Tính chất 3 đường trung tuyến

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC... BÀI TẬP Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G a Chứng minh rằng: BD = CE và tam giác BGC cân..

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

A

C

I Đ ƯỜ NG TRUNG TUY N C A TAM GIÁC Ế Ủ

TÍNH CH T BA Đ Ấ ƯỜ NG TRUNG TUY N C A TAM GIÁC Ế Ủ

M

- Đo n th ng AM ạ ẳ n i ố đ nh A ỉ c a tam giác ủ ABC v i ớ trung đi m M c a c nh BC ể ủ ạ g i là ọ

đ ng trung tuy n ườ ế (xu t phát t đ nh A ấ ừ ỉ

ho c ng v i c nh BC) c a tam giác ABC.ặ ứ ớ ạ ủ

- Đ ng th ng AM cũng đ c g i là đ ng ườ ẳ ượ ọ ườ trung tuy n.ế

N P

G

- M t tam giác có ba đ ng trung ộ ườ tuy n.ế

Chú ý:

II TÍNH CH T BA Đ Ấ ƯỜ NG TRUNG TUY N C A TAM GIÁC Ế Ủ

- Ba đ ng trung tuy n c a m t tam giác cùng đi qua ườ ế ủ ộ

m t đi m, đi m đó đ c g i là ộ ể ể ượ ọ tr ng tâmọ c a tam ủ

giác

2

3

Trong tam giác ABC:

+) Các đ ng trung tuy n AM, BP, CN ườ ế cùng đi qua

đi m G (hay ể đ ng quy ồ t i đi m G)ạ ể

1) Tính ch t:ấ

- Tr ng tâm c a tam giác cách m i đ nh m t kho ngọ ủ ỗ ỉ ộ ả

b ng đ dài đ ng trung tuy n đi qua đ nh y.ằ ộ ườ ế ỉ ấ

Đi m G g i là ể ọ tr ng tâm ọ c a tam giác ABCủ

B

A

N P

G

AG= 23 AM

+) ;BG= 23 BP CG= 23 CN;

II TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

CỦA TAM GIÁC

2) Cách xác đ nh tr ng tâm c a m t tam giácị ọ ủ ộ

Vẽ hai trung tuy n BP và CN c a ế ủ Vẽ trung tuy n AMế

B

A

C

N P

G

B

A

G

L y G là giao đi m c a BP và CNấ ể ủ L y đi m G trên AM sao cho ấ ể AG= 23 AM

M

A

N

B

A

C

N

B

A

G

2 3

III BÀI

TẬP

Bài 1: Cho hình 1 Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

M

S

R G

a) MG = MR

GR = MR

GR = MG

b) NS = NG

NS = GS

NG = GS

2 3 1 3 1 2

3 2 3 2

Hình 1

III BÀI

TẬP

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G

a) Chứng minh rằng: BD = CE và tam giác BGC

cân

Bài 2: A

D E

G

GT

KL

cân t i A ạ

BD, CE là các đ ng trung tuy n ườ ế

BD, CE c t nhau t i G ắ ạ

a) BD = CE và

S đ phân tích ơ ồ

BD = CE

∆ ABD=∆ ACE

^A chung

A D=AE

AB= AC

A D= 12 AC AE= 12 AB

a) Ch ng minh BD = CE ứ

Vì cân t i A (gt) ạ ⇒AB= AC

Mà BD là trung tuy n c a (gt) ế ủ

D là trung đi m AC ể ⇒ A D=12 AC

CE là trung tuy n c a (gt) ế ủ

E là trung đi m AB ể ⇒ A E= 12 A B

⇒ AD= AE

Xét

^A chung

(cmt) (cmt)

⇒∆ ABD=∆ ACE(c g.c)

BD = CE (2 c nh t ng ng) ạ ươ ứ

Trong m t tam giác cân, hai ộ

đ ng trung tuy n ng v i ườ ế ứ ớ hai c nh bên thì b ng nhau ạ ằ

Bài 2: A

D E

G

GT

KL

cân t i A ạ

BD, CE là các đ ng trung tuy n ườ ế

BD, CE c t nhau t i G ắ ạ

a) BD = CE và

S đ phân tích ơ ồ

∆ BGC c ân

B G=CG

B G= 23 BD

C G= 23 CE

a) Ch ng minh ứ

Xét :

