Chuyên đề 6 tâm tỉ cự

Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho MA MB lớn nhất.. Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng  P.. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.. Tìm tọa độ

-

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6

CHUYÊN ĐỀ 6 TÂM TỈ CỰ

Ví dụ 1: Cho các điểm A4;1; 1 ;   B2;3;2 C 6;3;12 và (P) : x 2 y z 1 0    Tìm điểm M thuộc

(P) sao cho

min

2MA3MB MC

Độ dài đoạn thẳng OM là

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3P x3y2z150 và ba điểm

1; 2; 0

A , B1; 1; 3 ,C1; 1; 1   Điểm M x y z( ;0 0; 0) thuộc ( )P sao cho 2MA2MB2MC2

nhỏ nhất Giá trị 2x03y0z0bằng

Ví dụ 3: Cho các điểm A3;5; 5 ;   B5; 3; 7 C 1; 0;3 và (P) : x y z Tìm điểm M thuộc 0

(P) sao cho T MA22MB2 đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz,cho 3 điểm A4;1;5 ;  B3; 0;1;C1 2;0;  và mặt phẳng

(P) : 3 x 3 y 2  z37 Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho 0 SMA MB     MB MC MC MA

nhỏ nhất Tính a+b+c

Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A1;3; 2 ;  B3;7; 18 và mặt

phẳng ( ) : 2P x   y z 1 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB nhỏ nhất

Ví dụ 6: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : P xy2z20và 2 điểm

2;3; 0 ; 2; 1; 2

A B  Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB lớn nhất

Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M2;5;3 và đường thẳng : 1 2

Lập  P chứa d sao cho khoảng cách từ M đến  P đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 8: Cho các điểm M1; 0;0 ; (0; 2; 3) A  và ( ) :P x2y  z 1 0 Lập phương trình đường thẳng d

nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và cách M một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?`

TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 2 , B 5; 4; 4   và mặt phẳng

( ) : 2P xy z 60 Nếu M thay đổi thuộc  P thì giá trị nhỏ nhất của MA2MB2là

A 60.B 50 C 200

2968 25

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A  5; 2; 2 , B 1; 6; 2 Mặt phẳng

( ) :P xy2z  Gọi 5 0 M a; b; c  là điểm thuộc  P thỏa mãn MA3MB

nhỏ nhất, khi

đó tính giá trị của tích abc

Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A5;8; 11 , B 3;5; 4 ;     C2;1; 6  và mặt

(S) : x4  y2  z1  Gọi 9 M x ; y ; z M M M là điểm trên  S sao cho biểu

thức MA MB   MC

đạt giá trị nhỏ nhất Tính Px M y M

Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A1;0; 2 , B 0; 1; 6    và mặt phẳng

( ) :P x2y2z120 Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng  P Tìm giá trị lớn nhất của

MA MB

A 6 2 B 10 C 3 2 D 2 10

Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A2; 1;1 , B 1; 1; 0     và đường thẳng

:

d      Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MAB

nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức 2 2 2

18

18

36

Câu 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M0;1;3 , B 10; 6; 0   và mặt phẳng  P có

phương trình ( ) :P x2y2z10 Điểm 0 I10; ;a b thuộc mặt phẳng  P sao cho

IMIN lớn nhất Tính tổng T = a + b

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A0; 2; 3 ,   B 4; 4;1 ; C 2; 3;3  

Tìm tọa độ điểm M trong mặt phẳng Oxz sao cho 2 2 2

2

MA MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2; 3; 2 , B 3;5; 4    Tìm tọa độ điểm M

trên trục Oz sao cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

A M0; 0; 49 B M0; 0; 0 C M0; 0; 67 D M0;0;3

Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;3và B 3; 2;1  Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và

cách B một khoảng lớn nhất

A x  z 2 0.B 3x2y z 100.C x2y3z100D x  z 2 0

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu  2  2  2

(S) : x4  y7  z1 36và mặt phẳng (P) : 3xy z m  Tìm m để mặt phẳng 0  P cắt  S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất

A m  20 B m 6 C m 36 D m 20

Câu 11: Cho mặt cầu 2 2 2

(S) :x y z 2x4y6z   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 1 0

để mặt phẳng (P) :x3y2zm cắt mặt cầu 0  S theo một đường tròn có chu vi lớn nhất

A m 1 B m  13 C m 13 D m  1

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1; 2;3

và cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho , , T 12 12 12

trị nhỏ nhất

A  P :x2y3z140 B  P : 6x3y2z 6 0

C  P : 6x3y2z180 D  P : 3x2y z 100

Câu 13: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng : 4 5

d     Xét mặt phẳng

 P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M0;0;0đến  P đạt giá trị lớn nhất Xác

