SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNHĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS KHÓA NGÀY 18 – 03 2023 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 18/3/2023 Bài[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHĨA NGÀY 18 – 03 - 2023 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023 Bài 1: (5,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 x x y y x y 2 2 Giải phương trình: 3( x x 1) x x 1 Bài 2: (5,0 điểm) Cho số thực x,y thỏa mãn x – 2y + < Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y2 4x 4( y x ( x y 4) 2 Cho đa thức P( x) x ax bx cx d Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 Tính giá trị biểu thức H P(12) P( 8) 2023 Bài 3: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm P nằm tam giác (P khác O) Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D, dựng đường kính DE, AF đường trịn (O) Gọi G, I giao điểm thứ hai đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K giao điểm AI DG Gọi H hình chiếu vng góc K OP, đường thẳng OP cắt EF M Chứng minh HO phân giác góc IHD Chứng minh KD DM Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE , CF cắt I Chứng minh ID IE IF 2 IA IB IC Bài 5: (2,0 điểm) Trang 1/9 Cho đa giác có 2n đỉnh n N , n 3 Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc lớn 100 -HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHĨA NGÀY 18 – 03 - 2023 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/3/2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Lưu ý chấm - Hướng dẫn chấm (HDC) dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic - Thí sinh làm theo cách khác với HDC mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm HDC - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn số Bài 1: (5,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 x x y y x y 2 2 Giải phương trình: 3( x x 1) x x 1 Ý Đáp án 1) Giải hệ phương trình: x3 x y y x y 2 x x y y x y 2 (2,5 điểm) Điể m 2 ( x y )( x xy y 5) 0 x y 2 x y x2 xy y 5 x y 2 0,25 0,25 Trang 2/9 Ý Đáp án Điể m x y x y x y 1; x y TH1 x x y 2 x y 0 0,25 xx2y 21; x y 0,25 x 0,25 (loại) 2 x xy y 5 TH x y 2 x y 2 Ta có : x 1 y 1 x 1 y 1 0,25 x ; y 0 0,25 xy 1 x xy y 3 0,25 2 x xy y 5 Mà 0,25 Vậy hệ có nghiệm TH vô nghiệm x 1 y 1 ; x y 0,25 2) Giải phương trình: 3( x x 1) x x 1 3( x x 1) x x 4 Vì x x với x x x x ĐK x x 0,25 3( x x 1) x x 2.(2,5 điểm) 3( x x x3 x x) x x 3x 33 x 18 x 18 x x x 0 0,25 x 32 x 18 x 18 x 0 Ta có: x x 16 x x 0 Vì x = không nghiệm nên chia vế cho x2 ta được: 0,25 0,25 0 x x2 1 ( x ) 9( x ) 16 0 x x x x 16 Trang 3/9 Ý Đáp án Điể m 1 y x x x Đặt phương trình trở thành y y 16 0 y x y y 14 0 81 56 25 y1 7, y2 2 y 7 x 7 x x 0 x 0,25 0,25 0,25 Với 49 45 x1 73 x2 loại x2 – 3x + < 0,25 7 loại x2 – 3x + < Với y = x 0.25 2 x x 0 x 1(t / m) x Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 2: (5,0 điểm) 1.Cho số thực x,y thỏa mãn x – 2y + < Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y2 4x 0,25 4( y x ( x y 4) 2.Cho đa thức P( x) x ax bx cx d Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 H P(12) P( 8) 2023 Tính giá trị biểu thức Ý Đáp án 1) Cho số thực x,y thỏa mãn x – 2y + < Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y2 4x P y2 4x Điểm 4( y x ( x y 4) 4( y x ( x y 4) ( y 4) 4(2 y x 4) P ( y 4) 4(2 y x 4) (2 y x 4) Ta có : 0,25 Đặt a y b 2 y x 0 0,25 Trang 4/9 Ý Đáp án Khi P a 4b P a (1 1.(2,5 điểm) a 0 Vì 4(a 4b) b2 4 ) 4 b b b 1 0,25 0, 4 b 2 b 4 b b b , 0,5 , P 0 4.4 16 Dấu “ =” có Điểm a y 0 b 2 b x 2 0,5 y 4 x 2 0,25 Vậy GTNN P = 16 x = 2, y = 4 2).Cho đa thức P( x) x ax bx cx d Biết : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 Tính giá trị biểu thức H P(12) P( 8) 2023 P(1) = 10 a + b + c + d = 0,25 P(2) = 20 8a + 4b + 2c + d = 16a = 8b + 4c + 2d = 0,25 P(3) = 30 27a + 9b + 3c + d = – 51 Lấy + – ta 6a + b = – 25 0,25 0,25 0,25 P(12) = 20736 + 1728a + 133b + 12c + d 0,25 P(– 8) = 4096 – 512a + 64b – 8c + d 0,25 P(12) + P(– 8) = 1216a + 208b + 4c + 2d + 24832 0,25 2.(2,5 điểm) = 1214a + 206b + 2c +2(a + b + c + d) + 24832 = 1188a + 198b + (26a + 8b + 2c) + 2.9 + 24832 0,25 0,25 = 198(6a + b) – 60 + 24850 = 19840 Bài 3: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) điểm P nằm tam giác (P khác O) Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D, dựng đường kính DE, AF đường trịn (O) Gọi G, I giao điểm thứ hai Trang 5/9 đường thẳng EP, FP với đường tròn (O), K giao điểm AI DG Gọi H hình chiếu vng góc K OP, đường thẳng OP cắt EF M 1.Chứng minh HO phân giác góc IHD 2.Chứng minh KD DM Ý Đáp án Điểm 1.Chứng minh HO phân giác góc IHD Ta có : AIF 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (2,5 điểm ) KIP 1800 AIF 900 KGP 900 Tương tự ta có : 0,25 0,25 mà KH OP KHP 90 0,25 năm điểm H, K, G, P, I nằm đường trịn đường kính KP tứ giác HIPG nội tiếp IHP IGP ( sd IE ) IGP IDE mà IHP IDE IHO IDO hay Suy tứ giác IHDO nội tiếp 0,25 0.25 0,25 0,25 OHD OID ODI IHO 0,25 0,25 hay HO phân giác IHD 0,25 KHD 900 PHD 900 PHI 900 IDE Ta có ( Do IHO IDO hay PHI IDE ) (2,5 điểm) mà IDE vuông I nên 90 IDE IED KHD IED IAD KHD KAD hay suy AHKD tứ giác nội tiếp (*) Mặt khác HIP IDE IFE PFM IHP MFP( g g ) IP PH PF PI PM PH (1) MP FP Ta chứng minh AIP FDP( g g ) PI PE PA.PD(2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) suy PM.PH = PA.PD hay tứ giác HIMD nội tiếp(**) Trang 6/9 Ý Đáp án Từ (*) (**) suy năm điểm A, H, K, D, M thuộc đường tròn Suy tứ giác HKDM nội tiếp KHM KDM 1800 KDM 900 Hay DM KD Điểm 0,25 0,25 Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE , CF cắt I Chứng minh ID IE IF 2 IA IB IC b c ba a c c a b Dấu “ =” xẩy ( vô lý ) ID IE IF 2 IA BI CI ( đpcm) 0,25 0,25 Trang 7/9 Bài 5: (2,0 điểm) Cho đa giác có 2n đỉnh n N , n 3 Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc lớn 100 Ý Đáp án Điểm A1 A2 A3 A2 n Giả sử đa giác Nội tiếp ( O ) Ta thấy đỉnh tạo cung AiAi+1 có số đo (2,0điểm) 360o 180o 2n n Có 2n đỉnh chứa góc > 100o Gọi tam giác Am AiAp tam giác thỏa mãn yêu cầu với 0,25 A A A 1000 m i p 1800 n A A A m i p Giả sử : chắn x cung có số đo A A A m p i chắn y cung 0,25 1800 n có số đo 0,25 (x , y số tự nhiên khác 0) 180 Ai Am Ap Am Ap Ai ( x y) n 1800 Am Ai Ap 1800 ( x y ) 1000 n 8n 8n x , y N * x y K ( x y) 9 mà ZN Khi tồn 0,25 0,25 0,25 Trang 8/9 Để x +y +z =k (1) Khi cặp số ( x;y) thỏa mãn (1) số tam giác AmAiAp thỏa mãn Ta có : x = => tồn k – số y X =2 => tồn k – số y X = tồn k – số y X= k tồn có số y Khi tổng ( x;y) 1+2+3+ +( k-1) =(k-1).k/2 k k 1 2n n.k (k 1) Vậy tổng số tam giác 8n k 9 Với 0,25 0,25 HẾT Trang 9/9