Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Các khái niệm, thuật ngữ được dùng trong luận án
1.1.1 Cách hiểu về nghĩa của từ “Realistic” và thuật ngữ “Realistic Mathematics Education”
Theo quan điểm của Niss (Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2020), ông cho rằng có sự khác biệt trong việc nhấn mạnh ý nghĩa của từ “Realistic” (thực, thực tế) ở Đan Mạch và ở Hà Lan Theo cách giải thích của RME, “thực” và “thực tế” nghiêng về việc đề cập đến thế giới kinh nghiệm hoặc cảm xúc của HS và không nhất thiết phải là thực tế trong thế giới bên ngoài Hơn nữa, trong RME, những câu chuyện cổ tích hoặc trò chơi giả tưởng đều được coi là có thật và thực tế nếu chúng là như vậy đối với HS Điều này trái ngược với lập trường của Đan Mạch có xu hướng nhấn mạnh thực tế khách quan bên ngoài của môi trường xung quanh nơi HS sống như gia đình, bạn bè, trường học, cộng đồng địa phương, hoặc các lĩnh vực khoa học, lĩnh vực thực hành Trong khi đó với RME, từ
“Realistic” bao gồm cả các bài toán dựa trên các tình huống trong thế giới thực và các bài toán mà HS có thể trải nghiệm như thật-liên quan đến “thực tế” theo nghĩa “hiện thực hóa”; tạo ra một tình huống “thật” cho chính HS
Vì thuật ngữ “realistic” nên RME thường được hiểu nhầm là xu hướng này tập trung vào thực tiễn và tính xác thực (authentic) của vấn đề Theo Van den Heuvel-Panhuizen,
M (2003, 2014), “realistic” xuất phát từ một động từ trong Tiếng Hà Lan “zich realiseren” có nghĩa là “tưởng tượng” và từ “realistic” đề cập tới việc HS được đặt vào tình huống vấn đề mà họ có thể tưởng tượng hơn là việc đề cập tới tính thực tế hoặc thực tiễn của vấn đề Đồng quan điểm với Niss thì Lê Tuấn Anh (2020) cũng cho rằng ngay cả những câu chuyện cổ hoặc những bài toán thuần túy cũng có thể là bối cảnh phù hợp miễn là chúng có thực trong suy nghĩ của HS” Như vậy, từ “thực” mà tác giả sử dụng trong luận án này phải được hiểu theo nghĩa rộng, bao hàm cả những những vấn đề có thực trong cuộc sống và những vấn đề có thực trong suy nghĩ của HS để các em có thể tưởng tượng và tham gia vào quá trình học tập
Tại Việt Nam, trong các công trình khoa học (bài báo, luận văn, sách chuyên khảo) cụm từ “Realistic mathematics education” xuất hiện với nhiều tên gọi khác nhau (Lê Tuấn Anh, 2020): Giáo dục Toán thực tiễn; Giáo dục Toán học gắn với thực tiễn; Giáo dục Toán học gắn liền với thực tế; Giáo dục Toán học trong thế giới thực; Giáo dục Toán thực; Toán học thực tế; Toán học trong ngữ cảnh Mặc dù vẫn chưa có sự thống nhất chung trong cách gọi tên, tuy nhiên trong luận án này, tác giả sẽ sử dụng thuật ngữ “Giáo dục toán thực” để thay thế cho thuật ngữ gốc “Realistic Mathematics Education” (gọi tắt là RME)
Do vậy, từ bây giờ trong tất cả các nội dung diễn đạt của luận án, khi chúng tôi nói đến RME là ngụ ý đề cập đến tên gọi “Giáo dục toán thực”
1.1.2 Vấn đề gắn với bối cảnh, bài toán gắn với bối cảnh
Trong RME, các vấn đề gắn với bối cảnh nhằm mục đích hỗ trợ HS thực hiện quá trình khám phá toán học để nắm bắt được toán học hình thức Những “vấn đề gắn với bối cảnh” là “những vấn đề mà tình huống của vấn đề có thực theo kinh nghiệm của HS”
(Gravemeijer, K.P.E., & Doorman, M., 1999, tr 111), có thể gắn với thực tiễn hoặc xuất hiện trong nội bộ môn Toán (Gravemeijer, K.P.E., & Doorman, M., 1999, tr 111; Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2000, tr 4) Theo đó, tác giả sử dụng cách hiểu sau đây khi nói về
“bài toán gắn với bối cảnh”: Bài toán gắn với bối cảnh là “bài toán mà giả thiết và kết luận của bài toán có thực theo kinh nghiệm hoặc hiểu biết của HS, có thể gắn với thực tiễn hoặc xuất hiện trong nội bộ môn Toán”
Có thể nói “bối cảnh” trong RME là khá quan trọng, bởi lẽ bối cảnh là nguồn gốc chứa đựng hoạt động của HS Bối cảnh được phân thành 4 loại, bao gồm: (1) Bối cảnh không bao giờ xảy ra, do con người nghĩ ra, tưởng tượng ra,… nhưng vẫn có những từ, thuật ngữ trong thực tiễn; (2) Bối cảnh có những yếu tố thực tiễn: có một số từ, thuật ngữ, nội dung có trong thực tiễn, rất hiếm khi xảy ra; (3) Bối cảnh có những yếu tố thực tiễn nhưng đã mô hình hóa, toán học hóa (lược đi hoặc đơn giản đi những nội dung thực tiễn) nhưng gần gũi với HS; (4) Bối cảnh được lấy từ thực tế, có xảy ra, HS nhận thức được và thiết thực với HS (dẫn theo Nguyễn Tiến Trung và cộng sự, 2022).
Một số quan niệm về RME
Hiện nay, theo nghiên cứu của chúng tôi, vẫn còn nhiều quan niệm khác nhau liên quan đến cách hiểu về RME Các nghiên cứu của Searle và Barmby (2012), Sumitro (2008) khẳng định RME được định nghĩa là học tập theo bối cảnh, có nghĩa là HS học toán thông qua việc tham gia giải quyết vấn đề thực tế trong bối cảnh có ý nghĩa Một số nghiên cứu khác lại thừa nhận rằng RME là một lí thuyết học tập xuất phát từ những điều tự nhiên hoặc trải nghiệm của HS (Laurens, T., Batlolona, F A., Batlolona, J R., & Leasa, M.,
2017) Theo họ, lí thuyết này nhấn mạnh các kĩ năng tư duy, lập luận, xử lí, thảo luận và hợp tác để HS có thể tự giải quyết vấn đề Cuối cùng, HS có thể thực hiện các hoạt động toán học để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hằng ngày của họ, cả cá nhân và hoặc của một nhóm (Herman, M., Arnawa, I M., & Ardipal, A., 2019) Có ý kiến khác lại quan niệm RME là một phương pháp học tập có thể xây dựng các khái niệm toán học trong cuộc sống hằng ngày (Putri Yuanita, Hutkemri Zulnaidi, Effandi Zakaria, 2020; Rahayu, W., Prahmana, R C I., & Istiandaru, A., 2021; Suwandayani, B I., Ekowati, D W., & Fadillah, A N., 2020) Đồng ý với quan điểm này, Usman Mulbar và Ahmad Zaki (2018) cho rằng RME là một phương pháp học tập sáng tạo, nhấn mạnh vào toán học với tư cách là một hoạt động của con người phải gắn liền với đời sống thực tế, sử dụng bối cảnh thế giới thực như điểm khởi đầu của việc học Ngoài ra, họ còn cho rằng việc học toán sẽ có ý nghĩa và hợp lí hơn khi sử dụng phương pháp RME (Heriyadi & Prahmana, 2020) Điều này là do RME luôn trình bày và kết nối mọi vấn đề toán học trong bối cảnh thực tế để quá trình học tập của HS gắn liền với trải nghiệm của các em trong cuộc sống hằng ngày (Hough, S., Gough, S., & Solomon, Y., 2019; Purwitaningrum, R., & Prahmana, R C I.,
2021) Cũng đồng quan điểm như trên, Hutkemri Zulnaidi và cộng sự (2018) cho rằng RME là một phương pháp học tập sáng tạo nhấn mạnh toán học như một hoạt động của con người và phải gắn liền với cuộc sống thực, lấy bối cảnh thế giới thực làm xuất phát điểm của việc học.
Đặc trưng cơ bản của RME
Năm 1987, Adri Treffers công bố khung lý thuyết về GD Toán học theo lĩnh vực cụ thể Khung này là được xây dựng dựa trên công trình của Wiskobas, được thành lập với sự cộng tác của Freudenthal, H (1968, 1973) và ý tưởng của ông về GD Toán học Sau đó, lí thuyết RME đã được đúc kết lại trong ba thuật ngữ: Khám phá có hướng dẫn (Guided reinvention), hiện tượng học trong dạy học (Didactical phenomenology) và mô hình tự phát triển (Self-developed model) (Gravemeijer, K.P.E., 1999) Tuy nhiên, trong luận án này chúng tôi chỉ tiếp cận RME với hai đặc trưng chính là “Khám phá có hướng dẫn” và
“mô hình tự phát triển”
1.3.1 Khám phá có hướng dẫn (Guided-reinvention)
Khám phá có hướng dẫn phản ánh ý tưởng của Freudenthal, H (1973) rằng HS nên trải nghiệm toán học như một hoạt động của con người và khám phá toán học dưới sự hướng dẫn của GV Lịch sử toán học là một nguồn cảm hứng rõ ràng để thiết kế một lộ trình mà HS có thể khám phá toán học này Freudenthal dùng thuật ngữ “khám phá có hướng dẫn” bởi lẽ ông cho rằng HS được kỳ vọng sẽ tìm thấy thứ gì đó mới và chưa được biết đến với họ nhưng được GV biết đến Điểm xuất phát cho tư tưởng của Freudenthal là trong bài phê bình của ông về GD Toán học truyền thống Freudenthal có niềm tin mãnh liệt rằng toán học là một hoạt động của con người, nghĩa là toán học là một tiến trình Ông ấy quyết liệt phản đối việc lấy kết quả hoạt động toán học của người khác làm điểm khởi đầu hơn là dạy chính hoạt động đó (Freudenthal, H.,1973) Ông giải thích rằng: “Toán học như một hoạt động là một quan điểm khá khác biệt so với toán học được in trong sách và in sâu vào tâm trí” Sản phẩm của hoạt động toán học được hiểu theo nghĩa rộng không chỉ bao gồm các mệnh đề và Định lí, mà còn bao gồm “các chứng minh, thậm chí cả các định nghĩa và ký hiệu, cũng như bố cục, trong bản in và suy nghĩ” (Freudenthal, H., 1991, tr 14-15) Theo đó, một giải pháp thay thế mà ông ủng hộ rằng GD Toán học nên áp dụng xuất phát điểm chủ yếu ở toán học như một hoạt động, chứ không phải toán học như một hệ thống làm sẵn (Freudenthal, H., 1973, 1991)
“Những gì con người phải học không phải là toán học như một hệ thống khép kín, mà là một hoạt động, quá trình toán học hóa thực tế và nếu có thể, thậm chí là của toán học hóa toán học.” (Freudenthal, H., 1968, tr 7)
Lí thuyết RME nhằm mục đích cho phép HS kết nối các đại diện không chính thức của họ với toán học hình thức, xây dựng từ sự hiểu biết chung về các bối cảnh có thể tưởng tượng để nhận ra sự giống nhau về mặt toán học của các vấn đề khác nhau và khả năng chọn một mô hình thích hợp để giải quyết một vấn đề (Van den Heuvel-Panhuizen, M.,
2003) Đặc trưng “khám phá có hướng dẫn” này không chỉ đòi hỏi những thực hành cụ thể từ phía GV, nó còn đòi hỏi các phương thức tham gia tương ứng của HS Chúng bao gồm: các chuẩn mực xã hội trong giao tiếp (ví dụ: HS lắng nghe những đóng góp của người khác và đặt câu hỏi khi họ không đồng ý hoặc không hiểu; GV tránh nói nếu chiến lược/giải pháp là đúng hoặc sai); Việc sử dụng các bản phác thảo và sơ đồ giải quyết vấn đề của HS; Các phương thức phản hồi và điều phối của GV như yêu cầu giải thích/đồng ý, nêu bật các chiến lược và giải pháp khác nhau của HS
Freudenthal cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc “khám phá có hướng dẫn” Quan điểm này nói rằng HS phải được tạo cơ hội để trải nghiệm việc học toán trong một quá trình tương tự như cách toán học được phát minh (Gravemeijer, K.P.E., 1994; Bakker, A., 2004) Các hoạt động hướng dẫn được sử dụng phải cung cấp HS với các tình huống thực tế theo kinh nghiệm mà từ đó các em có thể hình thành hoặc xây dựng kiến thức Ban đầu, các em cần huy động kiến thức, suy nghĩ tìm con đường giải quyết vấn đề và phỏng đoán xem giải pháp đó có phù hợp hay không HS không học toán bằng cách đoán xem
GV nghĩ gì, thay vào đó, HS nên bằng cách tự mình tìm ra mọi thứ (Gravemeijer, K P E.,
2020) Quá trình tư duy này, theo RME, là quan trọng hơn việc đạt được khái niệm, định lí toán học thuần túy HS có thể không được mong đợi để “lặp lại quá trình học tập của nhân loại” (Freudenthal, H., 1991, tr 48), tuy nhiên, họ sẽ có cơ hội khám phá toán học dưới sự hướng dẫn của GV, tài liệu học tập hoặc sự trợ giúp đến từ một cá nhân hoặc một nhóm HS khác
Tuy nhiên, chúng ta cần hiểu thêm rằng, HS không được kỳ vọng sẽ tự khám phá lại mọi thứ Việc tổ chức cho HS khám phá lại tất cả những kiến thức liên quan đến môn học mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội là không thể, điều này trước hết do không đủ quỹ thời gian làm việc đó I.Ia.Leùcne (1977) cũng nhấn mạnh:
“Do bản chất xã hội của nó, dạy học là truyền thụ kinh nghiệm do xã hội tích lũy cho thế hệ trẻ cho nên một tổ chức dạy học trong đó học sinh phải khám lại tất cả những điều mà loài người biết được trước đây và được quy định trong các chương trình học, là một điều ít nhất cũng là kì quái”
1.3.2 Mô hình tự phát triển (Self-developed model)
Một mô hình có thể “… liên quan đến việc tạo bản vẽ, sơ đồ hoặc bảng hoặc nó có thể liên quan đến việc phát triển các ký hiệu không chính thức hoặc sử dụng các ký hiệu toán học thông thường” (Gravemeijer, K P E.,1999; Gravemeijer, K P E., van Galen, F.,
& Keijzer, R., 2005, tr 3) Các mô hình RME được phát triển để hỗ trợ tiến đến THH và hỗ trợ HS tiến bộ từ hoạt động toán học phi hình thức đến hoạt động toán học hình thức (Bakker, A., 2004; Doorman, L.M., 2005)
RME bắt đầu bằng những vấn đề gắn với bối cảnh Đã có nhiều báo cáo cho thấy HS rất sáng tạo và thành công khi được yêu cầu giải các bài toán mới, hấp dẫn, theo bối cảnh
Có thể kể đến công trình của Lesh, R và Harel, G (2003) về các hoạt động khơi gợi mô hình, trong đó hoạt động của HS không phải là áp dụng các ý tưởng toán học mà là phát triển các ý tưởng toán học mới Vấn đề được đặt trong bối cảnh đủ thực tế đối với HS để quá trình giải quyết vấn đề có ý nghĩa đối với họ Các mô hình bắt đầu theo bối cảnh cụ thể và sẽ phát triển thành các thực thể toán học trừu tượng hơn, hướng đến việc phát triển các lập luận của toán học hình thức Các mô hình này xuất hiện từ các hoạt động của HS kết hợp với lập luận toán học được nhắm mục tiêu trong việc phát triển các khái niệm có liên quan Cuối cùng, “mô hình của” hoạt động toán học phi hình thức phải phát triển thành
