví dụ 3:Trong hệ tọa độ , cho đường thẳng d : y x  Parabol (P): y  x Gọi A B giao điểm d (P) a) Tính độ dài AB b) Tìm m để đường thẳng d  : y  x  m cắt (P) hai điểm C D cho CD AB (Thi học sinh giỏi Tốn 9,Tỉnh Thanh Hóa năm 2011-2012) Giải a) Hoành độ A B nghiệm phương trình :  x  x   x  x  0  x1 1; x   Với x 1 y 1   suy A  1;  1  Với x  y    suy B   2;   2 Độ dài đoạn thẳng AB : AB          3 (đvđd) b) Điều kiện để  d  cắt (P) hai điểm phân biệt C D :  x  x  m có hai nghiệm phân biệt   1  4m   m  Đặt C  x1 ; y1  ; D  x ; y  x1 ; x nghiệm phương trình : x  x  m 0  x1  x 1 Theo hệ thức Vi-et ta có :   x1 x m Vì C  x1 ; y1  ; D  x ; y  thuộc (d) nên y1  x1  m; y  x  m 2  CD AB   x  x1    y  y1    x2   2   x  x1    x  x1  18 x1  9   x  x1   4x1 x 9   4m 9  m  Vậy với m  đường thẳng d  : y  x  m cắt (P) hai điểm C D cho CD AB Ví dụ 4:Cho Parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y  x  a) Vẽ đồ thị (P) (d) hệ trục Oxy  b) Gọi A,B giao điểm (P) (d) Tìm điểm M cung AOB (P) Sao cho diện tích tam giác MAB lớn c) Tìm điểm N trục Ox cho NA  NB nhỏ Giải Tìm cách giải  Để tìm vị trí điểm M cho diện tích tam giác MAB lớn , ta có hai hướng suy nghĩ: Hướng Vì A, B biết nên phương trình đường thẳng AB viết độ dài đoạn thẳng AB  xác định Mặt khác tập hợp điểm M cung AOB (P) nên để diện tich tam giác MAB lớn cần xác định khoảng cách từ M đến AB lớn Từ nghĩ tới việc viết đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) song song với (d) : y ax  b Khi cung  (P) nằm (d)  d  nên khoảng cách từ M đến AB lớn M trùng với AOB tiếp điểm  d  (P) Hướng Gọi C,D, N hình chiếu B, A, M trục hồnh Khi ABCD, AMND , BCNM hình thang ABCD có diện tích xác định.Để diện tích tam giác MAB lớn tổng diện tích AMND BCMN có diện tích nhỏ Vậy ta tính tất cách diện tích hình thang theo tọa độ biết m  Tìm điểm N trục Ox cho NA  NB nhỏ , dựa vào kiến thức hình học Lấy B đối xứng với B qua Ox độ dài AB khơng đổi đồng thời OB OB nên NA  NB  NA  NB AB Trình bày lời giải a) Tự vẽ hình b) Gọi phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) song song với (d) : y ax  b Vì  d  / /  d  nên : a   d  1   d  : y  x  b 2 tiếp xúc với  P   phương trình hoành độ giao điểm x  x  b hay x  2x  4b 0 có nghiệm kép   ' 1  4b 0  b  Khi , phương trình  d  y  1 x Tiếp điểm có hồnh độ nghiệm kép phương trình: x  2x  0  x   y  1  Tọa độ tiếp điểm T   1;  4  Kẻ MH  AB Ta có : SABM  AB.MH Do AB không đổi nên SABM lớn 1   MH lớn  M trùng với T  M   1;  4  c) Tọa độ giao điểm A B (P) (d) có hồnh độ nghiệm phương trình : x  x   x  2x  0 Suy x1  4; x 2  y1 4; y 1 Do A   4;  ; B  2;1 Lấy B đối xứng với B  2;1 qua Ox , ta có B 2;  1 NB  NB  NA  NB  NA  NB AB Đẳng thức xảy A, N, B thẳng hàng Suy điểm N cần tìm giao điểm AB trục Ox Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng y mx  n Do A   4;  B 2;  1 thuộc đường thẳng nên :  m     4m  n 4    2m  n   n   Phương trình AB : y  x    y  x  x  4  2 N  ;0  Suy tọa độ N nghiệm hệ :  5   y 0  y 0 Ví dụ 5:Cho Parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y x  m với m 0 Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A,B cho tam giác OAB tam giác vng O Giải Tìm cách giải Những toán tọa độ liên quan đến khoảng cách , góc vng thơng thường nghĩ tới vận dụng hệ thức Vi-ét Do , để giải toán :  Bước 1.Tìm điều kiện m để (P) cắt (d) hai điểm phân biệt Tức phương trình : x  x  m có hai nghiệm phân biệt , nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm  Bước