Cho tam giác ABC, các điểm A1, A2 trên đường BC, B1, B2 trên đường CA và C1 và C2 trên đường AB sao cho các điểm A1, A2, B1, B2, C1 và C2 cùng nằm trên một đường conic C (tức là ta vận dụng được định lý Carnot). Xác định D1, D2, E1, E2, F1, F2, B3, B4, C3, C4, A3, A4, E3, E4, F3, F4, D3, D4 như trong Mục 1.2.1.
Định lý 2.3.1 ([5]). Các điểm D3, D4, E3, E4, F3 và F4 cùng nằm trên đường conic D.
Chứng minh. Từ chứng minh của Định lý 1.2.2, ta suy ra CE3
E3A = −C1B AC1
ã A1C BA1
, AF3
F3B = −A1C BA1
B1C CB1
,BD3
D3C = −B1A CB1
C1B AC1
, CE4
E4A = −C2B AC2
ã A2C BA2
, AF4
F4B = −A2C BA2
B2C CB2
,BD4
D4C = −B2A CB2
C2B AC2
.
Do đó, theo (1.6), ta có CE3
E3A ã CE4
E4A ã AF3
F3B ã AF4
F4B ã BD3
D3C ã BD4 D4C = 1.
Theo chiều ngược của định lý Carnot, các điểm D3, D4, E3, E4, F3 và F4
cùng thuộc một đường conic.
Hình 2.10: Định lý 2.3.1
Theo cách tương tự, ta chứng minh được:
Định lý 2.3.2([5]).Bốn bộ sáu điểm(D3, D4, E3, E4, F3, F4), (A3, A4, B3, B4, F3, F4), (A3, A4, E3, E4, C3, C4) và (D3, D4, B3, B4, C3, C4) là các bộ điểm cùng nằm trên một đường conic.
Cuối cùng, ta vận dụng định lý Carnot (Định lý 1.2.1) để trình bày một chứng minh sơ cấp cho định lý Bradley [3]. Chứng minh đầu tiên của giả thuyết này sử dụng tọa độ tỉ cự. Áp dụng Carnot, ta thu được một chứng minh thuần túy, tức là chứng minh không sử dụng tọa độ hay công thức, cho định lý Bradley.
Cho tam giác ABC, các điểm A1, A2 trên đường BC, B1, B2 trên đường CA và C1 và C2 trên đường AB. Gọi X1 là giao điểm của đường thẳng
Hình 2.11: Định lý 2.3.2
AA1 với BB1, X2 là giao điểm của đường thẳng BB1 với CC1 và X3 là giao điểm của đường thẳng CC1 với AA1. Gọi Y1 là giao điểm của đường thẳng AA2 với BB2, Y2 là giao điểm của đường thẳng BB2 với CC2, Y3 là giao điểm của đường thẳng CC2 với AA2. Đặt T2 là giao điểm của đường thẳng X1Y3 với X3Y1. Điểm T3 và T1 được xác định tương tự.
Định lý 2.3.3 ([5]). T2 nằm trên đường thẳng BC, T3 nằm trên đường thẳng CA và T1 nằm trên đường thẳng AB.
Chứng minh. Gọi T′ là giao điểm của đường thẳng X3Y1 với BC và T′ là giao điểm của đường thẳng X1Y3 với BC. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABA1 và đường thẳng BC2, ta thu được
AX3
X3A1 = −CB
A1C ã AC1 C1B.
Áp dụng định Menelaus cho tam giác ACA2 và đường thẳng CC1, ta thu được
A2Y1
Y1A = −B2C
AB2 ã BA2 CB .
Áp dụng định Menelaus cho tam giác AA1A2 và đường thẳngX1Y3, ta thu được
A1T′
T′A2 = −AB2
AC1 ã A1C
B2C ã C1B
BA2. (2.6)
Tương tự, ta có
A1T′′
T′′A2 = −AC2
AB1 ã B1C
A2C ã BA1
C2B. (2.7)
Từ (1.6), ta kết luận
A1T′
T′A2 = A1T′′
T′′A2, nên T′ ≡T′′ ≡T2.
Chứng minh cho các điểm còn lại là tương tự.
Vì các điểm T2,B và C thẳng hàng, theo chiều ngược của định lý Pascal áp dụng cho lục giác X3Y1Y2Y3X1X2, ta thu được hệ quả sau (xem Hình 2.12):
Hệ quả 2.3.4 ([5]). Các điểm X1, X2, X3, Y1, Y2 và Y3 cùng thuộc một đường conic.
Hình 2.12: Hệ quả 2.3.4
Hệ quả trực tiếp của kết quả trên là (xem Hình 2.13):
Hệ quả 2.3.5 ([5]). Các điểm T1, T2 và T3 cùng thuộc một đường thẳng.