“mô hình cho” lập luận toán học hình thức Trong cách tiếp cận RME, các mô hình không được coi là các thực thể bên ngoài đối với HS Các mô hình được tạo ra một cách có nhận thức từ ý nghĩa mà HS thực hiện trong các tình huống nhất định
Phương pháp tiếp cận “mô hình tự phát triển” tập trung vào các quá trình học tập dài hạn, trong đó một mô hình phát triển từ một mô hình không chính thức, gắn liền với bối cảnh, thành một mô hình phức tạp hơn Những “mô hình tự phát triển” này được coi là bắt nguồn từ hoạt động trong và lí luận về các tình huống nhất định Mô hình và tình huống được mô hình hóa cùng phát triển và được cấu thành lẫn nhau trong quá trình hoạt động mô hình hóa
Toán học hóa trong RME
1.4.1 Quan niệm về toán học hóa
Freudenthal quan niệm rằng: “toán học có quan hệ mật thiết với thực tiễn” và học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề từ thực tiễn hay trong nội tại toán học để xây dựng kiến thức mới, ông gọi quá trình đó là THH (mathematization)
THH trong RME đề cập đến hoạt động tổ chức và nghiên cứu bất kỳ loại thực tế nào với các phương tiện toán học, nghĩa là chuyển một vấn đề thực tế sang thế giới toán học, và ngược lại, cũng như tổ chức lại và (tái) xây dựng trong thế giới của toán học “Thực tế” như đã phân tích, có thể đề cập đến cuộc sống thực, thế giới tưởng tượng hoặc các tình huống toán học nếu chúng có ý nghĩa và có thể tưởng tượng được đối với HS, chẳng hạn vì các yếu tố thiết yếu của chúng đã được HS trải nghiệm và hiểu trước đó (Freudenthal,
H., 1991; Gravemeijer, K.P.E., 1994; Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2000; Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Drijvers, P., 2013)
Trong RME, điểm bắt đầu của quá trình giảng dạy phải là “thực tế” đối với HS; cho phép HS có thể ngay lập tức tham gia vào tình huống Điều này có nghĩa là việc hướng dẫn không nên bắt đầu với hệ thống khái niệm hình thức Các hiện tượng mà các khái niệm xuất hiện trong thực tế nên là nguồn gốc của sự hình thành khái niệm Quá trình rút ra khái niệm thích hợp từ một tình huống cụ thể được (De Lange, J., 1987) phát biểu là “toán học hóa khái niệm” Quá trình này sẽ buộc HS khám phá tình huống, tìm và xác định nội dung toán học liên quan, phát hiện ra các quy tắc, thực hiện hoạt động toán học và phát triển một “mô hình” dẫn đến một khái niệm toán học Bằng cách phản ánh và khái quát lại, HS sẽ phát triển được khái niệm đầy đủ hơn Sau đó, HS có thể và sẽ áp dụng các khái niệm toán học vào các lĩnh vực mới của thế giới thực và bằng cách đó, HS được củng cố khái niệm Quá trình này được gọi là THH trong ứng dụng (xem Sơ đồ 1.1)
Sơ đồ 1.1 Toán học hóa khái niệm và ứng dụng (De Lange, J., 1996)
1.4.2 THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc
Chính Treffers, A (1987) đã đặt hai cách THH dưới một góc nhìn mới khiến Freudenthal cũng phải thay đổi quan điểm Theo ông có hai loại THH, đó là THH theo chiều ngang (horizontal mathematization) và THH theo chiều dọc (vertical mathematization), cụ thể:
Toán học hóa và sự phản ánh
Trừu tượng và chính thức hóa Toán học hóa trong ứng dụng
Trong THH theo chiều ngang: HS đưa ra các công cụ toán học có thể giúp tổ chức và giải quyết một vấn đề đặt trong một tình huống thực tế THH theo chiều ngang có thể bao gồm: (1) Xác định hoặc mô tả toán học cụ thể trong bối cảnh chung; (2) Xây dựng và hình dung một vấn đề theo những cách khác nhau; (3) Khám phá quan hệ, phát hiện quy luật, quy tắc; (4) Chuyển một bài toán trong thế giới thực thành một vấn đề toán học; (5) Chuyển từ kết quả toán học sang kết quả trong thực tế
THH theo chiều dọc: đòi hỏi cả việc tổ chức lại và tái tạo vấn đề trong toán học, tức là việc vận dụng các mô hình toán học, sử dụng các thủ tục và khái niệm, nhận ra các mô hình và chiến lược giải quyết vấn đề Các hoạt động sau đây là ví dụ về THH theo chiều dọc: (1) Biểu diễn một quan hệ trong một công thức; (2) Chứng minh tính quy luật, tinh chỉnh và điều chỉnh mô hình; (3) Sử dụng các mô hình khác nhau; (4) Kết hợp và tích hợp các mô hình, xây dựng mô hình khái quát hóa và tổng quát hóa
Trong cuốn sách cuối cùng của mình, Freudenthal, H (1991) đã tiếp nhận sự phân biệt của Treffers, A (1987) về hai cách THH này và diễn đạt ý nghĩa của chúng như sau: THH theo chiều ngang có nghĩa là đi từ thế giới cuộc sống đến thế giới của các biểu tượng; và THH theo chiều dọc có nghĩa là di chuyển trong thế giới của các biểu tượng, qua đó HS khám phá các mối liên hệ giữa các khái niệm và chiến lược giải quyết vấn đề Tuy nhiên, Freudenthal nhấn mạnh rằng sự khác biệt giữa hai thế giới này chưa thực sự rõ ràng, và theo quan điểm của ông, trên thực tế, các thế giới không tách rời nhau Hơn nữa, ông nhận thấy hai hình thức toán học có giá trị ngang nhau và nhấn mạnh thực tế là cả hai hoạt động đều có thể diễn ra trên mọi cấp độ của hoạt động toán học
Sơ đồ 1.2 Mô tả lại quá THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc (Gravemeijer, K.P.E., 1994)
De Lange, J (1987) giải thích chi tiết về sự tương tác giữa hoạt động THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc Ông tuyên bố rằng quá trình THH do HS thực hiện trong quá trình học tập mang tính cá nhân và có thể đi theo các lộ trình khác nhau tùy thuộc vào nhận thức của HS về tình huống thực tế, kĩ năng và khả năng giải quyết vấn đề của họ Hình 1.2 mô tả các lộ trình khác nhau của các quá trình THH có thể Thay vì mong đợi tất cả HS đi cùng một tuyến đường từ 𝐴 đến 𝐵, các tuyến đường có thể khác nhau và có thể không kết thúc ở cùng một điểm Chúng có thể bao gồm nhiều bước ngang và một số bước dọc hoặc ngược lại
Hình 1.2 Các con đường THH (Jupri & Paul Drijvers, 2016, tr 4)
1.4.3 Phân biệt bốn loại tiếp cận Giáo dục toán học liên quan đến toán học hóa
Treffers, A (1991) phân loại GD toán học thành bốn loại liên quan đến THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc (xem Bảng 1.1) Các phân loại này được (Freudenthal, H., 1991) mô tả rõ ràng:
Loại hình tiếp cận THH theo chiều ngang THH theo chiều dọc
Tiếp cận máy móc (cơ học) - -
Tiếp cận thực tế (RME) + +
Bảng 1.1 Bốn loại hình Giáo dục Toán học (Freudenthal, H., 1991)
Cách tiếp cận cơ học được hiểu như là phương pháp truyền thống HS hoạt động chủ yếu ghi nhớ máy móc công thức hoặc quy tắc toán học Trong xu hướng cơ học, không có hiện tượng thực tế nào được sử dụng làm nguồn gốc của hoạt động toán học, người ta ít chú ý đến các ứng dụng và chỉ chú trọng đến việc học vẹt Điều này dẫn đến những điểm yếu trong cả THH theo chiều ngang lẫn THH theo chiều dọc Do đó, khi gặp một tình huống có vấn đề, HS thường khó giải quyết Trong cách tiếp cận này, THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc đều không được sử dụng
Xu hướng chủ nghĩa kinh nghiệm nhấn mạnh vào THH theo chiều ngang trong đó nhấn mạnh vào yếu tố môi trường hơn là các hoạt động trí óc Các mục tiêu toán học hình thức không được coi là ưu tiên hàng đầu và có rất ít áp lực để người học phải vượt qua để đạt trình độ cao hơn, do đó THH theo chiều dọc không thể hiện nhiều trong tiếp cận này Ngoài ra, theo cách tiếp cận theo kinh nghiệm, người học dựa vào sự hiểu biết, vốn sống, tích lũy kiến thức, kĩ năng từ thế giới cuộc sống Theo đó, HS phải giải quyết các tình huống liên quan đến việc thực hiện THH theo chiều ngang Tuy nhiên, người học chưa tiếp cận nhiều những tình huống mở rộng để tự đưa ra công thức hoặc mô hình giải quyết Tác giả Treffers nhận định đối với phương pháp này, đây là một kiểu tiếp cận chưa được dạy nhiều
Ngược lại với kiểu tiếp cận kinh nghiệm là kiểu tiếp cận theo cấu trúc Trong cách tiếp cận theo chủ nghĩa cấu trúc, nơi các cấu trúc toán học, thuật toán được nhấn mạnh, THH theo chiều dọc chiếm ưu thế và là phần chính của hoạt động THH trong hệ thống toán học Theo cách tiếp cận này, HS học khái niệm, xây dựng nguyên tắc, thông qua các hoạt động xác định công thức, khái quát hóa, sử dụng phối hợp với các mô hình đã học Theo cách tiếp cận này, các hiện tượng thực tế không được sử dụng như các mô hình hỗ trợ hoạt động trong hệ thống toán học
Cách tiếp cận thực tế với điểm khởi đầu là tình huống trong thế giới thực hoặc xuất phát từ một vấn đề gắn với bối cảnh Ban đầu, quá trình THH theo chiều ngang xảy ra với những hoạt động tổ chức vấn đề, khám phá các quy tắc, Sau đó, HS thực hiện các bước phát triển khái niệm toán học, đưa ra quy tắc, bằng cách thực hiện quá trình THH theo chiều dọc Sự đan xen giữa hai quá trình THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc đôi khi không rõ rệt
Nếu như tiếp cận theo kiểu cơ học, sự tương tác giữa GV và HS, HS và HS là rất ít hoặc không có Đối với tiếp cận theo kiểu cấu trúc, chỉ là sự ảnh hưởng qua lại của GV và
HS, tuy nhiên sự tương tác giữa HS với HS không có hoặc có nhưng rất ít được thể hiện Tiếp cận kinh nghiệm cho thấy sự ảnh hưởng qua lại giữa HS với HS và khi HS thực hành trao đổi trong nhóm Nếu được điều chỉnh phù hợp, tiếp cận RME phù hợp với phát triển khái niệm khi HS tham gia vào các quá trình “THH hóa các vấn đề gắn với bối cảnh (THH theo chiều ngang) và giải pháp các thủ tục toán học (THH theo chiều dọc)” (Fauzan, A.,
2002, tr 41) Như vậy, sự tương tác ảnh hưởng qua lại của THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc thể hiện rõ nhất qua tiếp cận RME
Vấn đề dạy và học theo RME
1.5.1 Sáu nguyên tắc dạy và học theo RME
RME liên quan đến một số nguyên tắc cốt lõi cho việc giảng dạy toán học Hầu hết các nguyên tắc giảng dạy cốt lõi này ban đầu được trình bày rõ ràng bởi Treffers, A (1978) nhưng đã được điều chỉnh lại trong những năm qua, kể cả bởi chính Treffers
Dựa trên nghiên cứu của mình, Van den Heuvel-Panhuizen, M và Drijvers, P (2014) đã đưa ra 6 nguyên tắc cốt lõi của dạy học theo lí thuyết RME, bao gồm:
(1) Nguyên tắc hoạt động : Nguyên tắc hoạt động có nghĩa là trong RME, HS được coi là những người tham gia tích cực trong quá trình học tập Nguyên tắc này nhấn mạnh toán học được học tốt nhất bằng cách làm toán, được phản ánh mạnh mẽ trong giải thích toán học của Freudenthal như một hoạt động của con người, cũng như ý tưởng THH của Treffers Theo nguyên tắc này, HS học toán thông qua làm toán, HS có cơ hội thực hiện phép THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc
(2) Nguyên tắc thực tế : Nguyên tắc thực tế có thể được thừa nhận trong RME theo hai cách Đầu tiên, nó thể hiện tầm quan trọng gắn liền với mục tiêu của Giáo dục toán học bao gồm cả năng lực vận dụng toán học của HS trong giải quyết những vấn đề “đời thực” Thứ hai, nó có nghĩa là GD toán học nên bắt đầu từ tình huống có vấn đề, có ý nghĩa đối với HS, tạo cơ hội cho HS tìm thấy ý nghĩa của các cấu trúc toán học trong khi giải quyết vấn đề Thay vì bắt đầu với việc giảng dạy trừu tượng hoặc các định nghĩa sẽ được áp dụng sau này, trong RME, việc giảng dạy bắt đầu với các vấn đề trong bối cảnh có tiềm năng tổ chức toán học, nói cách khác, có thể được THH và đưa HS vào con đường liên quan đến bối cảnh không chính thức
(3) Nguyên tắc cấp độ : Nguyên tắc này nhấn mạnh rằng, trong việc học toán, HS trải qua nhiều cấp độ hiểu biết khác nhau: từ các giải pháp liên quan đến các bối cảnh không chính thức, thông qua việc thực hiện các phép toán như ký hiệu, sơ đồ và biểu diễn toán học để hiểu sâu hơn về các khái niệm liên quan và các chiến lược Các mô hình rất quan trọng để thu hẹp khoảng cách giữa “toán học không chính thức”, liên quan đến bối cảnh và “toán học hình thức”
(4) Nguyên tắc đan xen : Theo nguyên tắc này, các lĩnh vực có nội dung toán học như số học, hình học, đo lường, xử lí số liệu không được coi là các chương trình riêng biệt mà được tích hợp với nhau, vì vậy HS cần huy động sự hiểu biết và kiến thức toán học đa dạng của mình
(5) Nguyên tắc tương tác : Học toán không chỉ là hoạt động của mỗi cá nhân người học mà còn là hoạt động xã hội Vì vậy, RME khuyến khích thảo luận cả lớp hoặc làm việc nhóm, tạo cơ hội cho HS chia sẻ chiến lược và sản phẩm của mình với người khác
(6) Nguyên tắc hướng dẫn : Trong RME, nguyên tắc này đề cập đến ý tưởng “khám phá có hướng dẫn” của Freudenthal về toán học Cụ thể, GV phải đóng vai trò tích cực trong việc học tập của HS và chương trình GD phải chứa đựng những tình huống có thể đóng vai trò là đòn bẩy để đạt được sự thay đổi trong sự hiểu biết của HS
Như vậy, theo tác giả, nguyên tắc dạy và học theo RME có thể phân thành 2 nhóm Nhóm 1 (nguyên tắc dạy học theo RME), bao gồm: Nguyên tắc thực tế, nguyên tắc đan xen, nguyên tắc hướng dẫn; Nhóm 2 (nguyên tắc học tập theo RME), bao gồm: Nguyên tắc hoạt động, nguyên tắc cấp độ, nguyên tắc tương tác