Sử dụng định lí đảo Py-ta-go : OAB tam giác vuông O  OA  OB2 AB2 Từ có lời giải sau: Trình bày lời giải Gọi A  x1 ; y1  ; B  x ; y  x1 ; x nghiệm phương trình : x  x  m  x  x  m 0 (P) cắt (d) hai điểm phân biệt      4m   m    x1  x 1 Theo hệ thức Vi-et ta có :   x1 x  m Vì A  x1 ; y1  ; B  x ; y  thuộc (d) nên: y1  x1  m; y  x  m; y  y1  x  x1 ABC vuông O  OA  OB2 AB2  x12  y12  y 22  x 22  x1  x    y1  y   x1 x  y1 y 0  x1 x   x1  m   x  m  0  m 0  2x1 x  m  x1  x   m 0    m   m.1  m 0    m 1 Kết hợp với điều kiện m 1 thỏa mãn , ta có (P) (d) cắt hai điểm A,B phân biệt cho tam giác OAB tam giác vuông O C Bài tập vận dụng 20.1.Cho hàm số y x Tìm giá trị m để đường thẳng phương trình y x  m cắt đồ thị 4 hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  ; B  x ; y  thỏa mãn  x  x1    y  y1  18 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số Vì A  x `1 ; y1  ; B  x ; y  thuộc (d) nên: y1  x1  m; y x  m; y  y1 x  x1 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P)  d  : x x  m  x  x  m 0 (P) (d) cắt hai điểm phân biệt      4m 0  m   x1  x 1 Theo hệ thức Vi-et:   x1 x  m 4 4  x2  x1    y  y1  18   x  x1    x  x1  18  x2  x1  9   x  x `  3   x  x1   4x1 x 3 Hay  4m 3  m  Vậy với m  (thỏa mãn) 1 đường thẳng y  x  cắt đồ thị hai điểm phân biệt 2 4 A  x1 ; y1  ; B  x ; y  thỏa mãn  x  x1    y2  y1  18 20.2 Cho Parabol (P): y  x đường thẳng  d  : y mx  2m  (m tham số) a) Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) b) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A cố dịnh thuộc Parabol (P) (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Bình Phước năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số a) Đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol  P    x mx  2m  có nghiệm kép  x  4mx  8m  0 có nghiệm kép   ' 4m  8m  0  m  b) Gọi A  x ; y  mà đường thẳng (d) qua với m  y mx  2m   x  0  x 2  m  x    y  với m     y  0  y0  1 Ta có x 2, y0  thỏa mãn y  x nên A  2;  1 thuộc Parabol (P) 2 20.3 Cho hàm số y f  x   m  m   x a) Chứng minh y f  x  nghịch biến khoảng   ;  đồng biến khoảng  0;  b) Với m 0 Tìm giá trị nguyên x để f  x   100 Hướng dẫn giải – đáp số 1  a) Ta có: m  m   m     2  Nên y f  x  nghịch biến khoảng   ;  đồng biến khoảng  0;  2 b) Với m 0 f  x  5.x  100  x  20 với x nguyên nên : x    4;  3;  2;  1;0;1; 2;3; 4 x 20.4 Cho đường thẳng  d  : y mx  m  (m tham số) Parabol  P  : y  a) Tìm m để đường thẳng (d) Parabol (P) qua điểm có hồnh độ x 4 b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt c) Giả sử  x1 ; y1   x ; y  tọa độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P)   Chứng minh : y1  y2  2   x1  x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x 4 y  42 8  I  4;8  Điểm I thuộc  d   4m  m   m 2 b) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 mx  m  0  x  2mx  2m  0 2 Có  ' m   2m    m  1   với m, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Vì (d) cắt (P) hai điểm phân biệt c) x1 ; x nghiệm phương trình : x  2mx  2m  0 theo hệ thức Vi-et: x1  x 2m Do đó: y1  y m  x1  x   2m  2m  2m    Nhận thấy : y1  y  2   x1  x      2m  2m   2  2m  m  2m  0  m   0 (luôn với m ) nên suy điều phải chứng minh 20.5.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho Parabol  P  : y  x đường thẳng (d) có phương trình y mx  (m tham số) a) Chứng minh với m, đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt A B b) Gọi hoành độ giao điểm A B x1 x Chứng minh : x1  x 2 (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Bình Định năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét phương trình  x mx   x  mx  0 có  m   với m Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A B  x1  x  m b) Theo hệ thức Vi-et ta có :   x1 x  2 Xét  x1  x   x1  x   4x1 x m  4  x1  x 2 20.6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol  P  : y x hai điểm A   1;1 ; B  3;9  nằm (P) Gọi M điểm thay đổi (P) có hồnh độ m    m   Tìm m để diện tích tam giác AMB lớn (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Thái Bình năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số M  P có hồnh độ m , suy tung độ m Gọi C, D, N hình chiếu B, A, M trục hồnh : C  3;0  , D   1;  , N  m;0  Diện tích hình thang ABCD : S  AD  BC 19 CD  4 20 (đv.dt) 2 Diện tích hình thang AMND là: S1  AD  MN  m2 DN   m  1 (đv.dt) 2 Diện tích hình thang BCNM : S2  BC  MN m2  CN    m  (đv.dt) 2 Suy diện tích tam giác AMB là:   m   m  1    m    m  20  SAMB S  S1  S2 2 2 SABM 6  2m  4m 8   m  1 8 Vậy diện tích tam giác AMB lớn (đv.dt) m 1  OA 90 (O gốc tọa 20.7 Cho Parabol  P  : y x Trên (P) lấy hai điểm A1 ; A cho A độ).Hình chiếu vng góc A1 ; A trục hoành B1 ; B2 Chứng minh OB1 OB2 1 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt A1  x1 ; y1  ; A  x ; y  B1  x1 ;0  ; B2  x ;0  2 Vì A1 ; A  P nên y1 x1 ; y  x  OA 90  A A A O  A O A 2 2   x1  x    y1  y   x12  y12  x 2  y 2  x x 0  x1 x  y1 y 0  x1 x  x12 x 2 0  x1 x   x1x  0     x1 x 0 Vì A1 ; A khác O nên x1 x 0 loại ,  x1 x 0  x1 x  Vậy OB1 OB2  x1 x 1 Điều phải chứng minh 20.8 Cho Parabol  P  : y  x a) Viết phương trình tiếp tuyến (P) , biết tiếp tuyến qua điểm A  2;1 b) Gọi d đường thẳng qua điểm A  2;1 có hệ số góc m Với giá trị m đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N Khi tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi c) Tìm quỹ tích điểm M từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, vịng 1, năm học 2004-2005) Hướng dẫn giải – đáp số a) Phương trình đường thẳng d1 qua A  2;1 có dạng y ax  b  2a  b  b 1  2a Do  d1  : y ax  2a  Phương trình hoành độ giao điểm d1 (P) : x ax  2a   x  3ax  6a  0 (1) d1 tiếp tuyến  P   phương trình (1) có nghiệm kép   9a   6a  3 0  9a  24a  12 0   a    3a   0  a1 2;a  Vậy từ A  2;1 có hai tiếp tuyến đến (P) d1 : y 2x  3;d : y  x  3 b) Phương trình đường thẳng d qua điểm A  2;1 có hệ số góc m : y mx   2m Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) : x mx  2m   x  3mx  6m  0 (2) d cắt (P) hai điểm phân biệt   9m   6m  3   9m  24m  12    m    3m     m m  (*) Với điều kiện (*) , d cắt (P) hai điểm phân biệt M N có hồnh độ x1 x hai nghiệm phương trình (2) , nên tọa độ trung điểm I MN 2x  x1  x 3m m    x   2    y mx   2m y  x2  x 1  3 Với m  m   x  1; x  Vậy m thay đổi , quỹ tích I phần Parabol y  x  x  , giới hạn x  1; x  3 c) Gọi M  x ; y0  điểm từ vẽ hai tiếp tuyến vng góc với (P) Gọi phương trình đường thẳng d qua M hệ số góc k y kx  b , đường thẳng qua M nên y kx  b  b  y  kx , suy phương trình  d  : y kx  kx  y0 Phương trình cho hồnh độ giao điểm d (P) : x kx  kx  y0  x  3kx  3kx  3y 0 Phương trình có nghiệm kép   0  9k   3kx  3y  0  9k  12kx  12y 0 (**) Để từ M kẻ hai tiếp tuyến vng góc tới (P) phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt k1 ; k k1k   12y   y0  Vậy quĩ tích điểm M , từ vẽ hai tiếp tuyến vng góc với (P) đường thẳng y  20.9 Cho hàm số y  x  4x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phương trình đường tiếp