Hình 2.13: Hệ quả 2.3.5
Định lý 2.3.6 (Định lý Poncelet, [7]). Nếu hai tam giác ABC và A′B′C′ ngoại tiếp một đường conic Γ (tức là các cạnh hoặc kéo dài của các cạnh tiếp tuyến với Γ) thì các điểm A, B, C, A′, B′, C′ cùng nằm trên một đường conic.
Hình 2.14: Định lý Poncelet
Hệ quả 2.3.7 (Định lý tam giác Poncelet, [7]). Nếu hai đường conic Γ1 và Γ2 có một tam giác nội tiếp Γ1 và ngoại tiếp Γ2 thì có số tam giác như vậy. Ngoài ra, một điểm bất kỳ của Γ1 là một đỉnh của tam giác nhau vậy.
Định lý 2.3.8 (Định lý Bradley, [3]). Tồn tại một đường conic E thỏa mãn AA1, AA2, BB1, BB2, CC1 và CC2 tiếp tuyến với E khi và chỉ khi các điểm A1, A2, B1, B2, C1 và C2 cùng nằm trên một đường conic C nào đó.
Hình 2.15: Định lý Bradley
Chứng minh. Định lý Bradley 2.3.8 là kết quả trực tiếp của Hệ quả 2.3.4 và định lý tam giác Poncelet, xem Hình 2.15.
Định lý 2.3.9(Định lý Desargues, [7]). Cho hai tam giácABC và A′B′C′, các đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng quy khi và chỉ khi ba giao điểm của ba cặp đường thẳng AB với A′B′, BC với B′C′, CA với C′A′ thẳng hàng.
Chứng minh. Giả sử AA′, BB′, CC′ đồng quy tại điểm X. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XAB và đường thẳng cắt A′B′R ta thu được
XA′
A′A ã AR
RB ã BB′
B′X = −1.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XBC và đường thẳng cắt B′C′P ta thu được
XB′
B′B ã BP
P C ã CC′
C′X = −1.
Hình 2.16: Định lý Desargues
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XCA và đường thẳng cắt C′A′Q ta thu được
XC′
C′C ã CQ
QA ã AA′
A′X = −1.
Nhân ba phương trình với nhau ta thu được AR
RB ã BP
P C ã CQ
QA = −1.
Một lần nữa theo định lý Menelaus, ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
Định nghĩa 2.3.10 ([7]). Hai tam giác thỏa mãn điều kiện của định lý Desargues được gọi là phối cảnh với nhau. X được gọi là tâm phối cảnh và đường thẳng P QR được gọi là trục phối cảnh.
Cuối cùng, ta trình bày một ứng dụng hay của định lý Menelaus và định lý Carnot. Trong [3], Bradley đề xuất giả thuyết sau (xem Hình 2.17):
Định lý 2.3.11 (Định lý Bradley cho tứ giác, [3]). Giả sử ABCD và P QRS là hai tứ giác phối cảnh trục, tức là T = AB ∩P Q, U = BC ∩ QR, V = CD ∩RS, W = DA∩ SP thẳng hàng. Mười hai giao điểm còn lại của các cạnh của hai tứ giác được đặt tên bằng số cho đơn giản như sau 13 = AB ∩ RS,42 = DA∩ QR, v.v. theo quy tắc 1 tương ứng cạnh AB và P Q, 2 tương ứng với cạnh BC và QR, 3 tương ứng với cạnh CD
và RS, 4 tương ứng với cạnh DA và SP. Khi đó, tồn tại bốn đường conic C1, C2, C3 và C4 sao cho các điểm 23,24,32,34,42,43 nằm trên C1, các điểm 13,14,31,34,42,43 nằm trên C2, các điểm 12,14,21,24,41,42 nằm trên C3 và các điểm 12,13,21,23,31,32 nằm trên C4.
Hình 2.17: Định lý Bradley cho tứ giác
Chứng minh. Ta chứng minh các điểm 23,24,32,34,42,43 nằm trên được conic C1. Chứng minh cho các điểm còn lại tương tự.
Gọi X là giao điểm của đường thẳng AD với BC. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XDC và các đường thẳng SW, RU, SV và V W ta thu được
XW
W D ã D(34)
(34)C ã C(24)
(24)X = −1, (2.8)
X(41)
(41)D ã D(32)
(32)C ã CU
U X = −1, (2.9)
X(43) (43)D ã DV
V C ã C(23)
(23)X = −1, (2.10)
DW
W X ã XU
U C ã CV
V D = −1. (2.11)
Hình 2.18: Định lý Bradley cho tứ giác
Sau khi nhân các phương trình (2.8), (2.9), (2.10) và (2.11), ta thu được D(34)
(34)C ã C(24)
(24)X ã X(41)
(41)D ã D(32)
(32)C ã X(43)
(43)D ã C(23) (23)X = 1.
Từ chiều ngược của định lý Carnot, ta suy ra các điểm23,24,32,34,42,43 cùng thuộc một đường conic.