1.5.2 Một số đặc điểm từ lớp học RME
Ngoài việc lấy các những nguyên tắc dạy học ở Mục 1.5.1 làm cơ sở tham chiếu cho việc thiết kế bài học Nó là cần thiết để xác định rõ vai trò của GV và HS trong cách dạy học theo tiếp cận RME Tác giả có thể chỉ ra một số đặc trưng cơ bản của dạy học theo RME trên dựa trên các khía cạnh: (1) Vị trí của HS; (2) Vị trí của GV; (3) Vấn đề truyền thụ kiến thức; (4) Văn hóa lớp học; (5) Vấn đề kiểm tra, đánh giá
Bảng 1.2 Mô tả một số đặc điểm của lớp học RME
- HS có cơ hội trở thành chủ thể, thành trung tâm được tự mình xây dựng, khám phá, tìm tòi, tự xây dựng kiến thức mới ( nguyên tắc hoạt động ) chứ không đặt trước những kiến thức có sẵn trong SGK hoặc tiếp nhận kiến thức một cách thụ động từ phía GV
- HS được trải qua nhiều mức độ nhận thức khác nhau ( nguyên tắc cấp độ ) từ cụ thể đến trừu tượng, từ việc tạo ra các kiến thức không chính thức đến việc lĩnh hội kiến thức toán học hình thức (có thể vẫn cần đến sự hướng dẫn của GV, tài liệu học tập, hoặc trợ giúp của HS khác)
- GV rời bỏ vị trí trung tâm, là người hướng dẫn, cố vấn, tổ chức các pha hoạt động cho HS tham gia tích cực vào các hoạt động ấy
- GV tích cực quan sát, theo dõi các hoạt động học tập của mỗi cá nhân HS và hoạt động làm việc của các nhóm
- GV giữ vai trò quan trọng trong việc hướng dẫn HS khám phá lại kiến thức toán học ( Nguyên tắc hướng dẫn )
- GV thường xuyên tạo cơ hội cho HS được trình bày, chia sẻ kinh nghiệm và chiến lược GQVĐ
3 Vấn đề truyền thụ kiến thức
- Kiến thức không còn được truyền thụ trực tiếp từ GV mà do
HS tự khám phá thông qua hoạt động THH (HS vẫn có thể cần sự hướng dẫn, giúp đỡ của GV-N guyên tắc hướng dẫn )
- Kiến thức được khám bởi HS có thể còn khiếm khuyết, thiếu sót, hoặc chỉ là những mảnh ghép rời rạc, chưa hoàn thiện, chưa đầy đủ như GV mong muốn nhưng chính lớp học và GV sẽ giúp HS hoàn thiện và hình thức thức hóa các kiến thức này
- Thúc đẩy văn hóa lắng nghe, quan sát và cải tiến các kỹ thuật toán học
- Dành nhiều thời gian nói về bối cảnh
- Nhấn mạnh vào sơ đồ và hình vẽ
- HS có thể đảm nhận phần thảo luận dưới sự điều khiển, tổ chức của GV và có nhiều cơ hội làm việc nhóm, tham gia thuyết trình, phản biện và đánh giá,…
- HS có nhiều cơ hội thể hiện năng lực GQVĐ
5 Vấn đề kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp sự đánh giá của GV và tự đánh giá của HS
- GV tạo cơ hội cho HS đánh giá lẫn nhau
- Coi trọng các sản phẩm của HS, có thể sử dụng sản phẩm của
HS ở một khâu nhất định của quá trình học tập (như hoạt động nhóm, thảo luận, luyện tập)
Hình 1.3 Mô tả một số hoạt động trong lớp học RME (nguồn https://rme.org.uk)
1.5.3 Cách tiếp cận RME được hiểu trong luận án
Một số giải pháp GD đã được đưa ra để làm thế nào HS có thể tiếp thu toán học một cách nhất quán Freudenthal khẳng định rằng HS tiếp thu toán học bằng cách giải quyết các vấn đề trong “thế giới thực” và cấu hình lại sự hiểu biết toán học của họ với sự hỗ trợ của GV (Freudenthal, H., 1991, như đã trích dẫn trong Tong và cộng sự, 2021)
Sử dụng CNTT trong dạy học môn Toán theo tiếp cận RME
1.6.1 Quan niệm về việc sử dụng CNTT trong dạy học toán theo RME
Ngày nay, máy tính, kết nối mạng và CNTT đang trở nên dần phổ biến hơn bao giờ hết trong các trường học HS sử dụng công nghệ bên ngoài trường học thường xuyên hơn nhiều so với ở trường HS đã quen thuộc với khái niệm đa phương tiện, điện toán đám mây, thiết bị di động và mạng xã hội, không chỉ đơn giản vì những công nghệ này cung cấp chức năng giao tiếp, mà vì chúng giúp họ giải quyết vấn đề và phân tích thông tin ở cấp độ cá nhân Các trường học nên nhìn thấy lợi ích GD của những công nghệ này trái ngược với việc chúng bị coi là rào cản đối với việc học Việc sử dụng công nghệ hợp lý có thể nâng cao động lực học tập của HS và giúp họ vượt qua những thách thức trong học tập Học tập khoa học không phải là ghi nhớ và truy xuất thông tin
Chúng tôi quan niệm rằng, HS nên có đủ cơ hội để thực hành các kĩ năng tìm hiểu của mình để tiến hành các cuộc điều tra liên quan đến cuộc sống thực, tham gia vào quá trình tìm hiểu và sử dụng công nghệ để tạo điều kiện cho các hoạt động khoa học Như vậy việc sử dụng công nghệ kết hợp trong dạy học toán là một giải pháp nên được quan tâm sớm Theo đó, trong dạy học theo tiếp cận RME, CNTT nên được xem là phương tiện hỗ trợ GV trong việc thiết kế các tình huống học tập thông qua MHTH Hơn nữa, việc sử dụng CNTT cần xây dựng được môi trường học tập năng động, có khả năng kích thích sự chủ động, tích cực của người học, từ đó tạo cho HS cơ hội được trải nghiệm và khám phá các kiến thức toán học
1.6.2 Vấn đề sử dụng phần mềm động GeoGebra trong dạy học môn Toán theo tiếp cận RME
1.6.2.1 Sơ lược về phần mềm GeoGebra
GeoGebra được tạo ra vào năm 2001 bởi Markus Hohenwarter tại Đại học Salzburg
Kể từ đó Markus và một nhóm các nhà phát triển đã biến chương trình này thành một trong những chương trình máy tính sư phạm hàng đầu cho GD toán học trên toàn thế giới Đây là một dự án mã nguồn mở, đa nền tảng, miễn phí cho mục đích GD
GeoGebra có thể được mô tả tốt nhất như một phòng thí nghiệm toán học Nó xử lí tốt các vấn đề liên quan đến hình học động, đồ thị, bảng tính, thống kê, hồi quy, đại số, ma trận, số phức, phương trình vi phân, lập trình, v.v Các thành phần khác nhau hoạt động cùng nhau một cách năng động và trực quan Bảng tính có thể chứa cả số và đối tượng như đường, điểm và vòng tròn Các biểu diễn đại số có thể trở nên có tính chất “động” và có thể được kết nối với cả thanh trượt và các phần tử hình học Việc xây dựng mô hình tình huống, sau đó đo lường và phân tích nó trực tiếp trong mô hình GeoGebra ngay từ đầu đã được xây dựng để hỗ trợ nhiều cách biểu diễn các đối tượng và khái niệm toán học Có thể nói GeoGebra là một môi trường đặc biệt phù hợp với công việc điều tra, đủ dễ để sử dụng ở các lớp thấp (tiểu học, trung học cơ sở) nhưng cũng đủ mạnh để trở thành công cụ hữu ích cho HS ở THPT hay sinh viên đại học GeoGebra được xem là miễn phí, thân thiện với người dùng và hữu ích trong GD toán học Để có những hiểu biết sâu thêm về GeoGebra, chúng ta có thể truy cập tại một số địa chỉ: http://forum.geogebra.org, http://tube.geogebra.org, http://wiki.geogebra.org/en/Manual, http://wiki.geogebra.org/en/Tutorials 1.6.2.2 Sử dụng phần mềm động GeoGebra trong dạy học Toán theo tiếp cận RME
GeoGebra có thể minh họa tốt các khái niệm và quy trình toán học thông qua hình ảnh và đồ thị, giúp HS nắm vững và hiểu rõ các khái niệm và quy trình liên quan đến hàm số và giới hạn Bên cạnh đó, phần mềm này được xem khá thân thiện với người dùng và có thể giảm bớt gánh nặng cho GV trong việc giải thích các hàm số Mặc dù việc sử dụng GeoGebra tốn nhiều thời gian, nhưng việc giảng dạy bằng cách sử dụng phần mềm này có thể làm cho quá trình học tập của HS ngày càng chủ động hơn Hơn nữa, học toán với sự trợ giúp của GeoGebra cho phép tương tác tích cực giữa GV và HS (một nguyên tắc rất đặc trưng của RME)
Một số nghiên cứu về việc tích hợp GeoGebra trong dạy học một số nội dung của Giải tích đã tìm thấy những tác động tích cực đối với kết quả học tập của HS (Nobret và cộng sự, 2016; Ocal, M F., 2017; Preiner, J., 2008) Nghiên cứu của Nguyễn Phú Lộc, Nguyễn Văn Hồng và Trương Hoàng Vinh (2021) cho thấy GeoGebra có thể hỗ trợ tích cực GV trong việc dạy học một số nội dung của nguyên hàm và tích phân; góp phần phát triển năng lực MHH toán học cho HS THPT thông qua giải quyết các bài toán thực tế Đặc biệt, kết quả trong các nghiên cứu của Tamam và Dasari (2021) đã chỉ ra rằng, việc sử dụng GeoGebra trong học toán có một số tác dụng tích cực, bao gồm: (1) GeoGebra là một công cụ tuyệt vời để nâng cao chất lượng học tập, đặc biệt là để khám phá, hình dung và xây dựng khái niệm toán học; (2) Nó nâng cao khả năng toán học của HS như khả năng chứng minh toán học, khả năng suy luận toán học và khả năng giải quyết vấn đề toán học, và (3) GeoGebra thực sự hữu ích cho cả HS và GV, nó dễ sử dụng và có thể dễ dàng truy cập từ bất cứ đâu và bất cứ lúc nào.
Vài nét về lịch sử hình thành và vai trò của Giải tích
Giải tích là một nhánh của toán học tập trung vào các giới hạn, hàm số, đạo hàm, nguyên hàm (tích phân không xác định), tích phân và chuỗi vô hạn Môn học này cấu thành một phần quan trọng của toán học và nguồn cung cấp lí thuyết cho nhiều phương trình mô tả vật lí và cơ học
Nguồn gốc của Giải tích có niên đại ít nhất 2500 năm từ thời Hy Lạp cổ đại, những người đã tìm ra diện tích bằng cách sử dụng “phương pháp vét cạn” Họ biết cách tìm diện tích A của một đa giác bất kỳ bằng cách chia nó thành các hình tam giác như trong Hình 1.4 và cộng diện tích của các hình tam giác này
Hình 1.4 Mô tả tính diện tích của đa giác thông qua diện tích của các tam giác
Việc tìm diện tích của một hình cong là một bài toán khó hơn nhiều Phương pháp
“vét cạn” của người Hy Lạp là sử dụng các đa giác nội tiếp và ngoại tiếp quanh hình đó rồi để số cạnh của đa giác tăng lên Hình 1.5 minh họa quá trình này cho trường hợp đặc biệt của đường tròn có các đa giác đều nội tiếp
Hình 1.5 Mô phỏng tính diện tích hình tròn bằng phương pháp “vét cạn”
Gọi A n là diện tích của đa giác nội tiếp có n cạnh Khi n tăng, dường như A n ngày càng tiến gần đến diện tích hình tròn Chúng ta nói rằng diện tích hình tròn là giới hạn diện tích của các đa giác nội tiếp và chúng ta viết lim n
= →+ Bằng cách suy luận gián tiếp, Eudoxus (thế kỷ thứ năm trước Công nguyên) đã sử dụng phép “vét cạn” để chứng minh công thức quen thuộc về diện tích hình tròn: A = r 2
Năm 1687, với sự thúc giục của nhà thiên văn học Halley, Newton mới xuất bản Principia Mathematica Trong tác phẩm này, chuyên luận khoa học vĩ đại nhất từng được viết, Newton đã đưa ra phiên bản giải tích của mình và sử dụng nó để nghiên cứu cơ học, động lực học chất lỏng và chuyển động sóng cũng như giải thích chuyển động của các hành tinh và sao chổi Như đã nói, sự khởi đầu của Giải tích được tìm thấy trong các phép tính diện tích và thể tích của các học giả Hy Lạp cổ đại như như Eudoxus và Archimedes Mặc dù các khía cạnh của ý tưởng về giới hạn đều ẩn chứa trong “phương pháp vét cạn” của họ, nhưng Eudoxus và Archimedes chưa bao giờ trình bày rõ ràng khái niệm về giới hạn Tương tự như vậy, các nhà toán học như Cavalieri, Fermat và Barrow, những người tiền thân trực tiếp của Newton trong sự phát triển của Giải tích, đã không thực sự sử dụng giới hạn Isaac Newton là người đầu tiên nói rõ ràng về giới hạn Ông ấy cho rằng giới hạn là khái niệm cơ bản trong Giải tích, các nhà toán học sau này như Cauchy đã làm rõ ý tưởng của ông về giới hạn
Bài toán tiếp tuyến và bài toán tìm vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng đã làm nảy sinh một nhánh mới của Giải tích gọi là phép tính vi phân, nó chỉ được phát minh ra hơn 2000 năm sau phép tính tích phân Ý tưởng chính đằng sau phép tính vi phân là của nhà toán học người Pháp Pierre Fermat (1601-1665) và được phát triển bởi các nhà toán học người Anh John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) và Isaac Newton (1642-1727) và nhà toán học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716)
Ngày nay Giải tích không chỉ được sử dụng trong khoa học vật lý mà còn trong kinh doanh, kinh tế, khoa học đời sống và khoa học xã hội-bất kỳ ngành học nào tìm cách hiểu các hiện tượng động Tính chất “động” là một đặc trưng rất cơ bản được học trong Giải tích Với đặc điểm đặc biệt này, Giải tích trở nên rất hữu ích trong việc giải quyết các vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống con người Đó là bàn đạp để nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực toán học cao cấp Giải tích là một phần quan trọng của nhiều lĩnh vực khoa học, chẳng hạn như Hóa học, Sinh học, Vật lí, Kinh tế, Đồ họa máy tính, Kỹ thuật, Tin học, Thống kê, Kinh tế, Thiên văn học, Y học, Nông nghiệp v.v Giải tích được sử dụng trong nghiên cứu về nhiều ý tưởng vật lí, bao gồm những ý tưởng liên quan đến nhiệt độ, âm thanh, ánh sáng, điện, chuyển động, âm học, thiên văn học, động lực học, thuyết tương đối của Einstein và thuyết điện từ Giải tích thường được sử dụng trong Hóa học để dự đoán những thứ như tốc độ phân rã phóng xạ và tốc độ phản ứng hóa học Nó là một thành phần quan trọng trong tính toán tỉ lệ sinh và tử trong Sinh học Khái niệm này được sử dụng trong Kinh tế học để xác định chi phí cận biên và doanh thu cận biên Đồ họa máy tính sử dụng hiểu biết về Giải tích để dò tia và ánh sáng Ngoài ra, Giải tích là một thành phần không thể thiếu của lĩnh vực khoa học và công nghệ máy tính, được sử dụng để phát triển trí tuệ nhân tạo, là trí thông minh được đại diện bởi một thực thể nhân tạo (Fatimah, S., 2019).
Quan điểm về Giải tích và vị trí của Giải tích ở trường THPT
1.8.1 Quan điểm về Giải tích ở trường THPT
Cùng với Đại số, Giải tích là một trong hai nội dung chính của chương trình Toán ở THPT Học Giải tích là điều kiện tiên quyết để HS có thể tiếp tục tham gia các môn học trong chương trình đại học, cao đẳng như Giải tích hiện đại, phương trình vi phân, thống kê toán học và các lĩnh vực ứng dụng khác liên quan đến toán học Vì vậy dạy học Giải tích ở THPT chiếm một vị trí quan trọng, cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu về các khái niệm quan trọng như Giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm (tích phân không xác định) và tích phân (xác định) Dưới đây là những mô tả cụ thể
Giới hạn là một nội dung cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học của phổ thông nói riêng Nội dung này không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đối tượng hàm số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong lí thuyết vi phân hàm, lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn, v.v ngoài ra giới hạn này có nhiều ứng dụng về mặt lí thuyết cũng như thực tiễn Trên cơ sở lí thuyết của nội dung này, ta có thể giải quyết nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Hình học, Vật lí, v.v
Có thể nói Giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở trường phổ thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của Giải tích toán học là phép tính đạo hàm và phép tính tích phân Giới hạn còn được áp dụng như một phương pháp để giải một số dạng toán như: tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, tìm tiệm cận của đồ thị hàm số, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức, xét sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình, v.v Mặc dù vậy, giới hạn là một nội dung khó của Giải tích, có tính trừu tượng cao, đặc biệt là các khái niệm về giới hạn (giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số) Thời lượng dạy học ở các nhà trường phổ thông lại có hạn, do vậy việc yêu cầu HS phải hiểu hiểu thấu đáo mọi vấn đề là không thể Trên tinh thần tinh giản những kiến thức nặng về tính toán, nội dung giới hạn trong CT GDPT 2018 môn Toán được cung cấp ở mức độ vừa phải nhưng đầy đủ và có hệ thống Mặc dù vẫn có sự khác nhau nhất định trên con đường tiếp cận bài học và hình thành tri thức mới giữa các bộ SGK, nhưng về cơ bản, việc mô tả các khái niệm về: giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số cùng một số khái niệm liên quan khác trong các bộ SGK Toán theo CT 2018 là hầu như không thay đổi nhiều so với
CT 2006 Sau đây là những mô tả cụ thể về những kiến thức và kĩ năng cần đạt của nội dung giới hạn trong chương trình GDPT 2018 môn Toán: a) Giới hạn dãy số
- Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số;
- Giải thích được một số giới hạn cơ bản;
- Vận dụng được các phép toán giới hạn dãy số để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản;
- Tính được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn b) Giới hạn của hàm số
- Nhận biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn hữu hạn một phía của hàm số tại một điểm
- Nhận biết được khái niệm giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm và mô tả được một số giới hạn cơ bản
- Tính được một số giới hạn hàm số bằng cách vận dụng các phép toán trên giới hạn hàm số
- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn hàm số c) Hàm số liên tục
- Nhận dạng được hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, hoặc trên một đoạn
- Nhận dạng được tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
- Nhận biết được tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản (như hàm đa thức, hàm phân thức, hàm căn thức, hàm lượng giác) trên tập xác định của chúng
+) Kĩ năng cần đạt: Xác định được tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản (như hàm đa thức, hàm phân thức, hàm căn thức, hàm lượng giác) trên tập xác định của chúng 1.8.1.2 Đạo hàm
Trong toán học, phép tính vi phân là một lĩnh vực quan trọng của Giải tích, nghiên cứu tốc độ thay đổi của một đại lượng nhất định Đối tượng nghiên cứu chính của phép tính vi phân là đạo hàm của hàm số, các khái niệm liên quan như vi phân và ứng dụng của chúng Đạo hàm của hàm số tại một điểm (đầu vào) mô tả cho tốc độ thay đổi của hàm số gần với giá trị đầu vào đó Quá trình tìm đạo hàm được gọi là vi phân So với chương trình cũ (2006), yếu tố vi phân đã không còn được đề cập trong các bộ SGK được biên soạn theo chương trình mới (2018) Về mặt hình học, đạo hàm của hàm số tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm đó (giả sử đạo hàm tồn tại và được xác định tại điểm đó) Do tầm quan trọng của đạo hàm nên nội dung này đã được phân chia thành nhiều đơn vị kiến thức khác nhau, nhằm cung cấp cho HS những hiểu biết cơ bản nhất, làm nền tảng để HS có thể tiếp tục học tập và nghiên cứu sâu hơn ở các học phần liên quan hoặc các chuyên ngành hẹp ở bậc Đại học Ngoài việc trang bị những kiến thức và khái niệm cơ bản nhất, CT GDPT 2018 môn Toán còn chú trọng tới sự liên hệ kiến thức toán học vào thực tiễn, trong đó vai trò của đạo hàm được thể hiện rõ nét qua các bài toán tối ưu trong kinh tế; bài toán chi phí cận biên, doanh thu cận biên trong sản xuất, kinh doanh Yêu cầu cần đạt về kiến thức và kĩ năng liên quan đến nội dung đạo hàm được mô tả chi tiết nhu sau: a) Khái niệm đạo hàm Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Nhận biết được một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm như: xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều, xác định tốc độ thay đổi của nhiệt độ
- Nhận biết được định nghĩa đạo hàm Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa
- Nhận biết được ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Nhận biết được số e thông qua bài toán mô hình hoá lãi suất ngân hàng
+) Kĩ năng cần đạt: Thiết lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị b) Các quy tắc tính đạo hàm:
- Nắm được công thức tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản
- Nắm được các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số và đạo hàm của hàm hợp
- Tính được đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản (như hàm đa thức, hàm căn thức đơn giản, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lôgarit)
- Sử dụng được các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số và đạo hàm của hàm hợp
- Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với đạo hàm (ví dụ: xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều, ) c) Đạo hàm cấp hai
+) Kiến thức cần đạt: Nhận biết được khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số +) Kĩ năng cần đạt:
- Tính được đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn giản
- Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với đạo hàm cấp hai (ví dụ: xác định gia tốc từ đồ thị vận tốc theo thời gian của một chuyển động không đều, )
Cùng với phép tính vi phân, phép tính tích phân trở thành một nhánh quan trọng trong Giải tích toán học Nếu như phép tính vi phân tập trung vào tốc độ thay đổi (chẳng hạn như độ dốc của các đường tiếp tuyến và bài toán vận tốc tức thời) thì phép tính tích phân nghiên cứu “sự chồng chất” của các kích thước hoặc các giá trị dẫn đến các bài toán tính độ dài của một đường cong, diện tích của một một miền phẳng hoặc một mặt cong và thể tích của một vật thể trong không gian Trong CT Toán cấp THPT, HS được học về tích phân bắt đầu bằng khái niệm nguyên hàm (tích phân không xác định) và các tính chất cơ bản của nó Từ đó, khái niệm tích phân (xác định) của một hàm số được định nghĩa thông qua một nguyên hàm của hàm số đó Tuy nhiên, đây là quan điểm rất khác so với trật tự thông thường của toán học, bởi lẽ định nghĩa mà SGK sử dụng khi nói về khái niệm tích phân (xác định) là một định lí cơ bản của toán học, thể hiện mối tương quan chặt chẽ giữa hai ngành toán học vi phân và tích phân Điều này sẽ được tác giả bình luận thêm trong Mục 1.8.3 của Chương này Dù được định nghĩa theo cách nào thì những hiểu biết về giới hạn cũng là nền tảng cơ bản để HS có thể lĩnh hội được các khái niệm quan trọng của Giải tích a Nguyên hàm Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
- Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số
- Giải thích được tính chất cơ bản của nguyên hàm
+) Kĩ năng cần đạt: Xác định được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp b Tích phân Ứng dụng hình học của tích phân
- Nhận biết được định nghĩa và các tính chất của tích phân
- Tính được tích phân trong những trường hợp đơn giản
- Sử dụng được tích phân để tính diện tích của một số hình phẳng, thể tích của một số hình khối
- Vận dụng được tích phân để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn Ngoài một số yêu cầu cơ bản, tương tự như CT 2006, việc sử dụng kiến thức về nguyên hàm và tích phân vào việc giải quyết một số vấn đề thực tiễn đã được CT 2018 quán triệt như một yêu cầu cơ bản mà HS cần phải có
Có thể nói, Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “ tĩnh tại”, còn khi học về Giải tích HS được vận dụng kiểu tư duy “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên” mà khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với sự “vô hạn”, “ liên tục”, “biến thiên” đó Chính vì lẽ đó, các nội dung của Giải tích hướng tới việc trang bị cho HS lối tư duy khá khác biệt mà HS đã có trước đó Giúp HS có thể nắm bắt và giải quyết được những bài toán mà tư duy thông thường của Đại số tỏ ra kém hiệu quả
1.8.2 Vị trí và mối quan hệ giữa các tri thức Giải tích ở trường THPT
Một số vấn đề về dạy học Giải tích ở trường THPT
1.9.1 Khảo sát thực trạng của việc dạy học Giải tích của GV tại một số trường THPT hiện nay
+) Khách thể khảo sát: 165 GV toán THPT của 9 tỉnh, bao gồm: Thanh Hóa (102 GV), Bắc Ninh (19 GV), Hà Nam (07 GV), Hà Nội (19 GV), Hải Dương (2 GV), Hưng Yên (2 GV), Nam Định (2 GV), Thái Bình (7 GV), Thái Nguyên (5 GV) (chi tiết xem Phụ lục
11b) Số năm kinh nghiệm của các GV như sau:
Số năm kinh nghiệm Số lượng GV
+) Thời điểm khảo sát: Đợt 1: 02 tuần cuối của tháng 10, 02 tuần đầu của tháng 11 của năm học 2021-2022; Đợt 2: 03 tuần đầu của tháng 10 của năm học 2022-2023
Khảo sát thực trạng của việc dạy học Giải tích của GV THPT nhằm mục đích giúp tác giả có thêm những thông tin về: (1) Các phương pháp dạy học mà GV toán hiện nay đã và đang sử dụng trong hoạt động dạy học Giải tích cho HS THPT; (2) Những khó khăn và thách thức khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng tiếp cận năng lực người học; (3) Những khó khăn của GV khi dạy học khái niệm, định lí liên quan đến nội dung Giải tích cho HS THPT
Những thông tin thu thập được từ việc khảo sát cùng với cơ sở lí luận sẽ là tiền đề cho tác giả đề xuất các biện pháp sư phạm phù hợp, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán nói chung và dạy học Giải tích nói riêng
+) Phương pháp khảo sát: (1) Sử dụng phiếu khảo sát để điều tra về thực trạng dạy học Giải tích của GV toán ở trường THPT; (2) Phỏng vấn một số GV Toán THPT về cách dạy học một số khái niệm, định lí liên quan đến Giải tích
+) Nội dung phiếu khảo sát: (xem phần Phụ lục 1)
+) Kết quả khảo sát: Thực trạng của việc dạy học Giải tích cho HS THPT được chúng tôi thể hiện qua 2 nội dung: (1) Phương pháp/kĩ thuât dạy học mà GV Toán đang sử dụng trong dạy học Giải tích (Mục 1.9.1.1) và (2) Khó khăn của GV trong dạy học Giới hạn, đạo hàm và tích phân (Mục 1.9.1.2)
1.9.1.1 Phương pháp/kĩ thuật dạy học được các GV Toán sử dụng trong dạy học Giải tích a) Dạy học nội dung giới hạn
Hầu hết các định lí về giới hạn trong SGK toán 11 (theo chương trình 2006, 2018) đều được GV cung cấp cho HS như những kết quả đã được thừa nhận mà không cần chứng minh Do vậy trong mục này tác giả chỉ trình bày về thực trạng dạy học các khái niệm liên quan đến giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục Các phương pháp/kĩ thuật dạy học được chúng tôi tổng hợp trong Bảng 1.3 dưới đây:
Tình huống dạy học Phương pháp/kĩ thuật dạy học Số lượng GV có sử dụng Tỉ lệ (%)
1 Dạy học khái niệm giới hạn của dãy số (giới hạn hữu hạn của dãy số, giới hạn vô cực)
Nêu và giải quyết vấn đề 78 47,27
2 Dạy học khái niệm giới hạn của hàm số (giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực)
Gợi mở, nêu vấn đề 23 13,94
Các phương pháp/kĩ thuật dạy học khác 12 7,27
3 Dạy học khái niệm hàm số liên tục (hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn)
Thuyết trình, kết hợp vấn đáp 21 12,73
Các phương pháp/kĩ thuật dạy học khác 7 4,24
Bảng 1.3 Các phương pháp/kĩ thuật được GV sử dụng khi dạy học nội dung Giới hạn Giới hạn là một khái niệm rất trừu tượng, có nhiều cách tiếp cận khi dạy học khái niệm này cho HS THPT Trong thực tế giảng dạy, các GV toán đã vận dụng nhiều phương pháp, kĩ thuật dạy học khác nhau, bao gồm cả phương pháp dạy học hiện đại (nêu và giải quyết vấn đề, dạy học trực quan, dạy học theo nhóm, ) và phương pháp dạy học truyền thống như thuyết trình, diễn giải Theo đó, các GV đều cố gắng truyền đạt kiến thức cho
HS dưới nhiều hình thức khác nhau, giúp HS nhận ra được bản chất của các khái niệm liên quan đến giới hạn của dãy số Tuy nhiên, có tới 150 (chiếm tỉ lệ 90,90%) GV cho rằng nhiều HS chưa thực sự hiểu rõ về khái niệm giới hạn của dãy số, các em còn tỏ ra mơ hồ về những “thuật ngữ” mới (chẳng hạn như “bé tùy ý” hay “kể từ một số hạng nào đó trở đi”) được dùng trong khái niệm này Việc không hiểu rõ về những “kí hiệu” và “thuật ngữ” mới này làm cho việc chép lại định nghĩa trong SGK chỉ là hình thức mà HS chưa thực sự hiểu về nó Do vậy, khi trả lời các câu hỏi lí thuyết, đa số HS đều tỏ ra lúng túng hoặc chưa tự tin về câu trả lời của mình
Cũng giống như trường hợp dạy học khái niệm liên quan đến giới hạn dãy số, GV hiện nay có nhiều cách tiếp cận trong dạy học khái niệm liên quan đến giới hạn của hàm số Tuy nhiên, kết quả mà tác giả tổng hợp được sau khảo sát cho thấy, nhiều GV vẫn lựa chọn cách tiếp cận truyền thống (thuyết trình) để truyền đạt kiến thức Trong số 165 GV được khảo sát có 101 (chiếm tỉ lệ 61,21%) GV sử dụng phương pháp này Trong khi chỉ có 23 (13,94%) GV sử dụng phương pháp “nêu và giải quyết vấn đề” trong dạy học nội dung này Điều đó cho thấy đa số GV vẫn chưa thực sự chú ý đến việc tìm tòi, hoặc thiết kế các tình huống có vấn đề, có khả năng thách thức với người học, gợi ra nhu cầu cần khám phá kiến thức Theo cách đó, sự tương tác giữa GV với HS và giữa các HS với nhau sẽ rất ít hoặc không có cơ hội được thực hiện Với những mục tiêu được thể hiện trong CT GDPT 2018 môn Toán, tất nhiên cách dạy học này cần phải được xem xét lại nhằm tăng cường sự chủ động, tích cực hơn của người học
Khi được hỏi về việc thiết kế tình huống khi dạy học khái niệm hàm số liên tục, một GV toán trường THPT Như Xuân 2-Thanh Hóa đã đề xuất tình huống dạy học sau đây:
Câu hỏi 1 Theo em bức ảnh nào xe có thể chạy thông suốt? a) b)
Hình 1.13 Cầu quay sông Hàn,Việt Nam (nguồn Internet) a) b) Hình 1.14 Hố tử thần xuất hiện ở thành phố Fukuoka-Nhật Bản (nguồn Internet)
Câu hỏi 2 Cho hai đồ thị hàm số, em hãy cho biết đồ thị nào được vẽ bằng một nét liền? a) b) Hình 1.15 Mô tả sự liên tục của hàm số tại một điểm dựa trên đồ thị
Câu hỏi 3 Em có thể đưa thêm một số ví dụ những hàm số đã học có đồ thị là một đường liền nét trên tập xác định của nó hoặc đồ thị là một đường không liền nét trên tập xác định của nó?
