Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo thì song song với hai đáy và bằng một nửa hiệu hai đáy... Vì vậy việc tạo nên điểm phụ là[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chuyên đề
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG I Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa
a) Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác (h.6)
b) Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang (h.7)
2 Định lí
a) Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba
b) Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai cạnh đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai
3 Tính chất
a) Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh b) Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy
4 Bổ sung
Trong hình thang có hai cạnh bên khơng song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Gọi O trung điểm CD
Suy EO đường trung bình tam giác ACD ; FO đường trung bình tam giác BCD, suy EO//AC ; EO =
2AC ; FO//BD ; FO =
2BD mà AC = BD => EO = FO => OEF cân => OEF = OFE
FO // AB => OFE = BEF (so le trong) => BEF = OEF
EO // AC =>
BEO = BAC = 80 => BEF = BEO = 40
2
Nhận xét
• Khó khăn toán việc vận dụng giả thiết BD = AC trung điểm E, F Vì việc tạo nên điểm phụ yếu tố tất yếu để liên kết giả thiết với
• Bài tốn giải theo cách khác :
Cách Gọi I trung điểm AB, ta chứng minh EFI cân I BIF = 80°.Từ suy góc BEF Cách Trên tia CE lấy điểm H cho E trung điểm HC Ta chứng minh BDH cân D DBH = 40°.Từ suy góc BEF
Cách Trên tia DF lấy điểm K cho F trung điểm DK Ta chứng minh ACK cân C BAK = 40°.Từ suy góc BEF
Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi O trung điểm AM Qua O kẻ đường thẳng d
cắt cạnh AB, AC Vẽ AA ; BB ; CC1 1 1vng góc với
đường thẳng d Chứng minh 1
1
AA = (BB + CC )
2
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Kẻ MM1vng góc với d, suy MM1là đường trung bình
hình thang 1 1
1
BCC B =>MM = (BB +CC )
2
Mặt khác AA O = MM O1 1 (cạnh huyền - góc nhọn)
suy AA = MM1 1nên ( 1) 1
AA = BB + CC
2
Nhận xét Dựa vào kĩ thuật trên, chứng minh tốn sau :
Cho tam giác ABC có G trọng tâm Qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh AB ; AC Vẽ AA ; BB ; CC1 1 1vng góc với đường thẳng d
Chứng minh : AA = BB + CC1 1
Ví dụ Cho tam giác ABC, tia đối tia BA, CA lấy điểm P, Q cho BP = CQ Gọi
M, N trung điểm đoạn thẳng BC, PQ Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB AC thứ tự I K Chứng minh tam giác AIK cân
Giải (h.11)
Gọi O trung điểm đoạn BQ
Khi OM đường trung bình tam giác BCQ => OM // CQ OM =
2CQ (1)
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
luận khó : Cho P Q thay đổi Chứng minh MN song song với đường thẳng cố định
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC( AB > AC ) có Aˆ = 500 Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = AC Gọi E,F
lần lượt trung điểm cạnh AD,BC Tính BEFˆ = ?
Hướng dẫn:
Do E,F trung điểm cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I trung điểm CD nên EI, FI theo thứ tự đường trung bình tam giác ACD BCD
Đặt BD = AC = 2a
Áp dụng định lý đường trung bình hai tam giác ta có: ( ) FI//BD ( ) FI = a
( ) EI = a ( ) EI//AC
Từ ( ) ⇒ E1ˆ = F1ˆ (vì so le trong) ( )
Từ ( ) ( ) ⇒ FI = EI nên E2ˆ = F1ˆ (vì tam giác, đối diện với hai cạnh hai góc nhau) ( )
Từ ( ) ( ) ⇒ E1ˆ = E2ˆ
Từ ( ) ⇒ BEIˆ = Aˆ = 500 (vì đồng vị)
Mà BEIˆ = 2E1ˆ ⇒ E1ˆ = 250
Ví dụ 5: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có AB = 2cm,CD = 5cm,AD = 7cm Gọi E trung điểm
BC Tính AEDˆ = ?
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Đặt E1ˆ = α ,E2ˆ = β ⇒ AEDˆ = α + β
Do E trung điểm BC theo giả thiết vẽ I trung điểm AD AI = ID = AD/2 = 3,5( cm ) ( )
Ta có EI đường trung bình hình thang ABCD
Áp dụng định lý đường trung bình hình thang ABCD ta có: IE = (AB + CD)/2 = (2 + 5)/2 = 3,5( cm ) ( )
Từ ( ) ( ) ta có
(vì tam giác, đối diện với hai cạn hai góc nhau) + Xét tam giác ADE có A1ˆ + AEDˆ + D2ˆ = 1800
Hay α + α + β + β = 2( α + β ) = 1800 ⇒ α + β = 900
Do α + β = 900 nên AEDˆ = 900 III Bài tập tự luyện
1 Cho tứ giác ABCD có AC BD vng góc với Gọi E F trung điểm AB
AD Kẻ EH vng góc với CD H ; kẻ FK vng góc với BC K Chứng minh AC ; EH FK đồng quy
2 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D ; E cho AD = BE <AB
2
Qua D E kẻ đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh BC = DM + EN
3 Cho hình thang ABCD (AB// CD), trung điểm E BD trung điểm F AC Gọi G giao điểm
của đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc với BC So sánh độ dài đoạn thẳng GD GC
4 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB < CD Gọi M ; N trung điểm AC BD
Chứng minh MN =
2(CD - AB)
5 Cho tam giác ABC có BC = 6cm Trên cạnh BC lấy M, N cho BM = MN = NC Gọi D, E trung
điểm AC, AB Gọi P giao điểm AM BD, Q giao điểm AN CE Tính PQ
6 Cho hình thang ABCD (AD // BC) có đường chéo AC BD vng góc với Biết AD =
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9 Chứng minh tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác đến đường thẳng nằm
tam giác ba lần khoảng cách từ trọng tâm tam giác đến đường thẳng
10 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên AB, AC lấy D E cho AD = AE Từ A E
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: