Đề + đáp án hsg toán 9 cấp tỉnh bình định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNHĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 2023 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 18/3/2023 Bài[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHĨA NGÀY 18 – 03 - 2023 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023 Bài 1: (5,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3  x  x  y  y   x  y 2 2 Giải phương trình: 3( x  x 1)  x  x 1 Bài 2: (5,0 điểm) Cho số thực x,y thỏa mãn x – 2y + < Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y2  4x  4( y  x ( x  y  4) 2 Cho đa thức P( x) x  ax  bx  cx  d Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 Tính giá trị biểu thức H P(12)  P(  8) 2023 Bài 3: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm P nằm tam giác (P khác O) Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D, dựng đường kính DE, AF đường trịn (O) Gọi G, I giao điểm thứ hai đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K giao điểm AI DG Gọi H hình chiếu vng góc K OP, đường thẳng OP cắt EF M  Chứng minh HO phân giác góc IHD Chứng minh KD  DM Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE , CF cắt I Chứng minh ID IE IF   2 IA IB IC Bài 5: (2,0 điểm) Trang 1/9 Cho đa giác có 2n đỉnh n  N , n 3 Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc lớn 100 -HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHĨA NGÀY 18 – 03 - 2023 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Lưu ý chấm - Hướng dẫn chấm (HDC) dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic - Thí sinh làm theo cách khác với HDC mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm HDC - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn số Bài 1: (5,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3  x  x  y  y   x  y 2 2 Giải phương trình: 3( x  x 1)  x  x 1 Ý Đáp án 1) Giải hệ phương trình:  x3  x  y  y   x  y 2  x  x  y  y   x  y 2 (2,5 điểm) Điể m 2  ( x  y )( x  xy  y  5) 0    x  y 2 x y    x2  xy  y 5   x  y 2  0,25 0,25 Trang 2/9 Ý Đáp án Điể m x y x y x y 1; x y   TH1     x    x  y 2  x  y  0 0,25   xx2y 21; x y  0,25 x  0,25 (loại) 2   x  xy  y 5 TH    x  y 2 x  y 2  Ta có :   x 1 y 1  x 1 y 1 0,25 x ; y 0 0,25  xy 1  x  xy  y 3 0,25 2 x  xy  y 5 Mà 0,25 Vậy hệ có nghiệm   TH vô nghiệm x 1 y 1 ; x  y  0,25 2) Giải phương trình: 3( x  x 1)  x  x 1 3( x  x  1)  x  x  4 Vì x  x   với x   x  x   x  ĐK x  x   0,25 3( x  x  1)  x  x  2.(2,5 điểm)  3( x  x   x3  x  x)  x  x   3x  33 x  18 x  18 x   x  x  0 0,25  x  32 x  18 x  18 x  0 Ta có:  x  x  16 x  x  0 Vì x = không nghiệm nên chia vế cho x2 ta được: 0,25 0,25  0 x x2 1  ( x  )  9( x  )  16 0 x x  x  x  16  Trang 3/9 Ý Đáp án Điể m 1  y x   x x Đặt phương trình trở thành y   y  16 0 y x   y  y  14 0  81  56 25   y1 7, y2 2 y 7  x  7  x  x  0 x 0,25 0,25 0,25 Với  49  45  x1  73 x2  loại x2 – 3x + < 0,25 7 loại x2 – 3x + < Với y =  x 0.25 2  x  x  0  x 1(t / m) x Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 2: (5,0 điểm) 1.Cho số thực x,y thỏa mãn x – 2y + < Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y2  4x  0,25 4( y  x ( x  y  4) 2.Cho đa thức P( x) x  ax  bx  cx  d Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 H P(12)  P(  8) 2023 Tính giá trị biểu thức Ý Đáp án 1) Cho số thực x,y thỏa mãn x – 2y + < Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y2  4x  P  y2  4x  Điểm 4( y  x ( x  y  4) 4( y  x ( x  y  4)  ( y  4)  4(2 y  x  4)  P ( y  4)  4(2 y  x  4)  (2 y  x  4) Ta có : 0,25  Đặt a y  b 2 y  x  0 0,25 Trang 4/9 Ý Đáp án Khi P a  4b  P a (1  1.