GV mong chờ các câu trả lời của HS:
- Hình 1.13b và Hình 1.14b các phương tiện đường bộ có thể chạy thông suốt; ở Hình 1.13a và Hình 1.14a, vì “đường đứt đoạn” nên các phương tiện đường bộ không lưu thông được
- Đồ thị ở Hình 1.15a là đường “không liền nét” mà bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x 0 , trong khi đồ thị ở Hình 1.15b là một đường liền nét
Nhiều GV tin rằng, cách tiếp cận này (Dạy học trực quan) sẽ gây sự chú ý, tò mò của
HS, tác động trực tiếp vào tâm lí thích khám phá của HS trước một khái niệm mới Thông qua hình ảnh trực quan, HS có cơ hội được quan sát, phán đoán và đưa ra câu trả lời nhờ trực giác và kinh nghiệm của cá nhân Đây là một cách dạy học tích cực có thể thúc đẩy động cơ học tập, tạo ra sự hứng thú cho người học HS có cơ hội được trình bày quan điểm cá nhân trong mỗi câu trả lời của mình
Hình Ý kiến của một GV toán về dạy học khái niệm hàm số liên tục
ĐỀ XUẤT CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG
Định hướng xây dựng biện pháp
Trên cơ sở lí thuyết và thực tiễn đã được đề cập trong Chương 1, trong Chương 2, tác giả đề xuất một số biện pháp nhằm hướng dẫn GV và HS cách thức dạy và học Giải tích theo tiếp cận RME Mỗi biện pháp được đề xuất cần hướng đến việc nâng cao sự hứng thú học tập của HS, nâng cao sự hiểu biết toán học của người học trong học tập Giải tích không chỉ thông qua học khái niệm mà ngay cả trong việc giải quyết các bài toán gắn với bối cảnh
Các biện pháp mà chúng tôi đề xuất dựa trên quan điểm của tác giả về tiếp cận RME, theo đó các pha dạy học được đề xuất đều dựa trên 6 nguyên tắc dạy học theo RME của Van den Heuvel-Panhuizen và Drijvers (2014) và 5 đặc điểm cơ bản của RME Sáu nguyên tắc dạy và học bao gồm: (1) Nguyên tắc hoạt động; (2) Nguyên tắc thực tế; (3) Nguyên tắc cấp độ; (4) Nguyên tắc đan xen; (5) Nguyên tắc tương tác; (6) Nguyên tắc hướng dẫn
Năm đặc điểm cơ bản của RME gồm có: (1) Sử dụng bối cảnh; (2) Sử dụng mô hình; (3)
Sử dụng sản phẩm cho HS xây dựng, đóng góp; (4) Sự tương tác trong quá trình dạy học;
(5) Sự đan xen giữa các chủ đề, nội dung toán học
Bên cạnh đó, các biện pháp mà chúng tôi sử dụng cần đảm bảo sự phù hợp với yêu cầu đổi mới căn bản toàn diện của nền GD Việt Nam trong bối cảnh CT mới và có sự liên hệ chặt chẽ với mô tả trong CT GDPT 2018 môn Toán Theo đó, các pha dạy học cần lấy người học làm trung tâm, tạo điều kiện để HS phát huy tính chủ động và tích cực trong học tập.
Biện pháp 1: Sử dụng các vấn đề gắn với bối cảnh theo tiếp cận Giáo dục Toán thực để HS khám phá tri thức Giải tích
2.2.1 Cơ sở đề xuất biện pháp
Lave (1988) cho rằng mọi bối cảnh cảnh cụ thể đều có khả năng quyết định việc lựa chọn các thủ tục toán học Một trong những đặc điểm chính của các vấn đề gắn với bối cảnh là khả năng của nó đưa ra một loạt các giải thích toán học và chiến lược giải pháp Nếu như trước đây các vấn đề này chủ yếu được hiểu là có ứng dụng thực tiễn, thường là hoạt động củng cố trong dạy học thì trong lý thuyết RME nó có thể được sử dụng trong tất cả các hoạt động dạy học Cũng theo lí thuyết này, HS tự xây dựng chiến lược giải quyết vấn đề từ đó hình thành nên tri thức cần lĩnh hội Với việc lấy “bối cảnh thực” làm điểm xuất phát cho quá trình học tập, HS có cơ hội được trải nghiệm, được làm toán theo cách riêng của mình, thông qua các “mô hình tình huống”
RME gợi ý rằng để có giá trị, việc học toán nên được kết nối với trải nghiệm thực tế của cá nhân người học HS nên học toán từ các “bối cảnh” mà các em đã trải nghiệm, vì điều này cho phép các em xây dựng sự hiểu biết của riêng mình về các tình huống có vấn đề hơn là bắt đầu với các thuật toán và công thức có sẵn Quá trình học toán trong RME có thể được mô tả như một hiện tượng của tảng băng chìm bên dưới (Webb và cộng sự, 2011):
Hình 2.1 Frans Moerlands (Webb và cộng sự, 2011) Cần có một nền tảng rất vững chắc để hỗ trợ phần trên của tảng băng trôi nổi trên mặt biển Liên quan đến hiện tượng này, các khái niệm toán học hình thức và trừu tượng nằm ở trên cùng của tảng băng trôi Các nhà GD hoặc nhà nghiên cứu toán học cần cung cấp một nền tảng vững chắc và “một quỹ đạo/lộ trình” tốt nhất để HS chạm tới đỉnh của tảng băng chìm Để làm như vậy, ngay từ đầu bài học, HS cần được cung cấp các vấn đề gắn với bối cảnh có thể giải quyết bằng kiến thức không chính thức của mình
Thay vì được tiếp nhận những kiến thức toán học có sẵn theo cách dạy truyền thống, theo tiếp cận RME thì HS có cơ hội được tham gia vào quá trình tự khám phá lại bằng chính các hoạt động toán học (THH) của mình Qua quá trình HS tự khám phá, các kiến thức dần dần được hé lộ, ban đầu có thể là những dấu hiệu rời rạc bên ngoài chưa có sự kết nối mang tính bản chất, dần dần các dấu hiệu, tính chất này được tổng quát hóa và khái quát hóa thành toán học hình thức Rõ ràng với HS, đây là việc học tập có ý nghĩa Các vấn đề gắn với bối cảnh được thiết kế trong luận án này dựa trên đặc trưng khám phá có hướng dẫn và mô hình tự phát triển trong lí thuyết RME Theo Gravemeijer (2004), nguyên tắc khám phá lại có hướng dẫn tạo cơ hội cho HS coi kiến thức mà họ thu được là kiến thức của chính họ Do đó, khám phá lại nhằm mục đích làm cho HS cảm thấy có trách nhiệm với toán học mà các em đã học
2.2.2 Mục đích của biện pháp
Biện pháp đề ra nhằm giúp HS: (1) Nắm rõ bản chất của các tri thức Giải tích, bao gồm khái niệm, định lí và qui tắc; (2) Nâng cao sự hiểu biết toán học của HS; (3) Cải thiện khả năng suy luận toán học; (4) Trở thành những chủ thể tích cực thông qua các hoạt động tương tác giữa GV với HS, giữa các HS với nhau trong các pha dạy học; (5) Rèn luyện kĩ năng khái quát hóa, tổng quát hóa tri thức toán học từ một tình huống cụ thể sang một lớp đối tượng rộng hơn
Tóm lại, việc sử dụng vấn đề gắn với bối cảnh nhằm góp phần tạo ra môi trường học tập có ý nghĩa, đặt HS vào vị trí trung tâm của hoạt động dạy và học Theo đó, các em trở thành những chủ thể tích cực trong cuộc thảo luận và chủ động trong việc khám phá lại tri thức toán học dưới sự hướng dẫn của GV, tài liệu học tập học Đồng thời, HS có thể nắm vững được bản chất của các khái niệm, định lý hay quy tắc mà chính hoạt động toán học của các em xây dựng nên (có thể vẫn cần sự điều chỉnh, can thiệp của GV)
2.2.3 Định hướng thực hiện biện pháp Để có thể tiến hành dạy học dựa trên vấn đề gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích theo tiếp cận RME, GV cần thực hiện theo qui trình 4 bước như Sơ đồ 2.1:
Sơ đồ 2.1 Qui trình thiết kế bài dạy có sử dụng vấn đề gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích theo tiếp cận RME
Bước 1 Lựa chọn tri thức Giải tích cần dạy học: Mỗi nội dung Giải tích ở THPT đều chứa đựng nhiều tri thức khác nhau bao gồm các khái niệm, định lí, quy tắc, công thức Việc lựa chọn tri thức nào để dạy học theo tiếp cận RME cần được GV cân nhắc và lựa chọn cẩn thận Trong luận án này, chúng tôi đề xuất một số tri thức Giải tích có thể được khám phá bởi HS thông qua việc sử dụng vấn đề gắn với bối cảnh:
Tri thức Giải tích Các bài toán có thể dẫn đến tri thức mới
1 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại một điểm cho trước
2 Bài toán tìm vận tốc tức thời của một vật (chất điểm) chuyển động thẳng
2 Khái niệm dãy số có giới hạn bằng 0 Nghịch lí zeno
3 Khái niệm hàm số có giới giới hạn hữu hạn Bài toán công suất lí tưởng
4 Khái niệm giới hạn một phía của hàm số
1 Bài toán định giá taxi theo số km đã đi
2 Bài toán giảm giá trong sản xuất, kinh doanh
3 Bài toán tính giá tiền điện thoại theo số phút gọi
5 Khái niệm hàm số liên tục
1 Bài toán định giá taxi theo số km đã đi
2 Bài toán giảm giá trong sản xuất, kinh doanh
3 Bài toán tính giá cước điện thoại theo số phút gọi
4 Bài toán tính giá tiền điện (hoặc tiền nước) cho một hộ gia đình (hoặc cơ sở sản xuất, kinh doanh theo số Kwh (tương ứng số m 3 ) mà họ đã sử dụng trong một tháng
5 Sự phụ thuộc của nhiệt độ theo từng thời điểm trong một ngày (24 giờ)
6 Mô tả số hàng còn tồn kho của một loại hàng hóa sau mỗi ngày trong 1 tuần
6 Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
1 Hiện tượng phân rã phóng xạ
2 Tốc độ giới hạn của một vật khi rơi tự do chịu sức cản của gió
Xác định sự phụ thuộc của quãng đường theo thời gian khi biết hàm vận tốc (hoặc hàm gia tốc) của chuyển động đó
8 Khái niệm tích phân xác định Diện tích của một hình thang cong
Bảng 2.1 Một số tri thức Giải tích và các tình huống tương ứng
Bước 2 Xác định mục tiêu dạy học
Việc xác định mục tiêu dạy học có ý nghĩa quan trọng trong hoạt động dạy học, là cơ sở để GV có thể lựa chọn hoặc thiết kế được các vấn đề gắn với bối cảnh một cách phù hợp Tuy nhiên, để làm tốt bước này, GV cần lượng trước được những khó khăn hoặc sai lầm của HS trong việc tiếp nhận tri thức (khái niệm, định lí, quy tắc) Giải tích mà GV định dạy Một số mục tiêu mà GV hướng tới, có thể bao gồm: (1) Hỗ trợ HS hiểu đúng công thức hoặc bản chất của khái niệm; (2) Giúp HS mô tả được chính xác tri thức cả bằng lời nói và bằng kí hiệu toán học; (3) Chỉ ra những sai lầm mà HS có thể gặp khi vận dụng khái niệm, định lí hay quy tắc; (4) Giúp HS có thể mô tả được khái niệm (nếu là dạy học khái niệm) theo nhiều cách khác nhau (hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, kí hiệu toán học,…) hoặc chỉ ra được tính đúng hoặc sai của định lí đảo (nếu là dạy học định lí); (5) Giúp HS hiểu đúng các thuật ngữ trừu tượng (nếu có) trong định nghĩa (mô tả cụ thể của khái niệm), định lí hay quy tắc
Bước 3 Thiết kế vấn đề gắn với bối cảnh
GV có thể tiến hành qua các thao tác sau:
1 Xây dựng kịch bản/nội dung của vấn đề gắn với bối cảnh: Các vấn đề gắn với bối cảnh mà GV thiết kế và lựa chọn để đưa vào thực giảng cần phải được diễn đạt một cách rõ ràng, logic, dễ hiểu, chính xác về mặt toán học Ngoài ra nội dung phải gần gũi và quen thuộc với suy nghĩ, kinh nghiệm hoặc trí tưởng tượng của HS (nguyên tắc thực tế), đồng thời phải chứa đựng tiềm năng dẫn đến tri thức toán học (theo dụng ý của GV) mà HS cần lĩnh hội Các vấn đề này có thể là những vấn đề xuất phát từ thực tế, thực tiễn hoặc trong khoa học, miễn là chúng có thật trong suy nghĩ và trí tưởng tượng của HS Thậm chí, có thể là những vấn đề “thuần túy toán học” phù hợp với hiểu biết, kinh nghiệm và kiến thức toán học đã biết của HS Các vấn đề này cần trao cho HS cơ hội có thể tham gia ngay vào việc khám phá các tri thức toán học (nguyên tắc hoạt động) dưới sự hướng dẫn của GV, tài liệu học tập hoặc của HS khác (nguyên tắc hướng dẫn)
2 Thiết kế PHT: Việc thiết kế PHT sẽ phụ thuộc vào nội dung và chủ đề dạy học
Các PHT được thiết kế nhằm hướng dẫn HS từng bước thực hiện các hoạt động toán học THH để khám phá kiến thức (khái niệm, định lí, qui tắc, ) PHT cần thể hiện rõ ràng nội dung của vấn đề gắn với bối cảnh Việc sử dụng các vấn đề gắn với bối cảnh làm điểm xuất phát của quá trình học tập là một đặc trưng cơ bản của việc thiết kế bài học theo RME nhằm mục đích như là một thông báo cho HS bắt đầu bước vào quá trình học tập Do vậy, các câu hỏi trên PHT cần được sắp xếp từ dễ đến khó (nguyên tắc mức độ), có khả năng tạo động cơ giải quyết vấn đề, có sự thách thức người học và chứa đựng vấn đề mà HS cần phải tìm hiểu và khám phá Khi giải quyết tất cả các câu hỏi, HS được mong đợi sẽ nhìn thấy một bức tranh tổng thể về vấn đề toán học đã nảy sinh, xuất phát từ việc quan sát, nhận xét, phỏng đoán ban đầu của mỗi cá nhân
