Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử

Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa mới. Quý thầy cô tải về chỉnh sửa và có thể sử dụng cho các hội thi giáo viên dạy giỏi. không phải chỉnh sửa nhiều.

PHỤ LỤC 01/BCSK Page1 (Ban hành kèm theo Quyết định số 09/2021/QĐ-UBND ngày 20 tháng 4 năm 2021 của Ủy ban nhân dân tỉnh Cà Mau) Cái Đôi Vàm, ngày 20 tháng 3 năm 2022 BÁO CÁO Sáng kiến hoặc giải pháp “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8” - Tên sáng kiến: “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8” - Họ và tên: Phạm Văn Công - Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Hồng Phong - Cá nhân, tổ chức phối hợp (ghi cụ thể từng thành viên): - Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ ngày: 11/09/2020 đến ngày: 15/05/2021 I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Tên sáng kiến hoặc giải pháp “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8” 2 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến (lý do nghiên cứu) Trong chương trình đại số lớp 8, dạng bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng Việc áp dụng dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán rất phong phú và đa dạng Vì vậy, để giúp học sinh giải quyết tốt dạng Toán này là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên Trong những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8 tại trường THCS Lê Hồng Phong tôi nhận thấy đa số học sinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải toán còn gặp nhiều sai sót, mất phương hướng khi gặp những bài tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, nguyên nhân là do học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của mình khi Page2 phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Toán Bên cạnh đó, chỉ ra một số dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh hệ thống được cách làm của mình cho phù hợp Đặc biệt, đề tài này còn giúp các em rèn kĩ năng giải các bài Toán phương trình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng Toán liên quan Hơn nữa, tôi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích đa thức thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và làm Toán Giúp các em nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để các em ngày càng yêu thích và có hứng thú hơn đối với bộ môn Toán Góp phần cải thiện chất lượng trong học tập của các em, giúp các em phát triển tư duy giải Toán một cách toàn diện II NỘI DUNG SÁNG KIẾN HOẶC GIẢI PHÁP 1 Cơ sở lí luận của vấn đề Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức vô cùng quan trọng của phân môn Đại số 8 và nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học cấp Trung học cơ sở Vì vậy yêu cầu đặt ra cho các em học sinh là phải nắm được phương pháp và vận dụng vào giải các bài Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử nếu không các em sẽ gặp rất nhiều khó khăn Một số bài toán thường gặp như: Rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu thức, giải phương trình, bài tập về phân thức đại số… muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử Vì vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần phân tích đa thức thành nhân tử để làm tiền đề giải những dạng Toán liên quan sau này 2 Thực trạng vấn đề Trong quá trình giải toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử thì đa số các em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý thuyết, hoặc chỉ nhận dạng được các công thức này ở những dạng đơn giản, còn khi các công thức ở dạng phức tạp hơn thì các em trở nên bị động, mất phương hướng, không biết giải quyết như thế nào Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Toán khá nhanh, tuy nhiên chưa biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, hoặc trường hợp các em đã biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính còn xảy ra sai sót về dấu hoặc nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ… Cụ thể, năm học 2020 – 2021, bằng một bài kiểm tra thử về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Hồng Phong có 75 em, cho kết quả: Số HS Phân tích đúng Phân tích sai Không biết phân tích Tỉ lệ % 25 30 20 33,3,0% 40,0% 26,7% Từ những thực trạng nêu trên, tôi đã nghiên cứu tìm ra một số phương pháp Page3 sao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải Toán 3 Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Để áp dụng tốt giải toán phân tích đa thức thành nhân tử vào những bài toán liên quan thì trước hết học sinh cần phải: + Học thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa bằng công thức + Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử + Sử dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dung từng bài toán yêu cầu + Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức 3.1 Kiến thức cơ bản: * Học sinh cần học thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ:  A  B 2 A2  2AB  B2  A  B 2 A2  2AB  B2 A2  B2  A  B  A  B  A  B 3 A3  3A2B  3AB2  B3  A  B  3 A3  3A2B  3AB2  B3 A3  B3  A  B  A2  AB  B2  A3  B3  A  B  A2  AB  B2  * Học sinh cần nắm vững các cách phân tích đa thức thành nhân tử: + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 3.2 Các bài tập Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức 3.2.1 Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết Phương pháp: - Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào - Xác định biểu thức A, B - Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2  2xy  y2 b) y2  2 y 1 c) a2  4 d) x3  3x2  3x 1 e) x3  6x2 12x  8 g) y3  27 h) a3  125 Giải: Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, yêu cầu học sinh nhận dạng được hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu thức B trong từng câu rồi áp dụng công thức để phân tích: a) x2  2xy  y2  x  y 2 y2  2 y 1 y2  2.y.112  y  1 2 b) c) a2  4 a2  22  a  2  a  2 3 2 3 2 23 3 Page4 x  3x  3x 1 x  3x 1 3x.1 1  x 1 d) 3 2 3 2 23 3 x  6x 12x  8 x  3x 2  3x.2  1  x  2 e) g) x3  27 x3  33  x  3  x2  3x  9 h) a3  125 a3  53  a  5  a2  5a  25 - Ta cần hướng dẫn học sinh xác định dạng của hằng đẳng thức đối với mỗi bài toán, sau đó xác định đâu là A, đâu là B rồi thay vào hằng đẳng thức tương ứng để làm Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) a6  b6 b) 4a2  4a 1 c) 4a2  12a  9 a2  3 ay  9 y2 d) 16 2 Giải: a) Đối với bài toán này giáo viên hỏi học sinh  am  n ? và yêu cầu học sinh nhận dạng hằng đẳng thức Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số ba A2 - B2 = (A-B)(A+B) Học sinh tự phát hiện đưa về dạng lũy thừa  am  n am.n Vậy trong bài toán này ta đưa ra được như thế nào, học sinh đưa ra a6 = (a3)2, b6 = (b3)2, đến đây học sinh tự giải quyết các bài toán b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy, học sinh khá giỏi sẽ giải bài này không khó khăn nhưng những học sinh yếu kém sẽ thường nhầm lẫn như sau: b)4a2  4a 1  4a 2  2. 4a  112  4a 1 2 c)4a2  12a  9  4a 2  2. 4a 3  32  4a  3 2 (Cách làm sai của HS) Học sinh làm sai là do xác định sai biểu thức A và B Cần phải nắm rõ với các Page5 biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó Ví dụ: 9a2  36ab  36b2  3a 2  2.3a.6b   6b 2  3a  6b 2 Trong đó A 3a; B 6b Hoặc x2  20xy 100 y2 x2  2.x.10 y  10 y  2  x  10 y  2 Trong đó A x; B 10 y Vì vậy bài Toán được giải đúng như sau: b)4a2  4a 1  2a 2  2. 2a  112  2a 1 2 c)4a2  12a  9  2a 2  2. 2a 3  32  2a  3 2 Giáo viên luôn luôn nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác biểu thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và yêu cầu học 1a sinh xác định đúng A = 4 và B = 3y, sau đó giáo viên cho học sinh phân tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải a2 3 2  1 2  1  2  1 2  ay  9 y  a   2. x  3y   3y  a  3y  16 2 4  4  4  3.2.2 Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức Phương pháp: - Phát hiện nhân tử chung hoặc nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức - Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 15a3  30a2x 15ax2 b) a3  3a2  3a  1 b3 Giải: a) 15a3  30a2x 15ax2 Page6 Câu a giáo viên yêu cầu học sinh xác định số hạng tử trong bài, vì chỉ có 3 hạng tử là 15 a3 , 30a2 x , 15ax2 nên hướng học sinh hoặc là dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung, giáo viên đặt câu hỏi nếu sử dụng hằng đẳng thức luôn có được không? Hoặc nếu đặt nhân tử chung ra ngoài thì ta nhận được biểu thức nào? Học sinh sẽ nhận thấy rằng sau khi đặt 15a là nhân tử chung ra ngoài thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải như sau: 15a3  30a2 x 15ax2 15a  a2  2ax  x2  15a  a  x 2 b) a3  3a2  3a  1 b3 Với bài Toán này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo viên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức Lúc này học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức: lập phương của một hiệu và hiệu hai lập phương Tuy nhiên giáo viên cần phải chỉ rõ cách nhóm hạng tử để học sinh không bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bị nhầm lẫn trong bài này mà thường gặp trong học sinh là a3  3a2  3a  1 b3  a3  3a2  3a  b3   1  a  b 3  13 (Cách làm sai của HS) Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai Vì vậy cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể, nếu sai giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến thức Bài giải trên được giải đúng như sau: a3  3a2  3a  1 b3  a3  3a2  3a  1  b3  a  1 3  b3  a  1 b   a  1 2  b  a  1  b2   a  1 b  a2  b2  ab  2a  b 1 Lưu ý: Đối với học sinh yếu hơn có thể cho các em làm bài Toán tương tự với bậc hai trước khi làm bậc ba, ví dụ bài x2  2x 1 y2 Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) xy  x  y  yz  y  z  xz  x  z   2xyz b) x  y  z  2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz Page7 Giải: a) xy  x  y  yz  y  z  xz  x  z   2xyz Page8 Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz = x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz = (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz) = x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z) = (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)] = (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z) Tương tự câu b b) x y  z  2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ thể: khai triển hai biểu thức đầu tiên là x  y  z 2  y  x  z 2 ta được x  y2  2 yz  z2   y  x2  2xz  z2  , nhân đơn thức cho đơn thức ta được xy2  x2 y  xz2  yz2  4xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức thứ hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử Như vậy, bài giải được trình bày như sau: x  y  z  2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz x  y2  2yz  z2   y  x2  2xz  z2   z  x  y  2  4xyz xy2  x2 y  xz2  yz2  z  x  y  2 xy  x  y   z2  x  y   z  x  y  2  x  y  xy  z2  z  x  y   x  y  xy  z2  xz  yz   x  y  xy  xz  yz  z2   x  y  x  y  z   z  y  z    x  y  y  z  x  z  Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số bước làm để bài Toán được ngắn gọn hơn Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài Toán mở rộng, Cho hai biểu thức A xy  x  y  yz  y  z   xz  x  z   2xyz B x  y  z 2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz Chứng minh A = B Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp để được kết quả hoàn chỉnh 3.2.3 Dạng 3: Dạng bài sử dụng nhiều hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: - Đặt nhân tử chung (nếu có) - Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức - Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a3 – a + 3a2b + 3ab2 + b3 – b b) 15x2 – 30xy + 15y2 – 60z2 Giải: a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng đẳng thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài lại tiếp tục xuất hiện hằng đẳng thức, phải lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để a3 – a + 3a2b + 3ab2 + b3 – b = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a + b) = (a + b)3 – (a + b) = (a + b)[(a + b)2 – 1] = (a + b)(a + b + 1)(a + b - 1) b) Giải câu b tương tự câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt nhân tử chung ra ngoài trước khi nhóm hạng tử thì bài Toán sẽ dễ nhìn hơn 15x2 – 30xy + 15y2 – 60z2 = 15(x2 – 2xy + y2 – 4z2) = 15[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 15[(x – y)2 – (2z)2] = 15(x – y + 2z)(x – y – 2z) Tóm lại, qua mỗi dạng giáo viên cần nhắc nhở học sinh học công thức càng trôi chảy lưu loát bao nhiêu thì khả năng phân tích đề và độ nhạy bén khi giải đề càng nhanh nhẹn bấy nhiêu 3.2.4 Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa thức thành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0 Phương pháp: - Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất - Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức: Page9 a) x2 y + xy2 + xy tại x = 0 và y = 1000 b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0 Giải: a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị vào biểu thức: x2 y + xy2 + xy = xy ( x + y + 1 ) Thay x = 0 và y = 1000, ta được 0.1000(0 + 1000 + 1) = 0 Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0, không cần tính giá trị của thừa số thứ hai nữa Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x) Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y)2, thay giá trị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0 3.2.5 Dạng 5: Giải phương trình tích thông qua phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: - Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị là 0 - Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải phương trình tích Bài tập: Giải các phương trình sau: a) 15y(y + 3) = 3(y + 3) b) 2(x + 115) – 2x2 – 230x = 0 Giải: a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử 15y(y + 3) = 3(y + 3) ⇔ 15y(y + 3) – 3(y + 3) = 0 ⇔ 3(y + 3)(5y – 1) = 0 ⇔ y + 3 = 0 hoặc 5y – 1 = 0 • y + 3 = 0 ⇔ y = -3 1 • 5y – 1 = 0 ⇔ y = 5 Page10 1 Vậy y = -3 hoặc y = 5 b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung rồi phân tích đa thức thành nhân tử 2(x + 115) – 2x2 – 230x = 0 ⇔ 2(x + 115) – (2x2 + 230x) = 0 ⇔ 2(x + 115) – 2x(x + 115) = 0 ⇔ 2(x + 115)(1 – x) = 0 ⇔ 1 – x = 0 hoặc x + 115 = 0 • 1–x=0⇔x=1 • x + 115 = 0 ⇔ x = -115 Vậy x = 1 hoặc x = -115 Với dạng Toán tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào thì việc giải Toán sẽ trở nên dễ dàng hơn 3.2.6 Dạng 6: Một số bài Toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các hằng đẳng thức Phương pháp: - Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào - Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập: Chứng minh: a)29  1 chia hết cho 7 b)56  104 chia hết cho 9 c)  n  3 2   n  1 2 chia hết cho 8 d )  n  6 2   n  6 2 chia hết cho 24 e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 Phương pháp chung: - Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó Giải: - Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 29 thành một số mũ 3 để biểu thức Page11 cần chứng minh trở thành A3 – B3 Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau a)29  1  23 3  1 83  1 83  3  8  1  82  8.112  7.73 1 Vậy 7.73 chia hết cho 7 Page12 Do đó 29  1 chia hết cho 7 - Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt nhân tử chung Tách 56 và 104 làm sao để xuất hiện nhân tử chung, cách làm như sau: b)56  104 54.52  54.24 54  52  24  54.9 Vậy 54.9 chia hết cho 9 Do đó 56  104 chia hết cho 9 - Câu c đề bài  n  3 2   n  1 2 giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tới hằng đẳng thức, rõ ràng học sinh sẽ nghĩ đến 2 hằng đẳng thức là bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu Tuy nhiên giáo viên yêu cầu học sinh nhìn một cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho học sinh làm bài: c) n  3 2   n  1 2  n  3  n  1  n  3  n 1  2n  2 4 8n  8 8 n 1 Bài Toán trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức thứ hai nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau:  n  3 2   n  1 2  n  3  n 1  n  3  n  1 (Cách làm sai của HS) do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu thức có nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ - Với câu d cách làm hoàn toàn tương tự, ta có d ) n  6 2   n  6 2  n  6  n  6  n  6  n  6 2n.12 24n Như vậy 24n chia hết cho 24 hay  n  6 2   n  6 2 chia hết cho 24 e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 Giáo viên định hướng học sinh phân tích số 120 thành tích các thừa số nguyên tố, ta được 120 = 23.3.5 Từ bài toán chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 ta đưa về chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho tích của các thừa số 2, 3, 5 Sau đó giáo viên tiếp tục hướng dẫn các em phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung nhiều lần Bài giải cụ thể như sau: Dễ thấy 120 = 23.3.5 Ta có x5 10x4  35x3  50x2  24x x  x4 10x3  35x2  50x  24 x  x3  x 1  9x2  x 1  26x  x 1  24 x 1  x  x 1  x3  9x2  26x  24 x  x 1  x2  x  2  7x  x  2 12 x  2  x  x 1  x  2  x2  7x 12 x  x 1  x  2  x  3  x  4 Mà ta có x  x 1  x  2  x  3  x  4 chia hết cho 2, 3, 4, 5 Mặt khác 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên x  x 1  x  2  x  3  x  4 chia hết cho 2.3.4.5 = 120 Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 3.2.7 Dạng 7: Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua hằng đẳng thức Phương pháp: - Quy các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu - Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số - Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để tìm ra giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau: a) A = a2 – 14x + 51 Page13 b) B = 5x – x2 Giải: a Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức về dạng bình phương của một hiệu, để ý hiệu a2 – 14a phân tích được a2 – 2.7.a, lúc này học sinh sẽ tìm được hạng tử thứ hai là 7, vậy ta giải như sau Ta có: A = a2 – 14x + 15 = x2 – 2.7a + 49 + 2 = (a – 7)2 + 2 Vì (a – 7)2 ≥ 0 nên (a – 7)2 + 2 ≥ 2 Suy ra: A ≥ 2 Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3 b Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử đầu tiên bằng cách đưa dấu “-“ ra ngoài ngoặc, tương tự bài trên ta phân tích x2 – 5x ra dạng A2-2.A.B để tìm ra hạng tử B 5 5 5 B = 5x – x2 = -(x2 – 5x) = - [x2 - 2 2 x + ( 2 )2 – ( 2 )2] 5 25 5 25 = - [(x - 2 )2 - 4 ] = - (x - 2 )2 + 4 5 5 5 25 25 Vì (x - 2 )2 ≥ 0 nên - (x - 2 )2 ≤ 0 ⇒ - (x - 2 )2 + 4 ≤ 4 25 25 5 Suy ra: B ≤ 4 Vậy B = 4 là giá trị lớn nhất tại x = 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau: a) M = 6a2 – 18a b) N = m2 + n2 – m +6n + 10 Giải: a) Giáo viên gợi ý tương tự bài 1, sau khi đưa nhân tử chung ra ngoài thì trong ngoặc các em biến đổi về dạng bình phương của một hiệu để tìm ra hạng tử thứ hai 3 99 3 27 27 M = 6a2 – 18a = 6(a2-3a) = 6.(a2 - 2 2 x + 4 – 4 )= 6.( a- 2 ) 2 - 2  - 2 27 3 Vậy MinM = - 2 khi x = 2 b) Tương tự như trên, tuy nhiên giáo viên cần gợi ý câu hỏi cho học sinh rằng đối với bài này có thể phân tích được thành bao nhiêu hằng đẳng thức trong bài Để định hướng cho các em nhìn thấy được hai hằng đẳng thức Page14 N m2  n2  m  6n 11 m2  n2  m  6n  1  9  7 44 (m2  m  1)  (n2  6n  9)  7 4 4 2 1 1 2 7  m  2.m     n  2.n.3  9   2 4 4  1 2 27  m     n  3   2 4  1 2 2  m   0  1 27 7 Do  2   N  m     n  3    2 44  n  3 02 Dấu “=” xảy ra khi: 1 1 m  0 m   2  2 n  3 0 n  3 7 x 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của N = 4 khi 2 và y = -3 Tóm lại: Toán phân tích đa thức thành nhân có những ứng dụng rất quan trọng trong việc giải toán cấp trung học cơ sở Để vận dụng tốt thì các em phải hiểu cách biến đổi của từng dạng Trong phần này tôi đã đưa ra những dạng toán thường gặp trong chương trình toán trung học cơ sở, vì vậy nó sẽ giúp các thầy, cô và các em rất nhiêu trong việc dạy và học môn toán cấp trung học cơ sở III ĐÁNH GIÁ VỀ TÍNH MỚI, TÍNH HIỆU QUẢ VÀ KHẢ THI, PHẠM VI ÁP DỤNG 1 Tính mới Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh linh động hơn trong việc tìm ra Page15 công thức để giải toán, các em biết cách xử lý nhanh hơn khi giải toán phân tích đa thức thành nhân tử và những dạng toán liên quan Đề tài có hướng đến những lỗi sai trong cách giải của học sinh để giúp các em định hướng cách làm đúng và nhanh nhất 2 Tính hiệu quả và khả thi Năm học 2020 – 2021, trong bài kiểm tra phân tích đa thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Hồng Phong có 75 em, cho kết quả: Phân tích đúng Phân tích sai Không biết phân tích Số HS 45 20 10 Tỉ lệ % 66,7% 26,7% 13,3% Như vậy, sau một năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, tôi nhận thấy đa số học sinh tham gia đều rất hứng thú học Toán, tự giác và chủ động trong những kiến thức Toán giáo viên đưa ra, đặc biệt là những kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử 3 Phạm vi áp dụng Đề tài: “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8” Đã được nhà trường thống nhất và cho áp dụng rộng rãi trong toàn khối 8 tại trường THCS Lê Hồng Phong, năm học 2021 – 2022 IV KẾT LUẬN Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cực kỳ quan trọng, góp phần định hướng tư duy cho học sinh trong các kĩ năng giải toán, dễ dàng nhận dạng và giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp Đối với người giáo viên khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì định nghĩa cần hướng dẫn học sinh biết cách kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức để giải các dạng toán liên quan Đối với học sinh ngoài việc nắm vững lý thuyết thì cần phải nhận ra dạng toán và vận dụng linh hoạt các kĩ năng để giải bài toán đó Những cách tôi thực hiện trong đề tài này là những kinh nghiệm mang tính cá nhân trong quá trình tổ chức các tiết học Chính vì vậy không thể tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các quí thầy, cô để đề tài này được hoàn chỉnh hơn XÁC NHẬN CỦA Người báo cáo Page16 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ TRỰC TIẾP Phạm Văn Công Page17