Các định lý của carnot và ứng dụng trong giải toán hình học

31.1.1 Định lý Carnot về tổng khoảng cách từ tâm đườngtròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác.. 121.2.1 Định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để sáu điểmtrên ba cạnh của tam giác nằm trên m

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ VÂN ANH CÁC ĐỊNH LÝ CỦA CARNOT VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2024 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ VÂN ANH CÁC ĐỊNH LÝ CỦA CARNOT VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trịnh Thanh Hải TS Nguyễn Thị Loan THÁI NGUYÊN - 2024 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Định lý Carnot 3 1.1 Tổng quan về định lý Carnot 3 1.1.1 Định lý Carnot về tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác 3 1.1.2 Định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy 8 1.2 Một số kết quả mở rộng 12 1.2.1 Định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để sáu điểm trên ba cạnh của tam giác nằm trên một đường conic 12 1.2.2 Định lý Carnot mở rộng định lý Simson 17 2 Một số ứng dụng của định lý Carnot 21 2.1 Ứng dụng các định lý Carnot vào giải bài toán liên quan đến đa giác 21 2.2 Ứng dụng các định lý Carnot vào giải bài toán đồng quy 25 2.3 Ứng dụng các định lý Carnot vào giải bài toán liên quan đến đường conic 37 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS TS Trịnh Thanh Hải và TS Nguyễn Thị Loan Thầy và cô đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình làm luận văn này Em xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, khoa Toán - Tin trường ĐHKH, các thầy cô giáo, các phòng chức năng của trường ĐHKH đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong quá trình học tập tại trường Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, các bạn học viên trong lớp cao học toán khóa 15 đã động viên và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập cùng nhau Cuối cùng em xin bày tỏ sự biết ơn vô hạn đối với cha mẹ, các anh chị em và người thân trong gia đình mình đã động viên và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 01 năm 2024 Tác giả luận văn Phạm Thị Vân Anh 1 Mở đầu Trong hình học phẳng, có 4 định lý được đặt tên theo nhà khoa học Lazare Carnot (1753–1823) là: (i) Định lý Carnot về tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác (ii) Định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy, còn gọi là định lý Carnot về tam giác hình chiếu (iii) Định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để sáu điểm trên các cạnh của tam giác nằm trên một đường conic, còn gọi là định lý Carnot về đường conic (iv) Định lý Carnot về việc mở rộng định lý đường thẳng Simson Dựa vào các định lý trên cho phép ta đưa ra lời giải hay cho một số bài toán hình học phẳng Cũng có một vài giáo viên toán như: Huỳnh Chí Hào, Cao Đình Huy điểm qua ứng dụng của định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy vào giải các bài toán dành cho học sinh giỏi, xuất bản trên một số tạp chí toán học uy tín như tạp chí Epsilon, nhưng chưa có luận văn nào tập trung vào đi sâu, nghiên cứu, vận dụng các định lý Carnot vào giải toán Chính vì vậy, em chọn chủ đề “Các định lý của Carnot và ứng dụng trong giải toán hình học” làm hướng nghiên cứu cho đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu của luận văn là trình bày một số kết quả mới liên quan đến các định lý Carnot và một số bài toán minh họa việc ứng dụng 2 các định lý Carnot vào giải một số bài toán hình học là đề thi chọn học sinh giỏi quốc tế và Việt Nam Luận văn có các nhiệm vụ nghiên cứu chính sau: ˆ Giới thiệu về các định lý Carnot trong phạm vi hình học phẳng ˆ Dịch, đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống một số kết quả mới liên quan đến các định lý Carnot được công bố trong thời gian