3 Chuẩn bị thêm các gợi ý dưới dạng bảng câu hỏi: Đối với một số HS có năng lực toán học thấp, GV cần phải chuẩn bị thêm một hệ thống các câu hỏi gợi ý để giúp các em có thể tự tin hơn khi tham gia vào các hoạt động toán học Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh thêm rằng hệ thống các gợi ý này chỉ sử dụng khi có HS gặp khó khăn và cần đến sự hỗ trợ của GV
Bước 4 Thiết kế các pha dạy học theo tiếp cận RME
Sơ đồ 2.2 Mô hình các pha dạy học sử dụng vấn đề gắn với bối cảnh theo RME
Pha 1 Hiểu vấn đề gắn với bối cảnh: GV đề xuất vấn đề gắn với bối cảnh, có thể sử dụng sự hỗ trợ của các công cụ dạy học (PHT, bảng phụ, máy chiếu) HS: (1) Tìm hiểu, phân tích và thảo luận để hiểu thêm vấn đề; (2) Có thể đặt câu hỏi cho GV hoặc HS khác nếu gặp khó khăn trong cách hiểu hoặc tìm kiếm thông tin
Pha 2 Phản ánh và toán học hóa: Dựa trên những thông tin thu thập được, GV hướng dẫn HS tham gia các hoạt động toán học: THH hóa theo chiều ngang (sử dụng sơ đồ, hình vẽ, mô hình tình huống) và THH theo chiều dọc (sử dụng thuật toán, công thức, biến đổi biểu thức, suy luận toán học) Để pha này được thực hiện một cách hiệu quả, GV cho HS trả lời (làm việc cá nhân) các câu hỏi trên PHT đã được chuẩn bị trước đó, sau đó chuyển sang trao đổi và thảo luận trong nhóm Trong quá trình thực hiện các nhiệm vụ trên PHT, HS có thể đặt ra các câu hỏi cho HS khác trong nhóm hoặc GV GV lắng nghe, sẵn sàng chia sẻ và trợ giúp HS Trong suốt quá trình HS thực hiện các hoạt động toán học,
Biện pháp 2 Sử dụng các bài toán gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích theo tiếp cận Giáo dục Toán thực nhằm nâng cao sự hiểu biết toán học, đồng thời phát triển năng lực THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc cho HS THPT
2.3.1 Cơ sở đề xuất biện pháp
Như đã đề cập trong phần cơ sở lí luận và thực tiễn, chúng tôi cho rằng cần có sự cân bằng hơn giữa THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc (Quan điểm thực dụng) Việc hiểu và giải quyết các bài toán gắn với bối cảnh là cơ hội để HS có thể rèn luyện và phát triển cả hai kĩ năng THH này Dưới dưới góc độ sư phạm , một số năng lực toán học chung cũng có thể được rèn luyện thông qua các hoạt động giải quyết các bài toán gắn với bối cảnh Theo đó, những hiểu biết và khả năng lập luận toán học có thể được phát triển thêm thông qua việc kiểm tra tính hợp lý, tính phù hợp của các mô hình toán học Theo quan điểm văn hóa, việc xử lý các bài toán gắn với bối cảnh thực tế bằng toán học giúp học sinh hiểu được vai trò và ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó có cái nhìn toàn diện hơn về toán học Theo quan điểm tâm lý học , làm việc với các bài toán gắn với bối cảnh, đặc biệt là các bài toán gần gũi với cuộc sống thực của HS có thể giúp kích thích sự quan tâm, nâng cao sự hứng thú của HS đối với toán học, chứng minh sự liên hệ chặt chẽ nội dung toán học và cấu trúc nó theo cách thúc đẩy sự hiểu biết
Trong CT GDPT 2018 môn Toán, hai trong số các mục tiêu chính của giảng dạy toán học được thể hiện ở chỗ HS phải có khả năng phát triển các chiến lược giải quyết vấn đề và sử dụng các chiến lược này để giải quyết các vấn đề trong thế giới thực Ngoài ra, HS cần có khả năng phát triển các mô hình, liên kết các mô hình với các biểu thức bằng lời nói và biểu diễn toán học Điều này hoàn toàn có thể được thực hiện trong các lớp học được dạy theo RME, bởi lẽ lí thuyết này đề cao vai trò của việc sử dụng các sơ đồ và hình vẽ và các mô hình toán học do chính HS xây dựng
Căn cứ vào những phân tích nói trên, tác giả quan niệm các bài toán gắn với bối cảnh có một vai trò quan trọng trong dạy học toán học nói chung và dạy học Giải tích nói riêng Từ đó, chúng tôi để xuất biện pháp “Sử dụng các bài toán gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích theo tiếp cận Giáo dục toán thực” nhằm nâng cao sự hiểu biết toán học, phát triển năng lực THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc cho HS THPT
2.3.2 Mục đích của biện pháp
Việc đề xuất biện pháp nhằm hướng đến một số mục tiêu: (1) Cung cấp cho GV một cách tiếp cận mới trong dạy học Giải tích; (2) Thúc đẩy sự hiểu biết toán học của HS thông qua giải quyết vấn đề; (3) Giúp HS khắc phục một số khó khăn trong quá trình vận dụng các tri thức Giải tích; (4) Tạo cơ hội để HS rèn luyện, phát triển và hoàn thiện một số kĩ năng cần thiết liên quan đến cả hai hoạt động THH (THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc)
2.3.3 Định hướng thực hiện biện pháp
Việc sử dụng các bài toán gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích nên được thực hiện qua 6 pha như trong Sơ đồ 2.3 dưới đây:
Sơ đồ 2.3 Các pha dạy học có sử dụng bài toán gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích theo RME
Theo cách dạy truyền thống, hầu như các bài toán đưa vào thực giảng chủ yếu thực hiện qua hai pha (Pha 1 và Pha 3), trong khi các Pha 2, Pha 4, Pha 5 và Pha 6 ít được quan tâm và chú trọng Bởi lẽ, trong tiếp cận bài học theo phương pháp truyền thống (tiếp cận cơ học) người ta ít chú trọng sự tương tác giữa GV với HS cũng như giữa các HS với nhau
Pha 1 GV đề xuất bài toán gắn với bối cảnh: Xuất phát từ một tình huống trong thực tế hoặc trong nội bộ môn Toán, GV đề xuất một số bài toán gắn với bối cảnh Các bài toán đưa vào thực giảng cần phải phù hợp với điều kiện dạy học, đặc điểm lớp học (năng lực
HS, điều kiện cơ sở vật chất,…) và mục tiêu dạy học; chú ý đảm bảo tính vừa sức, gần gũi và quen thuộc với HS THPT Ngoài ra, GV cần chuẩn bị thêm PHT, bảng câu hỏi hoặc gợi ý có liên quan đến bài toán nhằm hỗ trợ HS trong việc thảo luận và giải quyết vấn đề Để có được những bài toán có bối cảnh phù hợp, GV cần có sự đầu tư nghiêm túc cả về thời gian và trí lực trong việc tìm hiểu, sưu tầm các ứng dụng thực tế (từ các nguồn tài liệu khác nhau) hoặc các bài toán trong chính nội bộ toán học có liên quan đến kiến thức Giải tích mà GV định giảng dạy
Pha 2 Hiểu bối cảnh của bài toán: Pha này được thực hiện nếu trong lớp có HS chưa hiểu bối cảnh của bài toán Trong trường hợp này, HS có thể đề xuất câu hỏi cho GV để sáng tỏ vấn đề hoặc có thể nhờ HS khác trong lớp hỗ trợ
Pha 3 Giải quyết bài toán gắn với bối cảnh
HS cần thực hiện 2 hoạt động:
Hoạt động 1 THH theo chiều ngang, bao gồm: (1) Thiết lập vấn đề cần giải quyết (chuyển hóa nhiệm vụ thực tế thành nhiệm vụ toán học); (2) Lựa chọn mô hình (làm rõ mối quan hệ giữa các số liệu thực tế có trong tình huống; Lựa chọn ẩn số và xây dựng không gian toán học như chọn hệ trục tọa độ, (nếu có), sử dụng bảng, sơ đồ, thiết lập các ràng buộc toán học như phương trình, bất phương trình; sử dụng kí hiệu, ngôn ngữ toán học để phục vụ cho việc xây dựng mô hình toán học)
Hoạt động 2 THH theo chiều dọc, bao gồm: (1) Xác định và lựa chọn chính xác phương pháp toán học để giải quyết nhiệm vụ toán học; (2) Lựa chọn khái niệm, định lí, công thức, qui tắc, thuật toán, qui trình toán học phù hợp để giải quyết nhiệm vụ toán học;
(3) Kiểm tra tính chính xác của kết quả toán học, đối chiếu các kết quả vừa tìm được với các ràng buộc toán học có trong mô hình; (4) Đánh giá được tính phù hợp của kết quả toán học so với tình hình thực tế
Hoạt động của GV: (1) Di chuyển quanh lớp để quan sát và theo dõi thái độ làm việc của mỗi cá nhân và tinh thần hợp tác theo nhóm; (2) Sẵn sàng gợi ý và hỗ trợ HS nếu các em gặp khó khăn trong tất cả các hoạt động thành phần
Pha 4 Thảo luận, so sánh câu trả lời
Trong bước này, GV tạo cơ hội để HS có thể thảo luận, trình bày tóm tắt kết quả chính của cá nhân hoặc của mỗi nhóm trước lớp Theo đó, GV và HS cần thực hiện một số hoạt động sau:
Hoạt động của HS: (1) Đối chiếu và so sánh kết quả của mình với kết quả của các
HS khác trong nhóm; (2) Tìm và chỉ ra được những sai sót hoặc những lập luận chưa hợp lí (nếu có) trong lời giải toán học của HS khác; (3) Trao đổi theo cặp về những khó khăn hoặc thiếu sót trong lập luận của lời giải toán học; (4) Kiểm tra, đánh giá hoặc nhận xét được tính chính xác của các kết quả toán học trong lời giải của bạn; (5) Nhận xét về tính phù hợp, mức độ hợp lý của việc lựa chọn mô hình trong lời giải của HS khác
Hoạt động của GV: (1) GV là người tổ chức, điều khiển cuộc thảo luận, trao đổi của
HS trong mỗi nhóm hoặc giữa các nhóm đã được chỉ định; (2) GV có thể chọn một nhóm đại diện để trình bày kết quả trước lớp Các nhóm quan lại theo dõi, quan sát, sau đó có thể đặt câu hỏi để sáng tỏ vấn đề hoặc đề xuất những góp ý nhằm điều chỉnh và hoàn thiện cho lời giải toán học (3) GV cần đảm bảo cho một cuộc thảo luận hiệu quả, theo đó, HS giải thích rõ ràng, biết chia sẻ và lắng nghe nhau
Pha 5 Rút ra kết luận từ bài toán
Biện pháp 3: Sử dụng phần mềm động GeoGebra vào dạy học các khái niệm trong Giải tích theo tiếp cận Giáo dục Toán thực nhằm nâng cao hiểu biết toán học và hứng thú học tập cho HS THPT
và hứng thú học tập cho HS THPT
2.4.1 Cơ sở của việc đề xuất biện pháp
Như đã chỉ ra trong phần cơ sở lí luận và thực tiễn, CNTT có thể hỗ trợ GV một cách tích cực trong việc thiết kế bài giảng toán học và thực hiện mô phỏng các hình ảnh trực quan, sinh động Hơn nữa, công nghệ có thể giúp phát triển sự hiểu biết về các khái niệm toán học trừu tượng thông qua trực quan hóa và biểu diễn đồ họa Với những ưu điểm nổi bật, GeoGebra là một trong những phần mềm được sử dụng phổ biến nhất trong hoạt động dạy và học môn Toán nói chung và dạy học Giải tích nói riêng Phần mềm này cũng đã nhận được nhiều sự quan tâm của các GV giảng dạy toán học trong và ngoài nước Tuy nhiên, trong các nghiên cứu mà chúng tôi thu thập được, chưa có một nghiên cứu nào thực sự nổi bật về việc sử dụng GeoGebra để dạy học các khái niệm Giải tích theo tiếp cận RME Do vậy biện pháp thứ 3 được đề xuất dựa trên cơ sở của những thiếu sót này 2.4.2 Mục đích của biện pháp
Biện pháp thứ ba hướng đến các mục tiêu: (1) Cung cấp cho GV niềm tin về một cách tiếp cận mới trong dạy học khái niệm trong Giải tích, tạo ra bài giảng sinh động, trực quan và có thể thu hút sự tham gia tích cực của HS; (2) Cung cấp cho GV cách thức sử dụng phần mềm GeoGebra để dạy học khái niệm trong Giải tích (Giới hạn, đạo hàm, tích phân); (3) Hỗ trợ HS nâng cao sự hiểu biết về bản chất của một số khái niệm trong Giải tích qua những hình ảnh trực quan và chuyển động của những đối tượng toán học (điểm, đường thẳng) mà việc thực hành trên giấy là không thể; (4) Cung cấp cho HS cơ hội khám phá các khái niệm Giải tích với sự hỗ trợ của công nghệ và sự hướng dẫn của GV; (5) Nâng cao sự hứng thú, sự tự tin, kích thích sự tò mò và khơi dậy sự ham hiểu biết của HS trong học toán; (6) Giúp HS có cơ hội rèn luyện và phát triển kĩ năng sử dụng công nghệ trong học tập môn Toán nói chung và học tập Giải tích nói riêng; (7) Nâng cao nhận thức của HS về vai trò của công nghệ trọng việc học tập môn Toán
