Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN——————————————–ĐẶNG THỊ HỒNG LIÊNTỐN TỬ TUYẾN TÍNH KHƠNG BỊ CHẶNKHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ
Không gian định chuẩn, không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Cho X là một K - không gian véctơ Một chuẩn trên X là một hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ X, mọi λ ∈ K:
(iii) ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥. Định lý 1.1.2 ([1]) Nếu x 7→ ∥x∥ là một chuẩn trên X thì d(x, y) = ∥x−y∥ là một mêtric trên X Mêtric này thoả mãn d(x+ z, y + z) = d(x, y) và d(λx, λy) = |λ|d(x, y) với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ K.
Mộtkhông gian định chuẩn là một không gian véctơ cùng với một chuẩn trên nó Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn. Định lý 1.1.3 ([1]) Chuẩn x 7→ ∥x∥ là một hàm liên tục đều từ X vào
Chứng minh Theo (ii) và (iii), ∥x∥ = ∥(x−y) +y∥ ≤ ∥x−y∥+∥y∥ và
Vậy chuẩn là hàm liên tục đều. Định lý 1.1.4 ([1]) Chuẩn x 7→ ∥x∥ là một hàm liên tục đều từ X vào
Chứng minh Theo (ii) và (iii), ∥x∥ = ∥(x−y) +y∥ ≤ ∥x−y∥+∥y∥ và
Vậy chuẩn là hàm liên tục đều. Định nghĩa 1.1.5 ([1]) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩnX gọi là hội tụ tại điểm x ∈ X, nếu lim n→∞∥x n −x∥ = 0.
Kí hiệu: lim n→∞xn = x hay xn →x. Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu n,m→∞lim ∥x n −x m ∥= 0. Định nghĩa 1.1.7 ([1]) Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.8 Trên không gian véctơ K n , với mỗi x = (x 1 , , x n ) ta có thể xác định các chuẩn như sau:
Ví dụ 1.1.9 Kí hiệuC[a, b]là không gian véctơ các hàm liên tục từ đoạn [a, b] ⊂ R vào K Khi đó, C [a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn
Ta nói dãy f n →g trong C[a, b] nếu ∥f n −g∥ → 0 hay sup x∈[a,b]
Tức là, dãy hàm {f n } hội tụ đều đến hàm g Vì lý do trên, chuẩn sup trong C [a, b] còn được gọi là chuẩn hội tụ đều.
Ta thấy rằng, C[a, b] là không gian Banach Thật vậy, nếu {f n } là một dãy Cauchy trong C[a, b] thì mọi ε > 0 tồn tại n 0 sao cho mọi m, n ≥n 0 ,
Theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy {f n } hội tụ đều đến một hàm g nào đó Vì các hàm f n liên tục nên g liên tục, nghĩa là g ∈ C[a, b] Nói cách khác,dãy {f n } hội tụ trong C[a, b] với chuẩn sup.
Giả sửX vàY là không gian định chuẩn trên cùng một trườngK Kí hiệu
L(X, Y) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Nhận thấy,L(X, Y)là không gian véctơ con của K- không gian véctơ L(X, Y) gồm tất cả các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Với mỗi f ∈ L(X, Y), đặt
∥f∥ = inf k : ∥f(x)∥ ≤ k∥x∥với mọix ∈ X Định lý 1.1.10 ([1]) Với mọi f ∈ L(X, Y),
Chứng minh Theo định nghĩa ∥f(x)∥ ≤ ∥f∥ ∥x∥ Từ đó ∥f∥ ≥ ∥f(x)∥
Ta còn phải chứng minh k = sup
∥f(x)∥ ≥ ∥f∥, hay ∥f(x)∥ ≤ k∥x∥ với mọi x ∈ X Điều này là hiển nhiên nếu x= 0, nếu x ̸= 0 thì
Bổ đề 1.1.11 ([1]) Hàm f 7→ ∥f∥ là một chuẩn trong L(X, Y).
Chứng minh Hiển nhiên ∥f∥ ≥ 0 và ∥f∥ = 0 nếu và chỉ nếu f = 0 Với mọi f, g ∈ L(X, Y), ta có
Cuối cùng, với mọi λ ∈ K ta có
∥λãf(x)∥ = |λ| ∥f∥. Định lý 1.1.12([1]) NếuY là không gian Banach thì không gianL(X, Y) là không gian Banach.
Chứng minh Giả sử {f n } là một dãy Cauchy trong L(X, Y) Khi đó mọi ε > 0tồn tạin 0 sao cho mọim, n ≥n 0 ta có∥f n −f m ∥ < ε Điều này chứng tỏ {f n (x)} là dãy Cauchy trong Y Do Y đầy đủ nên fn(x) → g(x) ∈ Y với mọi x ∈ X mà ∥x∥ ≤ 1 Với x ∈ X mà ∥x∥ > 1 ta xác định g(x) =∥x∥g x
Khi đó, ta được hàm g từ X vào Y Bởi vì g(x) = ∥x∥ lim n→∞f n x
= lim n→∞f n (x), với mọix ∈ X và f n (λx+ày) = λf n (x) +àf n (y)với mọi n∈ N,λ, à ∈ K, x, y ∈ X nờn g(λx+ ày) = λg(x) +àg(y), tức g là ỏnh xạ tuyến tớnh. Với mọi x ∈ X, ∥x∥ = 1 ta có ∥f n (x) −f n 0 (x)∥ < ε với mọi n ≥ n 0
Do đó cho n → ∞ ta được ∥g(x)−fn 0 (x)∥ ≤ ε hay
Theo định lý 1.1.10, g liên tục, tức là g ∈ L(X, Y) Với mọi n ≥ n 0 thì
Giả sửX là một tập đo được Lebesgue bất kì trongR Ta kí hiệuLp(X) là K - không gian véctơ tất cả các hàm f từ X vào K sao cho |f| p khả tích Lebesgue Trong không gian này ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi.
