Tính chất 3 đường trung tuyến

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC I ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC - Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác A ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A P GN hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC C M B Chú ý: - Đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến - Một tam giác có ba đường trung tuyến II TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC 1) Tính chất: - Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam g-iáTcr.ọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng2 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy A Trong tam giác ABC: P N +) Các đường trung tuyến AM, BP, CN cùng đi qua C G điểm G (hay đồng quy tại điểm G) M Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC +)AG= 23 AM;BG= 23 BPC; G= 23 CN B II TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cách 2 2) Cách xác định trọng tâm của một tam giác A CỦA TAM GIÁC Cách 1 A P GN G C M B C M B Vẽ hai trung tuyến BP và CN của Vẽ trung tuyến AM Lấy điểm G trên AM sao choAG= 2 AM Lấy G là giao điểm của BP và CN 3 A P GN C M B A 2 3 P GN A G C BC M B III BÀI BTẬàiP1: Cho hình 1 Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau: 2 3 M a) MG = MR b) NS = NG N 3 2 S 1 NS =3 GS G GR = MR R 3 1 NG =2 GS GR = MG 2 P Hình 1 III BÀI BTẬàiP2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt na)haCuhứtạnigGminh rằng: BD = CE và tam giác BGC cân Bài 2: A tuyến a) Chứng minh BD = CE Sơ đồ phân tích BD = CE B ED Vì cân tại A (gt) ⇒AB= AC GT G ∆ ABD=∆ ACE Mà BD là trung tuyến của (gt) C ^A chung cân tại A 1 BD, CE là các đường trung D là trung điểm AC⇒ A D =2 AC A D= AE BD, CE cắt nhau tại G CE là trung tuyến của (gt) E là trung điểm AB⇒ A E= 12 A B ⇒ AD= AE Xét ^A chung (cmt) (cmt) ⇒ ∆ ABD=∆ ACE(c g c) BD = CE (2 cạnh tương ứng) Trong một tam giác cân, hai A D= 12 AC AB= AC đường trung tuyến ứng với AE= 1 AB a) BD = CE và hai cạnh bên thì bằng nhau KL 2 Bài 2: A a) Chứng minh Xét : ED BD là trung tuyến (gt) Sơ đồ phân tích G CE là trung tuyến (gt) BD giao CE tại G ∆ BGC c ân G là trọng tâm B G=CG B C ⇒BG= 23 B D vCà G= 23 CE Mà BD = CE (cmt)⇒ BG=CG cân tại A ⇒ ∆ BCGc â nt ại G B G= 23 BD BD = CE (cmt) BD, CE là các đường trung tuyến C G= 2 CE BD, CE cắt nhau tại G 3 GT G là trọng tâm a) BD = CE và KL III BÀI BTẬàiP2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt na)haCuhứtạnigGminh rằng: BD = CE và tam giác BGC bcâ) nTrên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC Bài 2: A b) Chứng minh: E M Vì G là trọng tâm (cmt) Sơ đồ phân tích G D ⇒ BG=2 G D CGl àtrung tuy ế n∆ BCM Mà D là trung điểm GM (gt) G là trung điểm BM ⇒ GM =2 GD B C G là trung điểm BM B G=2GD GM =2 GD CG là trung tuyến cân tại A BD, CE là các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G G là trọng tâm D là GT b) trung điểm GM MD = DG KL a) BD = CE và b) III BÀI BTẬàiP2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt na)haCuhứtạnigGminh rằng: BD = CE và tam giác BGC bcâ) nTrên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC c) Gọi F là giao của AG với BC, N là giao của MF với CE Biết CE bằng 18cm, tính GN Bài 2: A c) Tính Vì G là trọng tâm (cmt) B E M là đường trung tuyến Sơ đồ phân tích GT G D Tính KL F là trung điểm BC N MF là đường trung tuyến GN = 13 GC GC =? F C Xét có N là trọng tâm (cmt) (cmt) cân tại A (cmt) BD, CE là các đường trung tuyến C G giao MFt ại N BD, CE cắt nhau tại G N là trọng tâm b) MF là trung CG là trung MD = DG ⇒ GN = 13 GC tuyến tuyến c) AG giao BC tại F MàGC = 2 CE(cmt) 23 MF giao CE tại N, CE = 18cm ⇒ GC= 3 ⋅ 18=12 (cm ) a) BD = CE và ⇒ GN = 1 ⋅ 12=4 (cm ) F là G là trọng tâm b) trung điểm BC 3 c) III BÀI BTẬàiP3: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA 1 Trên cạnh BCBElấ=y 3điBểCm E sao cho Gọi K là giao điểm của AE và Ca)DD KCh=ứnKgCminh rằng: 3 b)BC + AK > 2 AC A E B C K D Bài 3: A B E a) Chứng minh: DK = KC Sơ đồ phân tích a) DK = KC C VìBE= 13 BC⇒CE = 23 CB AK là trung tuyến K Vì , BD = BA E là trọng tâm D B là trung điểm AD BE= 31 BC CB là trung tuyến ΔABC CB là trung tuyến GT , BD = BA , BE= 1 BC Xét có: AE giao CD tại K 3 CB là trung tuyến (cmt) KL a) DK = KC b)BC + AK > 3 AC 2 2 CE =3 C(cBmt) E là trọng tâm A K là trung điểm CD ⇒ DK =KC BD = BA Bài 3: A E a) Chứng minh: DK = KC b) Chứng minhB: C + AK > 23 AC B VìBE= 13 BC⇒CE = 23 CB Sơ đồ phân tích C K Vì , BD = BA 3 D b)BC + AK > 2 AC B là trung điểm AD ΔABC CB là trung tuyến E là trọng tâm32 CE + 32 A E> 32 AC GT , BD = BA , BE= 1 BC Xét có: CE+ A E> AC AE giao CD tại K 3 CB là trung tuyến (cmt) Bất đẳng thức KL a) DK = KC 3 2 tam giác trong b)BC + AK > AC CE =3 C(cBmt) 2 E là trọng tâm A K là trung điểm CD ⇒ DK =KC HƯỚNG DẪN VỀ Hoàn thành câu 3b NHÀ Làm các bài 27, 28, 29, 30 (SGK – trang 67) Chuẩn bị bài sau: “Cộng, trừ đa thức một biến”