2.4.3 Định hướng thực hiện biện pháp
Bước 1 Lựa chọn nội dung và mục tiêu dạy học: GV cần lựa chọn được tri thức Giải tích cần cho HS khám phá và xác định rõ mục tiêu dạy học dựa trên khái niệm đã lựa chọn Trong luận án này, chúng tôi đề xuất một số khái niệm trong Giải tích mà GV có thể sử dụng GeoGebra để thiết kế mô hình RME-SBG (các tình huống RME được hỗ trợ bởi GeoGebra) Ứng với mỗi khái niệm, tác giả đã thiết kế các mô hình mẫu (có link tương ứng)
Một số khái niệm trong Giải tích Mô hình trên GeoGebra
Khái niệm dãy số có giới hạn là 0 https://www.geogebra.org/classic/tyc2spb5 https://www.geogebra.org/classic/ugbupzcy
Khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số https://www.geogebra.org/classic/ks57yqhk
Khái niệm đạo hàm https://www.geogebra.org/classic/waswwjwq https://www.geogebra.org/classic/vqz8wuda https://www.geogebra.org/classic/pv3xguav
Khái niệm tích phân xác định https://www.geogebra.org/classic/mqz9tu2m https://www.geogebra.org/classic/wnsptykr
Bước 2 Thiết kế THHT theo mô hình RME-SBG: (1) Xây dựng các MHTH trên
GeoGebra Hoạt động này phụ thuộc rất nhiều vào nội dung và mục tiêu dạy học; (2) Chuẩn bị bảng câu hỏi dưới dạng PHT Bảng câu hỏi nhằm mục đích gợi ý cho HS thực hiện các thao tác qua phần mềm GeoGebra để khám phá lại một khái niệm toán học mới dưới sự hướng dẫn của GV và hỗ trợ của phần mềm GeoGebra
Bước 3 Thiết kế các pha dạy học
Sơ đồ 2.4 Các pha dạy học theo mô hình RME-SBG
Pha dạy học Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV đề xuất tình huống xuất phát, giới thiệu bối cảnh dẫn đến bài toán cần giải quyết, có thể gợi ý, giải thích các từ ngữ quan trọng để HS sáng tỏ vấn đề
HS tìm hiểu vấn đề, bối cảnh, xác định các thông tin và từ khóa quan trọng
(1) GV hướng dẫn HS thực hiện hoạt động khám phá toán học; (2) Sẵn sàng trợ giúp HS khi HS đề xuất câu hỏi, hoặc khó khăn khi thực hiện các thao tác trên phần
(1) Thực hiện các nhiệm vụ trên PHT (làm việc cá nhân); (2) Kết hợp với các thao tác sử dụng phần mềm GeoGebra để tự khám phá lại toán học; (3) Ghi chép lại những mềm; (3) Khuyến khích HS chủ động tương tác với phần mềm bằng cách thay đổi các số liệu kết luận và tính chất quan trọng sau khi trả lời các câu hỏi trong PHT
(1) Tổ chức trao đổi, thảo luận giữa HS và GV, HS với HS; (2) Khuyến khích HS đặt câu hỏi, đề xuất khó khăn trong cách hiểu bối cảnh của tình huống hoặc khó khăn khi sử dụng phần mềm hỗ trợ; (3) GV lắng nghe suy nghĩ, khó khăn của HS trong những trường hợp cụ thể
(1) Tích cực đặt câu hỏi cho GV hoặc cho HS khác; (2) Tăng cường trao đổi, thảo luận nhóm, trình bày khó khăn để được hỗ trợ của nhóm;
(3) Đề xuất các dấu hiệu toán học, tính chất, đặc trưng quan sát được từ một số trường hợp cụ thể (ứng với mỗi số liệu khác nhau của MHTH)
(1) GV hướng dẫn HS chuyển hóa kết quả từ “mô hình của” sang
“mô hình cho”, từ tình huống cụ thể HS đưa ra kết luận cho trường hợp tổng quát, từ đó hình thành khái niệm mới; (2) Điều chỉnh, hoàn thiện các sản phẩm của HS;
(3) Chính xác hóa các câu trả lời và phát biểu khái niệm mới của HS; (4) Nhấn mạnh những thuật ngữ quan trọng trong khái niệm, làm rõ những sai lầm mà HS có thể mắc phải khi diễn đạt khái niệm mới
(1) Rút ra các tính chất toán học ở dạng tổng quát; (2) Diễn đạt lại những kết quả thu được dưới dạng ngôn ngữ và kí hiệu toán học từ các kết quả quan sát được qua mô hình;
(3) Có thể trao đổi hoặc tham khảo ý kiến, góp ý của HS khác để có những điều chỉnh hoặc kết luận chính xác hơn; (4) Sử dụng khái quát hóa, tổng quát hóa từ một tình huống cụ thể (mô hình của) để dẫn đến kiến thức toán học mới, khái niệm mới (mô mình cho)
(1) GV yêu cầu mỗi HS đề xuất một ví dụ để minh họa cho khái niệm mới; (2) Quan sát theo dõi cách HS trao đổi, khó khăn của
HS khi lấy ví dụ minh họa
Mỗi HS thực hiện yêu cầu của GV, đề xuất ví dụ mới, hai HS ngồi cạnh nhau, làm việc nhóm để kiểm tra và so sánh ví dụ đã đề xuất
Ví dụ 2.4.1 Dạy học “khái niệm giới hạn của dãy số”
Bước 1 Xác định nội dung và mục tiêu dạy học:
+) Tri thức cần hình thành là khái niệm “Dãy số có giới hạn là 0”
+) Việc sử dụng GeoGebra nhằm giúp HS có thể hình dung một cách trực quan về bản chất của thuật ngữ “bé tùy ý” trong định nghĩa của khái niệm
+) Giúp HS giải nghĩa được cách nói: “kể từ một số hạng nào đó trở đi” trong khái niệm
Bước 2 Thiết kế THHT theo mô hình RME-SBG
+) Xây dựng MHTH trên GeoGebra
Cho dãy số ( ) u n với n 1 n u = Với mỗi số r cho trước (có thể “bé tùy ý”), có thể chỉ ra được số tự nhiên m sao cho kể từ u m trở đi, tất cả các số hạng u n đều nằm trong đoạn thẳng HK (không tính hai điểm H, K) hay không?, nếu có, em hãy chỉ ra số m ứng với bán kính r em đã chọn
Mô hình RME-SBG mô phỏng khái niệm giới hạn
(Chẳng hạn trong ví dụ trên khi ta chọn r=1 thì m=2 và ta nhận thấy mọi số hạng kể từ u 2 trở đi đều thuộc đoạn thẳng HK)
Nguyên tắc của RME được thể hiện như sau:
Nguyên tắc RME Mô tả
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Mục đích thực nghiệm và nhiệm vụ thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm nghiệm giả thuyết khoa học Bước đầu khẳng định tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm được đề xuất trong luận án qua thực tiễn dạy học Cụ thể, việc thực nghiệm sư phạm nhằm trả lời các câu hỏi sau:
1 Các biện pháp mà luận án đề xuất có thể thực hiện được trong quá trình dạy học Giải tích ở THPT hay không?
2 Việc thực hiện các biện pháp có thực sự nâng cao sự hứng thú, tích cực của HS trong học tập Giải tích hay không?
3 Các biện pháp có góp phần nâng cao sự hiểu biết toán học của HS và nâng cao được hiệu quả dạy học Giải tích ở THPT hay không?
4 Dạy học dựa trên tiếp cận RME có thể so sánh với phương pháp dạy học truyền thống như thế nào về mặt hiểu biết của HS đối với các khái niệm trong Giải tích?
5 Điểm mạnh và điểm yếu cụ thể của tiếp cận RME trong dạy học Giải tích ở trường THPT là gì?
1 Biên soạn tài liệu/giáo án chuẩn bị cho thực nghiệm, hướng dẫn GV cách thức chuẩn bị và thực hiện các tiết dạy học một số nội dung của Giải tích theo tiếp cận RME Hoạt động này nhằm: (i) Hỗ trợ GV trong việc chuẩn bị và thực hiện các tiết dạy học theo tiếp cận RME; (ii) Đảm bảo tính nhất quán trong việc triển khai thực nghiệm; (iii) Thu thập dữ liệu, phản hồi từ GV để đánh giá hiệu quả của việc triển khai thực nghiệm
2 Phân tích và xử lý số liệu thực nghiệm bằng phương pháp sử dụng phần mềm thống kê Jamovi 2.3.21 Theo đó, hoạt động này nhằm hai mục đích: (i) Tóm tắt dữ liệu về điểm bài kiểm tra của HS Jamovi có thể được sử dụng để tính toán các thông số thống kê cơ bản như giá trị trung bình, độ lệch chuẩn, phương sai, độ tương quan, của dữ liệu điểm bài kiểm tra của HS; (ii) Kiểm tra giả thuyết về sự khác biệt giữa hai nhóm đối chứng và thực nghiệm Jamovi có thể được sử dụng để kiểm tra giả thuyết về sự khác biệt giữa hai nhóm này
3 Đánh giá kết quả TN
Kết quả việc dạy học Giải tích ở THPT theo tiếp cận RME được đánh giá theo hai phương diện là tính khả thi và tính hiệu quả của việc thực hiện theo các biện pháp đã được đề xuất trong đề tài Hoạt động này nhằm mục tiêu xác định xem các biện pháp được đề xuất có thể được thực hiện trong thực tế hay không, có phù hợp với điều kiện, hoàn cảnh của đối tượng nghiên cứu hay không
Tính khả thi của các biện pháp được đề xuất trong luận án này được đánh giá dựa trên các tiêu chí như:
(i) Khả năng áp dụng trong thực tế: Các biện pháp được đề xuất cần phải khả thi để áp dụng trong thực tế, tức là các biện pháp này phải phù hợp với điều kiện thực tế của các trường học và của GV
(ii) Khả năng đáp ứng nhu cầu của HS: Các biện pháp được đề xuất cần phải đáp ứng nhu cầu của HS, tức là các biện pháp này phải giúp HS phát triển hiểu biết sâu sắc về các khái niệm trong Giải tích, phát triển các kỹ năng THH và hứng thú học tập
(iii) Khả năng triển khai: Các biện pháp được đề xuất cần phải có thể triển khai được một cách dễ dàng, tức là các biện pháp này không đòi hỏi quá nhiều thời gian và công sức của GV
Bên cạnh đó, tính khả thi của đề tài được thể hiện qua việc thống kê: (1) Số lượng
HS ủng hộ các tình huống đã thiết kế để luyện tập, củng cố kiến thức và tiếp nhận tri thức mới; (2) Số lượng GV ủng hộ việc thiết kế tình huống dạy học; (3) Số liệu tổng kết các phiếu tham khảo ý kiến, đánh giá của GV và của HS
Tính hiệu quả của các biện pháp được đề xuất trong luận án được đánh giá dựa trên các tiêu chí như:
(i) Khả năng giúp HS phát triển hiểu biết sâu sắc về các khái niệm trong Giải tích: Đây là tiêu chí quan trọng nhất của các biện pháp được đề xuất, bởi mục tiêu của việc dạy Giải tích là giúp HS phát triển hiểu biết sâu sắc về các khái niệm trong Giải tích, chứ không chỉ dừng lại ở việc ghi nhớ các định nghĩa và công thức Các biện pháp được đề xuất trong đề luận án nhằm giúp HS phát triển hiểu biết sâu sắc về các khái niệm trong Giải tích thông qua việc giải quyết các vấn đề thực tiễn và xây dựng mô hình (được phản ánh qua phần lập luận, trả lời các câu hỏi của HS và kết quả bài kiểm tra của HS sau thực nghiệm)
(ii) Khả năng giúp HS phát triển các kỹ năng THH: Các biện pháp được đề xuất trong đề tài này cũng nhằm giúp HS phát triển các kỹ năng THH, vốn là một kỹ năng quan trọng cần thiết cho HS trong học tập môn Toán và cũng như trong cuộc sống Các biện pháp này khuyến khích HS tự tìm tòi, khám phá và giải quyết các vấn đề thực tiễn bằng cách sử dụng THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc (Kết quả được phản ánh qua kết quả bài kiểm tra sau thực nghiệm)
(iii) Khả năng giúp HS hứng thú và tích cực học tập: Các biện pháp được đề xuất trong luận án này cũng nhằm giúp HS hứng thú và tích cực học tập Các biện pháp này mang tính thực tiễn, gắn liền với cuộc sống của HS, giúp HS thấy được ý nghĩa và ứng dụng của toán học trong thực tiễn Để đo được khả năng giúp HS hứng thú và tích cực học tập Giải tích thông qua các biện pháp đã đề xuất, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp đánh giá đa dạng, bao gồm:
Phương pháp quan sát: Quan sát là phương pháp đánh giá trực tiếp hành vi của HS trong quá trình học tập GV có thể quan sát HS trong các hoạt động học tập khác nhau, chẳng hạn như: (1) Tham gia bài giảng của GV; (2) Giải quyết các bài tập Giải tích; (3) Thảo luận nhóm
Phương pháp phỏng vấn: Phỏng vấn là phương pháp đánh giá trực tiếp ý kiến và suy nghĩ của HS GV có thể phỏng vấn HS một cách cá nhân hoặc theo nhóm Các câu hỏi trong phỏng vấn có thể tập trung vào các khía cạnh sau: (1) Mức độ hiểu biết của HS về các khái niệm Giải tích; (2) Mối liên hệ giữa kiến thức Giải tích với thực tế; (3) Những khó khăn mà HS gặp phải trong học tập Giải tích
Phương pháp đánh giá sản phẩm học tập: Sản phẩm học tập của HS, chẳng hạn như các bài tập, phiếu học tâp, bài kiểm tra cũng có thể được sử dụng để đánh giá mức độ hứng thú và tích cực học tập của HS GV có thể đánh giá các sản phẩm học tập của HS dựa trên các tiêu chí sau: (i) Mức độ hoàn thành của sản phẩm; (ii) Mức độ sáng tạo và độc đáo của sản phẩm; (iii) Mức độ sử dụng kiến thức Giải tích trong sản phẩm.
Đối tượng thực nghiệm
Thực nghiệm sẽ được thực hiện với một nhóm HS THPT ở Việt Nam HS sẽ được phân ngẫu nhiên vào nhóm RME hoặc nhóm truyền thống Cả hai nhóm sẽ nhận được thời lượng giảng dạy như nhau, nhưng nhóm RME (hay còn gọi là nhóm TN) sẽ được dạy theo tiếp cận RME, trong khi nhóm truyền thống (hay nhóm ĐC) sẽ được dạy bằng phương pháp truyền thống
Chúng tôi đã tiến hành TN trong hai năm học 2021-2022 và 2022-2023 với các biện pháp dạy học đã được đề xuất Đối tượng TN là các HS lớp 12 của hai trường THPT Nông Cống I và Nông Cống 2 của tỉnh Thanh Hóa Đợt TN Nhóm Lớp Sĩ số Trường GV tham gia TNSP Đợt 1 TN 12A4 41 THPT Nông Cống 2 Nguyễn Thị Trang ĐC 12 A1 40 THPT Nông Cống 2 Phạm Thanh Ngoan Đợt 2
TN1 12A2 37 THPT Nông Cống 2 Nguyễn Thị Trang ĐC1 12 A3 39 THPT Nông Cống 2 Phạm Thanh Ngoan TN2 12 C7 36 THPT Nông Cống 1 Trần Thanh Minh ĐC2 12C2 34 THPT Nông Cống 1 Phan Văn Ngà
Bảng 3.1 Danh sách lớp TN và lớp ĐC
TN sư phạm được thực hiện qua 02 đợt:
+ Lấy 41 HS lớp 12 A4 thuộc trường THPT Nông Cống 2, Thanh Hóa làm lớp TN + Lấy 40 HS lớp 12 A1 ở trường này làm ĐC
- Đối tượng: Chúng tôi chọn 02 cặp TN và ĐC (xem Bảng 3.1)
Qua điều tra sơ bộ, chúng tôi nhận thấy: Các lớp TN và lớp ĐC có kết quả học tập môn Toán trước đó là tương đương (tác giả sử dụng kết quả điểm năm học lớp 11 để so sánh).
Nội dung thực nghiệm
Các tiết học TN được phân bố cụ thể như sau:
Bảng 3.2 Các nội dung được lựa chọn cho dạy học TN
Vị trí trong SGK Lớp Chương STT Trang
Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 03 12 I Bài 1 4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 03 12 I Bài 3 20
Tích phân 03 12 III Bài 2 102 Ứng dụng của tích phân trong hình học 03 12 III Bài 3 115
Tổ chức thực nghiệm
+ Tài liệu TN được đưa trước cho GV dạy TN từ một đến hai tuần
+ Trước khi TN, tác giả đã có trao đổi với GV giảng dạy một số vấn đề về phương pháp cũng như cách thức tổ chức dạy và học theo RME
+ Trước khi TN, tác giả đã tiến hành điều tra sơ bộ về thực trạng và tình hình học tập của HS lớp TN
+ GV dạy theo hướng dẫn của giáo án đã được thiết kế sẵn trong giờ học chính khóa và tự chọn môn Toán với nội dung là một số bài dạy: Chương III-Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Giải tích 12); Chương IV-Nguyên hàm-tích phân và ứng dụng (Giải tích 12)
+ Người làm TN dự giờ, tổ chức trao đổi ý kiến, rút kinh nghiệm với
GV sau mỗi tiết dạy, nhằm bổ sung, điều chỉnh và thiết kế giáo án giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn dạy học để đem lại hiệu quả dạy học như mong đợi
+ Kết thúc đợt thực nghiệm tổ chức thảo luận với GV tham gia TN về những vấn đề mà TN quan tâm.
Kết quả thực nghiệm
+) Giai đoạn mới bắt đầu thực nghiệm:
Khi quá trình TN mới bắt đầu, dựa trên những suy nghĩ của HS để trả lời các câu hỏi, qua việc quan sát một số kĩ năng tính toán và làm các bài tập, có thể nhận thấy rằng: nhìn chung, cả HS lớp đối chứng và HS lớp thực nghiệm đều ở trình trạng như sau: (1) Nhiều
HS gặp khó khăn khi học về khái niệm, định nghĩa, Định lí Các em thiếu sự liên hệ giữa các tri thức cũ và mới, việc kết nối giữa các khái niệm Giải tích còn rời rạc và thiếu sự chắc chắn; (2) Việc mô tả và hiểu đúng các thuật ngữ, kí hiệu trong định nghĩa của khái niệm còn gặp nhiều khó khăn, nhầm lẫn; (3) Việc vận dụng các khái niệm, qui tắc vào thực hành giải toán của đa số HS còn lúng túng, thiếu tự tin và không chắc chắn; (4) Kĩ năng
THH (xét cả về THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc) của đa số HS còn yếu, việc sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả các tình huống trong thực tế còn gặp nhiều khó khăn và hạn chế; (5) Nhiều HS không thể tự thực hiện được hoạt động toán học (THH) một cách trọn vẹn Thực tế quan sát cho thấy, rất nhiều HS chỉ dừng lại ở việc hiểu bối cảnh của bài toán, xác định được giả thiết nhưng lại gặp rất nhiều khó khăn trong việc thực hiện các thao tác cơ bản của hoạt động THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc Trong đó, không ít HS sử dụng sai công thức do không hiểu bản chất của khái niệm Bên cạnh đó, nhiều HS chưa có thói quen giải quyết một nhiệm vụ thực tế dưới nhiều phương án khác nhau, chưa có say mê tìm tòi và phát hiện ra những ý tưởng mới để có những lời giải và cách giải quyết sáng tạo
Hai GV dạy lớp TN (xem thông tin trong Bảng 3.1) nói rằng, cách tiếp cận RME thực sự là một thách thức đối với cả GV và HS vì họ đã quen thuộc với phương pháp “dạy học truyền thống” Họ còn cho biết thêm, lúc đầu họ cũng chưa thực sự tự tin và có gặp một số khó khăn, áp lực về thời gian dành cho giảng dạy Các bài học thường phải kéo dài hơn so với dự kiến và HS cần làm thêm nhiệm vụ ở nhà Bên cạnh đó, việc chất lượng HS không đồng đều và áp lực thi cử đã ảnh hưởng một phần đến việc triển khai bài học theo RME
+) Giai đoạn trong và sau khi dạy học thực nghiệm
- Về phía HS: Thái độ học tập của HS được suy ra từ các báo cáo của GV tham gia trực tiếp dạy học TN và việc quan sát từ phía người tiến hành TN Nhìn chung phần đông các em HS lớp TN đều ủng hộ và tham gia tích cực vào lớp học được thiết kế theo RME Đa số các em tỏ ra hứng thú, có tinh thần trách nhiệm cao trong việc hoàn thành các nhiệm vụ học tập do GV đề xuất Nhiều HS trong số đó cho rằng, việc thông qua các vấn đề gắn với bối cảnh, các em có thể nhận thức được rõ hơn về mối liên hệ chặt chẽ của các tri thức toán học nói chung và tri thức Giải tích nói riêng với thế giới thực tiễn qua mỗi tình huống
Từ đó nhận thức và thái độ học tập của HS đối với môn Toán cũng dần thay đổi theo hướng tích cực
Qua việc thu thập và tổng hợp ý kiến của 343 HS (xem Phụ lục 12b) trên phiếu khảo sát gồm 5 câu hỏi (nội dung phiếu khảo sát này có thể xem ở Phụ lục 2, 3, 4, 5, 6) Kết quả chúng tôi thu được như sau:
Rất tẻ nhạt Tẻ nhạt Bình thường Thú vị Rất thú vị
Rất thấp Thấp Bình thường Cao Rất cao
Mô tả Hoàn toàn không thích Không thích Không ý kiến Thích Rất thích
Từ chối tham gia Phân vân Sẵn sàng tham gia
Bảng 3.3 Bảng tổng hợp kết quả khảo sát thái độ của HS về THHT được thiết kế theo RME
• Về “cảm nhận về tình huống”
Nội dung này tương ứng với câu trả lời của Câu 1 của phiếu khảo sát dành cho HS, chúng tôi thống kê kết quả trả lời cho Câu 1 và minh họa trong Biểu đồ 3.1 dưới đây
Biểu đồ 3.1 Mô tả cảm nhận của HS về tình huống RME Biểu đồ 3.1 cho chúng ta thấy tổng số HS cảm thấy thú vị và rất thú vị về tình huống RME chiếm tỉ lệ khá cao 251/343 (khoảng 73,76%) Trong đó số lượng HS cảm thấy rất thú vị chiếm tỉ lệ 115/343 (33,53%) Số lượng HS cảm thấy tình huống rất tẻ nhạt hoặc tẻ nhạt chiếm tỉ lệ nhỏ 13,12% và 13,70% là tỉ lệ số HS giữ thái độ trung lập Số liệu trên
Rất tẻ nhạt Tẻ nhạt Bình thường Thú vị Rất thú vị 0
160 cho chúng ta thấy rằng đa số HS rất hứng thú khi được tiếp cận các tình huống học tập được thiết kế theo RME
• Về mức độ tiếp thu bài do tình huống mang lại
Nội dung này tương ứng với câu trả lời của câu số hai của phiếu khảo sát dành cho
HS, kết quả khảo sát được chúng tôi mô tả trong Biểu đồ 3.2 dưới đây:
Biểu đồ 3.2 Mô tả mức độ tiếp thu bài của HS về tình huống RME
Kết quả thống kê trong Biểu đồ 3.2 cho thấy rằng mức độ tiếp thu bài ở mức thấp và rất thấp chiếm tỉ lệ 66/343 (19,24%) Trong khi đó, số lượng HS cho rằng có thể hiểu bài ở mức cao và rất cao nếu GV áp dụng tình huống RME vào thực giảng chiếm một tỉ lệ tương đối cao, vào khoảng 64,33% (221/343), trong đó số HS cho rằng có thể hiểu bài ở mức rất cao chiếm một tỉ lệ khoảng 27,11% (93/343) Cuối cùng, 56/343 (16,33%) là tỉ lệ số lượng HS còn phân vân vì có thể các em chưa biết mình phù hợp với phương pháp học tập nào Các số liệu nói trên khẳng định các em HS đều cho rằng mình có thể hiểu bài khá tốt nếu GV áp dụng tình huống được thiết kế theo RME trong thực giảng
• Về mức độ hứng thú của HS đối với các tình huống RME
Rất thấp Thấp Bình thường Cao Rất cao
Biểu đồ 3.3 Mô tả mức độ hứng thú của HS với các tình huống RME
Những số liệu quan sát được từ Biểu đồ 3.3, cho thấy số lượng HS có hứng thú và rất hứng thú với tình huống RME chiếm một chiếm tỉ lệ tương đối cao 241/343 (70,26%) Ngoài ra số lượng HS giữ thái độ trung lập chiếm khoảng 47/343 (10,79%) Gần 16,04% các em HS có cảm nhận không thích các tình huống RME, trong đó, số HS hoàn toàn không thích tình huống RME là 7,00 % Qua phân tích số liệu trên chúng tôi nhận thấy mặc dù vẫn có một số lượng HS không ủng hộ các tình huống được thiết kế theo RME, nhưng tỉ lệ này không đáng kể, và đại đa số các em HS có xu hướng thích GV áp dụng các tình huống RME vào thực giảng
• Về nhu cầu học tập với tình huống RME
Biểu đồ 3.4 Nhu cầu học tập với các tình huống RME tương tự Các kết quả trong Biểu đồ 3.4 cho chúng ta thấy số lượng HS sẵn sàng tham gia các tình huống học tập được thiết kế theo RME chiếm tỉ lệ đáng kể 271/343 (khoảng 79,01%)
Số lượng HS từ chối tham gia chiếm tỉ lệ nhỏ 35/343 (10,20%) Đồng thời, tỉ lệ số HS tỏ
Từ chối tham gia Phân vân Sẵn sàng tham gia 0
300 ra phân vân là 10,79% Như vậy các con số thống kê cho thấy nhu cầu học tập của HS với các tình huống RME là tương đối cao, hầu hết các em đều có mong muốn được tiếp cận với phương pháp học tập mới
Kết luận chung, với những kết quả thu thập chúng tôi cho rằng việc triển khai RME vào công tác dạy và học Giải tích cho HS THPT là mang tính khả thi và đem lại những hiệu hứng tích cực góp phần nâng cao sự hứng thú của HS đối với môn Toán nói chung và Giải tích nói riêng Dưới đây là số số ý kiến ủng hộ của HS: Ý kiến của HS trường THPT Lê Quí Đôn, Hà Nội Ý kiến của HS trường THPT Yên Định 2, Thanh Hóa Ý kiến của HS trường THPT Nông Cống 2, Thanh Hóa Ý kiến của HS trường THPT Chuyên ĐHSP, Hà Nội Ý kiến của HS trường THPT Chuyên Amsterdam, Hà Nội
Bên cạnh việc nâng cao sự hứng thú, quan tâm của HS, qua quan sát, chúng tôi nhận thấy việc dạy học theo RME đã giúp HS trở nên tích cực hơn, điều này được thể hiện qua số lượng HS tham gia các hoạt động thành phần mà chúng tôi quan sát được qua 10 hoạt động thành phần, bao gồm: Hoạt động 1: Chú ý đến lời giải thích của GV và của bạn;
Hoạt động 2: Đọc và hiểu các vấn đề theo ngữ cảnh; Hoạt động 3: Đưa ra câu trả lời cho các vấn đề theo ngữ cảnh; Hoạt động 4: Đưa ra ý tưởng để giải quyết vấn đề-thực hiện các thao tác thiết lập mô hình và giải mô hình toán học; Hoạt động 5: Thảo luận các giải pháp giữa các thành viên trong nhóm; Hoạt động 6: Hoàn thành nhiệm vụ nhóm; Hoạt động 7: Trình bày các giải pháp và phản biện giữa các nhóm trong lớp; Hoạt động 8: Rút ra kết luận về một số khái niệm và quy trình, thuật toán; Hoạt động 9: Trình bày hoàn chỉnh lời giải thành nhiệm vụ cá nhân; Hoạt động 10: Sáng tạo ra bài toán tương tự
Kết quả thống kê trong Bảng 3.4 là một ví dụ so sánh mức độ tích cực của HS lớp
TN so với lớp ĐC mà chúng tôi tổng hợp được