1 p Định lý 1.1.13 ([1]) Với mọi p≥ 1, ℓp là không gian Banach với chuẩn
Chứng minh Xét tập X = (0; +∞) ⊂ R Với mỗi dãy x = (x n ) ∈ ℓ p đặt tương ứng với hàm f :X →K xác định bởi f(x) = xn nếu x ∈ (n−1;n].
Rõ ràng ∥x∥ p = ∥f∥ p và x ∈ ℓ p nếu và chỉ nếu f ∈ L p (X) Do đó, ℓ p có thể coi như một không gian con của L p (X) Điều này cho ta kết luận ℓ p là một không gian định chuẩn với chuẩn đã chỉ ra.
Giả sử {f k } là một dãy Cauchy trong ℓ p Khi đó nó cũng là một dãy Cauchy trong L p (X), vì vậy fk → f ∈ L p (X) Bởi vì fk = const trên mỗi đoạn (n−1, n] nên f = const trên mỗi đoạn (n−1, n] Điều này có nghĩa là f ∈ ℓ p và ℓ p là đầy đủ. Định lý 1.1.14 ([11]) ℓ ∞ là không gian tất cả các dãy bị chặn x : N → K được trang bị chuẩn
Khi đó, ℓ ∞ là một không gian Banach. Định lý 1.1.15 ([11]) Cho [a;b] là đoạn bị chặn đóng Cho C[a;b] là khônng gian định chuẩn của các hàm thưucj liên tục trên [a;b] với chuẩn sup:
Khi đó, C[a;b] là một không gian Banach. Định lý 1.1.16 ([1]) Nếu f :X →Y và g : Y → Z là các ánh xạ tuyến tính liên tục thì g◦f là ánh xạ tuyến tính liên tục và ∥g◦f∥ ≤ ∥g∥ ∥f∥.
Chứng minh Tính tuyến tính và liên tục của g ◦ f là hiển nhiên Nếu
Ví dụ 1.1.17 Trên không gian C[0,1] với chuẩn sup
Xác định toán tử tích phân A,
K(t, τ)f(τ)dτ, ∀f ∈ C [0,1], trong đó K là hàm liên tục trên [0,1] 2
Dễ thấy, toán tử A là tuyến tính Mặt khác, A liên tục vì
Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1 ([9]) Cho H là không gian véctơ trên trường K Tích vụ hướng trờn H là một ỏnh xạ, ⟨ã,ã⟩ : H ìH 7→K, (x, y) 7→ ⟨x, y⟩ thoả mãn ∀x, y, z ∈ H, và λ ∈ K,
(iv) ⟨x, x⟩ ≥ 0; và ⟨x, x⟩ = 0 khi và chỉ khi x = 0. Định nghĩa 1.2.2 ([9]) Không gian véctơ H trên K được trang bị tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu (H,⟨ã,ã⟩) là khụng gian tiền Hilbert thỡ ta xỏc định một chuẩn ∥ ã ∥ trên H bằng cách đặt ∥x∥ := p⟨x, x⟩ với mọi x ∈ H Trong trường hợp này, ta gọi chuẩn ∥ ã ∥ được tạo bởi tớch vụ hướng ⟨ã,ã⟩.
Ví dụ 1.2.3 (Không gian ℓ 2 ) Theo bất đẳng thức Schwartz, với các dãy x = (xn), y = (yn) ∈ ℓ2 ta có k
X n=1 x n y n hội tụ vì nó hội tụ tuyệt đối. Đặt (x, y) 7−→ (x|y) ∞
X n=1 x n y n , dễ dàng kiểm tra hàm trên đúng là một tích vô hướng trên ℓ 2 Tích vô hướng này sinh ra chuẩn
Vậy ℓ2 là một không gian Hilbert. Định lý 1.2.4 ([9],Định lí hình bình hành) Trong không gian tiền Hilbert
Tương tự, thay y bằng −y, ta được
= 2 ∥x∥ 2 + ∥y∥ 2 , với mọi x, y ∈ H. Định lý 1.2.5 ([9],Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, ta có
|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ ã ∥y∥, ∀x, y ∈ H (1.1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính.
Không mất tính tổng quát, giả sử ⟨y, y⟩ ̸= 0 Bây giờ, đặt λ = ⟨x, y⟩
∥y∥ 2 điều này suy ra Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz.
Ta dễ thấy |⟨x, y⟩| = ⟨x, x⟩⟨y, y⟩ khi và chỉ khi x = λy. Định lý 1.2.6 ([9]) Trong không gian tiền Hilbert H,
4{∥x+ y∥ 2 − ∥x−y∥ 2 +i∥x+iy∥ 2 −i∥x−iy∥ 2 }, với mọi x, y ∈ H. Định nghĩa 1.2.7 ([9]) Không gian tiền Hilbert H đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Định lý 1.2.8 ([10], Định lý F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng f(x) = ⟨x, a⟩, x ∈ H (1.2) Trong đó, phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
Chứng minh Giả sử a là phần tử cố định tuỳ ý thuộc không gian H.
Từ các tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, ta có công thức f(x) = ⟨x, a⟩, x ∈ H.
Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H
Kí hiệu H 0 = {x ∈ H, f(x) = 0} Ta thấy H 0 là không gian tuyến tính con của không gian H, vì ∀x, y ∈ H 0 ,∀a, b ∈ K ta có f(ax+by) = af(x) + bf(y) = 0
Suy ra ax+by ∈ H 0 Đồng thời H 0 là một tập con đóng trong H Thật vậy, nếu dãy điểm x n ⊂ H 0 hội tụ đến điểm x ∈ H, thì nhờ tính chất liên tục của phiếm hàm f ta có f(x) = limf(x n ) = 0 ⇒x ∈ H 0
Do đó H0 là một không gian con của không gian H.
Nếu H 0 = H, chọn phần tử a = θ, biểu thức (1.2) trở thành: f(x) = ⟨x, θ⟩, x ∈ H.
Giả sử H 0 = H, tồn tại phần tử x 0 ∈ H ⊕H 0 , do đó x 0 ̸= θ và f(x 0 ) = 0. Với mỗi phần tử x ∈ H, ta đặt y = xf(x 0 )−x 0 f(x), thì f(y) = f(x0)f(x)−f(x)f(x0) ⇒y ∈ H0.
⟨x 0 , x 0 ⟩x 0 ∈ H Do đó phiêms hàm có dạng (1.2).
Giả sử phiếm hàm f có hai cách biểu diễn f(x) =⟨x, a⟩ = ⟨x, a ′ ⟩, x ∈ H ⇒ ⟨x, a−a ′ ⟩ = 0,∀x ∈ H ⇒ a = a ′
Vậy phần tử a trong biểu diễn (1.2) được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm f.
Tiếp theo ta chứng minh hệ thức (1.3) Theo bất đẳng thức Schwarz ta có:
Vậy ∥f∥ = ∥a∥. Định nghĩa 1.2.9([10]) Cho không gian HilbertH, hai phần tửx, y ∈ H gọi là trực giao, kí hiệu x ⊥ y, nếu ⟨x, y⟩ = 0. Định nghĩa 1.2.10 ([10]) Cho không gian HilbertH và A là tập con của
H, A ̸= ∅ Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A nếu x trực giao với mọi phần tử trong A.
Một số tính chất cơ bản
3 Nếu cỏc phần tử x, y j ∈ H (j = 1,2,3,ã ã ã , n) thoả món điều kiện x ⊥ y j (j = 1,2,3,ã ã ã , n), thỡ ∀α j ∈ K (j = 1,2,3,ã ã ã , n) ta cú x ⊥ n
4 Cho phần tử x ∈ H và dãy các phần tử (y n ) ⊂ H hội tụ tới y ∈ H khi n → ∞ Nếu x ⊥ yn, ∀n ∈ N ∗ thì x ⊥ y. Định lý 1.2.11 ([10], Định lý Pythagore) Nếu x, y ∈ H và x ⊥ y thì
Tổng quỏt, với n vectơ đụi một trực giao: x 1 , x 2 ,ã ã ã , x n thỡ n
∥x i ∥ 2 , n ∈ N ∗ Định lý 1.2.12 ([10]) Cho dãy x n ∈ H sao cho ⟨x n , x m ⟩ = 0, ∀n ̸ m Khi đó chuỗi
X n=1 x n hội tụ trong không gian H khi và chỉ khi chuỗi
X n=1 x n thì Khi đó với ∀p∈ N ∗ ta có
X n=1 x n hội tụ thì dãy tổng riêng (s k ) của chuỗi này là dãy cơ bản Do đó nhờ hệ thức (1.4) và tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi
∥x n ∥ 2 hội tụ, thì hệ thức (1.4) suy ra dãy tổng riêng (sk) của chuỗi
X n=1 xn là một dãy cơ bản Từ đó và từ tính đầy của của không gian H suy ra chuỗi
X n=1 xn hội tụ trong không gian H. Định nghĩa 1.2.13 ([10]) Cho hai không gian Hilbert H và không gian con E ⊂ H Tập con F ⊂ H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là phần bù trực giao của tập E trên không gian H và kí hiệu:
F = H ⊕E. Định nghĩa 1.2.14 ([10]) Cho không gian Hilbert H vàH 0 là không gian con của H Khi đó phần tử bất kì x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng: x = y +z, y ∈ H 0 , z ⊥H 0 (1.5) Phần tửy trong biểu diễn trên gọi là hình chiếu của phần tửxlên không gian con H0. Định nghĩa 1.2.15 ([10]) Cho không gian Hilbert H Một tập hữu hạn hay đếm được các phần tử (e n ) n≥1 ⊂H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu:
,(i, j = 1,2,3,ã ã ã), δ ij là kí hiệu Kroneckes.
Nhận xét 1.2.16 ([10]) Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính.
Ngược lại giả sử (x n ) n≥1 ⊂H là một hệ độc lập tuyến tính, ta có thể xây dựng một hệ trực chuẩn từ hệ (x n ) n≥1 này bằng quá trình trực giao hóa Hilbert - Schmidt. e 1 = x 1
Ta được hệ (e n ) n≥1 là hệ trực chuẩn. Định lý 1.2.17 ([10], Bất đẳng thức Bessel) Nếu (e n ) n≥1 là một hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert H, thì ∀x ∈ H ta đều có bất đẳng thức:
Bất đẳng thức (1.6) gọi là bất đẳng thức Bessel.
Chứng minh Với k nguyên dương bất kì ta đặt y k = x− k
(k không vượt lực lượng của hệ trực chuẩn đã cho).
⟨x, e n ⟩e n , áp dụng định lý Pythagore ta được:
Do tính chất tùy ý của k, ta có bất đẳng thức (1.6).
Toán tử tuyến tính bị chặn
Ta ký hiệu B(H) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H Khi đó, với A ∈ B(H), ta thấy ⟨Ax, y⟩ tuyến tính theo x, tuyến tính liên hợp theo y và bị chặn Do đó, theo định lí Riesz, tồn tại duy nhất A ∗ ∈ B(H) sao cho
Toán tử A ∗ được gọi là liên hợp của toán tử quyến tính A.
