VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 Tỉnh Đắk Lắk9 Học sinh giỏi Giáo viên góp đề Nguyễn Thị Linh Thảo + 0979 737 939 Giáo viên góp đề Thanh Bùi + 0979 165 587 Sả[.]
VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Đắk Lắk Giáo viên góp đề: Nguyễn Thị Linh Thảo + 0979 737 939 Giáo viên góp đề: Thanh Bùi + 0979 165 587 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực Câu (4,0 điểm) 12 24 ( 3) 54 108 216 6 Rút gọn biểu thức 2 Giải phương trình x x x x 0 Câu (4,0 điểm) 2 Cho parabol ( P) : y x đường thẳng ( d ) : y (2m 1) x m m Tìm m để (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt A, B cho A, B nằm hai phía trục tung 2 Cho hàm số y x có đồ thị parabol ( P) điểm Q(0; 9) Hăy tìm hai điểm M , N ( P) có tọa độ số nguyên cho tứ giác OMQN tứ giác lồi 27 cm có diện tích (đơn vi trục tọa độ cm) Câu (4,0 điểm) 2 Tìm cặp số nguyên ( x; y) thỏa x x y x xy y y 0 Câu Tìm số phương abcd , biết ab cd 1 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O; R , hai tiếp tuyến a O cắt O D A Gọi G, E, F hình chiếu vng góc BC M Kẻ tiếp tuyến MD D lên BC, AB, AC Chứng minh rằng: MA MB.MC BC 2R sin BAC AB DB AC DC Câu G trung điểm EF (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM vng góc với BC, IN vng góc với AC, IK vng góc với AB Câu M BC , N AC , K AB Xác định vị trí điểm I cho tổng IM IN IK nhỏ (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b -Hết - Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Giáo viên góp đề: Nguyễn Thị Linh Thảo + 0979 737 930 Giáo viên góp đề: Thanh Bùi + 0979 165 587 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực Câu (4,0 điểm) 12 24 ( 3) 54 108 216 6 Rút gọn biểu thức Giải phương trình x x x x 0 Lời giải Ta có: 12 24 2 54 108 3 ; 2 216 5 8 4 6 3; 6 3 2 8 2 12 24 54 108 216 Do đó, 2 Nhận thấy x 0 khơng thỏa mãn phương trình cho Chia hai vế phương trình cho x , ta 4 x x 0 1 x x phương trình t x ,| t |2 t 2t 0 x , phương trình (1) trở thành Đặt Phương trình (2) có nghiệm -3 Phương trình cho tương đương với x x x 0 x x x Câu (4,0 điểm) 2 Cho parabol ( P) : y x đường thẳng ( d ) : y (2m 1) x m m Tìm m để (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt A, B cho A, B nằm hai phía trục tung 2 Cho hàm số y x có đồ thị parabol ( P) điểm Q(0; 9) Hăy tìm hai điểm M , N ( P) có tọa độ số nguyên cho tứ giác OMQN tứ giác lồi 27 cm có diện tích (đơn vi trục tọa độ cm) Lời giải x (2m 1) x m m 0 1 Phương trình hồnh độ giao điểm ( P) (d ) : Để (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt A, B cho A, B nằm hai phía trục tung phương trình phải có hai nghiệm trái dấu m(m 1) m Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 ( P) có đỉnh góc toạ độ O có bề lơm quay xuống , tứ giác OMQN tứ giác lồi nên hai điểm M vả N phải nằm hai phía trục tung Giải sử điểm M nằm bên trái trục tung vả điểm N nằm bên phải trục tung Khi diện tích OMQN tổng diện tích hai tam giác MQO NQO , suy 1 27 9 xM 9 xN xN xM 3 1 2 Từ suy được: xM xN Với xM xM 1 M 2; 16 , N 1; Với xM xN 2 M 1; , N 2; 16 Kiểm