gần đây trên các tạp chí Toán học ˆ Tìm, trình bày một cách có chọn lọc một số bài toán minh họa việc ứng dụng định lý Carnot vào giải một số bài toán là đề thi chọn học sinh giỏi quốc tế và Việt Nam Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương, cụ thể: Chương 1 Định lý Carnot trình bày phát biểu của các định lý Carnot và đưa ra ví dụ minh họa cũng như một số định lý cơ bản cần dùng trong chứng minh Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Carnot trình bày một số kết quả mới có ứng dụng định lý Carnot và ứng dụng định lý Carnot vào giải một số bài toán hình học là đề thi học sinh giỏi 3 Chương 1 Định lý Carnot 1.1 Tổng quan về định lý Carnot 1.1.1 Định lý Carnot về tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác Định lý 1.1.1 (Định lý Carnot thứ nhất, [1]) Trong một tam giác, tổng các khoảng cách có dấu từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến các cạnh bằng tổng các bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp Khoảng cách có dấu được quy ước như sau: Khoảng cách mang dấu âm nếu đoạn thẳng tương ứng nằm hoàn toàn bên ngoài tam giác Trong Hình 1.1, cạnh OE nằm hoàn toàn bên ngoài tam giác nên có dấu âm nên ta có: OD − OE + OF = R + r Hình 1.1: Cạnh OE mang dấu âm 4 Chứng minh Ký hiệu O là tâm đường tròn ngoại tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, A′, B′, C′ là chân đường vuông góc hạ từ O tới các cạnh BC, CA, AB (i) Trước tiên, ta chứng minh định lý với trường hợp tam giác nhọn Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp luôn luôn nằm trong tam giác nên các khoảng cách OA′, OB′, OC′ đều có dấu dương Hình 1.2: Định lý Carnot trong trường hợp tam giác nhọn Các tứ giác AB′OC′, BC′OA′ và CA′OB′ đều là tứ giác nội tiếp (đường kính của đường tròn ngoại tiếp của chúng theo thứ tự là OA, OB, OC) Xét tứ giác AB′OC′, theo định lý Ptolemy (trong tứ giác nội tiếp tích hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện) ta có OA · B′C′ = AC′ · OB′ + AB′ · OC′ hay R · BC = AB · OB′ + CA · OC′ ⇔ BCR = AB · OB′ + CA · OC′ 2 2 2 Tương tự với hai tứ giác nội tiếp còn lại ta có CA · R = BC · OC′ + AB · OA′, AB · R = BC · OB′ + CA · OA′ 5 Từ đây suy ra R(BC + CA + AB) = BC(OC′ + OB′) + CA(OA′ + OC′) + AB(OA′ + OB′) (1.1) Mặt khác, ta có hai công thức tính diện tích tam giác ABC là: 2S△ABC = BC · OA′ + CA · OB′ + AB · OC′ và 2S△ABC = r(BC + CA + AB), với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Vậy suy ra (1.2) r(BC + CA + AB) = BC · OA′ + CA · OB′ + AB · OC′ Cộng vế theo vế của (1.1) và 1.2 suy ra (R + r)(BC + CA + AB) = BC(OA′ + OB′ + OC′) + CA(OA′ + OB′ + OC′) + AB(OA′ + OB′ + OC′) = (BC + CA + AB)(OA′ + OB′ + OC′) ⇔ R + r = OA′ + OB′ + OC′ Vậy ta thu được định lý Carnot trong trường hợp tam giác nhọn (ii) Đối với tam giác tù, không mất tính tổng quát, ta giả sử tam giác tù tại A (xem Hình 1.3) Ta thấy các tứ giác AB′OC′, BC′A′O và CB′A′O vẫn là tứ giác nội tiếp Xét tứ giác nội tiếp AB′OC′, tương tự như trên ta thu được BC · R = AB · OB′ + CA · OC′ Xét tứ giác nội tiếp BC′A′O, theo định lý Ptolemy ta có OC′ · BA′ = OB · C′A′ + BC′ · OA′ ⇔ OB · C′A′ = OC′ · BA′ − BC′ · OA′ ⇔ CA · R = BC · OC′ − AB · OA′ 6 Hình 1.3: Định lý Carnot trong trường hợp tam giác tù Xét tứ giác nội tiếp CB′A′O, theo định lý Ptolemy ta có OB′ · CA′ = OC · B′A′ + CB′ · OA′ ⇔ OC · B′A′ = OB′ · CA′ − CB′ · OA′ ⇔ AB · R = BC · OB′ − CA · OA′ Cộng ba đẳng thức trên ta thu được R(BC + CA + AB) = BC(OC′ + OB′) + CA(OC′ − OA′) + AB(OB′ − OA′) (1.3) Mặt khác, ta có hai công thức tính diện tích tam giác ABC là: 2S△ABC = 2(S△OAB + S△OAC − S△OBC ) = −BC · OA′ + CA · OB′ + AB · OC′ và 2S△ABC = r(BC + CA + AB), Vậy suy ra (1.4) r(BC + CA + AB) = −BC · OA′ + CA · OB′ + AB · OC′ Cộng vế theo vế của (1.3) và 1.4 suy ra (R + r)(BC + CA + AB) = BC(−OA′ + OB′ + OC′) + CA(−OA′ + OB′ + OC′)