Mệnh đề 1.3.1 ([9]) Nếu A : H → H là toán tử tuyến tính bị chặn thì
Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh A ∗ là toán tử tuyến tính bị chặn.
= ⟨u, αA ∗ u+βA ∗ w⟩, và do đó A ∗ tuyến tính.
Tương tự, ∥(A ∗ ) ∗ ∥ ≤ ∥A ∗ ∥ Áp dụng (A ∗ ) ∗ = A suy ra ∥A∥ ≤ ∥A ∗ ∥ Vậy ∥A∥ = ∥A ∗ ∥.
Hệ quả 1.3.2 ([9]) Nếu A : H →H là toán tử tuyến tính bị chặn thì
∥AA ∗ ∥= ∥A ∗ A∥ = ∥A ∗ ∥ 2 = ∥A∥ 2 Chứng minh Ta có
Dễ thấy ∥A∥ 2 ≤ ∥A ∗ A∥ Vậy, ta được điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.3.3 ([9]) Nếu A, B là các toán tử tuyến tính bị chặn trên H và λ ∈ C thì
Ví dụ 1.3.4 Ta xét H = L 2 ([α, β]) và A : L 2 ([α, β]) → L 2 ([α, β]) là toán tử tuyến tính bị chặn xác định bởi
V(s, t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ L 2 ([α, β]), trong đó V : [α, β]×[α, β]→ C là hàm liên tục.
Dễ dàng chứng minh được liên hợp A ∗ của A được xác định bởi
V(t, s)ψ(t)dt, ∀ψ ∈ L 2 ([α, β]). Định nghĩa 1.3.5 ([9]) Toán tử tuyến tính bị chặn A: H → H được gọi là tự liên hợp hoặc đối xứng nếu A = A ∗
Ví dụ 1.3.6 Xét toán tử tích phân đã cho ở Ví dụ 1.3.4 Giả sử V thỏa mãn V(s, t) = V(t, s) với mọi t, s ∈ [α, β] Dễ thấy A đối xứng.
Nhận xét 1.3.7 Cho A : H → H là toán tử tuyến tính bị chặn tự liên hợp Khi đó, các tính chất sau là đúng.
(iii) Nếu B ∈ B(H) là toán tử tự liên hợp và AB = BA thì AB là toán tử tự liên hợp. Định nghĩa 1.3.8 ([9]) Toán tử A ∈ B(H) được gọi là nghịch đảo nếu tồn tại B ∈ B(H) sao cho AB = BA = I Lúc này, toán tử B được gọi là toán tử nghịch đảo của A, kí hiệu là B = A −1 và ta nói A là toán tử khả nghịch. Định lý 1.3.9 ([9]) NếuA ∈ B(H) là toán tử tuyến tính sao cho∥A∥ < 1 thì toán tử I −A khả nghịch.
(I −A)(I +A 2 + +A n ) =I −A n+1 và ∥A n+1 ∥ ≤ ∥A∥ n+1 → 0 khi n → ∞ do ∥A∥ < 1 Suy ra n→∞lim(I −A)(I +A 2 + +A n ) =I ∈ B(H).
Mặt khác, vì ∥A∥< 1 và B(H) là đại số Banach nên tồn tại
Tóm lại, (I −A) khả nghịch và (I −A) −1 = S với S ∞
Nhận xét 1.3.10 ([9]) Lưu ý rằng nếu A, B ∈ B(H) là các toán tử khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB) −1 = B −1 A −1
Tương tự, nếu A ∈ B(H) khả nghịch và B ∈ B(H) sao cho
Vì∥A −1 (A−B)∥ < 1nên áp dụng Định lý 1.3.9 suy ra I−A −1 (A−B)khả nghịch Lại do, A khả nghịch nên A I −A −1 (A−B) cũng khả nghịch.
Ví dụ 1.3.11 Cho q : [α, β] → C là hàm liên tục Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn Mq trên H = L 2 ([α, β]) cho bởi
(M q ϕ)(s) = q(s)ϕ(s), ∀s ∈ [α, β]. Khi đó, λI −Mq khả nghịch trên L 2 ([α, β]) khi và chỉ khi λ−q(s) ̸= 0, ∀s ∈ [α, β] (1.12) Nghịch đảo (λI −Mq) −1 của λI −Mq là h (λI −M q ) −1 iψ(s) 1 λ−q(s) ψ(s).
Định nghĩa 1.3.12 ([9]) Toán tử tuyến tính bị chặn A trên H được gọi là compact nếu biến quả cầu đơn vị U (U = {x ∈ H : ∥x∥ ≤ 1}) vào tập hợp có bao đóng là compact
Hoặc, ta định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.3.13 ([9]) Toán tử tuyến tính bị chặn A trên H được gọi là compact nếu với mọi dãy (xn) n∈
N trên H với ∥x n ∥ ≤ 1, với mọi n ∈ N thì dãy (Ax n ) n∈
N có một dãy con hội tụ trên H.
Ta ký hiệu tập tất cả các toán tử tuyến tính compact trên H là K(H). Định lý 1.3.14([9]) NếuA, B ∈ B(H)là các toán tử tuyến tính compact thì
(iii) với C ∈ B(H) thì AC và CA là compact.
Với mọi f ∈ L(X) và n ∈ N ta viết f n = f ã ã ã f (n lần f) Một hàm φ xác định trong một lân cận của điểm λ 0 ∈ K nhận giá trị trong
L(X) được gọi là giải tích tại λ 0 nếu trong lân cận này có thể viết f(λ) ∞
Số λ ∈ K được gọi làchớnh quy đối với f ∈ L(X) nếu λ−f = λã1−f là phần tử khả nghịch của L(X) Trong trường hợp ngược lại ta nói λ thuộc phổ của f.