tra đồ thị, hai cặp điểm tìm thỏa mãn điều kiện tứ giác OMQN tứ giác lồi Câu (4,0 điểm) 2 Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa x x y x xy y y 0 Tìm số phương abcd , biết ab cd 1 Lời giải 2 Phương trình cho: x x y x xy y y 0 viết dạng: y x x 1 y x x 0 1 Biệt thức x x 1 4.2 x x 16 x x3 x x 15 Đặt 16 x x x x 15 k x x 1 16 k 2 x x 1 k 16 x x k x x k 16 x x k x x k 2k Do x x chẵn nên Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 x x k x x k chẵn, dương TH 1: TH 1: x x k 2 x x 0 x x k 8 x x k 4 x x k 4 khơng có nghiệm ngun x 1 TM x L k 0 x x Với x 1 y Vậy giá trị cần tìm Vì a, b, c, d số nguyên tố từ đến 9, a, c 0 số phương nên abcd n ab cd 1 ĐK: 31 n 100 Ta có ab cd 1 ab cd abcd 100ab cd 100 cd cd 101cd 100 101cd n 100 101cd n 10 n 10 Mà Do n 100 nên n 10 90 101 số nguyên tố nên n 10 101 n 91 Suy ra: abcd 91 8281 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O; R , hai tiếp tuyến a O cắt O D A Gọi G, E, F hình chiếu vng góc BC M Kẻ tiếp tuyến MD D lên BC, AB, AC Chứng minh rằng: MA MB.MC BC 2R sin BAC AB DB AC DC G trung điểm EF Lời giải D E C B H G M O F I A Ta có: MAB MCA ( g g ) MA MB.MC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 BIC BAC (góc nội tiếp chắn BC ) O Kẻ đường kính BI BIC vuông C Do đó, BC BI sin BIC 2R.sin BAC MAB MCA ( g g ) AB MA DB MD MDB MCD ( g.g ) AC MC DC MC AB DB Mà MA = MB nên AC DC Kẻ AH BC * Tứ giác BEDG có: BED BGD 90 90 180 nên tứ giác BEDG nội tiếp đường trịn đường kính BD Khi đó, áp dụng câu 1) ta có: GE DB.sin GDE DB.sin ABC Tương tự, tứ giác CDGF nội tiếp đường trịn đường kính CD nên GF DC.sin FCG DC.sin ACB GE DB.sin ABC AB.sin ABC AH 1 GE GF GF DC sin ACB AC.sin ACB AH (1) * Tứ giác BEDG nội tiếp nên EGD EBD tứ giác ABDC nội tiếp nên ACD EBD nên ACD EG D Có EGD FGD ACD FGD 180 (do tứ giác DCGF nội tiếp) E , G, F thẳng hàng (2) Từ (1), (2) suy G trung điểm EF Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM vng góc với BC, IN vng góc với AC, IK vng góc với AB điểm I cho tổng IM M BC , N AC , K AB Xác định vị trí IN IK nhỏ Lời giải B K I M H E A N C Kẻ AH BC , IE AH Suy tứ giác ANIK , HEIM hình chữ nhật Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 2 2 2 Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: IK IN IK AK IA AE Vì IM EH nên 2 2 IK IN IM AE EH AE EH 2 AH 2 Dấu “=” xảy I trung điểm AH Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Lời giải Ta có: 2a a a2 1 4a a2 2a b 2a c 2a. a b c 2a bc 2a. a b c 2a bc a2 2a a2 2a b 2a c a b c 2a bc hay (1) b2 2b b2 2b c 2b a a b c 2b ac Tương tự có, (2) c2 2c c2 2c a 2c b a b c 2c ab (3) a2 b2 c2 VT 9 2a bc 2b ac 2c ab Lấy (1) + (2) + (3), ta được: * a b c a2 b2 c2 1 2 2 2 a bc b ac c ab a b c 2a b bc 2a c Mà bc ac ab 1 1 ; ; a; b; c a b c ta 2a bc 2b ac 2c ab 1 Vì a, b, c nên thay 2a bc 2a 2b ac 2b2 2c ab 2c 1 2a bc 2b ac 2c ab 3 2a 2a bc 2b 2b ac 2c 2c ab 1 2a 2b 2c 1 ** 2a bc 2b ac 2c ab Từ (*), (**) suy a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 -Hết - Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang