GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )

GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )

CHƯƠNG 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TỈ LỆ TL/BT/TH: 8/2/20

Vinh - 2013

————————————————————–

Chương 5 Phương trình vi phân

(Tỉ Lệ TL/BT/TH: 8/2/20)

5.1 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân

5.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân, nghiệm, nghiệm tổng quát,

nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị

5.1.2 Điều kiện đầu và bài toán Cauchy

5.2 Phương trình vi phân cấp một

5.2.1 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

5.2.2 Cách giải một số phương trình vi phân cấp một; Phương trình táchbiến, đẳng cấp, tuyến tính, Becnuly, Ricati, vi phân toàn phần và thừa sốtích phân, phương trình Lagrang và Clerô

5.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số

5.3.1 Phương trình thuần nhất, cách giải

5.3.2 Phương trình không thuần nhất, tìm nghiệm riêng bằng phươngpháp hệ số bất định

5.4 Hệ phương trình vi phân

5.4.1 Các khái niệm cơ bản

5.4.2 Cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

Chương 5 Phương trình vi phân

5.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độclập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạohàm)

Dạng: F (x , y , y0, , y(n)) = 0

• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình

• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình

ấy Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm

• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một

đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác địnhbởi y = f (x ) hay φ(x , y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x (t), y (t)

• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y0) = 0 (1)hay y0= f (x , y ) (2)

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y0) = 0 (1)hay y0= f (x , y ) (2)

• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước đượcgọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x =x 0 = y0

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y0) = 0 (1)hay y0= f (x , y ) (2)

• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước đượcgọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x =x 0 = y0

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y0) = 0 (1)hay y0= f (x , y ) (2)

• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước đượcgọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x =x 0 = y0

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y0) = 0 (1)hay y0= f (x , y ) (2)

• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước đượcgọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x =x 0 = y0

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y0 = f (x , y ) Nếu f (x , y ) liên

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y0) = 0 (1)hay y0= f (x , y ) (2)

• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước đượcgọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x =x 0 = y0

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y0 = f (x , y ) Nếu f (x , y ) liêntục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thìtồn tại nghiệm y = y (x ) trong lân cận x0 thỏa mãn y0= y (x0)

nhận định lý này.)

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.2.1 Các khái niệm cơ bản

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y0) = 0 (1)hay y0= f (x , y ) (2)

• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước đượcgọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x =x 0 = y0

• Bài toán tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bàitoán Cauchy của phương trình (2)

5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)

Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y0 = f (x , y ) Nếu f (x , y ) liêntục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thìtồn tại nghiệm y = y (x ) trong lân cận x0 thỏa mãn y0= y (x0)

Hơn nữa, nếu ∂f∂y(x , y ) liên tục trên D thì nghiệm là duy nhất (Ta thừanhận định lý này.)

5.2.3 Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng

(với C là hằng số tùy ý) thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Thỏa mãn phương trình (2) với mọi C

5.2.3 Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng

(với C là hằng số tùy ý) thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Thỏa mãn phương trình (2) với mọi C

5.2.3 Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng

(với C là hằng số tùy ý) thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Thỏa mãn phương trình (2) với mọi C

5.2.3 Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng

(với C là hằng số tùy ý) thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Thỏa mãn phương trình (2) với mọi C

b) ∃C0 để y = ϕ(x , C0) thỏa mãn điều kiện đầu: y0 = y (x0) = ϕ(x0, C0)

Chú ý:

• Về mặt hình học nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát xác địnhmột họ đường cong trong mặt phẳng không cắt nhau gọi là các đườngcong tích phân của phương trình vi phân cấp 1

• Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát ở dạng y = ϕ(x, c) mà chỉtìm được một hệ thức có dạng: φ(x , y , c) = 0 là nghiệm tổng quát dạng

ẩn, ta gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2)

• Hàm số y = ϕ(x, c) được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi

Phương trình vi phân còn có nghiệm khác không thể nhận được từ nghiệmtổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị

Chú ý:

• Về mặt hình học nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát xác địnhmột họ đường cong trong mặt phẳng không cắt nhau gọi là các đườngcong tích phân của phương trình vi phân cấp 1

• Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát ở dạng y = ϕ(x, c) mà chỉtìm được một hệ thức có dạng: φ(x , y , c) = 0 là nghiệm tổng quát dạng

ẩn, ta gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2)

• Hàm số y = ϕ(x, c) được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi

Phương trình vi phân còn có nghiệm khác không thể nhận được từ nghiệmtổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị

Chú ý:

• Về mặt hình học nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát xác địnhmột họ đường cong trong mặt phẳng không cắt nhau gọi là các đườngcong tích phân của phương trình vi phân cấp 1

• Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát ở dạng y = ϕ(x, c) mà chỉtìm được một hệ thức có dạng: φ(x , y , c) = 0 là nghiệm tổng quát dạng

ẩn, ta gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2)

• Hàm số y = ϕ(x, c) được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi

Phương trình vi phân còn có nghiệm khác không thể nhận được từ nghiệmtổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị

Chú ý:

• Về mặt hình học nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát xác địnhmột họ đường cong trong mặt phẳng không cắt nhau gọi là các đườngcong tích phân của phương trình vi phân cấp 1

• Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát ở dạng y = ϕ(x, c) mà chỉtìm được một hệ thức có dạng: φ(x , y , c) = 0 là nghiệm tổng quát dạng

ẩn, ta gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2)

• Hàm số y = ϕ(x, c) được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi

và φ(x , y , C0) = 0 được gọi là tích phân riêng

Phương trình vi phân còn có nghiệm khác không thể nhận được từ nghiệmtổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị

Chú ý:

• Về mặt hình học nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát xác địnhmột họ đường cong trong mặt phẳng không cắt nhau gọi là các đườngcong tích phân của phương trình vi phân cấp 1

• Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát ở dạng y = ϕ(x, c) mà chỉtìm được một hệ thức có dạng: φ(x , y , c) = 0 là nghiệm tổng quát dạng

ẩn, ta gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2)

• Hàm số y = ϕ(x, c) được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi

và φ(x , y , C0) = 0 được gọi là tích phân riêng

Phương trình vi phân còn có nghiệm khác không thể nhận được từ nghiệmtổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)

5.2.4 Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

5.2.4.1 Phương trình tách biến (Phương trình với biến số phân ly)