Năm 1800, Ryokwan Maruyama khắc một bài toán hình học lên một tấm bảng gỗ và treo nó trong đền thờ Tsuruoka-Sannosha ở phía bắc đảo Honshu của Nhật Bản. Mặc dù việc đăng một câu đố toán học trong một ngôi đền Shinto nghe có vẻ xa lạ với chúng ta ngày nay, nhưng nó không phải là hiếm vào thời điểm đó ở Nhật Bản. Bài toán của Maruyama phát biểu như sau:
Bài toán 2.1.1 (Bài toán Maruyama, [4]). Vẽ sáu đoạn thẳng trong một đường tròn và vẽ bốn đường tròn nội tiếp ba đường thẳng. Nếu đường kính của vòng tròn phía nam, phía đông và phía tây lần lượt là 1, 2 và 3, thì đường kính của vòng tròn phía bắc dài bao nhiêu?
Theo truyền thống, Maruyama cũng đưa ra đáp án cho bài toán mô tả ngắn gọn về cách đi đến câu trả lời này. Nhưng ông không chứng minh.
Câu trả lời của Maruyama ngụ ý rằng trong bất kỳ cấu hình nào như vậy dN = dE +dW −dS,
trong đó dN, dE, dW và dS lần lượt là đường kính của các đường tròn phía
Hình 2.1: Bài toán Maruyama
bắc, phía đông, phía tây và phía nam. Sử dụng bán kính, ta có biểu thức tương đương
rN +rS = rE +rW.
Kết quả đáng ngạc nhiên này được gọi là Định lý Nhật Bản.
Định lý 2.1.2 (Định lý Nhật Bản, [4]). Cho tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn. Kẻ một đường chéo của của tứ giác rồi vẽ hai đường tròn nội tiếp trong hai tam giác thu được. Khi đó tổng hai bán kính đường tròn nội tiếp không phụ thuộc cách kẻ đường chéo.
Hình 2.2: Định lý Nhật Bản
Ngay sau khi bước sang thế kỷ 20, định lý đáng chú ý này ngay lập tức
thu hút sự chú ý của các nhà toán học và được phổ biến rộng rãi. Năm 1985, Ross Honsberger đã nhận ra rằng có nhiều cách khác để tam giác phân một đa giác n cạnh bằng các đường chéo không cắt nhau và tính bất biến của tổng các bán kính của các đường tròn nội tiếp tam giác cũng đúng trong các trường hợp này. Chúng ta gọi kết quả này là định lý Nhật Bản cho đa giác.
Định lý 2.1.3 (Định lý Nhật Bản cho đa giác, [4]). Thực hiện một phép tam giác phân một đa giác nội tiếp bằng các đường chéo không cắt nhau.
Khi đó tổng các bán kính của các đường tròn nội tiếp tam giác độc lập với cách chọn phép tam giác phân.
Ký hiệu P là đa giác nội tiếp bất kỳ được tam giác phân bằng các đường chéo không cắt nhau. Ký hiệu rP là tổng các bán kính của các đường tròn nội tiếp của các tam giác. Định lý Nhật Bản khẳng định rằng rP độc lập với cách chọn phép tam giác phân.
Định lý 2.1.4 (Định lý Carnot cho đa giáp nội tiếp). Giả sử P là một đa giác nội tiếp n cạnh được tam giác phân bởi các đường chéo. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp P, ký hiệu d1, d2, . . . , dn là khoảng cách có dấu từ tâm đường tròn ngoại tiếp tới các cạnh của P, gọi r1, r2, . . . , rn−2 là bán kính đường tròn nội tiếp của các tam giác trong phép tam giác phân.
Khi đó
(n−2)R+
n−2
X
k=1
rk =
n
X
i=1
di.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phép quy nạp. Với n = 3, định lý trên trở thành Định lý 1.1.1 nên đúng. Giả sử định lý đúng với n ≥ 3. Gọi P là một đa giác nội tiếp (n+ 1) cạnh được tam giác phân bằng các đường chéo. Khi đó, P có n+ 1 cạnh và được phân thành n−1 tam giác, theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một tam giác có hai cạnh chung với P. Không mất tính tổng quát, ký hiệu dn và dn+1 là khoảng cách có dấu đối với hai cạnh chung này, gọi rn−1 là bán kính của đường tròn nội tiếp này. Xóa tam
giác này để thu được đa giác nội tiếp P′ có n cạnh và gọi d′n là khoảng cách có dấu tới cạnh mới. Theo giả thiết quy nạp, ta có
n−2
X
k=1
rk = (2−n)R+d′n +
n−1
X
i=1
di.
Bây giờ, xét tam giác bị xóa. Nhận xét chính là khoảng cách có dấu từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến các cạnh của tam giác này là −d′n, dn và dn+1. Chẳng hạn như trong Hình 2.3(a), khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tới cạnh nét đứt mang dấu dương đối với tam giác p1p4p5 nhưng mang dấu âm đối với đa giácp1p2p3p4.Tương tự trong Hình 2.3(b), khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tới cạnh nét đứt mang dấu âm đối với tam giác p1p4p5 nhưng mang dấu dương đối với đa giác p1p2p3p4.
Hình 2.3: Tam giác bị xóa là p1p4p5.
Theo định lý Carnot cho tam giác, ta có rn−1+R = −d′n+dn+dn+1. Do đó
n−1
X
k=1
rk =
n−2
X
k=1
rk +rn−1
= (2−n)R+ d′n +
n−1
X
i=1
di+ (−R+−d′n +dn+dn+1)
= (2−(n+ 1))R+
n+1
X
i=1
di.
Điều phải chứng minh.
Định lý Nhật Bản là hệ quả trực tiếp của định lý Carnot này.
Chứng minh của Định lý Nhật Bản. Gọi P là một đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn bán kính R. Theo định lý Carnot cho đa giác nội tiếp, với bất kỳ phép phân tam giác của P bằng các đường chéo ta có
rP =
n−2
X
k=1
rk = (2−n)R+
n
X
i=1
di,
trong đó rk và di được xác định như ở trên. Nhưng R, n và di không phụ thuộc vào phép phân tam giác nên rP là tổng bán kính đường tròn nội tiếp cũng không phụ thuộc vào phép phân tam giác.
Nhận xét 2.1.5. Kết quả trên kéo theo một cách nhìn thú vị về giá trị đo của rP. Sắp xếp lại các số hạng ta thu được
rP = 2R−
n
X
k=1
(R−dk).
Đại lượngR−dk là độ chênh lệch giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp với độ dài đường vuông góc tới cạnh thứ k của P. Mặt khác, rP bằng đường kích của đường tròn ngoại tiếp trừ đi tổng chênh lệch. Do đó, giá trị lớn của rP tương ứng các đa giác gần đúng với đường tròn hơn.