Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho MA MB lớn nhất.. Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng P.. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.. Tìm tọa độ
HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Ví dụ 1: ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 6 TÂM TỈ CỰ Cho các điểm A4;1; 1; B 2;3; 2C 6;3; 12 và (P) : x 2 y z1 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2MA 3MB MC Độ dài đoạn thẳng OM là min Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 3x 3y 2z 15 0 và ba điểm A1; 2;0 , B 1; 1;3 , C 1; 1; 1 Điểm M (x0; y0; z0 ) thuộc (P) sao cho 2MA2 MB2 MC2 nhỏ nhất Giá trị 2x0 3y0 z0 bằng Ví dụ 3: Cho các điểm A3;5; 5; B 5; 3; 7C 1;0;3 và (P) : x y z 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho T MA2 2MB2 đạt giá trị lớn nhất Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz ,cho 3 điểm A4;1;5; B 3;0;1;C 1; 2;0 và mặt phẳng (P) : 3 x 3 y 2z 37 0 Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho S MA.MB MB.MC MC.MA nhỏ nhất Tính a+b+c Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A1;3; 2; B 3;7;18 và mặt phẳng (P) : 2x y z 1 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB nhỏ nhất Ví dụ 6: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x y 2z 2 0 và 2 điểm A2;3; 0; B 2; 1; 2 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB lớn nhất Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M 2;5;3 và đường thẳng d : x 1 y z 2 21 2 Lập P chứa d sao cho khoảng cách từ M đến P đạt giá trị lớn nhất Ví dụ 8: Cho các điểm M 1; 0;0; A(0; 2; 3) và (P) : x 2 y z 1 0 Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và cách M một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?` TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 2, B5; 4; 4 và mặt phẳng (P) : 2x y z 6 0 Nếu M thay đổi thuộc P thì giá trị nhỏ nhất của MA2 MB2 là A 60 B 50 C 200 D 2968 3 25 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A5; 2; 2, B1; 6; 2 Mặt phẳng (P) : x y 2z 5 0 Gọi M a; b; c là điểm thuộc P thỏa mãn MA 3MB nhỏ nhất, khi đó tính giá trị của tích abc A 20 B 0 C 12 D 24 Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A5;8;11, B3;5; 4;C 2;1; 6 và mặt cầu (S) : x 42 y 22 z 12 9 Gọi M xM ; yM ; zM là điểm trên S sao cho biểu thức MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Tính P xM yM A P 4 B P 0 C P 2 D P 2 Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A1;0; 2, B0; 1; 6 và mặt phẳng (P) : x 2 y 2z 12 0 Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng P Tìm giá trị lớn nhất của MA MB 1 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC A 6 2 B 10 C 3 2 D 2 10 Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A2; 1;1, B1; 1; 0 và đường thẳng Câu 6: Câu 7: d : x 1 y 1 z 1 Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MAB 123 nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức Q x M 2 y M 2 z M 2 A Q 29 B Q 53 C Q 49 D Q 101 18 18 36 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M 0;1;3, B10;6;0 và mặt phẳng P có phương trình (P) : x 2 y 2z 10 0 Điểm I 10; a;b thuộc mặt phẳng P sao cho IM IN lớn nhất Tính tổng T = a + b A T 6 B T 5 C T 1 D T 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A0;2;3, B4; 4;1; C2;3;3 Tìm tọa độ điểm M trong mặt phẳng Oxz sao