GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh )

GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh ) GIẢI TÍCH CHƯƠNG 2 ( Đại học vinh )

CH×ÌNG 2 GIÎI H„N CÕA H€M SÈ - H€M LI–N TÖC

Vinh - 2021





Ch֓ng 2

Giîi thi»u - Möc ti¶u cõa ch÷ìng

♣ H m sè, giîi h¤n h m sè v  t½nh li¶n töc cõa h m sè l  c¡c kh¡i ni»m

cì b£n cõa gi£i t½ch to¡n håc Vi»c n­m vúng kh¡i ni»m h m sè, c¡c t½nhch§t cõa chóng, gióp cho ng÷íi håc ti¸p thu tèt c¡c kh¡i ni»m v  t½nhch§t cõa giîi h¤n h m v  t½nh li¶n töc cõa c¡c h m sè º tø â ti¸p cªn

÷ñc vîi c¡c ki¸n thùc v· ph²p t½nh vi ph¥n, ph²p t½nh t½ch ph¥n,

♣ Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa h m sè, giîi h¤n h m,

h m sè li¶n töc

Ch֓ng 2

Giîi thi»u - Möc ti¶u cõa ch÷ìng

♣ H m sè, giîi h¤n h m sè v  t½nh li¶n töc cõa h m sè l  c¡c kh¡i ni»m

cì b£n cõa gi£i t½ch to¡n håc Vi»c n­m vúng kh¡i ni»m h m sè, c¡c t½nhch§t cõa chóng, gióp cho ng÷íi håc ti¸p thu tèt c¡c kh¡i ni»m v  t½nhch§t cõa giîi h¤n h m v  t½nh li¶n töc cõa c¡c h m sè º tø â ti¸p cªn

÷ñc vîi c¡c ki¸n thùc v· ph²p t½nh vi ph¥n, ph²p t½nh t½ch ph¥n,

♣ Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa h m sè, giîi h¤n h m,

h m sè li¶n töc

Ch֓ng 2

Giîi thi»u - Möc ti¶u cõa ch÷ìng

♣ H m sè, giîi h¤n h m sè v  t½nh li¶n töc cõa h m sè l  c¡c kh¡i ni»m

cì b£n cõa gi£i t½ch to¡n håc Vi»c n­m vúng kh¡i ni»m h m sè, c¡c t½nhch§t cõa chóng, gióp cho ng÷íi håc ti¸p thu tèt c¡c kh¡i ni»m v  t½nhch§t cõa giîi h¤n h m v  t½nh li¶n töc cõa c¡c h m sè º tø â ti¸p cªn

÷ñc vîi c¡c ki¸n thùc v· ph²p t½nh vi ph¥n, ph²p t½nh t½ch ph¥n,

♣ Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa h m sè, giîi h¤n h m,

h m sè li¶n töc

Ch֓ng 2

Giîi thi»u - Möc ti¶u cõa ch÷ìng

♣ H m sè, giîi h¤n h m sè v  t½nh li¶n töc cõa h m sè l  c¡c kh¡i ni»m

cì b£n cõa gi£i t½ch to¡n håc Vi»c n­m vúng kh¡i ni»m h m sè, c¡c t½nhch§t cõa chóng, gióp cho ng÷íi håc ti¸p thu tèt c¡c kh¡i ni»m v  t½nhch§t cõa giîi h¤n h m v  t½nh li¶n töc cõa c¡c h m sè º tø â ti¸p cªn

÷ñc vîi c¡c ki¸n thùc v· ph²p t½nh vi ph¥n, ph²p t½nh t½ch ph¥n,

♣ Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa h m sè, giîi h¤n h m,

h m sè li¶n töc



3 Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa giîi h¤n h m v  bi¸t vªn döng

6 Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t ìn gi£n cõa h m sè li¶n töc t¤i mët

iºm, li¶n töc tr¶n mët o¤n v  bi¸t vªn döng º x²t t½nh li¶n töc cõa h m

sè v  mët sè b i tªp li¶n quan trüc ti¸p

3 Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa giîi h¤n h m v  bi¸t vªn döng

6 Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t ìn gi£n cõa h m sè li¶n töc t¤i mët

iºm, li¶n töc tr¶n mët o¤n v  bi¸t vªn döng º x²t t½nh li¶n töc cõa h m

sè v  mët sè b i tªp li¶n quan trüc ti¸p

3 Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa giîi h¤n h m v  bi¸t vªn döng

6 Tr¼nh b y ÷ñc c¡c t½nh ch§t ìn gi£n cõa h m sè li¶n töc t¤i mët

iºm, li¶n töc tr¶n mët o¤n v  bi¸t vªn döng º x²t t½nh li¶n töc cõa h m

sè v  mët sè b i tªp li¶n quan trüc ti¸p







⇔f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)

∀x1,x2 ∈X , α ∈ [0, 1]

• H m f ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n X ⇔ −f l  lçi tr¶n X

⇔f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)

∀x1,x2 ∈X , α ∈ [0, 1]

• H m f ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n X ⇔ −f l  lçi tr¶n X

⇔f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)

∀x1,x2 ∈X , α ∈ [0, 1]

• H m f ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n X ⇔ −f l  lçi tr¶n X

⇔f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)

∀x1,x2 ∈X , α ∈ [0, 1]

• H m f ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n X ⇔ −f l  lçi tr¶n X

⇔f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)

∀x1,x2 ∈X , α ∈ [0, 1]

• H m f ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n X ⇔ −f l  lçi tr¶n X

⇔f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)

∀x1,x2 ∈X , α ∈ [0, 1]

• H m f ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n X ⇔ −f l  lçi tr¶n X

⇔f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)

∀x1,x2 ∈X , α ∈ [0, 1]

• H m f ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n X ⇔ −f l  lçi tr¶n X



⇔(f , g còng x¡c ành tr¶n X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Têng cõa f (x) v  g(x) tr¶n D = Df ∩Dg 6= ∅ l 

h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D

T÷ìng tü cho hi»u, t½ch, th÷ìng() Ng y 19 th¡ng 2 n«m 2021 8 / 52

⇔(f , g còng x¡c ành tr¶n X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Têng cõa f (x) v  g(x) tr¶n D = Df ∩Dg 6= ∅ l 

h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D

T÷ìng tü cho hi»u, t½ch, th÷ìng() Ng y 19 th¡ng 2 n«m 2021 8 / 52

⇔(f , g còng x¡c ành tr¶n X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Têng cõa f (x) v  g(x) tr¶n D = Df ∩Dg 6= ∅ l 

h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D

T÷ìng tü cho hi»u, t½ch, th÷ìng() Ng y 19 th¡ng 2 n«m 2021 8 / 52

⇔(f , g còng x¡c ành tr¶n X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Têng cõa f (x) v  g(x) tr¶n D = Df ∩Dg 6= ∅ l 

h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D

T÷ìng tü cho hi»u, t½ch, th÷ìng() Ng y 19 th¡ng 2 n«m 2021 8 / 52

⇔(f , g còng x¡c ành tr¶n X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Têng cõa f (x) v  g(x) tr¶n D = Df ∩Dg 6= ∅ l 

h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D

T÷ìng tü cho hi»u, t½ch, th÷ìng() Ng y 19 th¡ng 2 n«m 2021 8 / 52

⇔(f , g còng x¡c ành tr¶n X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Têng cõa f (x) v  g(x) tr¶n D = Df ∩Dg 6= ∅ l 

h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D

T÷ìng tü cho hi»u, t½ch, th÷ìng() Ng y 19 th¡ng 2 n«m 2021 8 / 52

⇔(f , g còng x¡c ành tr¶n X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Têng cõa f (x) v  g(x) tr¶n D = Df ∩Dg 6= ∅ l 

h(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ D

T÷ìng tü cho hi»u, t½ch, th÷ìng() Ng y 19 th¡ng 2 n«m 2021 8 / 52









2.1 H m sè

2.1.2 C¡c lo¤i h m sì c§p cì b£n

4 H m l÷ñng gi¡c:

f (x) = sin(x); f (x) = cos(x); f (x) = tan(x); f (x) = cot(x)

5 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc: f (x) = arcsin(x); f (x) = arccos(x)

f (x) = arctan(x); f (x) = arccot(x)

6 H m hypebolic thuªn:

7 H m hypebolic ng÷ñc:

2.1 H m sè

2.1.2 C¡c lo¤i h m sì c§p cì b£n

4 H m l÷ñng gi¡c:

f (x) = sin(x); f (x) = cos(x); f (x) = tan(x); f (x) = cot(x)

5 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc: f (x) = arcsin(x); f (x) = arccos(x)

f (x) = arctan(x); f (x) = arccot(x)

