Luận văn toán tử tuyến tính không bị chặn

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN——————————————–ĐẶNG THỊ HỒNG LIÊNTỐN TỬ TUYẾN TÍNH KHƠNG BỊ CHẶNKHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– ĐẶNG THỊ HỒNG LIÊN TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HÓA, NĂM 2023 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– ĐẶNG THỊ HỒNG LIÊN TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành đào tạo: Đại học Sư phạm Toán học (CLC) Mã ngành: 7140209 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Anh Minh THANH HÓA, NĂM 2023 LỜI CẢM ƠN Khoá luận tốt nghiệp này được hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của TS Lê Anh Minh Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, thầy còn là động lực giúp em tự tin và say mê nghiên cứu Em bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng đối với thầy Bên cạnh đó, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô bộ môn Giải tích - PPGD Toán, TS Lê Anh Minh và các bạn sinh viên lớp K22 - ĐHSP Toán CLC đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học và hoàn thành khoá luận này Trong quá trình viết và chỉnh sửa bản thảo khoá luận tốt nghiệp, em nhận được sự quan tâm và góp ý của các thầy cô và bạn bè Em chân thành cảm ơn về sự giúp đỡ quý báu này Thanh Hóa, tháng 5 năm 2023 Đặng Thị Hồng Liên i MỤC LỤC Lời cảm ơn i Chữ viêt tắt và ký hiệu iii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 3 1.2 Không gian Hilbert 8 1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn 14 Chương 2 Toán tử tuyến tính không bị chặn 21 2.1 Định nghĩa và ví dụ 21 2.2 Toán tử tuyến tính đóng và toán tử tuyến tính khả đóng 22 2.3 Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn 24 2.4 Toán tử tuyến tính tự liên hợp và toán tử tuyến tính đối xứng 26 2.5 Bài tập 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 ii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU N: Tập các số tự nhiên R: Tập số thực C: Tập số phức K: Tập các số thực hoặc là tập các số phức X: Không gian Banach H: Không gian Hilbert L (X, Y ): Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y iii MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết của đề tài Giải tích là một chuyên ngành giữ vai trò quan trọng trong Toán học Lý thuyết giải tích hàm đẹp đẽ và là chìa khóa để hiểu được các môn học khác về giải tích toán học Đối tượng chính của giải tích hàm là các không gian và các toán tử tuyến tính liên tục hay còn gọi là toán tử tuyến tính bị chặn Trong chương trình của môn giải tích hàm và lý thuyết toán tử, ta được biết đến một số khái niệm và kết quả về toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach và không gian Hilbert như tính liên hợp, phổ, định lí Hahn - Banach, nguyên lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng Một toán tử tuyến tính xác định trên toàn bộ không gian và thỏa mãn điều kiện bị chặn thì nó là toán tử tuyến tính bị chặn Tuy nhiên, nếu ta cho phép định nghĩa một ánh xạ tuyến tính trên một không gian thực sự nhỏ hơn không gian đang xét thì ta thu được các toán tử tuyến tính không bị chặn Đây là một khái niệm mới mà với lượng thời gian eo hẹp trên lớp sinh viên khó có thể đi vào nghiên cứu Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong khuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng thời được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS Lê Anh Minh, em đã chọn đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn” Em hi vọng đề tài này có ích cho việc nghiên cứu các vấn đề của giải tích hàm cũng như trong các ngành khác của toán học lý thuyết và ứng dụng 2 Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm, tính chất (tính khả đóng, tính đối xứng, phổ, ) của toán tử tuyến tính không bị chặn 3 Đối tượng nghiên cứu ˆ Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Banach ˆ Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert 4 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Banach và không gian Hilbert 5 Phương pháp nghiên cứu 1 Đọc tài liệu dưới sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa học Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của