cho MA2 MB2 2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất A 0;0;3 B 0;0; 2 C 0;0;1 D 0;0; 1 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2; 3; 2, B3;5; 4 Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất A M 0;0; 49 B M 0;0;0 C M 0;0;67 D M 0;0;3 Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;3 và B3; 2;1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất A x z 2 0 B 3x 2 y z 10 0 C x 2 y 3z 10 0 D x z 2 0 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) : x 42 y 72 z 12 36 và mặt phẳng (P) : 3x y z m 0 Tìm m để mặt phẳng P cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất A m 20 B m 6 C m 36 D m 20 Câu 11: Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4 y 6z 1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) : x 3 y 2z m 0 cắt mặt cầu S theo một đường tròn có chu vi lớn nhất A m 1 B m 13 C m 13 D m 1 Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 1; 2;3 11 1 đạt giá và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho T 2 2 2 OA OB OC trị nhỏ nhất A P : x 2 y 3z 14 0 B P : 6x 3y 2z 6 0 C P : 6x 3y 2z 18 0 D P : 3x 2y z 10 0 Câu 13: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : x 4 y 5 z Xét mặt phẳng 1 23 P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M 0;0;0 đến P đạt giá trị lớn nhất Xác định tọa độ giao điểm N của P và trục Oz A N 0;0;9 B N 0;0;9 C N 0;0;3 D N 0;0;6 2 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 14: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 y z 2 và điểm M 1;7;3 21 2 Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến P đạt giá trị lớn nhất B 2x y 2z 10 0 A 2x 6 y z 4 0 C x y 2z 15 0 D x 2 y z 1 0 Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1, A1; 2; 3 và đường x 1 y 5 z thẳng d : Tìm véc tơ chỉ phương u của đường thẳng đi qua M, vuông góc 2 2 1 với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. A u 3;4; 4 B u 2;2;1 C u 2;1;6 D u 1;0;2 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;2;2 ; B 3; 3;3 Điểm M trong không gian thỏa mãn MA 2 Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng MB 3 A 6 3 B 12 3 53 D 5 3 C 2 Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A0;1;1 , B 3;0;1 , C 0;21;19 và mặt Câu 18: cầu S : x 12 y 12 z 12 1 Điểm M a;b;c thuộc mặt cầu S sao cho biểu thức T 3.MA2 2.MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng a b c ? A a b c 14 B a b c 0 C a b c 12 D a b c 12 5 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A2t; 2t; 0 , B 0; 0;t (với t 0 ) cho điểm P di động thỏa mãn OP.AP OP.BP AP.BP 3 Biết rằng có giá trị t với a a,b nguyên b dương và a tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng 3 Khi đó giá trị của Q 2a b b bằng A 5 B 13 C 11 D 9 3 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6 CHUYÊN ĐỀ 1 TÂM TỈ CỰ Ví dụ 1: Cho các điểm A4;1; 1; B 2;3; 2C 6;3; 12 và (P) : x 2 y z1 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2MA 3MB MC Độ dài đoạn thẳng OM là min Lời giải x1 2xA 3xB xC 2 3 1 2 2 yA 3yB yC Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA 3IB IC 0 y1 2 2 31 z1 2zA 3zB zC 1 2 31 x 2t Phương trình đường thẳng MI khi đó là: y 2 2t M 2 t; 2 2t;1 t z 1 t Cho M (P) 2 t 4t 4 t 11 0 t 1 M 1;0; 2 OM 5 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 3x 3y 2z 15 0 và ba điểm A1; 2;0 , B 1; 1;3 , C 1; 1; 1 Điểm M (x0; y0; z0 ) thuộc (P) sao cho 2MA2 MB2 MC2 nhỏ nhất Giá trị 2x0 3y0 z0 bằng Xét điểm I thỏa 2IA IB IC 0 suy ra I 1; 2; 2 2 2 2 2 2MA MB MC 2 MI IA MI IB MI IC 2MI 2IA IB IC 22 2 2 2 2 2MA2 MB2 MC2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P) x 1 3t x0 1 3t Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình y 2 3t suy ra y0 2 3t z 2 2t z 2 2t 0 Mà 3x0 3y0 2z0 15 0 31 3t 32 3t 2 2 2t 15 0 t 1 2x0 3 y0 z0 2 1 3t 32 3t 2 2t 6 t 5 M (2; 0;5) Ví dụ 3: Cho các điểm A3;5; 5; B 5; 3; 7C 1;0;3 và (P) : x y z 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho T MA2 2MB2 đạt giá trị lớn nhất Lời giải x1 xA 2xB 1 2 13 yA 2yB Gọi I là điểm thỏa mãn IA 2IB 0 y1 11 1 2 z1 zA 2zB 19 1 2 Ta có: T MA2 2MB2 MA 2 2MB 2 MI IA2 2MI IB2 = MI 2 2MI (IA 2IB) IA 2IB 2 2 = MI 2 IA2 2IB2 4 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Do IA2 2IB2 không đổi nên Tmax MI 2 lớn nhất khi đó MImin M là hình chiếu vuông x 13 t góc của I lên (P) Khi đó phương trình IM là: y 11 t M 13 t; 11 t;19 t z 19 t Cho M (P) 21 3t 0 t 7 M 6; 18;12 Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz ,cho 3 điểm A4;1;5; B 3;0;1;C 1; 2;0 và mặt phẳng (P) : 3 x 3 y 2z 37 0 Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho S MA.MB MB.MC MC.MA nhỏ nhất Tính a+b+c Lời giải: 7 1 1 3 3 5 Gọi D ; ;3; E 1;1; ; F ; ; lần lượt là trung điểm của AB, BC và AC 2 2 2 2 2 2 Ta có: MA.MB MD DA MD DB MD DA MD DA MD2 AD2 MD2 AB2 4 Suy ra S MD2 ME2 MF 2 AB2 BC 2 AC2 nhỏ nhất MD2 ME2 MF 2 nhỏ nhất 4 Gọi G 2;1; 2 là trọng tâm tam giác DEF MD2 ME 2 MF 2 3MG2 GD2 GE 2 GF 2 x 2 3t nhỏ nhất MGmin M là hình chiếu của G trên (P) MG : y 1 3t z 2 2t Suy ra M MG (P) M(4;7; 2) a b c 1 Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A1;3; 2; B 3;7;18 và mặt phẳng (P) : 2x y z 1 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB nhỏ nhất Lời giải Đặt f 2x y z 1 0 ta có: f A f B 0 A,B cùng phía với mặt phẳng (P) Gọi A là điểm đối xứng của A qua (P) : 2x y z 1 0 AA : x 1 y 3 z 2 2 1 1 Gọi I 1 2t;3 t; 2 t AA (P) suy ra 2(1 2t) (3 t) 2 t 1 0 t 1 I (1; 2; 1) A(3;1; 0) Khi đó MA MB MA MB AB dấu bằng xảy ra A, M , B thẳng hàng x 3u Phương trình đường thẳng AB y 1 u M AB (P) M(3 u;1 u;3u) z 3u Giải M (P) u 1 M(2; 2; 3) Ví dụ 6: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x y 2z 2 0 và 2 điểm A2;3; 0; B 2; 1; 2 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB lớn nhất Lời giải Kí hiệu f x y 2z 2 0 Ta có f A f B 0 nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) Gọi A là điểm đối xứng của A qua (P) Ta có: AA : x 2 y 3 z 1 1 2 5 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Khi đó I AA (P) (2 t;3 t; 2t) t 2 t 3 4 t 2 0 t 1 2 5 5 I ; ;1 A(3; 2; 2) 2 2 Lại có MA MB MA MB AB dấu bằng xảy ra A, M , B thẳng hàng x 3u 9 13 Khi đó AB y 2 3u M AB (P) M ; ; 2 2 2 z 2 Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M 2;5;3 và đường thẳng d : x 1 y z 2 21 2 Lập P chứa d sao cho khoảng cách từ M đến P đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Đường thẳng d xác định đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là ud 2;1; 2 Kẻ MH (P); MK d MH d M ; Pvà điểm K cố định Ta có d M ; P MH MK d (P) Suy ra dmax MK Khi đó P M ;d n(P) ud ud ud; MA n(P) n(P) n u d ; M A MA1; 5; 1 n(P) ud; ud ; MA 9(1;4;1) Ta có: Do đó mặt phẳng P cần tìm đi qua A1; 0; 2 và có n(P) (1; 4;1) (P) : x 4 y z 3 0 Ví dụ 8: Cho các điểm M 1; 0;0; A(0; 2; 3) và (P) : x 2 y z 1 0 Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và cách M một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?` Lời giải: Ta có: n(P) (1; 2; 1); MA 1; 2;3 +) Kẻ MK d; MK (P) MK d M ; d d và điểm H cố định Ta có: MH MK MA MH d MA 6 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC +) Ta có MK MA d M ; d max MA K A Khi đó đường thẳng d nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với đường thẳng AM , suy ra d có một véc tơ chỉ phương là ud nP; MA 4 1;1;1 d : x 1 1 y1 z1 và dmax MA 14 +) Mặt khác, lại có MK MH d M ; d min MH H K Khi đó đường thẳng d nằm trong (P) , đi qua A và đi qua hình chiếu H của M Suy ra d P MHA Trong đó n MHA 41; 1;1 n P ; MA n(P); nP ; MA 12 1; 0;1 Khi đó đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là ud x 1t Suy ra d : y 0 và dmin MH d M ; P 6 z t TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 2, B5; 4; 4 và mặt phẳng (P) : 2x y z 6 0 Nếu M thay đổi thuộc P thì giá trị nhỏ nhất của MA2 MB2 là A 60 B 50 C 200 D 2968 3 25 Lời giải Gọi I 3;3;3 là trung điểm của AB thì IA IB 0 T MA2 MB2 MA 2 MB 2 MI IA2 MI IB 2 2MI 2 IA2 IB2 nhỏ nhất MImin Khi đó M là hình chiếu vuông góc của I trên P IM P 2.3 3 3 6 12 12 2 Suy ra MImin d M ; P Tmin 2. IA IB 60 Chọn 2 2 4 11 6 6 A Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A5; 2; 2, B1; 6; 2 Mặt phẳng (P) : x y 2z 5 0 Gọi M a; b; c là điểm thuộc P thỏa mãn MA 3MB nhỏ nhất, khi đó tính giá trị của tích abc A 20 B 0 C 12 D 24 Lời giải Gọi I là điểm thỏa mãn IA 3IB 0 I 2;5; 2 Khi đó MA 3MB 4MI nhỏ nhất MImin M là hình chiếu của I trên P x 2 t Phương trình đường thẳng IM qua I vuông góc với P là: y 5 t M 2 t;5 t; 2 2t z 2 2t Cho M P t 2 5 4t 4 5 0 t 1 M 1; 6; 0 abc 0 Chọn B 7 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A5;8;11, B3;5; 4;C 2;1; 6 và mặt cầu (S) : x 42 y 22 z 12 9 Gọi M xM ; yM ; zM là điểm trên S sao cho biểu thức MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Tính P xM yM A P 4 B P 0 C P 2 D P 2 Lời giải Gọi điểm G x; y; z sao cho GA GB GC 0 BA GC G 0; 2;1 Xét măt cầu S : x 42 y 22 z 12 9 tâm I 4; 2; 1 và bán kính R 3 Ta có IG 4; 4; 2 IG 42 42 22 6 R G nằm ngoài mặt cầu S Ta có MA MB MC MG GA GB GC MG MG MG nhỏ nhất I , M ,G xM 2 thẳng hàng hay M chính là trung điểm của IG M 2;0; 0 P 2 yM 0 Chọn D Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A1;0; 2, B0; 1; 6 và mặt phẳng (P) : x 2 y 2z 12 0 Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng P Tìm giá trị lớn nhất của MA MB A 6 2 B 10 C 3 2 D 2 10 Lời giải Kí hiệu f x 2y 2z 12 Ta có f A f B 0 nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng P Gọi là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng P Ta có: AA : x 1 y z 2 Khi đó I AA P I 1 t; 2t; 2 2t P 122 t 1 4t 4t 4 12 0 t 1 I 0; 2; 4 A1; 4; 6 Lại có MA MB MA MB AB dấu bằng xảy ra A, M , B thẳng hàng Vậy MA MB max AB 10 Chọn B Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A2; 1;1, B1; 1; 0 và đường thẳng d : x 1 y 1 z 1 Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MAB 123 nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức Q x M 2 y M 2 z M 2 A Q 29 B Q 53 C Q 49 D Q 101 18 18 36 Lời giải Gọi M 1 t;1 2t;1 3t d AM t 1;2t 2;3t ; AB 1;0;1 1 1 2t 2;2t 1; 2t 2 1 2t 2 2t 1 2t 222 2 Ta có SMAB AM AB 2 2 2 8 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC 1 2 20 5 1 2 3 49 12t 20t 9 nhỏ nhất t M ; ; Q Chọn C 2 24 6 6 3 2 18 Câu 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M 0;1;3, B10;6;0 và mặt phẳng P có phương trình (P) : x 2 y 2z 10 0 Điểm I 10; a;b thuộc mặt phẳng P sao cho IM IN lớn nhất Tính tổng T = a + b A T 6 B T 5 C T 1 D T 2 Lời giải Đặt f x 2 y 2z 10 f M f N 0 M , N nằm cùng phía với mặt phẳng P Ta có: IM IN MN M , N , I thẳng hàng x 10t Phương trình đường thẳng MN là: y 1 5t I MN P 10; 4; 6 z 3 3t Suy ra T a b 2 Chọn D Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A0;2;3, B4; 4;1; C2;3;3 Tìm tọa độ điểm M trong mặt phẳng Oxz sao cho MA2 MB2 2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất A 0; 0;3 B 0; 0; 2 C 0; 0;1 D 0;0; 1 Lời giải Gọi I là điểm thỏa mãn IA IB 2IC 0 I 0;3;1 Biến đổi MA2 MB2 2MC2 4MI 2 IA2 IB2 2IC2 nhỏ nhất MImin M là hình chiếu vuông góc của I trên Oxz M 0; 0;1 Chọn C Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2; 3; 2, B3;5; 4 Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất A M 0;0; 49 B M 0;0;0 C M 0;0;67 D M 0;0;3 Lời giải Gọi M 0; 0;t MA2 MB2 4 9 t 22 9 25 t 42 2t2 12t 67 nhỏ nhất t b 12 3 M 0;0;3.Chọn D 2a 2.2 Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;3 và B3; 2;1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất A x z 2 0 B 3x 2 y z 10 0 C x 2 y 3z 10 0 D x z 2 0 Lời giải Gọi H là hình chiếu của B trên Ta có BH BA BHmax AB Dấu bằng xảy ra khi AB Lại có AB 2;0; 2 Phương trình mặt phẳng là x z 2 0 Chọn D 9 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) : x 42 y 72 z 12 36 và mặt phẳng (P) : 3x y z m 0 Tìm m để mặt phẳng P cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất A m 20 B m 6 C m 36 D m 20 A Lời giải Mặt cầu S có tâm I 4; 7; 1 , bán kính R 6 Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến r 2 R2 d 2 I; P Để rmax d I ; P nhỏ nhất P đi qua I m 20.Chọn Câu 11: Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4 y 6z 1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) : x 3 y 2z m 0 cắt mặt cầu S theo một đường tròn có chu vi lớn nhất A m 1 B m 13 C m 13 D m 1 Lời giải S : x 12 y 22 x 32 16 có tâm I 1; 2; 3 , bán kính R 4 Yêu cầu bài toán P đi qua tâm I 1 3.2 2.3 m 0 m 13 Chọn C Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho T 2 1 2 1 2 1 đạt giá OA OB OC trị nhỏ nhất A P : x 2 y 3z 14 0 B P : 6x 3y 2z 6 0 C P : 6x 3y 2z 18 0 D P : 3x 2y z 10 0 Lời giải Gọi phương trình mặt phẳng P : x y z 1, với Aa;0; 0, B 0;b;0,C 0; 0; c abc 123 1 1 1 2 2 2 1 11 1 Vì P đi qua M suy ra 1 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 abc a b c a b c 14 1 1 1 1111 1 Ta có T 2 2 2 2 2 2 Suy ra T OA OB OC a b c 14 14 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 14;b 7;c 14 Vậy P : x y 3z 1 Chọn A 3 14 7 14 Câu 13: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : x 4 y 5 z Xét mặt phẳng 1 23 P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M 0;0;0 đến P đạt giá trị lớn nhất Xác định tọa độ giao điểm N của P và trục Oz A N 0;0;9 B N 0;0;9 C N 0;0;3 D N 0;0;6 Lời giải 10 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên P ,d Khi đó d M ; P MH MK d M ; Pmax MK Gọi là mặt phẳng đi qua M và chứa đường thẳng d nP ud Suy ra ud ; MA với A4;5; 0 d nP n ud M à n P ; u d ; M A ud 1; 2;3 nP 1;1; 1 MA 4;5;0 Do đó phương trình mặt phẳng P: x y z 9 0 Vậy N P Oz N 0;0;9 Chọn Câu 14: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 y z 2 và điểm M 1;7;3 21 2 Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến P đạt giá trị lớn nhất A 2x 6 y z 4 0 B 2x y 2z 10 0 C x y 2z 15 0 D x 2 y z 1 0 Lời giải Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên P ,d Khi đó d M ; P MH MK d M ; Pmax MK Gọi là mặt phẳng đi qua M và chứa đường thẳng d nP ud Suy ra ud ; MA với A1;0; 2 d nP n ud n P ; u d ; M A Mà ud 2;1; 2 nP 2; 6;1 2x 6y z 4 0 MA 0;7;1 Chọn A Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1, A1; 2; 3 và đường x 1 y 5 z thẳng d : Tìm véc tơ chỉ phương u của đường thẳng đi qua M, vuông góc 2 2 1 với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất 11 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC A u 3;4; 4 B u 2;2;1 C u 2;1;6 D u 1;0;2 Lời giải Gọi P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d khi đó nP ud 2; 2; 1 P d A;d min n P ; AM 3; 4; 4 Khi đó Ta có: u AM ; n P trong đó Suy ra 9 1; 0; 2.Chọn D u n P ; A M ; n P Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2; 2; 2 ; B 3; 3;3 Điểm M trong không gian thỏa mãn MA 2 Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng MB 3 A 6 3 B 12 3 53 D 5 3 C Gọi M x; y; z 2 Lời giải Ta có MA 2 3MA 2MB 9 MA2 4M B 2 MB 3 9 x 2 2 y 2 2 z 2 2 4 x 3 2 y 32 z 3 2 2 y2 z2 12x 12y 12z 0 x x 62 y 62 z 62 108 Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu S tâm I 6;6;6 và bán kính R 108 6 3 Do đó OM lớn nhất bằng OI R 6 2 62 6 2 6 3 12 3 Đáp án: B Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A0;1;1 , B 3;0;1 , C 0;21;19 và mặt cầu S : x 12 y 12 z 12 1 Điểm M a;b;c thuộc mặt cầu S sao cho biểu thức T 3.MA2 2.MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng a b c ? A a b c 14 B a b c 0 C a b c 12 D a b c 12 5 5 Lời giải - Mặt cầu S có tâm là I 1;1;1 , bán kính r 1 - Gọi K là điểm thỏa mãn 3KA 2KB KC 0 K 1; 4; 3 Nhận thấy: IK 5 r , do đó K nằm ngoài mặt cầu S - Ta có: T 3.MA2 2.MB2 MC 2 3MK KA 2 2MK KB 2 MK KC 2 6MK 2 2 3KA 2KB KC 3KA2 2KB2 KC 2 6MK 2 3KA2 2KB2 KC 2 Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất MK đạt giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của đoạn thẳng 8 1 81 IK với mặt cầu S IK 5.IM M 1; ; , hay a 1, b , c 5 5 55 12 HẸN NHAU Ở CỔNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC Vậy a b c 14 5 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A2t; 2t; 0 , B 0; 0;t (với t 0 ) cho điểm P di động thỏa mãn OP.AP OP.BP AP.BP 3 Biết rằng có giá trị t với a a,b nguyên b dương và a tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng 3 Khi đó giá trị của Q 2a b b bằng A 5 B 13 C 11 D 9 Lời giải Chọn C Gọi P x; y; z , ta có: OP x; y; z, AP x 2t; y 2t; z , BP x; y; z t Vì P x; y; z thỏa mãn OP.AP OP.BP AP.BP 3 3x2 3y2 3z2 4tx 4ty 2tz 3 0 x2 y2 z2 4 tx 4 ty 2 tz 1 0 333 2t 2t t 2 Nên P thuộc mặt cầu tâm I ; ; , R t 1 3 3 3 Ta có OI t R nên O thuộc phần không gian phía trong mặt cầu Để OPmax thì P, I,O thẳng hàng và OP OI R Suy ra OPmax OI R 3 t t 2 1 Từ đó tìm được t 4 Suy ra a 4,b 3 3 Vậy ,Q 2a b 11 13