Định lý 2.3.12 (Định lý Ceva, [1]). Cho ba điểm X, Y, Z theo thứ tự trên các đường thẳngBC, CA, AB. Khi đó, các đường thẳng AX, BY, CZ đồng quy khi và chỉ khi
BX XC ã CY
Y A ã AZ
ZB = +1.
Hình 2.19: Định lý Ceva
Chú ý 2.3.13. Để cho gọn, người ta thường gọi ba đường thẳngAX, BY, CZ xuất phát từ các đỉnh của tam giác ABC và đồng quy tại một điểm là ba đường thẳng Ceva. Giao điểm của các đường thẳng Ceva gọi là điểm Ceva.
Định lý 2.3.14 ([8]). Cho ABC là tam giác bất kỳ trong mặt phẳng Euclide và gọi P là một điểm tùy ý không liên thuộc với cạnh nào của ABC. Ký hiệu chân của các đường Ceva đi qua P lần lượt là A0, B0 và C0. Giả sử đường tròn qua A0, B0 và P cắt BC tại A1, cắt AC tại B2; đường tròn qua B0, C0 và P cắt AB tại C1, cắt AC tại B1; đường tròn qua A0, C0 và P cắt BC tại A2, cắt AB tại C2. Khi đó, A1, A2, B1, B2, C1 và C2 cùng thuộc một đường conic (gọi là đường conic Ceva của P đối với ABC).
Chứng minh. Ký hiệu đường tròn qua B0, C0 và P là Ca, đường tròn qua A0, C0 và P là Cb, đường tròn qua A0, B0 và P là Cc. Phương tích của điểm A với đường tròn Ca là
AC1 ãAC0 = AB1 ãAB0, nên
AC1 = AB1 ã AB0
AC0. (2.12)
Hình 2.20
Tương tự, ta thu được
BA2 = BC2 ã BC2
BA0 và CB2 = CA1 ã CA0 CB0. Điểm A là trên đường thẳng phương tích của Cb và Cc nên
AC2 ãAC0 = AB2 ãAB0. Do đó
AC2 = AB2 ã AB0
AC0. Tương tự, ta thu được
AB1 = BC1 ã BC0 BA0
và CB1 = CA2 ã CA0 CB0
.
Từ các kết quả trên, ta có
AC1 ãAC2 ãBA1 ãBA2 ãCB1 ãCB2
= (AB0)2 ãAB1 ãAB2 ã(BC0)2 ãBC1 ãBC2 ã(CA0)2 ãCA1 ãCA2
(AC0)2(BA0)2(CB0)2 . Áp dụng định lý Ceva cho các đường thẳng Ceva đi qua P, ta thu được
(C0B)2
(AC0)2 ã (A0C)2
(BA0)2 ã (B0A)2 (CB0)2 = 1, cho nên
AC1ãAC2ãBA1ãBA2ãCB1ãCB2 = C1BãC2BãA1CãA2C ãB1AãB2A, hay
AC1
C1B ã AC2
C2B ã BA1
A1C ã BA2
A2C ã CB1
B1A ã CB2 B2A = 1.
Theo định lý Carnot, ta thu được điều phải chứng minh.
Kết luận
Luận văn nghiên cứu về các ứng dụng của một vài định lý Carnot. Một số kết quả chính đạt được là:
1. Trình bày phát biểu của 4 định lý được đặt tên theo nhà toán học Lazare Carnot và đưa ra một số ví dụ minh họa cho từng định lý này.
2. Vận dụng định lý Carnot về tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến các cạnh của đa giác vào chứng minh dạng tổng quát của định lý Nhật Bản.
3. Vận dụng định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh của tam giác đồng quy vào giải các bài toán hình học khó về tính đồng quy.
4. Vận dụng định lý Carnot về điều kiện cần và đủ để sau điểm trên ba cạnh của tam giác nằm trên một đường conic vào giải các bài toán liên quan đến đường conic.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng (1997), Hình học của tam giác, NXB Giáo dục.
[2] Vũ Thanh Tùng, Nguyễn Chương Chí (2015), “Định lý Carnot về sự đồng quy của các đường vuông góc với các cạnh của tam giác và ứng dụng”, Tạp chí Epsilon, 3, tr. 181–192.
Tiếng Anh
[3] C. Bradley (2011), “Problems requiring proofs”, avaiable at http://people.bath.ac.uk/masgcs/Article182.pdf.
[4] D. Richeson (2013), “The Japanese Theorem for Nonconvex Polygons”, Convergence, Mathematical Association of America, avaiable at https://www.maa.org/press/periodicals/loci/
the-japanese-theorem-for-nonconvex-polygons
[5] Đjorđje Barali´c (2013), Around the Carnot theorem, avaiable at arXiv:1308.6144v1.
[6] Tran Minh Ngoc (2018), “A purely synthetic proff of Dao’s theorem on a conic and its applications”, International Journal of Computer Discovered Mathematics, 3, pp. 145-152.