CHUYÊN ĐỀ CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT A Tóm tắt lý thuyết I Tam giác cân Định nghĩa: Tam giác cân tam giác có hai cạnh ∆ A { ABC cân A ❑ AB=AC ⇔ ∆ ABC Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc đáy ∆ ABC cân A ^B= C^ Dấu hiệu nhận biết: - Theo định nghĩa - Nếu tam giác có hai góc tam giác B C tam giác cân II Tam giác vng cân Định nghĩa: Tam giác vuông cân tam giác vng có hai cạnh góc vng A ∆ ABC vuông cân A ⇔ { ∆ ABC ^A=90 ° ❑ AB = AC Tính chất: Mỗi góc nhọn tam giác vng cân 45° B C ^B = C^ III Tam giác Định nghĩa: Tam giác tam giác có ba cạnh A { ∆ABC ❑⇔ ∆ ABC AB= AC=BC Tính chất: Trong tam giác đều, góc 60 ° Dấu hiệu nhận biết: - Theo định nghĩa - Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác cân B C - Nếu tam giác cân có góc 60°thì tam giác tam giác B Các dạng toán I.Dạng 1: Vẽ tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác Phương pháp giải Dựa vào cách vẽ tam giác học ( vẽ compa học lớp 6)và định nghĩa tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác để vẽ Ví dụ a Ví dụ 1: Dùng thước có chia xentimet compa vẽ tam giác ABC có cạnh cm Hướng dẫn cách vẽ: - Vẽ đoạn thẳng BC = 3cm - Vẽ cung trịn tâm B bán kính 3cm cung trịn tâm C bán kính 3cm, chúng cắt A - Vẽ đoạn thẳng AB, AC Bài tập áp dụng - Bài 1: Cho điểm A B nằm phía đường thẳng d Hãy dựng tam giác MNP cho đáy MN nằm d, A B chân hai đường cao kẻ từ M N II Dạng 2: Chứng minh tam giác tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác từ dấu hiệu nhận biết tam giác đặc biệt từ điều chứng minh suy đoạn thẳng nhau, hai góc Phương pháp giải - Dựa vào dấu hiệu nhận biết định nghĩa tam giác đặc biệt để nhận biết tam giác thuộc loại tam giác - Sử dụng tính chất tam giác đặc biệt để chứng minh đoạn thẳng nhau, hai góc Ví dụ minh họa a Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A ( AB < AC) Tia phân giác góc A cắt BC D Qua D kẻ đường thẳng vuông góc BC, cắt AC E Trên AB lấy điểm P cho AF = AE Chứng minh rằng: B + ^B =^ DEC D + ∆ DBF tam giác cân F + DB = DE Bài giải: AE C + ^B phụ C^ , ^ DEC phụ C^ nên ^B = ^ DEC.(1) {^ FAD=^ DAE + ∆ EAD = ∆ FAD ( c.g.c) AF=AE AD chung ^ AED = ^ AFD => ^ DEC = ^ DFB (2) Từ (1) (2) suy ra, ^B = ^ DFB, ∆ DBF cân D( dấu hiệu nhận biết tam giác cân sử dụng tính chất tam giác cân) + ∆ DBF cân D => DB = DF( định nghĩa tam giác cân)(3) ∆EAD = ∆ FAD ( chứng minh trên) => DE =DF (4) Từ ( 3) (4) suy DB = DE Khai thác toán: Nếu thay điều kiện ^ BAC = C^ DE = 90° ^ BAC = C^ DE =α Thì tốn có khơng?( Trả lời: tốn đúng) b Ví dụ 2: A Cho tam giác ABC cân A, ^A = 100° Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh ^ ADC = 30° Phân tích: - Từ việc chứng minh tam giác B C áp dụng tính chất cộng góc góc ta D tới điều phải chứng minh Bài giải: ∆ ABC cân A, ^A = 100° => ^ ABC = ^ ACB = 40° Cách 1: Dựng ∆ ADE đều, E C nằm nửa mặt phẳng bờ AB Ta có: ^ EAC = ^ BAC – ^ BAE = 100° - 60° = 40° {AB=AC ∆ ABC = ∆ CAE ( c.g.c) ^ ABC =C^ AE BC= AE AC=CE ( hai cặp cạnh tương ứng tam giác nhau) Ta lại có: ∆ ADC = ∆ EDC (c.c.c) => A ^ ADC = ^ EDC ( hai góc tương ứng tam giác nhau) Mà ^ ADC + ^ EDC = ^ ADE = 60° Do đó, ^ ADC = 30° B C D E Cách 2: Dựng tam giác BCF đều, A F nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ BC A ^ ACF = ^ ACB + ^ BCF = 100° ∆ACF = ∆ CAD ( AC chung, ^ ACF = C^ AD = 100°, B C CF = AD) C^ FA = ^ ADC ( hai góc tương ứng tam D giác nhau) Ta có: ∆ ABF = ∆ ACF ( c.c.c) E ^ BFA= C^ FA mà ^ BFA + C^ FA = 60° Do đó, ^ ADC = C^ FA = 30° Cách 3: Vẽ tam giác ADM đều, M N C nằm hai nửa mặt phẳng đối A bờ AB Vẽ điểm N cho ^ DAN = 100°, AN = AC, N A nằm M nửa mặt phẳng bờ MD ∆ NAD = ∆ CAD (c.g.c) { AN= AC ^ DAN =^ DAC = 100° AD chung C ^ ADN = ^ ADC (hai góc tương ứng B hai tam giác nhau) D { AC= AN ∆ ABC = ∆ NMA (c.g.c) ^ ACB=^ MAN =40 ° BC = AM AB=MN ( hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) ∆AND = ∆ MND (c.c.c) ^ ADN = ^ MDN Mà ^ ADN = ^ MDN = ^ ADM = 60° ¿^ = 30° Do đó, ^ ADC = 30° Bài tập vận dụng Bài 1: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tam giác AMC, BMD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD< CB Chứng minh tam giác MEF tam giác ( trích sách “ Nâng cao phát triển toán tác giả Vũ Hữu Bình) Bài 2: Ở miền góc nhọn xOy, vẽ tia Oz cho ^ xOz = ^ yOz Qua điểm A thuộc tia Oy, vẽ AH vng góc với Ox, cắt Oz B Trên tia BZ lấy điểm D cho BD = OA Chứng minh tam giác AOD tam giác cân ( trích sách “ Nâng cao phát triển tốn tác giả Vũ Hữu Bình) Bài 3: Cho tam giác ABC cân tịa A, ^A = 140° Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, kẻ tia Cx cho ^ ACx= 110° Gọi D giao điểm tia Cx BA Chứng minh AD = BC ( trích sách “ Nâng cao phát triển tốn tác giả Vũ Hữu Bình) Bài 4: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC), có ^A = 80° Gọi D điểm tam giác cho ^ DBC = 10°, ^ DCB = 30° Tìm số đo góc BAD ( trích sách “ Cẩm nang vẽ them hình phụ giải tốn hình học phẳng tác giả Nguyễn Đức Tấn) Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, có ^A = 108°, BC= a, AC = b Vẽ phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác ABD cân A có ^ BAD = 36° Tính chu vi tam giác ABD theo a b ( trích sách “ Cẩm nang vẽ them hình phụ giải tốn hình học phẳng tác giả Nguyễn Đức Tấn)