(2,5 điểm) a 0 Vì 4(a  4b) b2 4  )  4 b   b b  1 0,25 0, 4  b   2 b 4 b b b , 0,5 ,  P 0  4.4 16 Dấu “ =” có  Điểm a y  0 b 2 b  x  2   0,5 y 4 x 2 0,25 Vậy GTNN P = 16 x = 2, y = 4 2).Cho đa thức P( x) x  ax  bx  cx  d Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 Tính giá trị biểu thức H P(12)  P(  8) 2023 P(1) = 10  a + b + c + d =  0,25 P(2) = 20  8a + 4b + 2c + d =  16a = 8b + 4c + 2d =  0,25 P(3) = 30  27a + 9b + 3c + d = – 51  Lấy  +  –  ta 6a + b = – 25 0,25 0,25 0,25 P(12) = 20736 + 1728a + 133b + 12c + d 0,25 P(– 8) = 4096 – 512a + 64b – 8c + d 0,25 P(12) + P(– 8) = 1216a + 208b + 4c + 2d + 24832 0,25 2.(2,5 điểm) = 1214a + 206b + 2c +2(a + b + c + d) + 24832 = 1188a + 198b + (26a + 8b + 2c) + 2.9 + 24832 0,25 0,25 = 198(6a + b) – 60 + 24850 = 19840 Bài 3: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) điểm P nằm tam giác (P khác O) Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D, dựng đường kính DE, AF đường trịn (O) Gọi G, I giao điểm thứ hai Trang 5/9 đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K giao điểm AI DG Gọi H hình chiếu vng góc K OP, đường thẳng OP cắt EF M  1.Chứng minh HO phân giác góc IHD 2.Chứng minh KD  DM Ý Đáp án Điểm  1.Chứng minh HO phân giác góc IHD  Ta có : AIF 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (2,5 điểm )   KIP 1800  AIF 900   KGP 900 Tương tự ta có : 0,25 0,25  mà KH  OP  KHP 90 0,25  năm điểm H, K, G, P, I nằm đường trịn đường kính KP tứ giác HIPG nội tiếp    IHP IGP   (  sd IE  )  IGP IDE mà      IHP IDE  IHO IDO hay Suy tứ giác IHDO nội tiếp 0,25 0.25 0,25 0,25      OHD OID ODI IHO 0,25 0,25  hay HO phân giác IHD 0,25      KHD 900  PHD 900  PHI 900  IDE Ta có     ( Do  IHO IDO hay  PHI IDE ) (2,5 điểm)   mà IDE vuông I nên 90  IDE IED     KHD IED IAD    KHD KAD hay suy AHKD tứ giác nội tiếp (*)     Mặt khác  HIP IDE IFE PFM  IHP MFP( g  g ) IP PH   PF PI PM PH (1) MP FP Ta chứng minh  AIP FDP( g  g )  PI PE PA.PD(2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) suy PM.PH = PA.PD hay tứ giác HIMD nội tiếp(**) Trang 6/9 Ý Đáp án Từ (*) (**) suy năm điểm A, H, K, D, M thuộc đường tròn Suy tứ giác HKDM nội tiếp    KHM  KDM 1800   KDM 900 Hay DM  KD Điểm 0,25 0,25 Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE , CF cắt I Chứng minh ID IE IF   2 IA IB IC  b c   ba a c c a b  Dấu “ =” xẩy ( vô lý )  ID IE IF   2 IA BI CI ( đpcm) 0,25 0,25 Trang 7/9 Bài 5: (2,0 điểm) Cho đa giác có 2n đỉnh n  N , n 3 Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc lớn 100 Ý Đáp án Điểm A1 A2 A3 A2 n Giả sử đa giác Nội tiếp ( O ) Ta thấy đỉnh tạo cung AiAi+1 có số đo (2,0điểm) 360o 180o  2n n Có 2n đỉnh chứa góc > 100o Gọi tam giác Am AiAp tam giác thỏa mãn yêu cầu với 0,25 A A A  1000 m i p 1800 n A A A m i p Giả sử : chắn x cung có số đo A A A m p i chắn y cung 0,25 1800 n có số đo 0,25 (x , y số tự nhiên khác 0) 180  Ai Am Ap  Am Ap Ai  ( x  y) n 1800  Am Ai Ap 1800  ( x  y )  1000 n  8n  8n x , y  N *  x  y    K  ( x  y)  9 mà ZN Khi tồn 0,25 0,25 0,25 Trang 8/9 Để x +y +z =k (1) Khi cặp số ( x;y) thỏa mãn (1) số tam giác AmAiAp thỏa mãn Ta có : x = => tồn k – số y X =2 => tồn k – số y X = tồn k – số y X= k tồn có số y Khi tổng ( x;y) 1+2+3+ +( k-1) =(k-1).k/2 k  k  1 2n n.k (k  1) Vậy tổng số tam giác  8n  k   9 Với 0,25 0,25 HẾT Trang 9/9