định tọa độ giao điểm N của  P và trục Oz

A N0; 0; 9  B N0; 0;9 C N0;0;3 D N0; 0; 6

-

Câu 14: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

d     và điểm M1;7;3 Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến  P đạt giá trị lớn nhất

A 2x6y z 4 0 B 2xy2z10 0

C xy2z15 0 D x2y   z 1 0

Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1 , A1; 2; 3  và đường

 .Tìm véc tơ chỉ phương u



của đường thẳng  đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất

A u  3; 4; 4 

B u  2; 2; 1 

C u  2;1;6

D u  1;0; 2

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A   2;2; 2  ; B  3; 3;3   Điểm M

trong không gian thỏa mãn 2

3

MA

MB  Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A0;1;1

, B3; 0; 1 

, C0; 21; 19 

và mặt

cầu   S : x12y12z12 1

Điểm M a b c ; ; 

thuộc mặt cầu  S

sao cho biểu thức

T  MA  MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng a b c  ?

5

a  b c B a  b c 0 C 12

5

a b  c D a  b c 12

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A2 ; 2 ; 0t t , B0; 0;t (với t  ) cho điểm 0

P di động thỏa mãn OP AP OP BP       AP BP 3

Biết rằng có giá trị t a

b

 với a b, nguyên

dương và a

b tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng 3 Khi đó giá trị của Q2a b

bằng

ANH SHIPER TOÁN ĐỒNG HÀNH CÙNG 2K6

CHUYÊN ĐỀ 1 TÂM TỈ CỰ

Ví dụ 1: Cho các điểm A4;1; 1 ;   B2;3;2 C 6;3;12 và (P) : x 2 y z 1 0    Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

min

2MA3MB MC

Độ dài đoạn thẳng OM là

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn

1

1

1

2

2 3 1

2 3 1

1

2 3 1

x

z







 







   

2

1

 







  

 Cho M( )P   2 t 4t    4 t 1 1 0   t 1 M1;0; 2OM  5

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3P x3y2z150 và ba điểm

1; 2; 0

A , B1; 1; 3 ,C1; 1; 1   Điểm M x y z( ;0 0; 0) thuộc ( )P sao cho 2MA2MB2MC2nhỏ nhất Giá trị 2x03y0z0bằng

Xét điểm I thỏa 2IA IB    IC0

suy ra I1; 2; 2 

         2 2 2 2

2MA MB MC nhỏ nhất khi và chỉ khi MInhỏ nhất hay M là hình chiếu của Ilên ( )P

Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình

1 3

2 3

2 2

 





 



   



suy ra

0 0 0

1 3

2 3

2 2

 





 



   



Mà 3x03y02z01503 1 3  t3 2 3  t2 2 2t150  t 1

0 0 0

2x 3y z 2 1 3 t 3 2 3 t   2 2t  6 t 5

( 2; 0;5)

Ví dụ 3: Cho các điểm A3;5; 5 ;   B5; 3; 7 C 1; 0;3 và (P) : x y z Tìm điểm M thuộc 0

(P) sao cho T MA22MB2 đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn

1

1

1

2 13

1 2 2

1 2 2 19

1 2

x

z





















  

T MA  MB MA  MB  MI IA  MI IB

= MI22MI IA ( 2IB)IA22IB2

= MI2IA22IB2

-

DoIA22IB2 không đổi nên Tmax  MI2 lớn nhất khi đó MImin  M là hình chiếu vuông

13

19







  



Cho M( )P 21 3 t0   t 7 M6; 18;12 

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz ,cho 3 điểm A4;1;5 ;  B3; 0;1;C1 2;0;  và mặt phẳng

(P) : 3 x 3 y 2  z37 Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho 0 SMA MB     MB MC MC MA

nhỏ nhất Tính a+b+c

Lời giải:

Gọi 7 1; ;3 ; 1;1;1 ; 3 3 5; ;

D  E  F 

      lần lượt là trung điểm của AB, BC và AC.

4

AB

MA MB MDDA MDDB  MDDA MDDA MD AD MD 

         

Suy ra

4

SMD ME MF    nhỏ nhất MD2ME2MF2nhỏ nhất

Gọi G2;1; 2 là trọng tâm tam giác DEF MD2ME2MF23MG2GD2GE2GF2

nhỏ nhất MGmin  M là hình chiếu của G trên (P)

2 3

2 2

 





  

 Suy ra M MG( )P M( 4;7; 2)      a b c 1

Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A1;3; 2 ;  B3;7; 18 và mặt

phẳng ( ) : 2P xy  z 1 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MAMB nhỏ nhất

Lời giải

Đặt f 2xy   ta có: z 1 0 f A f B      0 A,B cùng phía với mặt phẳng (P)

Gọi A là điểm đối xứng của A qua ( ) : 2 P xy  z 1 0 : 1 3 2

 GọiI 1 2 ;3t   t; 2 tAA( )P suy ra 2( 1 2 ) (3  t  t) 2   t 1 0

1 (1; 2; 1) (3;1; 0)

Khi đó MA MB MAMBA B dấu bằng xảy ra  A M B, , thẳng hàng

Phương trình đường thẳng

3

3

A B

 



 

 Giải M( )P u  1 M(2; 2; 3)

Ví dụ 6: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : P xy2z20và 2 điểm

2;3; 0 ; 2; 1; 2

A B  Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB lớn nhất

Lời giải

Kí hiệu f xy2z  Ta có 2 0 f A f B     0 nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P)

Gọi A là điểm đối xứng của A qua (P) Ta có: : 2 3



Khi đó ( ) (2 t;3 ; 2 ) t 2 t 3 4 t 2 0 t 1

2

I AA P   t t         

5 5

; ;1 (3; 2; 2)

2 2

Lại có MA MB  MAMB  A B dấu bằng xảy ra  A M B, , thẳng hàng

Khi đó

3

9 13

2 2 2

A z B

 











Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độOxyzcho các điểm M2;5;3 và đường thẳng : 1 2

Lập  P chứa d sao cho khoảng cách từ M đến  P đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

Đường thẳng d xác định đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là u d2;1; 2



Kẻ MH ( );P MK dMH d M ; P và điểm K cố

định

Ta có d M ; P MH MK

Suy ra dmax MK Khi đó

     

( )

;









(P) d

(P) d d

u

u u ; MA

u ; MA

n

n



 

   

   

Ta có: MA1; 5; 1  n(P)u ; u ; MAd  d  9(1; 4;1)

Do đó mặt phẳng  P cần tìm đi qua A1; 0; 2 và có n(P)(1; 4;1) ( ) :P x4y  z 3 0

Ví dụ 8: Cho các điểm M1; 0;0 ; (0; 2; 3) A  và ( ) :P x2y    Lập phương trình đường thẳng d z 1 0

nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và cách M một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?`

Lời giải:

Ta có: n(P)(1; 2; 1); MA 1; 2;3  

+) Kẻ MK d MK; ( )P MK d M ; dd và điểm H cố định

Ta có: MH MKMAMH d MA

-

+) Ta có MK MAd M d ; max MAK  A

Khi đó đường thẳng d nằm trong ( )P , đi qua A và vuông góc với đường thẳng AM , suy ra

d có một véc tơ chỉ phương là  ; MA 4 1;1;1 : 1

  

và

d MA

+) Mặt khác, lại có MK MH d M d ; min MH H K

Khi đó đường thẳng d nằm trong ( )P , đi qua A và đi qua hình chiếu H của M Suy ra

   

d P  MHA Trong đó nMHAn P; MA4 1; 1; 1   

  

Khi đó đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là ud n(P);n P; MA 12 1;0;1 

   

Suy ra

1

y

z t

 









 



và dmin MH d M ; P  6

TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 2 , B 5; 4; 4   và mặt phẳng

( ) : 2P xy z 60 Nếu M thay đổi thuộc  P thì giá trị nhỏ nhất của MA2MB2là

A 60.B. 50 C 200

2968 25

Lời giải

Gọi I3;3; 3là trung điểm của AB thì IA  IB0

T MA MB MA MB  MI IA  MI IB  MI IA IB

nhỏ nhất MI m in Khi đó M là hình chiếu vuông góc của I trên  P  IM  P

2

2 2

in

A

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A  5; 2; 2 , B 1; 6; 2 Mặt phẳng

( ) :P xy2z  Gọi 5 0 M a; b; c  là điểm thuộc  P thỏa mãn MA3MB

nhỏ nhất, khi

đó tính giá trị của tích abc

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn IA3 IB 0 I2;5; 2

Khi đó MA3MB  4MI

nhỏ nhất MI m in M là hình chiếu của I trên  P

Phương trình đường thẳng IM qua I vuông góc với  P là:  

2

2 2

  







  

 Cho M P    t 2 5 4t  4 5 0  t 1 M1; 6; 0abc Chọn 0 B

Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A5;8; 11 , B 3;5; 4 ;     C2;1; 6  và mặt

(S) : x4  y2  z1  Gọi 9 M x ; y ; z M M M là điểm trên  S sao cho biểu

thức MA MB   MC

đạt giá trị nhỏ nhất Tính Px M y M

Lời giải

Gọi điểm G x y z sao cho  ; ;  GA GB GC     0BA GCG0; 2;1 

Xét măt cầu    2  2  2

S x  y  z  tâm I4; 2; 1  và bán kính R  3



nằm ngoài mặt cầu  S

Ta có MA MB   MC  MG   GA GB GC   MG MGMG

nhỏ nhất I M G, ,

thẳng hàng hay M chính là trung điểm của 2;0; 0 2 2

0

M M

x

y









Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A1;0; 2 , B 0; 1; 6    và mặt phẳng

( ) :P x2y2z120 Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng  P Tìm giá trị lớn nhất của

MA MB

Lời giải

Kí hiệu f  x 2y2z12 Ta có f A f B     0 nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng

 P Gọi là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng  P

   Khi đó IAA P I1t; 2 ; 2t 2t   P

Lại có MA MB  MAMB  A B dấu bằng xảy ra  A M B, , thẳng hàng

Vậy MA MB max A B  10 Chọn B

Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A2; 1;1 , B 1; 1; 0     và đường thẳng

:

d      Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MAB

nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức Qx2M y2Mz2M

18

18

36

Lời giải

Gọi M1t;1 2 ;1 3 t  tdAM t 1; 2t2;3 ;t AB1; 0; 1 

Ta có 1 1 2 2; 2 1; 2 2 1 2 22 2 12 2 22

MAB

S  AM AB   t  t t  t  t  t

 

-

2

1

Câu 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M0;1;3 , B 10; 6; 0   và mặt phẳng  P có

phương trình ( ) :P x2y2z10 Điểm 0 I10; ;a b thuộc mặt phẳng  P sao cho

IMIN lớn nhất Tính tổng T = a + b

Lời giải

Đặt f x2y2z10 f M   .f N 0M N, nằm cùng phía với mặt phẳng  P

Ta có: IM IN MN M N I, , thẳng hàng

10

3 3









  

 Suy ra T a b  Chọn 2 D

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho điểm A0; 2; 3 ,   B 4; 4;1 ; C 2; 3;3  

Tìm tọa độ điểm M trong mặt phẳng Oxz sao cho 2 2 2

2

MA MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất

A 0; 0;3 B 0; 0; 2 C 0; 0;1 D 0;0; 1 

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn  IA IB 2IC  0 I0; 3;1 

Biến đổi MA2MB22MC24MI2IA2IB22IC2nhỏ nhất MI m in Mlà hình chiếu

vuông góc của I trên OxzM0; 0;1  Chọn C

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2; 3; 2 , B 3;5; 4    Tìm tọa độ điểm M

trên trục Oz sao cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

A M0; 0; 49 B M0; 0; 0 C M0; 0; 67 D M0;0;3

Lời giải

M t MA MB    t    t  t  t nhỏ nhất

 

12

b

a



Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;3và B 3; 2;1  Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và

cách B một khoảng lớn nhất

A x   z 2 0 B. 3x2y z 100.C. x2y3z100D. x   z 2 0

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của B trên  

Ta có BH BABHmax  AB Dấu bằng xảy ra khi AB 

Lại có AB 2;0; 2 



Phương trình mặt phẳng   là x z 20.Chọn D

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) :x42y72z1236và mặt

phẳng (P) : 3xy z m  Tìm m để mặt phẳng 0  P cắt  S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất

Lời giải

Mặt cầu  S có tâm I4; 7; 1 , bán kính R 6

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến r2 R2d2I; P 

Để rmax d I ; P  nhỏ nhất  P đi qua Im 20.Chọn A

Câu 11: Cho mặt cầu (S) :x2y2z22x4y6z   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 1 0

để mặt phẳng (P) :x3y2zm cắt mặt cầu 0  S theo một đường tròn có chu vi lớn nhất

Lời giải

  S : x12y22x3216có tâm I1; 2; 3 , bán kính R 4

Yêu cầu bài toán  P đi qua tâm I  1 3.22.3m0m13 Chọn C Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1; 2;3

và cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho , , T 12 12 12

trị nhỏ nhất

A  P :x2y3z140 B.  P : 6x3y2z 6 0

C.  P : 6x3y2z180 D.  P : 3x2y z 100

Lời giải

Gọi phương trình mặt phẳng  P :x y z 1

abc , với A a ; 0; 0 , B0; ; 0 ,b  C0; 0;c 

14

Ta có 12 12 12 12 12 12 1

14

T

14

T 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 14; 7; 14

3

Câu 13: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng : 4 5

d     Xét mặt phẳng

 P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M0;0;0đến  P đạt giá trị lớn nhất Xác

định tọa độ giao điểm N của  P và trục Oz

A N0; 0; 9  B N0; 0;9 C N0;0;3 D N0; 0; 6

Lời giải