Ta kí hiệu các số chính quy đối với f là S(f), phổ của f kí hiệu làσ(f).
Ta nhớ lại rằng số λ được gọi là giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E) nếu tồn tại x ∈ X, x ̸= 0 sao cho λx−f(x) = 0 Trong trường hợp này λ− f không khả nghịch, do đó nếu λ là giá trị riêng của f thì λ ∈ σ(f). Định lý 1.3.15 ([1]) Nếu L(X) là một đại số Banach thì với mọi f ∈
L(X) phổ của f là tập con compact của K, hàm λ → (λ −f) −1 là giải tích trên tập mở S(f) của K Hơn nữa, nếu K = C, tức X là không gian phức thì σ(f) ̸= ∅.
Chứng minh Lấy tuỳ ý λ ∈ K với |λ| > ∥f∥ Do chuỗi
X n=0 f n λ n+1 hội tụ trong không gian Banach L(X) Kí hiệu g(λ) ∞
X n=0 f n λ n+1 ∈ L(X), ta có g(λ) → 0 khi λ → ∞ Bởi vì g(λ)(λ−f) = (λ−f)g(λ) = (λ−f)
X n=0 f n+1 λ n+1 = 1, nên λ−f khả nghịch và có khả nghịch là g(λ) Bởi vì λ tuỳ ý, |λ| > ∥f∥ nên ta có σ(f) ⊂ {λ ∈ K : |λ| ≤ ∥f∥}, nghĩa là σ(f) bị chặn Để chứng minh σ(f) compact ta còn phải chỉ ra nó đóng hay S(f) mở Lấy tuỳ ý λ 0 ∈ S(f), dễ thấy chuỗi
(λ 0 −λ) n (λ 0 −f) −(n+1) hội tụ đến một hàm giải tích h(λ) trong lân cận U ( λ ∈ K : |λ−λ0| < 1
) của điểm λ0 Với mọi λ ∈ U ta có h(λ)(λ−f) = (λ−f)h(λ)
= 1, do đó λ −f khả nghịch và U ⊂ S(f) Vậy S(f) mở, σ(f) compact và λ → (λ−f) −1 là hàm giải tích trên S(f).
Bây giờ giả sửK = C NếuL là phiếm hàm tuyến tính liên tục từL(X) vào C thì λ → L (λ−f) −1 là một hàm giải tích phức trên tập S(f).Khi đó, hàm này dần đến 0 khi λ → ∞ Nếu σ(f) = ∅ thì S(f) = C Do đó, L
= 0 với mọi λ ∈ C Vậy tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục L trên L(X) sao cho L
(λ−f) −1 ̸= 0 Ta gặp mâu thuẫn Vậy σ(f) ̸= ∅.
Từ chứng minh định lí 1.3.15 ta có các hệ quả sau:
Toán tử tuyến tính không bị chặn 21
Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.1.1 ([9]) Toán tử tuyến tính không bị chặn A từ X vào
Y là một cặp (A,D(A)), trong đó D(A) ⊂ X (được gọi là tập xác định của A ) và A : D(A) ⊂ X → Y là một phép biến đổi tuyến tính (có thể không liên tục).
Ví dụ 2.1.2 Ta chọnX = Y = L 2 (R) và xét toán tử Laplace 1 chiều xác định bởi
Ta biết rằng, không gian L 2 (R) được trang bị chuẩn
Rõ ràng, với mọi n = 1,2, thì ψ n ∈ D(A) =H 2 (R) Hơn nữa,
∥ψ n ∥ 2 = n→ ∞ khi n dần đến ∞, hay, A là toán tử tuyến tính không bị chặn trên L 2 (R).
Ví dụ 2.1.3 Chọn X = Y = L 2 (0,1) và xét toán tử đạo hàm được xác định bởi
D(A) = C 1 (0,1) và Au = u ′ , với mọi u ∈ C 1 (0,1), trong đó C 1 (0,1) là tập hợp các hàm khả vi liên tục trên (0,1).
Xét dãy hàm ϕn(t) = t n , n = 1,2, Rõ ràng, với mọi n= 1,2, thì ϕ n ∈ C 1 (0,1) Hơn nữa,
∥ϕ n ∥ 2 = n r2n+ 1 2n−1 → ∞, khi n dần đến ∞, hay, A là toán tử tuyến tính không bị chặn trên L 2 (R). Định nghĩa 2.1.4 ([9]) Nếu A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính không bị chặn trên X, thì đồ thị của nó được xác định bởi
G(A) = {(x, Ax) ∈ X ×X : x ∈ D(A)}. Định nghĩa 2.1.5 ([9]) NếuA, B là các toán tử tuyến tính không bị chặn trên X, thì A được gọi là mở rộng của B nếu
Ta ký hiệu là B ⊂A Hơn nữa, B ⊂ A khi và chỉ khi G(B) ⊂ G(A).Khái niệm về đồ thị của một toán tử là rất quan trọng vì nó cho phép chúng ta nghiên cứu được bao đóng của một toán tử.
Toán tử tuyến tính đóng và toán tử tuyến tính khả đóng
Định nghĩa 2.2.1 ([9]) Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X được gọi là đóng nếu đồ thị của nó G(A) ⊂X ×X là một tập đóng.
Tính chất đóng của toán tử tuyến tính không bị chặn Ađược đặc trưng như sau:
Ví dụ 2.2.2 Mọi toán tử tuyến tính bị chặn A : X → X đều là toán tử đóng.