học phần giải tích hàm, lý thuyết toán tử 6 Ý nghĩa của khoá luận Khoá luận tổng hợp và trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Banach và không gian Hilbert Khoá luận là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên ngành Toán 7 Cấu trúc của khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của khoá luận gồm hai chương ˆ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi trình bày hệ thống các khái niệm và các kết quả cơ bản được sử dụng trong khoá luận bao gồm: Không gian định chuẩn, toán tử tuyến tính bị chặn, không gian L (X, Y ), phổ của toán tử tuyến tính bị chặn, ˆ Chương 2 Toán tử tuyến tính không bị chặn Chương này là nội dung chính của khoá luận Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của toán tử tuyến tính không bị chặn và giải một số bài tập 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Cho X là một K - không gian véctơ Một chuẩn trên X là một hàm x → ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ X, mọi λ ∈ K: (i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 khi và chỉ khi x = 0, (ii) ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥, (iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Định lý 1.1.2 ([1]) Nếu x → ∥x∥ là một chuẩn trên X thì d(x, y) = ∥x − y∥ là một mêtric trên X Mêtric này thoả mãn d(x + z, y + z) = d(x, y) và d(λx, λy) = |λ|d(x, y) với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ K Một không gian định chuẩn là một không gian véctơ cùng với một chuẩn trên nó Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn Định lý 1.1.3 ([1]) Chuẩn x → ∥x∥ là một hàm liên tục đều từ X vào R Chứng minh Theo (ii) và (iii), ∥x∥ = ∥(x − y) + y∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥ và ∥y∥ = ∥−(x−y)+x∥ ≤ ∥−(x−y)∥+∥x∥ = |−1|∥x−y∥+∥x∥ = ∥x−y∥+∥x∥ Từ đó, ta có |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥ Vậy chuẩn là hàm liên tục đều Định lý 1.1.4 ([1]) Chuẩn x → ∥x∥ là một hàm liên tục đều từ X vào R Chứng minh Theo (ii) và (iii), ∥x∥ = ∥(x − y) + y∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥ và ∥y∥ = ∥−(x−y)+x∥ ≤ ∥−(x−y)∥+∥x∥ = |−1|∥x−y∥+∥x∥ = ∥x−y∥+∥x∥ 3 Từ đó, ta có |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥ Vậy chuẩn là hàm liên tục đều Định nghĩa 1.1.5 ([1]) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tại điểm x ∈ X, nếu lim ∥xn − x∥ = 0 n→∞ Kí hiệu: lim xn = x hay xn → x n→∞ Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu lim ∥xn − xm∥ = 0 n,m→∞ Định nghĩa 1.1.7 ([1]) Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ Ví dụ 1.1.8 Trên không gian véctơ Kn, với mỗi x = (x1, , xn) ta có thể xác định các chuẩn như sau: n 1/2 n ∥x∥ = |xi|2 ; ∥x∥1 = |xi|; ∥x∥2 = sup |xi| i=1 i=1 1≤i≤n Ví dụ 1.1.9 Kí hiệu C [a, b] là không gian véctơ các hàm liên tục từ đoạn [a, b] ⊂ R vào K Khi đó, C [a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn ∥f ∥ = sup |f (x)| x∈[a,b] Ta nói dãy fn → g trong C [a, b] nếu ∥fn − g∥ → 0 hay sup |fn(x) − g(x)| → 0 x∈[a,b] Tức là, dãy hàm {fn} hội tụ đều đến hàm g Vì lý do trên, chuẩn sup trong C [a, b] còn được gọi là chuẩn hội tụ đều Ta thấy rằng, C [a, b] là không gian Banach Thật vậy, nếu {fn} là một dãy Cauchy trong C [a, b] thì mọi ε > 0 tồn tại n0 sao cho mọi m, n ≥ n0, |fm(x) − fn(x)| ≤ ∥fm − fn∥ < ε, ∀x ∈ [a, b] Theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy {fn} hội tụ đều đến một hàm g nào đó Vì các hàm fn liên tục nên g liên tục, nghĩa là g ∈ C [a, b] Nói cách khác, dãy {fn} hội tụ trong C [a, b] với chuẩn sup 4 Giả sử X và Y là không gian định chuẩn trên cùng một trường K Kí hiệu L (X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Nhận thấy, L (X, Y ) là không gian véctơ con của K - không gian véctơ L (X, Y ) gồm tất cả các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Với mỗi f ∈ L (X, Y ), đặt ∥f ∥ = inf k : ∥f (x)∥ ≤ k∥x∥ với mọi x ∈ X Định lý 1.1.10 ([1]) Với mọi f ∈ L (X, Y ), ∥f ∥ = sup ∥f (x)∥ = sup ∥f (x)∥ = sup ∥f (x)∥ x̸=0 ∥x∥ ∥x∥≤1 ∥x∥=1 ∥f (x)∥ Chứng minh Theo định nghĩa ∥f (x)∥ ≤ ∥f ∥ ∥x∥ Từ đó ∥f ∥ ≥ ∥x∥ với mọi x̸ = 0 Vì vậy ∥f ∥ ≥ sup ∥f (x)∥ ≥ sup ∥f (x)∥ ≥ sup ∥f (x)∥ ≥ sup ∥f (x)∥ x̸=0 ∥x∥ 0