Hsg T7 - 20 - Đề_Đáp.án - Tiền Hải.docx

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (5 điểm) 1) Tính 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2021 A              [.]

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TIỀN HẢI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 7

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (5 điểm)

1) Tính

A              

2) So sánh các số a, b biết:

;

a  b 

3) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau

Bài 2 (4 điểm)

1) Tìm x, y biết:

x   y  2) Cho 4 số khác 0 là a, b,c, d và b c d  khác 0 thỏa mãn b2 ac; c2 bd

Chứng minh:

3

a a b c

d b c d

 

   

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho hàm số:f x   2020 Tìm m để x f m  1 2020

2) Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ với ; ;4 1 45

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giácABC AC BC Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC Từ điểm M trên

cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E

1) Chứng minh AD BM và ABCMDE

2) Gọi O là giao điểm của AM và CE Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng.

3) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để AM vuông góc với CE

Bài 5 (1 điểm)

Cho A là một tập hợp gồm 607 số nguyên dương đôi một khác nhau và mỗi số nhỏ hơn 2021

Chứng minh rằng trong tập hợp A luôn tìm được hai phần tử x, y x ythỏa mãnx y 3;6;9

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 7 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1 (5 điểm)

1) Tính

A              

2) So sánh các số a, b biết:

;

a  b 

3) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau

Lời giải

1)

1 1 1 1 ( 1).( 2).( 3) ( 2020) 1.2.3 2020 1

2 3 4 2021 2.3.4 2021 2.3.4 2021 2021

A                    

2) Ta có

42

;

a          

        

42

b          

        

Vi        a b

    3) Gọi số chính phương cần tìm là aabb với 1a b; 9

và ;a b là các số tự nhiên

Do aabb là số chính phương nên: aabb n n N 2(  *)

aabb n 2 1000a100a10b b 11(100a b )  n211 n11

Mà 1000aabb 9999 32 n 99

Do n11nên n 33;44;55;66;77;88;99

Thử chọn ta được aabb 882 7744

Bài 2 (4 điểm)

1) Tìm x, y biết:

x   y  2) Cho 4 số khác 0 là a, b,c, d và b c d  khác 0 thỏa mãn b2 ac; c2 bd

Chứng minh:

3

a a b c

d b c d

 

   

Lời giải

1) Vì

x   x y  y

Mà

x   y 

suy ra

x   y 

) x 25 0 x 25 0 x 5;x 5

Vậy các cặp x y;  thỏa mãn là 5;1 và 5;1

2) Vì

b ac

b c

và

c bd

c d

nên suy ra

a b c

b  c d

a b c

k a bk b ck c dk

b  c d     

Ta có

3;

a bk ckk a b c a b c bk ck dk

d d d b c d b c d b c d

3 3

bk ck dk a

k

 

 

Vậy

3

a a b c

d b c d

 

   

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho hàm số:f x   2020 Tìm m để x f m  1 2020

2) Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ với ; ;4 1 45

Lời giải

1) f m 1 20202020m1

Vì f m 1 2020 20202020m1 m  1 1 m2

2) Gọi 2 số cần tìm là xvà y x y ; 0 và xy

Theo bài ra ta có 4 1 45

x y x y xy

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

2 (2)

x y x y x y x y   x

2 (3)

x y x y x y x y   y

Từ (1); (2) và (3) suy ra

5 3 45 45 45 45

x y xy x y xy

18x 30y xy x 30;y 18( ;x y 0)

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giácABC AC BC Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC Từ điểm M trên

cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E

1) Chứng minh AD BM và ABCMDE

2) Gọi O là giao điểm của AM và CE Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng.

3) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để AM vuông góc với CE

Lời giải

1) Vì xy // BC nên MAD AMB (So le trong)

/ /

MD AB AMD AMB (So le trong)

Xét MAD và MAB có:

MAD AMB

Cạnh AM chung

AMD AMB

MADMAB c g c( )

 AD MB MD AB ;  (Hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự AMEMAC c g c( ) MEAC MC; AE

MB MC AE AD BC DE

2)Xét AOE và MOC có:

EAM AMC (So le trong)

MCAE(cmt)

EAO OCM (So le trong)

Xét AOD và MOB có:

AD BM cmt  

(So le trong) DAO OMB  (So le trong)

OA OM cmt  (cmt)

Vì AODMOB AOD MOB 

Mà

AOD MOD   MOB MOD  hay BOD  1800

Vậy ba điểm ; ;B O D thẳng hàng.

3) AM vuông góc với CE AOC MOC  900

Xét AOC và MOC có:

OA OM;

AOC MOC 90 0

Cạnh OCchung

( ) AC MC AOC MOC c g c

    (Hai cạnh tương ứng)

Vậy khi M thuộc BC sao cho CM AC thì AM vuông góc với CE

Bài 5 (1 điểm)

Cho A là một tập hợp gồm 607 số nguyên dương đôi một khác nhau và mỗi số nhỏ hơn 2021 Chứng minh rằng trong tập hợp A luôn tìm được hai phần tử x, y x ythỏa mãn x y 3;6;9

Lời giải

Chia dãy số nguyên dương từ 1 đến 2020 thành 202 đoạn: 1;10 ; 11; 20 ;    2011;2020

Vì A có 607 số nguyên dương đôi một khác nhau và chia thành 202 đoạn nên theo nguyên lý Đi-rich- lê

tồn tại ít nhất 1 đoạn chứa 4 số trong 607 số trên.

Vì trong 4 số trên luôn tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3, gọi 2 số đó là

chia hết cho 3 mà x y – 9

Suy ra x y 3;6;9

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =