Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử

Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa mới. Quý thầy cô tải về chỉnh sửa và có thể sử dụng cho các hội thi giáo viên dạy giỏi. không phải chỉnh sửa nhiều.

PHỤ LỤC 01/BCSK

(Ban hành kèm theo Quyết định số 09/2021/QĐ-UBND ngày 20 tháng 4 năm 2021 của Ủy ban

nhân dân tỉnh Cà Mau)

Cái Đôi Vàm, ngày 20 tháng 3 năm 2022

BÁO CÁO

Sáng kiến hoặc giải pháp “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8”

- Tên sáng kiến: “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8”

- Họ và tên: Phạm Văn Công

- Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Hồng Phong.

- Cá nhân, tổ chức phối hợp (ghi cụ thể từng thành viên):

- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ ngày: 11/09/2020 đến ngày: 15/05/2021

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Tên sáng kiến hoặc giải pháp

“Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số

dạng bài tập trong chương trình đại số 8”

2 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến (lý do nghiên cứu)

Trong chương trình đại số lớp 8, dạng bài tập về phân tích đa thức thành nhân

tử là một nội dung hết sức quan trọng Việc áp dụng dạng toán phân tích đa thức

thành nhân tử vào giải toán rất phong phú và đa dạng Vì vậy, để giúp học sinh giải

quyết tốt dạng Toán này là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên

Trong những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8 tại trường THCS Lê Hồng

Phong tôi nhận thấy đa số học sinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành

nhân tử vào áp dụng giải toán còn gặp nhiều sai sót, mất phương hướng khi gặp

những bài tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, nguyên nhân là do

học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi

một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể

Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của mình khi

phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Toán Bên cạnh đó, chỉ ra một số

dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh hệ thống được cách làm của

mình cho phù hợp

Đặc biệt, đề tài này còn giúp các em rèn kĩ năng giải các bài Toán phương

trình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng Toán liên

quan

Hơn nữa, tôi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chuyên môn của bản

thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích đa thức

thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và làm Toán

Giúp các em nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh

hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để các em ngày càng yêu thích và

có hứng thú hơn đối với bộ môn Toán Góp phần cải thiện chất lượng trong học tập

của các em, giúp các em phát triển tư duy giải Toán một cách toàn diện

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN HOẶC GIẢI PHÁP.

1 Cơ sở lí luận của vấn đề

Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức vô cùng quan trọng

của phân môn Đại số 8 và nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học cấp Trung

học cơ sở Vì vậy yêu cầu đặt ra cho các em học sinh là phải nắm được phương

pháp và vận dụng vào giải các bài Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân

tử nếu không các em sẽ gặp rất nhiều khó khăn

Một số bài toán thường gặp như: Rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị

của biểu thức, giải phương trình, bài tập về phân thức đại số… muốn giải được

học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử

Vì vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần phân tích đa thức thành

nhân tử để làm tiền đề giải những dạng Toán liên quan sau này

2 Thực trạng vấn đề

Trong quá trình giải toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử thì đa số các

em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý thuyết, hoặc chỉ

nhận dạng được các công thức này ở những dạng đơn giản, còn khi các công thức

ở dạng phức tạp hơn thì các em trở nên bị động, mất phương hướng, không biết

giải quyết như thế nào

Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Toán khá nhanh, tuy nhiên chưa biết

cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, hoặc trường hợp các em đã

biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính còn xảy ra sai sót về dấu hoặc

nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ…

Cụ thể, năm học 2020 – 2021, bằng một bài kiểm tra thử về dạng toán phân

tích đa thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Hồng Phong

Phân tích đúng Phân tích sai Không biết phân tích

Từ những thực trạng nêu trên, tôi đã nghiên cứu tìm ra một số phương pháp

sao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng phân tích

đa thức thành nhân tử vào giải Toán

3 Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Để áp dụng tốt giải toán phân tích đa thức thành nhân tử vào những bài toán

liên quan thì trước hết học sinh cần phải:

+ Học thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa bằng công

thức

+ Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử

+ Sử dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dung từng

bài toán yêu cầu

+ Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức

3.1 Kiến thức cơ bản:

* Học sinh cần học thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ:

A B 2 A22AB B 2

A B 2 A2  2AB B 2

A B 3 A3 3A B2 3AB2B3

A B 3 A3 3A B2 3AB2 B3

A  B  A B A AB B

* Học sinh cần nắm vững các cách phân tích đa thức thành nhân tử:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

3.2 Các bài tập

Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành

nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

3.2.1 Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết.

Phương pháp:

- Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào

- Xác định biểu thức A, B

- Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định

Bài tập:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 2xy y 2

b) y2  2y1

c) a 2 4

d) x3 3x2 3x1

e) x3  6x2 12x 8

g) y 3 27

h) a 3 125

Giải:

Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, yêu cầu học sinh nhận dạng được

hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu thức B trong từng

câu rồi áp dụng công thức để phân tích:

a) x2  2xy y 2 x y 2

b) y2  2y  1 y2  2 .1 1y  2  y 12

c) a2 4 a2 22 a 2 a 2

d) x3  3x2  3x  1 x3  3 1 3 1x2  x 2  1 3 x 13

e) x3  6x2  12x 8 x3  3 2 3 2x2  x 2  1 3 x 23

g) x327 x3 33 x3 x2  3x9

h) a3125a3 53 a 5 a25a25

- Ta cần hướng dẫn học sinh xác định dạng của hằng đẳng thức đối với mỗi

bài toán, sau đó xác định đâu là A, đâu là B rồi thay vào hằng đẳng thức tương ứng

để làm

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) a6  b6

b) 4a2 4a1

c) 4a212a9

d)

2

2

3

9

16 2

a

ay y

Giải:

a) Đối với bài toán này giáo viên hỏi học sinh   am n  ?

và yêu cầu học sinh nhận dạng hằng đẳng thức Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số ba A2 - B2 =

(A-B)(A+B) Học sinh tự phát hiện đưa về dạng lũy thừa   am n  am n.

Vậy trong bài toán này ta đưa ra được như thế nào, học sinh đưa ra a6 = (a3)2, b6 = (b3)2, đến

đây học sinh tự giải quyết các bài toán

b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy, học

sinh khá giỏi sẽ giải bài này không khó khăn nhưng những học sinh yếu kém sẽ

thường nhầm lẫn như sau:

       (Cách làm sai của HS)

Học sinh làm sai là do xác định sai biểu thức A và B Cần phải nắm rõ với các

biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm

hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó

Ví dụ:

Trong đó A3 ;a B6b

Hoặc x2  20xy100y2 x2  2 .10x y10y2 x 10y2

Trong đó A x B ; 10y

Vì vậy bài Toán được giải đúng như sau:

Giáo viên luôn luôn nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác biểu

thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau

d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và yêu cầu học

sinh xác định đúng A =

1

4a và B = 3y, sau đó giáo viên cho học sinh phân tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải

2

2 2

a

3.2.2 Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm

xuất hiện hằng đẳng thức.

Phương pháp:

- Phát hiện nhân tử chung hoặc nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng

thức

- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử

Bài tập:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 15a330a x2 15ax2

b) a3 3a23a 1 b3

Giải:

a) 15a330a x2 15ax2

Câu a giáo viên yêu cầu học sinh xác định số hạng tử trong bài, vì chỉ có 3

hạng tử là 15a3, 2

30a x , 15ax2nên hướng học sinh hoặc là dùng hằng đẳng thức

hoặc đặt nhân tử chung, giáo viên đặt câu hỏi nếu sử dụng hằng đẳng thức luôn có

được không? Hoặc nếu đặt nhân tử chung ra ngoài thì ta nhận được biểu thức nào?

Học sinh sẽ nhận thấy rằng sau khi đặt 15a là nhân tử chung ra ngoài thì sẽ xuất

hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải như sau:

b) a3 3a2 3a 1 b3

Với bài Toán này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo viên

gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức Lúc này

học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức: lập phương của

một hiệu và hiệu hai lập phương Tuy nhiên giáo viên cần phải chỉ rõ cách nhóm

hạng tử để học sinh không bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bị nhầm lẫn trong

bài này mà thường gặp trong học sinh là

a  a  a  b  a  a  a b   a b 

(Cách làm sai của

HS) Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai.

Vì vậy cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể, nếu sai

giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến thức

Bài giải trên được giải đúng như sau:

Lưu ý: Đối với học sinh yếu hơn có thể cho các em làm bài Toán tương tự

với bậc hai trước khi làm bậc ba, ví dụ bài x2  2 x   1 y2

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) xy x y  yz y z  xz x z  2xyz

b)x y z  2 y x z  2 z x y  2  4xyz

Giải:

15a  30a x 15ax  15a a  2ax x  15a a x

a) xy x y  yz y z  xz x z  2xyz

Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại

nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz

thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau:

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz

= x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz

= (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz)

= x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)

= (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]

= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)

Tương tự câu b

b)x y z  2  y x z  2 z x y  2  4xyz

Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ thể:

khai triển hai biểu thức đầu tiên là    

x y z y x z ta được

x y  yz z y x  xz z

, nhân đơn thức cho đơn thức ta được

hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử

Như vậy, bài giải được trình bày như sau:

2

2

4

x y y z x z

Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số bước làm để bài Toán

được ngắn gọn hơn

Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài Toán

mở rộng, Cho hai biểu thức

A xy x y  yz y z xz x z  xyz

Chứng minh A = B Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp để

được kết quả hoàn chỉnh

3.2.3 Dạng 3: Dạng bài sử dụng nhiều hằng đẳng thức để phân tích đa

thức thành nhân tử.

Phương pháp:

- Đặt nhân tử chung (nếu có)

- Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức

- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử

Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a3 – a + 3a2b + 3ab2 + b3 – b

b) 15x2 – 30xy + 15y2 – 60z2

Giải:

a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng đẳng

thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài lại tiếp tục xuất hiện hằng đẳng thức, phải

lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để

a3 – a + 3a2b + 3ab2 + b3 – b

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a + b) = (a + b)3 – (a + b)

= (a + b)[(a + b)2 – 1] = (a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)

b) Giải câu b tương tự câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt nhân tử

chung ra ngoài trước khi nhóm hạng tử thì bài Toán sẽ dễ nhìn hơn

15x2 – 30xy + 15y2 – 60z2 = 15(x2 – 2xy + y2 – 4z2)

= 15[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 15[(x – y)2 – (2z)2]

= 15(x – y + 2z)(x – y – 2z)

Tóm lại, qua mỗi dạng giáo viên cần nhắc nhở học sinh học công thức càng

trôi chảy lưu loát bao nhiêu thì khả năng phân tích đề và độ nhạy bén khi giải đề

càng nhanh nhẹn bấy nhiêu

3.2.4 Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa

thức thành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0.

Phương pháp:

- Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất

- Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn

Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức:

a) x2 y + xy2 + xy tại x = 0 và y = 1000

b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0

Giải:

a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị vào

biểu thức:

x2 y + xy2 + xy = xy ( x + y + 1 )

Thay x = 0 và y = 1000, ta được 0.1000(0 + 1000 + 1) = 0

Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích

thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì giá trị của biểu

thức bằng 0, không cần tính giá trị của thừa số thứ hai nữa

Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x)

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y)2, thay giá trị

y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0

3.2.5 Dạng 5: Giải phương trình tích thông qua phân tích đa thức thành

nhân tử.

Phương pháp:

- Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị là

0

- Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải

phương trình tích

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a) 15y(y + 3) = 3(y + 3)

b) 2(x + 115) – 2x2 – 230x = 0

Giải:

a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử

15y(y + 3) = 3(y + 3)

⇔ 15y(y + 3) – 3(y + 3) = 0

⇔ 3(y + 3)(5y – 1) = 0

⇔ y + 3 = 0 hoặc 5y – 1 = 0

• y + 3 = 0 ⇔ y = -3

• 5y – 1 = 0 ⇔ y =

1 5 Vậy y = -3 hoặc y =

1

5 .

b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung rồi phân tích đa thức thành

nhân tử

2(x + 115) – 2x2 – 230x = 0

⇔ 2(x + 115) – (2x2 + 230x) = 0

⇔ 2(x + 115) – 2x(x + 115) = 0

⇔ 2(x + 115)(1 – x) = 0

⇔ 1 – x = 0 hoặc x + 115 = 0

• 1 – x = 0 ⇔ x = 1

• x + 115 = 0 ⇔ x = -115

Vậy x = 1 hoặc x = -115

Với dạng Toán tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa thức

thành nhân tử vào thì việc giải Toán sẽ trở nên dễ dàng hơn

3.2.6 Dạng 6: Một số bài Toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên

quan đến các hằng đẳng thức.

Phương pháp:

- Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào

- Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập: Chứng minh:

9

)2 1

a  chia hết cho 7

)5 10

b  chia hết cho 9

c n  n chia hết cho 8

d n  n chia hết cho 24

e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120

Phương pháp chung:

- Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử

có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử

có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó

Giải:

- Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 29 thành một số mũ 3 để biểu thức

cần chứng minh trở thành A3 – B3 Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ học

sinh dễ dàng chứng minh được như sau

3