6 H m hypebolic thuªn:

7 H m hypebolic ng÷ñc:

2.1 H m sè

2.1.2 C¡c lo¤i h m sì c§p cì b£n

4 H m l÷ñng gi¡c:

f (x) = sin(x); f (x) = cos(x); f (x) = tan(x); f (x) = cot(x)

5 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc: f (x) = arcsin(x); f (x) = arccos(x)

f (x) = arctan(x); f (x) = arccot(x)

6 H m hypebolic thuªn:

7 H m hypebolic ng÷ñc:

2.1 H m sè

2.1.2 C¡c lo¤i h m sì c§p cì b£n

4 H m l÷ñng gi¡c:

f (x) = sin(x); f (x) = cos(x); f (x) = tan(x); f (x) = cot(x)

5 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc: f (x) = arcsin(x); f (x) = arccos(x)

f (x) = arctan(x); f (x) = arccot(x)

6 H m hypebolic thuªn:

7 H m hypebolic ng÷ñc:

2.1 H m sè

2.1.2 C¡c lo¤i h m sì c§p cì b£n

4 H m l÷ñng gi¡c:

f (x) = sin(x); f (x) = cos(x); f (x) = tan(x); f (x) = cot(x)

5 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc: f (x) = arcsin(x); f (x) = arccos(x)

f (x) = arctan(x); f (x) = arccot(x)

6 H m hypebolic thuªn:

7 H m hypebolic ng÷ñc:

2.1 H m sè

2.1.2 C¡c lo¤i h m sì c§p cì b£n

4 H m l÷ñng gi¡c:

f (x) = sin(x); f (x) = cos(x); f (x) = tan(x); f (x) = cot(x)

5 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc: f (x) = arcsin(x); f (x) = arccos(x)

f (x) = arctan(x); f (x) = arccot(x)

6 H m hypebolic thuªn:

7 H m hypebolic ng÷ñc:





x→x 0f (x) = l hay f (x) → l khi x → x0,n¸u vîi måi d¢y {xn} ⊂X m  lim

n→∞xn=x0, th¼ ta câ lim

x→x 0f (x) = l hay f (x) → l khi x → x0,n¸u vîi måi d¢y {xn} ⊂X m  lim

n→∞xn=x0, th¼ ta câ lim

x→x 0f (x) = l hay f (x) → l khi x → x0,n¸u vîi måi d¢y {xn} ⊂X m  lim

n→∞xn=x0, th¼ ta câ lim

n→∞f (xn) =l





V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)

V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)

V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)

V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)

V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)

V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)

V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)

V½ dö Cho f (x) = x; g(x) = 1/x2, khi x → 0 th¼

f (x) → 0; g(x) → +∞; nh÷ng khæng tçn t¤i lim

x→0(fg)(x)



x→af (x).

V½ dö: Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i lim

x.Thªt vªy, x²t hai d¢y: (xn) = π 1

x→af (x).

V½ dö: Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i lim

x.Thªt vªy, x²t hai d¢y: (xn) = π 1

x→af (x).

V½ dö: Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i lim

x.Thªt vªy, x²t hai d¢y: (xn) = π 1

x→af (x).

V½ dö: Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i lim

x.Thªt vªy, x²t hai d¢y: (xn) = π 1

x→af (x).

V½ dö: Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i lim

x.Thªt vªy, x²t hai d¢y: (xn) = π 1

x→af (x).

V½ dö: Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i lim

x→0sin1

x.Thªt vªy, x²t hai d¢y: (xn) = π 1



ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i

ành l½ 4 (Li¶n h» vîi gi¡ trà tuy»t èi) N¸u f (x) → l th¼

|f (x)| → |l| khi x → x0 i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Vîi l = 0 th¼

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ l  óng

Ch¯ng h¤n |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nh÷ng limx→0sign(x) khæng tçnt¤i



2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

ành l½ 5 (T½nh ch§t thù tü cõa giîi h¤n v  nguy¶n lþ kµp) Cho

f (x) → l khi x → a Khi â,

i) N¸u A < l < B th¼ tçn t¤i δ-l¥n cªn cõa a : A < f (x) < B

ii) N¸u α < f (x) < β trong δ-l¥n cªn cõa a th¼ α ≤ l ≤ β

iii)

f (x) → l, g(x) → l0; l > l0 ⇒ ∃U 3 x0 :f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