N ∈ D(A) sao cho u n → u và Au n → v trong
X khi n → ∞ Vì A bị chặn nên D(A) = X Do A tuyến tính, bị chặn nên nó liên tục Suy ra u ∈ X và Au = v.
Ví dụ 2.2.3 Giả sử A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính đóng và
B ∈ L(X) Khi đó, A+B là toán tử tuyến tính đóng.
N ∈ D(A+ B) = D(A) sao cho u n → u và (A+B)u n →v trong X khi n → ∞.
Vì B bị chặn nên suy ra Au n → v−Bu trong X khi n → ∞ Cuối cùng, do A đóng, nên u ∈ D(A) và Au = v −Bu hay (A+B)u = v. Định nghĩa 2.2.4 ([9]) Toán tử A : D(A) ⊂ X → X được gọi là khả đóng nếu nó có một thác triển là toán tử đóng.
Ta biết rằng, nếu A toán tử khả đóng thì G(A) chính là đồ thị của nó. Hay tương đương là: nếu un ∈ D(A), un →0 và Aun → v thì v = 0. Hơn nữa, nếu A là toán tử khả đóng, thì thác triển đóng nhỏ nhất của nó được gọi là bao đóng của A và ta ký hiệu là A¯ Như vậy, toán tử A¯ được xác định bởi
Au¯ = limAu n ,∀u ∈ D( ¯A) . Hơn nữa, bao đóng A¯ của A thỏa mãn G( ¯A) =G(A).
Ví dụ 2.2.5 Giả sử X = L 2 (R n ) và xét toán tử tuyến tính A được xác định bởi D(A) =C 0 ∞ (R n ) và Au = −∆u, với mọi u ∈ C 0 ∞ (R n ).
Ta thấy, A là toán tử khả đóng và bao đóng của nó được xác định bởi
Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn
Nếu A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính đóng trên X, thì ρ(A) là tập giải của A được xác định bởi ρ(A) = λ ∈ C :λI −A là đơn ánh, và (λI −A) −1 ∈ L(X) , và tập phổ σ(A) của A là phần bù của tập giải ρ(A) trong C.
Tiếp theo, nếu λ ∈ ρ(A), thì hàm giá trị toán tử
R(λ, A) := (λI −A) −1 : ρ(A) 7→L(X) được gọi là giải thức của toán tử A Lưu ý rằng ρ(A) ̸= ∅ nếu A là toán tử đóng.
Như đối với các toán tử tuyến tính bị chặn, phổ của một toán tử không bị chặn có thể được chia thành ba tập con rời nhau nằm trong mặt phẳng phức, tức là, σ(A) =σ c (A)∪ σ r (A)∪ σ p , trong đó σ c (A), σ r (A), σ p (A) lần lượt là phổ liên tục, phổ dư, và phổ điểm của toán tử A xác định bởi:
(i) λ ∈ σ c (A) nếu λ ∈ C, λI −A là đơn ánh, và R(λI −A) =X;
(ii) λ ∈ σ r (A) nếu λ ∈ C, λI −A là đơn ánh, và R(λI −A) ̸= X;
(iii) λ ∈ σ p (A) nếu λ ∈ C, và λI −A không là đơn ánh.
Vớ dụ 2.3.1 Cố định λ, t > 0 Trong X := L 2 (0, t) với chuẩn ∥ ã ∥ 2 , xỏc định toán tử A bởi
Tập giải và tập phổ của toán tử tuyến tính A tương ứng là ρ(A) =C− λπ 2 t 2 n 2 : n = 1,2,3,
Mệnh đề 2.3.2 ([9]) Nếu A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính đúng và nếu λ, à ∈ ρ(A), thỡ với bất kỳ λ ∈ ρ(A), toỏn tử R(λ, A) là toỏn tử tuyến tính bị chặn trên X.
Chứng minh Giả sử λ ∈ ρ(A) Dễ thấy,
R(λI −A) = D (λI −A) −1 là trù mật trong X và tồn tại K > 0 sao cho
∥(λI −A)u∥ ≥ K∥u∥ ∀u ∈ D(A). Để hoàn thành chứng minh, ta phải chỉ ra rằng R(λI − A) = X Thật vậy, giả (u n ) n∈
N ⊂ D(A) và (λI −A)u n → v khi n → ∞ Áp dụng bất đẳng thức nêu trên, suy ra tồn tại u ∈ X sao cho un →u khi n→ ∞ Vì
A đóng nên suy ra u ∈ D(A) và (λI −A)u = v Do đó, theo giả thiết về tính trù mật R(λI −A) = X, ta có R(λI −A) = X.
Mệnh đề 2.3.3 ([9]) Cho A và B là hai toán tử tuyến tính đóng trên X (có thể không bị chặn) Khi đó
Hơn nữa, R(λ, A) và R(à, A) giao hoỏn với nhau.