BD là trung tuy n (gt) ế

CE là trung tuy n (gt) ế

BD giao CE t i G ạ

G là tr ng tâm ọ

Mà BD = CE (cmt)⇒ BG=CG

⇒∆ BCGc â ntạiG

BD = CE (cmt)

⇒

G là tr ng tâm ọ

III BÀI

TẬP

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G

a) Chứng minh rằng: BD = CE và tam giác BGC

cân

b) Trên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM

Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC

Bài 2:

GT

KL

cân t i A ạ

BD, CE là các đ ng trung tuy n ườ ế

BD, CE c t nhau t i G ắ ạ

a) BD = CE và

b)

MD = DG

b)

S đ phân tích ơ ồ

G là trung đi m BM ể

BG=2GD GM=2GD

b) Ch ng minh: ứ

CGl àtrungtuyế n∆ BCM

G là tr ng tâm ọ D là

trung đi m GM ể

Vì G là tr ng tâm (cmt) ọ

⇒ BG=2G D

Mà D là trung đi m GM (gt) ể

⇒ GM=2GD

G là trung đi m BM ể

CG là trung tuy n ế

A

D E

G

M

III BÀI

TẬP

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G

a) Chứng minh rằng: BD = CE và tam giác BGC

cân

b) Trên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM

Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC

c) Gọi F là giao của AG với BC, N là giao của MF với CE Biết CE

bằng 18cm, tính GN

Bài 2:

GT

KL

cân t i A ạ

BD, CE là các đ ng trung tuy n ườ ế

BD, CE c t nhau t i G ắ ạ

a) BD = CE và

b)

MD = DG c) AG giao BC t i F ạ

MF giao CE t i N, CE = 18cm ạ

b) c)

S đ phân tích ơ ồ

Tính

N là tr ng tâm ọ

(cmt)

c) Tính

Vì G là tr ng tâm (cmt) ọ

MF là trung tuy n ế

G là tr ng tâm ọ

là đ ng trung tuy n ườ ế

F là trung đi m BC ể

MF là đ ng trung tuy n ườ ế

Xét có

(cmt) (cmt)

CG giao MFt ạiN

N là tr ng tâm ọ

⇒ GN= 13 GC

GC= 23 CE

Mà (cmt)

A

D E

G

F

M

N

CG là trung tuy n ế

F là trung đi m BC ể

III BÀI

TẬP

Bài 3: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho Gọi K là giao điểm của AE và

CD Chứng minh rằng:

BE= 13 BC

a) DK = KC

b)BC+ AK > 32 AC

C

A

B

D

E

K

A

B

D

E

K

Bài 3:

GT

KL

ΔABC

, BD = BA

AE giao CD t i K ạ

a) DK = KC

S đ phân tích ơ ồ

a) DK = KC

AK là trung tuy n ế

E là tr ng tâm ọ

BE= 13 BC

a) Ch ng minh: DK = KC ứ

BE= 13 BC

Vì

B là trung đi m AD ể

Xét có:

CB là trung tuy n ế

Vì , BD = BA

CB là trung tuy n ế

CB là trung tuy n (cmt) ế

(cmt)CE= 23 CB

E là tr ng tâm ọ

A

K là trung đi m CD ể ⇒ DK=KC

BD = BA

A

B

D

E

K

Bài 3:

GT

KL

ΔABC

, BD = BA

AE giao CD t i K ạ

a) DK = KC

b) Ch ng minh: ứ BC+ AK > 32 AC

a) Ch ng minh: DK = KC ứ

BE= 13 BC

Vì

B là trung đi m AD ể

Xét có:

Vì , BD = BA

CB là trung tuy n ế

CB là trung tuy n (cmt) ế

(cmt)CE= 23 CB

E là tr ng tâm ọ

A

K là trung đi m CD ể

⇒ DK=KC

S đ phân tích ơ ồ

E là tr ng tâm ọ 3

2 CE+ 32 A E> 32 AC

CE+ A E> AC

B t đ ng th c ấ ẳ ứ tam giác trong

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Hoàn thành câu 3b

Làm các bài 27, 28, 29, 30 (SGK – trang 67)