ành l½ 5 (T½nh ch§t thù tü cõa giîi h¤n v  nguy¶n lþ kµp) Cho

f (x) → l khi x → a Khi â,

i) N¸u A < l < B th¼ tçn t¤i δ-l¥n cªn cõa a : A < f (x) < B

ii) N¸u α < f (x) < β trong δ-l¥n cªn cõa a th¼ α ≤ l ≤ β

iii)

f (x) → l, g(x) → l0; l > l0 ⇒ ∃U 3 x0 :f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

ành l½ 5 (T½nh ch§t thù tü cõa giîi h¤n v  nguy¶n lþ kµp) Cho

f (x) → l khi x → a Khi â,

i) N¸u A < l < B th¼ tçn t¤i δ-l¥n cªn cõa a : A < f (x) < B

ii) N¸u α < f (x) < β trong δ-l¥n cªn cõa a th¼ α ≤ l ≤ β

iii)

f (x) → l, g(x) → l0; l > l0 ⇒ ∃U 3 x0 :f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

ành l½ 5 (T½nh ch§t thù tü cõa giîi h¤n v  nguy¶n lþ kµp) Cho

f (x) → l khi x → a Khi â,

i) N¸u A < l < B th¼ tçn t¤i δ-l¥n cªn cõa a : A < f (x) < B

ii) N¸u α < f (x) < β trong δ-l¥n cªn cõa a th¼ α ≤ l ≤ β

iii)

f (x) → l, g(x) → l0; l > l0 ⇒ ∃U 3 x0 :f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

ành l½ 5 (T½nh ch§t thù tü cõa giîi h¤n v  nguy¶n lþ kµp) Cho

f (x) → l khi x → a Khi â,

i) N¸u A < l < B th¼ tçn t¤i δ-l¥n cªn cõa a : A < f (x) < B

ii) N¸u α < f (x) < β trong δ-l¥n cªn cõa a th¼ α ≤ l ≤ β

iii)

f (x) → l, g(x) → l0; l > l0 ⇒ ∃U 3 x0 :f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

ành l½ 5 (T½nh ch§t thù tü cõa giîi h¤n v  nguy¶n lþ kµp) Cho

f (x) → l khi x → a Khi â,

i) N¸u A < l < B th¼ tçn t¤i δ-l¥n cªn cõa a : A < f (x) < B

ii) N¸u α < f (x) < β trong δ-l¥n cªn cõa a th¼ α ≤ l ≤ β

iii)

f (x) → l, g(x) → l0; l > l0 ⇒ ∃U 3 x0 :f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

ành l½ 5 (T½nh ch§t thù tü cõa giîi h¤n v  nguy¶n lþ kµp) Cho

f (x) → l khi x → a Khi â,

i) N¸u A < l < B th¼ tçn t¤i δ-l¥n cªn cõa a : A < f (x) < B

ii) N¸u α < f (x) < β trong δ-l¥n cªn cõa a th¼ α ≤ l ≤ β

iii)

f (x) → l, g(x) → l0; l > l0 ⇒ ∃U 3 x0 :f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}



2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

H» qu£ N¸u lim

x→af (x) = l, khi â

1 N¸u c < l th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c < f (x)

2 N¸u 1 < d th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d > f (x)

3 N¸u c ≤ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c ≤ l

4 N¸u d ≥ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d ≥ l

5 lim f (x) > 0 ⇒ f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a

6 f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a ⇒ l > 0

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

H» qu£ N¸u lim

x→af (x) = l, khi â

1 N¸u c < l th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c < f (x)

2 N¸u 1 < d th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d > f (x)

3 N¸u c ≤ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c ≤ l

4 N¸u d ≥ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d ≥ l

5 lim f (x) > 0 ⇒ f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a

6 f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a ⇒ l > 0

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

H» qu£ N¸u lim

x→af (x) = l, khi â

1 N¸u c < l th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c < f (x)

2 N¸u 1 < d th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d > f (x)

3 N¸u c ≤ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c ≤ l

4 N¸u d ≥ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d ≥ l

5 lim f (x) > 0 ⇒ f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a

6 f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a ⇒ l > 0

2.2 Giîi h¤n cõa h m sè

2.2.2 C¡c ph²p to¡n v· giîi h¤n

H» qu£ N¸u lim

x→af (x) = l, khi â

1 N¸u c < l th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c < f (x)

2 N¸u 1 < d th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d > f (x)

3 N¸u c ≤ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : c ≤ l

4 N¸u d ≥ f (x) th¼ trong l¥n cªn õ b² cõa a : d ≥ l

5 lim f (x) > 0 ⇒ f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a

6 f (x) > 0 tr¶n l¥n cªn cõa a ⇒ l > 0