(ii) Nếu D(A) ⊂ D(B), thì với mọi λ ∈ ρ(A)∩ρ(B) ta có
(iii) Nếu D(A) =D(B), thì với mọi λ ∈ ρ(A)∩ρ(B) ta có
= R(λ, B)(A−B)R(λ, A). Định lý 2.3.4 ([9]) Nếu A: D(A) ⊂ H →X là toán tử tuyến tính đóng, thì ρ(A) là một tập con mở của K Do đó, σ(A) một tập đóng Tức là, nếu λ ∈ ρ(A), thỡ à∈ ρ(A) với mọi à ∈ F sao cho |λ−à| < ∥R(λ, A)∥ −1 và với những giỏ trị à này ta cú:
Hơn nữa, phổ của A là compact, và
Toán tử tuyến tính tự liên hợp và toán tử tuyến tính đối xứng 26
xứng Định nghĩa 2.4.1 ([9]) Nếu A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử tuyến tính trù mật xác định, thì liên hợp của nó ký hiệu là A ∗ được xác định một cách duy nhất bởi
D(A ∗ ) ={v ∈ H : u 7→ ⟨Au, v⟩ là H - liên tục trên D(A)}, và
Ta định nghĩa các ánh xạ U : H×H 7→H×H và V :H×H 7→ H×H như sau
Rõ ràng, U và V là các đẳng cấu từ H ×H vào H ×H Hơn nữa, nghịch đảo của chúng là
Nếu A là một toán tử tuyến tính xác định trù mật(có thể không bị chặn), tức là, D(A) = H Ta nhận thấy
Mệnh đề 2.4.2 ([9]) Giả sử A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử tuyến tính không bị chặn xác định trù mật, tức là D(A) = H Khi đó
(ii) A là toán tử đóng khi và chỉ khi A ∗ xác định trù mật; trong trường hợp này A¯= (A ∗ ) ∗ ;
Chứng minh (i) Từ (2.1) suy ra
Do đó, G (A ∗ ) là một tập đóng, hay, A ∗ là toán tử đóng.
(ii) Với mọi z ∈ D(A ∗ ) ta có
Suy ra (0, v) ∈ G(A) khi và chỉ khi v ∈ D (A ∗ ) ⊥ Vì vậy (0, v) ∈ G(A) kéo theo v = 0 khi và chỉ khi D(A ∗ ) =H Do đó, G(A) là một đồ thị nếu và chỉ nếu toán tử tuyến tính A ∗ là xác định trù mật.
Bây giờ, nếu D(A ∗ ) trù mật, thì
= U −1 UG(A) ⊥⊥ = G(A) =G( ¯A). (iii) Giả sử A là toán tử khả đóng Khi đó,
Mệnh đề 2.4.3 ([9]) Nếu A, B là các toán tử tuyến tính không bị chặn xác định trù mật trên H, thì
(iii) nếu A+B xác định trù mật, thì (A+B) ∗ ⊃A ∗ +B ∗
Chứng minh (i) Ta chứng minh các toán tử A ∗ B ∗ và BA là liên hợp của nhau Thật vây, giả sử u ∈ D(A ∗ B ∗ ) và v ∈ D(BA) Khi đó, u ∈ D(B ∗ ) và B ∗ u ∈ D(A ∗ ) Dễ thấy, v ∈ D(A) và Av ∈ D(B) Sử dụng định nghĩa liên hợp suy ra
(ii) Sử dụng (i), ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy, giả sử u ∈ D((BA) ∗ ) Vì B ∗ bị chặn suy ra với mọi v ∈
Khi đó, với mọi v ∈ D(A+B) =D(A)∩D(B), ta có
Suy ra u ∈ D((A+B) ∗ ) và (A+B) ∗ u = A ∗ u+B ∗ u. Định nghĩa 2.4.4 ([9]) Giả sử A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử xác định trù mật trên H Khi đó
(ii) A là tự liên hợp nếu A = A ∗
Ví dụ 2.4.5 Ta xét H = L 2 [0,1] và toán tử tuyến tính A xác định bởi
A ∗ u = iu ′ với mọi u ∈ D (A ∗ ), trong đó
D(A ∗ ) = u : u là liên tục tuyệt đối, u ′ ∈ L 2 [0,1]
Như vậy A ⊂A ∗ , suy ra, A là đối xứng.
Lưu ý rằng, A không phải là toán tử đóng Tuy nhiên, nó là toán tử khả đóng, và bao đóng của nó xác định bởi
Au¯ = iu ′ với mọi u ∈ D( ¯A), trong đó
D( ¯A) = u : u là liên tục tuyệt đối, u ′ ∈ L 2 [0,1], u(0) = u(1) = 0
Ví dụ 2.4.6 Xét H = L 2 [0,1] và toán tử tuyến tính B xác định bởi
Au = iu ′ với mọi u ∈ D(B), trong đó
D(B) = u : u là liên tục tuyệt đối, u ′ ∈ L 2 [0,1], u(0) = u(1) = 0
Dễ thấy B ⊂ B ∗ , suy ra, B là đối xứng Hơn nữa, ta có B = B ∗
Mệnh đề 2.4.7 ([9]) Mọi toán tử đối xứng A trên H đều là toán tử khả đóng.
Chứng minh Dễ thấy A khả đóng vì A ⊂ A ∗ và A ∗ là đóng được suy ra từ Mệnh đề 2.4.2 (i) Tiếp theo, với mọi u, v ∈ D(A) ta tìm được các dãy u n , v n ⊂ D(A)sao chou n → uvàv n → v Hơn nữaAu n → Au, Av¯ n →Av¯ khi n→ ∞ Do A là toán tử đối xứng nên
⟨Au, v¯ ⟩ = lim n→∞⟨Au n , v n ⟩ = lim n→∞⟨u n , Av n ⟩ = ⟨u,Av⟩.¯ Cuối cùng, vì D( ¯A) trù mật nên A¯ là toán tử đối xứng.
Nhận xét 2.4.8 ([9]) Lưu ý rằng một toán tử đối xứng A được gọi là tự liên hợp thiết yếu nếu nó có một thác triển tự liên hợp duy nhất. Định lý 2.4.9 ([9]) Cho A : D(A) ⊂H → H là một toán tử tự liên hợp. Khi đó σ(A) =σ p (A)∪ σ c (A). Định lý 2.4.10 ([9]) Cho {E λ } λ∈
R là một họ phổ các phép chiếu trực giao Eλ, tức là,
Ta xây dựng toán tử A cho bởi
−∞ λdE λ , tức là với mọi u ∈ D(A), ta có
Khi đó A là toán tử tuyến tính tự liên hợp trên H and
Ví dụ 2.4.11 Cho A là toán tử trên L 2 [0; 1] được xác định bởi toán tử
Ax = idx dt, với miền xác định
Khi đó, bất kỳ x ∈ D(A) và y ∈ D(A ∗ ) ta có
Z t 0 y ∗ (τ)dτ Do đó, ta được ⟨Ax, y − y⟩˜ = 0 với mọi x ∈ D(A), tức là, y −y˜∈ (ImA) ⊥
Vì L 2 [0; 1] = span{cosnπx} ∞ n=1 ⊕span{1}, cosnπx ∈ ImA và 1 ⊥ ImA, ta được (ImA) ⊥ = span{1}.
Suy ra y −y˜= C với C là hằng số, tức là, y(t) = −i
Z t 0 y ∗ (τ)dτ +C. Vậy y(t) là liên tục tuyệt đối, y ′ = −iy ∗ ∈ L 2 [0; 1] và hơn nữa y ∗ = A ∗ y = iy ′ Ngược lại, nếu y(t) là liên tục tuyệt đối và y ∗ ∈ L 2 [0; 1] thì với x ∈ D(A):
(ix ′ )(t)y(t)dtZ 1 0 x(t)iy ′ (t)dt= ⟨x, y ∗ ⟩, trong đó y ∗ = iy ′ Vậy, ta kết luận
D(A ∗ ) = {y :y là liên tục tuyệt đối, y ′ ∈ L 2 [0; 1]},
(lưu ý rằng bỏ qua điều kiện bị chặn) và A ∗ y = iy ′ Vì vậy, A ⊆ A ∗ ; tức là A là đối xứng A không đóng (vì DomA là rất nhỏ) Nhưng A là khả đóng A 1 = A xác định bởi
D(A 1 ) ={x : xlà liên tục tuyệt đối, x ′ ∈ L 2 [0; 1], x(0) = x(1) = 0}, và A1x = ix ′
Ví dụ 2.4.12 Cho A 2 là toán tử xác định trên H = L 2 [0; 1] như trên bởi
A 2 x = idx dt nhưng bây giờ
D(A 2 ) = {x ∈ H : xlà liên tục tuyệt đối, x ′ ∈ L 2 [0; 1], x(0) = x(1)}.
Ta dễ dàng kiểm tra rằng A 2 là toán tử đối xứng Ta có A 2 ⊇ A 1 và vậy
A ∗ 1 ⊇ A ∗ 2 Do đó, với mọi y ∈ D(A ∗ 2 ) là liên tục tuyệt đối, y ′ ∈ L 2 [0; 1] và y ∗ = A ∗ 2 y = iy ′ Vậy, với mọi x ∈ D(A2) và y ∈ D(A ∗ 2 ) ta được
Ta chứng minh rằng y(0) = y(1) Nếu trường hợp này không xảy ra, ta xét dãyx n sao cho x n ∈ D(A 2 ),x n (0) = x n (1) = 1 vàx n →0trên L 2 [0; 1] Ta được ⟨x n , y ∗ ⟩ → 0 và ⟨x n , iy ′ ⟩ → 0, vậy ⟨A 2 x n , y⟩ → i(y(1)−y(0)) ̸= 0, điều này là mâu thuẫn Nên y(1) = y(0) và do đó A ∗ 2 = A2, tức là, toán tử A 2 là tự liên hợp.
Ví dụ 2.4.13 (Toán tử nhân) Cho ∂ ⊂ R là một khoảng tuỳ ý và C 0 (∂) là tập hợp tất cả các hàm liên tục u : ∂ → C thoả mãn ∀ε > 0, khi đó tồn tại một khoảng compact I ε ⊂∂ sao cho
Khi đó định nghĩa toán tử nhân M γ trên C 0 (∂) bởi
Theo trên, M γ là toán tử tuyến tính không bị chặn trên C 0 (∂) Hơn nữa, ta có M γ bị chặn khi và chỉ khi γ bị chặn Khi đó,
Bài tập
Bài tập 2.5.1 Trên không gian con các hàm xác định và bị chặn trên đoạn [0; 1] của không gian Hilbert L 2 [0; 1] cho phiếm hàm: f(x) =x
Chứng minh rằng f là phiếm hàm tuyến tính nhưng không bị chặn.
Dễ thấy f xác định trên L2[0; 1].
Ta chứng minh f tuyến tính.
Vậy f là phiếm hàm tuyến tính.
Xét dãy (xn) ⊂ L2[0; 1] xác định như sau:
Vậy f là phiếm hàm tuyến tính không bị chặn.
Ta có thể tổng quát bài toán với khoảng (a;b) tuỳ ý như sau: Trên không gian con các hàm xác định và bị chặn trên đoạn[a;b]của không gian Hilbert
L 2 [a;b], t 0 là điểm cố định thuộc [a;b], f là một hàm trên H định nghĩa bởi f(x) = x(t 0 ), thì f là hàm tuyến tính nhưng không bị chặn.
Bài tập 2.5.2 Cho toán tử vi phân trên không gian con của L2[−π;π]:
Chứng minh rằng toán tử vi phân nói trên không bị chặn.
Vậy toán tử vi phân trên không bị chặn.
Ta có thể tổng quát bài toán với khoảng (a;b) tùy ý.
Qua quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, em đã bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả Qua đó em cũng củng cố thêm kiến thức giải tích hàm, đồng thời thấy được sự phong phú, lí thú của toán học Đặc biệt trong khóa luận này em nghiên cứu một cách khái quát một số vấn đề của lí thuyết toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Banach và không gian Hilbert.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do nhiều hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót Em mong được sự đóng góp của các thầy, cô và các bạn.