tuyến từ điểm A  2;   đến P c) Tìm tập hợp điểm mà qua có hai tiếp tuyến vng góc đến (P) (Thi học sinh giỏi Tốn lớp , TP Hờ Chí Minh, năm học 1992-1993) Hướng dẫn giải – đáp số a)  P  : y  x  x TXĐ: R Bảng giá trị Vẽ: x -2 y -1 Nhận xét : Đồ thị hàm số y  x  4x đường cong Parabol có đỉnh  2;  1 Và qua điểm   2;3 ;  0;0  ;  4;  ;  6;3  b)Phương trình đường thẳng (d) cần tìm có dạng y ax  b A   d    2a  b  b  2a   d  : y ax  2a  Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) x  4x ax  2a   x   a  1 x  8a  0 (*) 2 Xét  ' 4  a  1   8a   4a  (d) tiếp xúc với  P    * có nghiệm kép   ' 0  4a  0  a 1 a 1 b  2a   a  b  2a  0 Vậy qua A có hai tiếp tuyến với (P) phương trình là: y  x  4; y  x c)Gọi M  x ; y  điểm thuộc tập hợp điểm cần tìm Phương trình đường thẳng (D) qua M có dạng y ax  b M   D   y0 ax  b  b  ax  y  D  : y ax  ax  y Phương trình hồnh độ giao điểm (D) (P) : x  4x ax  ax  y0  x   a  1 x  4ax  4y0 0  **  ' 4  a  1  4ax  4y 4a    x  a  4y  (D) tiếp xúc với  P    ** có nghiệm kép   ' 0  a    x  a  y  0 (1) Để có hai tiếp tuyến vng góc phương trình (1) ẩn a có hai nghiệm phân biệt a1 ;a a1 a  Do y    y  Vậy tập hợp điểm mà qua có hai tiếp tuyến vng góc đến (P) đường thẳng y  20.10 Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị y  x  P  hai điểm phân biệt  d  : y x  m A  x1 ; y1  , B  x ; y  cho :  x  x1  2014   y  y1  2014 2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số (P) cắt (d) hai điểm phân biệt  x  x  m có hai nghiệm phân biệt  x  x  m 0 (1) có  1  4m   m   Khi x1 ; x nghiệm phương trình (1)  x1  x 1 Theo hệ thức Vi-et ta có :   x1 x  m Ta có : y1  x1  m, y  x  m  y  y1 x  x1  x2  x1  2014   x  x1    y  y1  2014 2014 2   x  x1  2014   x  x1  2014 2 1   x  x1  1   x  x1   4x x1 1   4m 1  m 0 thỏa mãn Vậy với m 0 (P) cắt (d) thỏa mãn điều kiện đề 20.11 xe tải có chiều rộng 2, 4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng có hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol ) tới chân cổng 5m ( bỏ qua độ dầy cổng) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol  P  y ax với a  hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a  b) Hỏi xe tải qua cổng khơng ? Tại ? (tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên , Đại học sư phạm Hà Nội , năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số a) Giả sử mặt phẳng tọa độ , độ dài đoạn thẳng tính theo đơn vị mét Do khoảng cách hai chân cổng m nên MA  NA  Từ giả thiết ta có: OM ON 2 , theo định lý Py-ta-go có OA 4 Vậy M  2;   , N   2;   Mặt khác , M, N thuộc Parabol nên  a.22  a   P  : y  x b) Để đáp ứng chiều cao , trước hết xe tải phải chọn phương án vào cổng  36   36  Trên Parabol (P) xét hai điểm H  ;   T   ;   đối xứng qua Oy  25   25  HT 2, (ứng với chiều cao xe tải ) Gọi B giao điểm HT trục tung Khi AB  64  2,5 25 Do xe tải qua cổng 20.12 Tìm tất giá trị tham số m cho parabol  P  : y x cắt đường thẳng d : y mx  hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  , B  x ; y  thỏa mãn y1  y1 2  x1  x1   (Tuyển sinh vào lớp 10 , THPT chuyên , tỉnh Ninh Bình, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số (P) cắt (d) hai điểm phân biệt  x mx  có hai nghiệm phân biệt  x  mx  0 (1) có  m   m  Khi x1 ; x nghiệm phương trình (1)  x1  x  m Theo hệ thức Vi-et ta có :   x1 x  Ta có : y1 mx1  2, y mx  y1  y 2  x1  x    m  x1  x   2  x1  x    m  2m   m   m  2m  0    m 3 Ta có m 3 thỏa mãn điều kiện Vậy với m 3 (P) cắt (d) điểm thỏa mãn điều kiện đề